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倒數(shù)[數(shù)學(xué)學(xué)科術(shù)語]
實數(shù)的倒數(shù)
倒數(shù)[數(shù)學(xué)學(xué)科術(shù)語]
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1.求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù),例如 ,我們只須把 這個分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置,即得 的倒數(shù)為 ;

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2.求一個整數(shù)的倒數(shù),只須把這個整數(shù)看成是分母為1的分?jǐn)?shù),然后再按求分?jǐn)?shù)倒數(shù)的方法即可得到。如12,即 ,再把 這個分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置,把分子做分母,分母做分子,則有 ,即12倒數(shù)是 ;

3.說明:倒數(shù)是本身的數(shù)是1和-1,正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù),負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù),0沒有倒數(shù);

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4.把0.25化成分?jǐn)?shù),即 ,再把 這個分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置,把原來的分子做分母,原來的分母做分子.則是 ,再把 化成整數(shù),即4.所以0.25是4的倒數(shù)。也可以說4是0.25的倒數(shù).也可以用1去除以這個數(shù),例如0.25,1/0.25等于4,所以0.25的倒數(shù)4;

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5.求 倒數(shù)約分問題。在求倒數(shù)過程中,可約分的要約分,如 ,約分以后成 ,最后將其分子分母調(diào)換位置,得到 ,即為 的倒數(shù);

因此 乘積是1的兩個數(shù) 互為倒數(shù)。

圖1.倒數(shù)的單位元投影演示
數(shù)論倒數(shù)
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而在數(shù)論中,還有數(shù)論倒數(shù)的概念,如果兩個數(shù)a和b,它們的乘積關(guān)于模m余1,那么我們稱它們互為關(guān)于模m的數(shù)論倒數(shù)。比如 ,所以3是2關(guān)于5的數(shù)論倒數(shù).數(shù)論倒數(shù)在中國剩余定理中非常重要。而輾轉(zhuǎn)相除法提供了計算數(shù)論倒數(shù)的方法。

群論中倒數(shù)

近世代數(shù)中有群,域,環(huán)等概念,其中定義了抽象的乘法運算和單位元.同樣的,關(guān)于其乘法如果有乘法逆,同樣可以看成是倒數(shù)。

特點

倒數(shù)的特點:一個正實數(shù)(1除外)加上它的倒數(shù) 一定大于2。

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理由: , 為倒數(shù)當(dāng) 時 一定大于1,可寫為 因為 ,又因為 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以一個正實數(shù)加上它的倒數(shù)一定大于2。

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當(dāng) 時也一樣。

同理可證,一個負(fù)實數(shù)(-1除外)加上它的倒數(shù)一定小于-2。

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求證:a,b均為非1正實數(shù),且a不等于b, 和 互為倒數(shù), 。

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證明:因為 , ,所以 ,又因為a,b均為非1正實數(shù),且a不等于b,所以 , ,所以 ,所以 ,即 。

解題

在四則混合運算中,有時會用到倒數(shù)來解題,正規(guī)解起來很麻煩。

倒數(shù)[數(shù)學(xué)學(xué)科術(shù)語]

例如:計算

第一種方法:

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解:原式的倒數(shù)=

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=

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=

倒數(shù)[數(shù)學(xué)學(xué)科術(shù)語]

=

倒數(shù)[數(shù)學(xué)學(xué)科術(shù)語]

= .

倒數(shù)[數(shù)學(xué)學(xué)科術(shù)語]

所以,原式= .

第二種方法:

倒數(shù)[數(shù)學(xué)學(xué)科術(shù)語]

解:=

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=

它的倒數(shù)為

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= 因為此處0不可以作為除數(shù),顧用乘法代替。

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=

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=

倒數(shù)[數(shù)學(xué)學(xué)科術(shù)語]

所以,原式= .

負(fù)倒數(shù)
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乘積為-1的兩個實數(shù)互為負(fù)倒數(shù),實數(shù)x的負(fù)倒數(shù)記為 或 。一個實數(shù)的倒數(shù)和其負(fù)倒數(shù)是相反數(shù),0沒有倒數(shù)或負(fù)倒數(shù)。

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