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如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF

我們可以從以下七個(gè)角度去思考解法。

仔細(xì)想想，證兩個(gè)直角三角形全等真的不可以嗎？

直接證明主要是得不到邊相等，但是它們應(yīng)該是存在邊等的，例如FH=BE或者AB=EH，這樣是不是可以？如果要證明，此時(shí)需要借用方程的方法解決。

解此方程可得a=b，這樣后面就能證明全等了。

此題還可以考慮將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造新的圖形，然后由新圖形來證得線段相等。

旋轉(zhuǎn)法一：將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度：

旋轉(zhuǎn)法二：將△EFC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：

其實(shí)，除了以上旋轉(zhuǎn)方法，還有以下旋轉(zhuǎn)方法，讀者可自行嘗試證明。

旋轉(zhuǎn)法四：將△EFC繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)：(圖形難看，所以省掉)

旋轉(zhuǎn)法五：將△EFC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)：

旋轉(zhuǎn)法六：將△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：

旋轉(zhuǎn)法七：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：

旋轉(zhuǎn)法八：將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

如上圖，將△ABE折疊下來可以，可以由等腰直角三角形A’BC推得△A’EF為等腰三角形。

對(duì)于初二下冊(cè)學(xué)生而言，已經(jīng)開始接觸一次函數(shù)了，這里也是可以使用一次函數(shù)來證明。

以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系。

如圖，可以設(shè)BE長為a個(gè)單位長度，F(xiàn)點(diǎn)縱坐標(biāo)為b,后面就可以利用AE⊥EF,得到a=b,最后利用勾股定理可以求解AE和EF的長度。（特注：兩直線垂直，比例系數(shù)乘積為-1）

點(diǎn)評(píng)：此方法，雖然較為麻煩，但是不失為解決此類問題的一種通性通法。

此題若站在更高視角，例如九年級(jí)角度來看，還能得到以下解法：

由∠AEF=∠ACF=90°可以得到四點(diǎn)A、E、C、F共圓（圓周角定理），然后可推∠ACB=∠AFE=45°，這樣就得到了等腰直角三角形AEF

此題若知道相似，在思考角度二中可以不列方程得到全等。

多解歸一：要證明邊等的方法可以構(gòu)造全等、平行四邊形、等腰直角三角形或者列方程求解，構(gòu)造的方法有截取法、運(yùn)動(dòng)變換法、共圓法等?？偠灾`活構(gòu)造是解決此類問題之本。

此題不僅可以存在一題多解，還有一題多變，并且變化更加精彩。

1-1 如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF.

2-1 如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的延長線上一點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF.

2-2 如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊CB的延長線上一點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF.

3-1 如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE=EF，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證：∠AEF=90°.

3-2 如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，AE=EF，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證：∠AEF=90°.

3-3 如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，∠AEF=90°，AE=EF，求證：CF是正方形外角的平分線.

源自江蘇-談志國老師

5-1如圖，四邊形ABCD是矩形，其中2AB=BC，點(diǎn)E是邊BC的一點(diǎn)，∠AEF=90°，∠ACF=90°，求證：EF=2AE

6-1 如圖，三角形ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是邊BC一點(diǎn)，∠CEF=60°，且EF交等邊三角形ABC外角的平分線BF于點(diǎn)F，求證：CE=BF.

源自上海-周繼光老師

7-1  如圖，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，AD=CE，求證：BD=DE

7-2  如圖，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，AD=CE，求證：BD=DE

源自河南-楊峰老師

8-1 如圖，在等腰直角三角形ABC中，已知∠BAC=90°，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，

求證：BD=DE

此題若再進(jìn)行延長變化、因果變化、三角形變化，恐還會(huì)出來更多好題，歡迎補(bǔ)充！

來源：夏師數(shù)學(xué)，排版有所調(diào)整