初中數(shù)學(xué) 專(zhuān)注初中數(shù)學(xué)解析
題目：（北京數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，點(diǎn)P為∠ABC的平分線與∠ACB的平分線的交點(diǎn)，證明：AB=PC。
【解析圖形】
1、圖中明顯的特殊角：∠ABP=30°=∠PBC；∠ABH=60°；
2、圖中間接的特殊角：∠HPC=60°；∠APC=120°；
3、圖中暗含的等邊：HA=HC；
4、圖中還有一組等量線段關(guān)系比較好找：AB+AP=BC；
5、這個(gè)圖中，以B為頂角，延長(zhǎng)CP、AP交AB于某一點(diǎn)、其實(shí)就是我們?nèi)切蝺?nèi)心中的基本圖：頂角60°，可以探討角、線段、面積關(guān)系。
方法類(lèi)型方法種數(shù)第1類(lèi)：造等邊三角形5種第2類(lèi)：利用30°（60°）構(gòu)造RT△2種第3類(lèi)：截鄰邊相等造全等1種第4類(lèi)：2倍角的處理——造等腰1種第5類(lèi)：構(gòu)造等腰三角形3種第6類(lèi)：平移線段造基本圖形2種
【基礎(chǔ)預(yù)熱】
1、等邊三角形的構(gòu)造
2、點(diǎn)擊鏈接：全等基本圖1——對(duì)角互補(bǔ)（α+β=180°）+角平分線一般情況
3、2倍角的處理——造等腰
4、等腰三角形的構(gòu)造方法
第1類(lèi)方法：造等邊△ 利用特殊角造全等
方法1：
【解析】延長(zhǎng)AP交BC于H，則可得：AH=CH；
在PH延長(zhǎng)線上截取PE=PC，則△PEC為等邊△；
則可得：△ABH≌△CEF，得證；
方法2：等邊△中再造等邊△
【解析】在BA延長(zhǎng)線上取BJ=BC，則△BJC為等邊三角形，則JB=JC；
在JC上取JK=JA，則△JAK為等邊三角形，則JA=JK；
則AB=KC；
導(dǎo)角可證：△CPA≌△CKA，可得：CK=CP；
則AB=CP。
方法3：
【解析】在BC上截取BE=BA，則△ABE為等邊三角形；連接AE；
如圖2，通過(guò)導(dǎo)角可證明△AEC≌△CPA，則CP=AE=AB；
也可以如圖3，連接PE，通過(guò)導(dǎo)角可得△APE≌△CEP，得證；
方法4：
【解析】以AC為邊向外作等邊△ACE，
這構(gòu)造的是等邊△的對(duì)角互補(bǔ)+角平分線基本圖；
全等基本圖3——對(duì)角互補(bǔ)（60°—120°）+角平分線
如圖2，此處不具體解析了，主要是證明PE平分∠APC，
如圖3，可證△ABC≌△CPE，則得證。
方法5：
【解析】利用∠APF=60°，在CP延長(zhǎng)線上截取PF=AP得△APF為等邊三角形。但是這樣好像行不通，但是也很好通過(guò)這個(gè)輔助線構(gòu)造出一個(gè)對(duì)角互補(bǔ)的基本圖，那換種輔助線的說(shuō)法即可。
如圖3，作AB的中垂線與CP交于點(diǎn)F，連接AF、BF，
全等基本圖1——對(duì)角互補(bǔ)（α+β=180°）+角平分線一般情況
可得∠AFB=140°，則∠FBA=∠FAB=20°，
可得△FAP為等邊△；CF=BC；
接下來(lái)，再去證：AP+AB=BC=CF=PC+PF，得證。
這種解法有點(diǎn)復(fù)雜，作為一種思考也還是有意義的。
第2類(lèi)解法：利用30°（60°）構(gòu)造RT△；
方法6：
【解析】過(guò)A作AF⊥BP；作PC的中垂線交AC于G，交PC于H，連接GP。
在RT△ABF中，2AF=AB；在等腰△PGC中，2PH=PC；
則證明RT△APF≌△PGH即可；
方法7：
【解析】過(guò)A作AH⊥BC，過(guò)C作CF⊥AP；
由2S△AEC=AE·CF=CE·AH得AH=CF（面積法，不需要證全等）；
再證：△ABH≌△CPF即可。
第3類(lèi)方法：截鄰邊相等造全等
方法8：
【解析】利用∠1=∠2，在AB延長(zhǎng)線上截取AD=AC，
則可得△ADP≌△ACP，則DP=CP。
在過(guò)B作BF∥DP交AC于P點(diǎn)，額導(dǎo)角可得BF=CF=AB，
再證明BF=PD即可得證。
第4類(lèi)方法：2倍角的處理——造等腰
方法9：
【解析】如上圖2，延長(zhǎng)BA至D，使得AD=AC；作AE∥PC，
AE∥PC，可得△AEC≌△CPA，得AE=PC；
再證△AED≌△ABC，則AB=AE；得證。
第5類(lèi)方法：構(gòu)造等腰三角形
方法10：
【濤哥解析】作AC=AD（以A為圓心、AC為半徑作弧，與CP的交點(diǎn)既是D點(diǎn)）
通過(guò)導(dǎo)角，可得△ADB（字母標(biāo)錯(cuò)了）≌△ACP，得證。
方法11：
【解析】延長(zhǎng)AP交BC于J，作AJ=AK（也可以說(shuō)作∠BAJ的平分線AK），△AJK為等腰三角形，
則AJ=AK=JC。
則證明△ABK≌△CPJ即可；
方法12：
【解析】延長(zhǎng)AP交BC于J，作CJ=CM，
利用圖中特殊角導(dǎo)角可得：△ABJ≌△CPM，得證。
第6類(lèi)方法：平移線段造基本圖形
方法13：過(guò)C作CD∥AB，過(guò)A作AD∥BC，
則△ABC≌△CDA，可的AB=CD。
則如圖2所示，出現(xiàn)了角平分+對(duì)角互補(bǔ)基本圖。
如圖3，過(guò)C作垂線，可得△CPF≌△CDE。得證。
方法14：
【解析】
過(guò)A作AD∥PC，過(guò)A作AP∥CD，
則△ADC≌△CPA，可的AD=PC。
則如圖2所示，出現(xiàn)了角平分+對(duì)角互補(bǔ)基本圖。
如圖3，過(guò)C作垂線，可得△ABE≌△ADF。得證。
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