在全等三角形的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一類全等的圖形，其形狀像旋轉(zhuǎn)的表針，通常被稱為“手拉手模型”。
所謂手拉手模型，是指有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰三角形，頂角相等.頂點(diǎn)相連的四條邊形象的可以看作兩雙手.善于發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用這個(gè)模型，有助于提高七年級學(xué)生的解題能力，同時(shí)也為后續(xù)相似三角形的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。
下面以一道幾何題為例淺析手拉手模型在全等三角形中的應(yīng)用，希望能為大家提供些許破解之術(shù).
例題講解
1. 已知：△ABC，△EDC均為等邊三角形. 求證：（1）△ACD≌△BCE. （2）∠APB=60°（3）PC平分∠BPD.
學(xué)情分析
（1）此問要求學(xué)生會(huì)用SAS定理判定△ACD與△BCE全等.考生此問不得分可能有以下原因：
①知道用SAS判定方法，但是找不到相等的一組角作為全等條件.
②答題時(shí)沒有按照字母對應(yīng)順序書寫.
③不能發(fā)現(xiàn)△ABC和△EDC圖形的特殊性，沒有得到相等的邊.
通過讀題我們發(fā)現(xiàn)第一問難度不大，應(yīng)是所有學(xué)生都得到分?jǐn)?shù)的題目，學(xué)生完成此問要具備扎實(shí)的幾何基礎(chǔ)知識.此問最易錯(cuò)的地方是找不到相等的一組角.
（2）根據(jù)第一問由全等性質(zhì)，得出∠CAD=∠CBE，再依據(jù)“蝴蝶型”得出AD和BE的夾角∠APB=60°，這個(gè)結(jié)論不隨等邊三角形的位置變化而變化，具有不變性.此問學(xué)生不得分可能有以下原因：
①幾何基礎(chǔ)較差，沒有在已知條件的幫助下得出∠CAD=∠CBE.
②思路正確的前提下沒有識別出“蝴蝶型”.
③思考占用過多時(shí)間，以致影響后面的答題時(shí)間.
這道題是第二問，臨場大部分考生應(yīng)該得分。否則會(huì)影響到第三問.但是一部分考生沒有看出“蝴蝶型”，進(jìn)而思路受阻.
（3）此問較難，七年級的學(xué)生會(huì)感覺綜合性較強(qiáng).此問既可以通過分別作BE和AD的垂線段，根據(jù)角平分線的判定定理解決問題.亦可以截取，構(gòu)建等邊三角形解決問題.學(xué)生不得分的主要原因是輔助線的添加方法想不到.
破解策略
原題延伸
變形延伸一：
圖（1）中，C 點(diǎn)為線段AB 上一點(diǎn)，△ACM，△CBN 是等邊三角形，AN與BM 相等嗎？說明理由；
圖（ 2） C 點(diǎn)為線段AB 上一點(diǎn)，等邊三角形ACM 和等邊三角形CBN 在AB 的異側(cè)，此時(shí)AN 與BM 相等嗎？說明理由；
如圖（3）C 點(diǎn)為線段AB 外一點(diǎn)，△ACM，△CBN 是等邊三角形，AN 與BM相等嗎？說明理由．
解析：題中三問均是對等邊三角形性質(zhì)的考查以及全等三角形的證明，由已知條件，利用等邊三角形的性質(zhì)可找出對應(yīng)邊及夾角相等，證明全等，即可得到線段相等．
變形延伸二：
（1）如圖1，點(diǎn)C 是線段AB 上一點(diǎn)，分別以AC，BC 為邊在AB 的同側(cè)作等邊△ACM 和△CBN，連接AN，BM．分別取BM，AN 的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，CF，EF．觀察并猜想△CEF 的形狀，并說明理由．
（2） 若將（ 1） 中的“ 以AC， BC 為邊作等邊△ ACM 和△CBN”改為“以AC，BC 為腰在AB 的同側(cè)作等腰△ACM 和△CBN，”如圖2，其他條件不變，那么（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由．
解析：此題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)．（1） 先求證△ACN≌△MCB ， 得出AN=BM ， ∠ANC=∠MBA ， 再證
△NFC≌△BEC，得出CE=CF，∠BCE=∠NCF，得出∠ECF=60°，證得結(jié)論成立；
（2）證明過程如上（1）中的結(jié)論只有CE=CF，而∠ECF 等于等腰三角形的頂角≠60°，得出結(jié)論不成立．
1、（2）、（3）
變形延伸一：
如圖兩個(gè)等邊三角形△ABD與△BCE，連結(jié)AE與CD，
證明：
(1)AE與DC之間的夾角為60°．
(2)AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H,BH平分∠AHC．
變形延伸二：
如圖，兩個(gè)正方形ABCD與DEFG,連結(jié)AG，CE，二者相交于點(diǎn)H．
問：
（1）AG與CE之間的夾角為多少度？
（2）HD是否平分∠AHE？
變形延伸三：
如圖兩個(gè)等腰直角三角形ADC與EDG，連結(jié)AG，CE,二者相交于點(diǎn)H
問：
（1）AG與CE之間的夾角為多少度？
（2）HD是否平分∠AHE？
變形延伸四：
兩個(gè)等腰三角形△ABD與△BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=α連接AE與CD，
問：
（1）△ABE≌△DBC是否成立？
（2）AE是否與CD相等？
（3）AE與CD之間的夾角為多少度？
（4）HB是否平分∠AHC？
模型抽象
手拉手模型
特點(diǎn)：由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn) ．
結(jié)論：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC
變形：
小試身手
1、如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=8，點(diǎn)A為頂點(diǎn)，AC為腰，作等腰△ACD，且∠DAC=120°，則BD的長為__________.
2、如圖，已知A、C是半徑為2的⊙O上的兩動(dòng)點(diǎn)，以AC為直角邊在⊙O內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠C=90°，連接OB，則OB的最小值為__________．
3、將等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A=90°， AD邊與AB邊重合， AB＝2AD＝4．將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°≤α≤180°），BD的延長線交直線CE于點(diǎn)P.
（1）如圖2，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是 , 位置關(guān)系是 ；
（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)AD⊥BD時(shí)，求出CP的長；
4、【問題探究】
（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由．
【深入探究】
（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45o，求BD的長．
（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)△ACD在線段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長．
參考答案
1、試題解析：
本題與上述模型看似無關(guān)，但其實(shí)滿足手拉手模型的特征，如共頂點(diǎn)，等線段，需要轉(zhuǎn)化邊，但是缺少一組全等，因此本題的關(guān)鍵在于添加輔助線，構(gòu)造手拉手模型。因?yàn)椤鰿AD是一個(gè)頂角為120°的等腰三角形，且D與B已經(jīng)連起來，故我們可以以A為頂點(diǎn)，AB為腰也構(gòu)造一個(gè)頂角為120°的等腰三角形，這樣就構(gòu)成了手拉手模型，出來了與BD相等的邊.以A為頂點(diǎn)，AB為邊作一個(gè)頂角為120°的等腰三角形ABE，連接CE，故有△BAD≌△EAC，所以就將我們要求的線段BD轉(zhuǎn)化為求EC.再根據(jù)△EBC是一個(gè)直角三角形來求EC的長.答案為10.
2、試題解析：
點(diǎn)A、C在運(yùn)動(dòng)的時(shí)候△ABC始終是一個(gè)等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)是C，就可以以O(shè)C為直角邊作一個(gè)等腰直角三角形，構(gòu)造手拉手模型將OB邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化.連接OC，以O(shè)C為直角邊作等腰直角三角形OCD，連接OA、AD，故有△OBC≌△DAC，求OB的最小值就轉(zhuǎn)化為了求AD的最小值，即當(dāng)O、A、D三點(diǎn)共線的時(shí)候AD最短.答案為2根號2-2.
3、試題解析：
（1）BD=EC，BD⊥CE．
（2）如圖3所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE.
∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD=∠ACE.
∵∠1=∠2，∴BP⊥CE.
∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，∴四邊形ADPE為正方形．∴AD=PE=2.
∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°.
∴BD=CE=2根號3.∴CP=CE-PE=2根號3-2.
4、試題解析：
（1）BD=CE
（2）根號107cm
（3）（7根號2-3）cm
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