上一期還沒介紹完說好的16篇就斷了，今天勢必介紹完再睡
7.集合論
對中學(xué)生讀者來說，也許這是全書中最新穎的一篇。 集合可以分為有限集與無限集， 而我們通常所熟悉的自然數(shù)集只是最簡單的一個無限集，即所謂的“可數(shù)的無限集”。 德國數(shù)學(xué)家康托爾發(fā)現(xiàn)，還存在“不可數(shù)的無限集”， 比如實數(shù)集。這里一個基本的概念是集合的勢， 它是集合大小的度量，并允許我們比較任意兩個集合的大小。 比如，我們說實數(shù)集比自然數(shù)集大，就是在下述意義下： 實數(shù)集的勢大于自然數(shù)集的勢。 在這里，康托爾提出了著名的連續(xù)統(tǒng)問題：是否存在一個集合， 其勢比自然數(shù)集大，但比實數(shù)集小？ 這后來被希爾伯特列為著名的23個數(shù)學(xué)問題之首， 最終在1963年被科恩(P. J.Cohen)解決，答案是：在通常的 Z‐F 公理體系內(nèi)，其真?zhèn)尾荒芘卸ā?/strong>
8.幾個組合學(xué)的問題
9.華林問題
這是數(shù)論中有名的問題，對此已有許多優(yōu)秀的通俗文章， 特別的，我們在此特別推薦筆者與北京交通大學(xué)博士生鄭豪合寫的文章。托普利茲與拉德梅徹在書中詳細證明了著名的拉格朗日定理：每個正整數(shù)都可以寫成四個自然數(shù)的平方和。
10.封閉自交曲線
11.數(shù)的素因子分解是否唯一？
算術(shù)（數(shù)論）一直是本書的一個主題，算術(shù)的基本定理斷言：每個大于1的正整數(shù)可以唯一分解為素數(shù)的乘積。例如。作者介紹了算術(shù)基本定理的一個初等證明，并指出算術(shù)基本定理的類比在某些數(shù)系中并不自動成立。其修正版本屬于德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺?，他通過引入“理想數(shù)”而挽救了唯一分解定理。
12.四色問題
13.正多面體
這一篇用前一篇歐拉關(guān)于多面體的公式，證明了三維空間中僅有五種正多面體，分別是正四面體、正六面體（即立方體）正八面體、正十二面體與正二十面體。如果讀者想要對對稱這一主題有更深入的了解，可以進一步閱讀外爾的小書《對稱》，他在書中給出了另一個基于群作用的優(yōu)美論證。
14.勾股弦數(shù)與費馬定理
也許最能簡要體現(xiàn)出數(shù)與形之間的和諧關(guān)系的，當(dāng)屬勾股定理（國外稱畢達哥拉斯定理）：一個直角三角形的勾股弦三邊長滿足 。根據(jù)勾股定理的逆，滿足的三個正數(shù)構(gòu)成一個直角三角形的勾股弦。滿足
的三個正整數(shù)稱為勾股弦數(shù)（國外稱畢達哥拉斯三元數(shù)組）。古巴比倫數(shù)學(xué)家求出了所有的勾股弦數(shù)。
作者介紹了這一解法，并介紹了費馬對次方程
所作的不存在正整數(shù)解的著名論斷（Fermat 最后定理， 1994年被英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明）。 作者介紹了費馬對時所采用的“無窮遞降法”證明。
無窮下降法是基于這樣的想法：在自然數(shù)的有限集合中，不可能存在一個遞減的無限序列。一個通俗的說法是：如果你銀行卡上的錢是有限的，而且每天至少花掉一塊錢但永遠沒有存入，那么存款遲早是要花完的。
15.算術(shù)與幾何平均定理
16.有限點集的生成圓
這一篇與華林問題那一篇是筆者最喜歡的。本篇的結(jié)果歸功于德國數(shù)學(xué)家 Heinrich Jung，在最簡單的情況（平面情形），它斷言：給定平面上一個有限點集（更一般的，對緊集也成立），如果該點集中兩點之間的距離最大值為d（稱為該集合的直徑），那么存在一個半徑為的圓，可以覆蓋整個點集；并且這個半徑是最優(yōu)的。n維空間所需要的最優(yōu)半徑為 ..Jung 定理的一般證明需要用到凸性理論，見 Berger。
17.用有理數(shù)逼近無理數(shù)
18.以連桿裝置產(chǎn)生直線運動
19.完全數(shù)
20.素數(shù)無窮的歐拉證法
歐拉對素數(shù)序列的無窮性給出了一個高明的分析證法。他只用到三個事實：
第一，算術(shù)基本定理；
第二，等比數(shù)列的無窮和公式（可以認為阿基米德已經(jīng)了解這一結(jié)果）：
第三，調(diào)和級數(shù)
是發(fā)散的。 后一事實已經(jīng)為歐拉的前輩雅各布·伯努利（JacobBernoulli）所知。
有鑒于這個證明的簡潔優(yōu)美，我們這里用現(xiàn)代記號復(fù)述一遍。
假定只存在有限多個素數(shù) ，則根據(jù)算術(shù)基本定理，每個正整數(shù)n有唯一的分解 ，其中是自然數(shù)。于是
這就與調(diào)和級數(shù)發(fā)散的結(jié)論矛盾！當(dāng)然，這里我們跳過了一些涉及無窮和的微妙細節(jié)，不過本質(zhì)上這就是歐拉的思路。為避開無窮和對中學(xué)生可能引起的困難，只要考慮有限的部分和即可。
上述這個證明的要點在于，通過算術(shù)基本定理， 將求和與連乘積聯(lián)系起來。事實上，這個想法可以給出著名的歐拉乘積公式：
由此可以看到左邊的級數(shù)（黎曼）所具有的深刻數(shù)論含義。
21.極值問題的基本原理
這一篇強調(diào)了某些最大值問題可以有更簡單的解法， 但因為作者在全書中都沒有提到函數(shù)的概念，所以 他們并沒有指出這樣一個一般的原理。 現(xiàn)在的中學(xué)生早已接觸函數(shù)的概念，所以我們不妨在這里稍作補充。
事實上，在許多極值問題的背后，隱藏著一個凸（凹）函數(shù)，于是，極值問題的求解成了著名的 Jensen 不等式的直接應(yīng)用。對此我們稍作展開。
區(qū)間上的函數(shù)稱為凸函數(shù)，如果對任意的以及有
其幾何含義是，函數(shù)的圖像始終落在圖像上兩點連線的下方。類似的，如果函數(shù)的圖像始終落在圖像上兩點連線的下方，即滿足反向的不等式，則稱為凹函數(shù)。例如，不難驗證是上的凹函數(shù)。
對于凸函數(shù)，丹麥數(shù)學(xué)家 J.Jensen 在 1906 年發(fā)現(xiàn)了一個重要的不等式：
Jensen 不等式：設(shè)是上的凸函數(shù)，則對任意的以及有
如果是上的凹函數(shù)，則相反的不等式成立。
現(xiàn)在根據(jù) Jensen 不等式，不難推出，對于且，有（令 ）：
這個不等式就是“圓的所有內(nèi)接n邊形中，以正n邊形的面積最大”這一幾何事實的解析表達。
Jensen 不等式應(yīng)用具體的凸（凹）函數(shù)可推導(dǎo)出許多著名的不等式， 例如第15篇的算術(shù)‐幾何均值不等式。
22.定周長之圖形的最大面積
這是著名的等周問題，因為作者考慮到本書是為高中生程度的讀者寫的，所以僅僅滿足于證明： 在所有給定周長的平面圖形中，如果存在一個面積最大的圖形，那么該圖形必定是圓。于是整個問題歸結(jié)為證明最大值的存在性， 要說清楚這一點勢必超出了中學(xué)生的理解水平， 因而作者只是點到為止（這在更高的水平上可以得到滿意的處理）。\
23.循環(huán)小數(shù)
我們知道，分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。 問題是：什么樣的分?jǐn)?shù)對應(yīng)著有限小數(shù)； 而對于可以化成無限循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)，其循環(huán)節(jié)的長度是多少？ 對這些問題的回答，
需要用到初等數(shù)論。 作者在這一篇推導(dǎo)出著名的費馬小定理以及歐拉的推廣。
24.圓的特征性質(zhì)
25.固定寬度的曲線
26.圓規(guī)在幾何作圖中之不可缺少性
這一節(jié)講述了意大利數(shù)學(xué)家馬歇羅尼（Mascheroni）的一個著名結(jié)果：用直尺和圓規(guī)作出的圖，只需用圓規(guī)就可以作出。作者介紹了這個抽象結(jié)果的證明，不過有點遺憾的是，他們沒有提供一個具體的例子。也許一個合適的例子是：僅用圓規(guī)將一個圓周四等分，據(jù)說這個例子就是馬歇羅尼本人所解決的。我們留給有興趣的讀者。
27.數(shù) 30 的一個性質(zhì)
28.一個改進的不等式
結(jié)語
我們以當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家蓋伊（R. K.Guy）發(fā)表于30年前的《數(shù)學(xué)情報員》（MathematicalIntelligencer）的一篇題為《你是多好的數(shù)學(xué)工作者？》的文章中的一段話結(jié)束本文：
你是否讀過并鼓勵其他人讀過這些書，比如 Courant 和 Robbins 的《數(shù)學(xué)是什么》， Steinhaus 的《數(shù)學(xué)萬花筒》（Mathematical Snapshots）; Rademacher 和 Toeplitz 的《數(shù)學(xué)欣賞》，Berlekamp,Conway 和 Guy 的《穩(wěn)操勝券》（Winning Ways for yourMathematical Plays）， Rouse Ball 的《數(shù)學(xué)游戲與欣賞》（Mathematical Recreations Essays）， Martin Gardner 的著作，Dolciani 叢書，以及 the New Mathematical Library？ 你是否曾將這些書作為禮物或獎品贈予對它們可能有興趣的中學(xué)生或大學(xué)生？
via：林開亮老師(西北農(nóng)林科技大學(xué))
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