前言：中考高頻考點(diǎn)系列是筆者花費(fèi)了許多心血，根據(jù)近兩年中考的趨勢(shì)及熱點(diǎn)，結(jié)合《新課標(biāo)》的要求，對(duì)中考經(jīng)常出現(xiàn)的題型，進(jìn)行了歸納總結(jié)，要想在中考時(shí)取得好成績(jī)，這些都是必須要掌握的知識(shí)。
本篇主要通過“手拉手結(jié)構(gòu)”的一道母題，展示這種模型結(jié)構(gòu)常見的題型以及應(yīng)對(duì)方法。（已推出的旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)、直角結(jié)構(gòu)、中點(diǎn)結(jié)構(gòu)、半角結(jié)構(gòu)、一線三等角模型等內(nèi)容，請(qǐng)關(guān)注“胡不歸數(shù)學(xué)課堂”查看）
△ABD和△BCE是兩個(gè)有公共頂點(diǎn)的等邊三角形，且點(diǎn)A、B、C在同一直線上，如下圖：
若把AE和DC連接起來，就變成了“手拉手”的基本模型，如下圖：
這是一道“手拉手”模型的母題，許多問題都是在它基礎(chǔ)上演變而來的，下面我們要好好研究這道基本題型。
如下圖，在直線ABC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，交于點(diǎn)H，AE交BD于點(diǎn)G，CD交BE于點(diǎn)F，求證：
① △ABE≌△DBC AE=DC
② AE與DC的夾角是多少度？
③ △AGB≌△DFB
④△EGB≌△CFB
⑤△GBF是等邊三角形
【解析】
①∵△ABD和△BCE是等邊三角形 ∴AB=DB EB=CB ∠1=∠2=60° ∵∠1+∠DBE=∠2＋∠DBE ∴∠ABE=∠DBC ∴△ABE≌△DBC(SAS)∴AE=DC
② 在△ABG和△DHG中，∠AGB=∠DGH， ∠3=∠4 （由①知），∴∠DHG =∠1=60° ∴ AE與DC的夾角是60° .
③∵∠1=∠5=∠2=60°，AB=DB ，∠3=∠4 ，∴△AGB≌△DFB（ASA）
④方法同上，依然可以用ASA定理征得.
⑤由③知BG=FB，又∵∠5=60° ∴△GBF是等邊三角形
【點(diǎn)評(píng)】從旋轉(zhuǎn)角度看，①中的△DBC可以認(rèn)為是△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的；②這種求解兩條直線夾角的情況，通常用到的方法就是找兩個(gè)對(duì)頂三角形，如△ABG和△DHG，由已知的等角結(jié)合內(nèi)角和定理推出夾角的度數(shù)。
進(jìn)一步探究：如下圖，連接BH和GF，求證：
⑥GF∥AC
⑦HB平分∠AHC
【解析】
⑥ ∵△GBF是等邊三角形 ∴∠BGF=60°又∵∠1=60°∴∠1=∠BGF ∴GF∥AC
⑦如下圖，過B分別作BM⊥AE于點(diǎn)M，作BN⊥CD于點(diǎn)N，
由① 知△ABE≌△DBC 即S△ABE=S△DBC 又∵AE=DC ∴BM=BN ∴點(diǎn)B在∠AHC的平分線上，即HB平分∠AHC
【點(diǎn)評(píng)】⑥中一旦證得GF∥AC，馬上有以下連鎖反應(yīng)：△EGF∽△EAB，△DGF∽△DBC，△HGF∽△HAC，那么問題來了，△EGF和△DGF相似嗎？為什么？
⑦中看到角平分線，就聯(lián)想和角平分線有關(guān)的定理，很自然想到“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”，于是作出到角兩邊的高，結(jié)合前面的信息得到答案?？吹疥P(guān)鍵的條件聯(lián)想和其有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，這也是做證明題時(shí)的一種基本理念。
這道“手拉手”模型的母題，還可以演變出其他問題，你能想到哪些？不妨試一試。另外，若對(duì)△EBC繞點(diǎn)B進(jìn)行旋轉(zhuǎn)處理，上述結(jié)論還有哪些成立呢？
【精講精練】
變式練習(xí)1：
如下圖，兩個(gè)正方形ABCD和DEFG，連接AG與CE，二者相交于H.
問：（1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否與CE相等？
（3）AG與CE之間的夾角為多少度？
變式練習(xí)2：
如下圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連結(jié)BD.
（1）試說明△BAD≌△CAE；
（2）試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明.
變式練習(xí)3：
如下圖（1），△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，現(xiàn)把兩個(gè)三角形的C點(diǎn)重合，且使∠BCA=∠ECD，連接BE，AD．
①求證：BE=AD．
②若將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖（2），（3）所示的情況時(shí)，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？利用圖（3）說明理由．
說明：以上問題難度不大，均可以模仿母題中的方法思路解決，故不再提供答案。
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