算術(shù)(arithmetic)
研究數(shù)及數(shù)集上的運算的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。算術(shù)的主要內(nèi)容有數(shù)的概念的產(chǎn)生和發(fā)展、計算方法和計算工具、各種數(shù)的運算、數(shù)集的公理結(jié)構(gòu)及數(shù)的性質(zhì)等。研究整數(shù)的性質(zhì)的內(nèi)容后來發(fā)展成為數(shù)論。
算術(shù)是最古老的數(shù)學(xué)分支之一，是數(shù)學(xué)的“起點”之一，數(shù)的概念的產(chǎn)生及初步的算術(shù)運算的形成可追溯到史前時期。美索不達米亞和埃及地區(qū)在公元前30—前20世紀就產(chǎn)生簡單的算術(shù)知識(見美索不達米亞數(shù)學(xué)和埃及數(shù)學(xué))。
古希臘人正式提出“算術(shù)”學(xué)科，但他們的算術(shù)只研究數(shù)的性質(zhì)，嚴格說起來是數(shù)論，從畢達哥拉斯直到歐洲中世紀，“算術(shù)”學(xué)科的內(nèi)容都是如此。文藝復(fù)興以后，人們才把數(shù)的理論及運算研究兩者都作為算術(shù)學(xué)科的內(nèi)容。歐幾里得《幾何原本》第7-9卷總結(jié)了古希臘人的算術(shù)(數(shù)論)知識，例如求兩數(shù)最大公因數(shù)的方法，關(guān)于素數(shù)的一些定理等。書中還證明了乘法的交換律及乘法對于加法的分配律，這是典型的算術(shù)內(nèi)容。丟番圖也研究過一些算術(shù)問題?？偟乜磥恚畔ＥD人的數(shù)學(xué)成果主要在公理法和幾何學(xué)方面，算術(shù)則側(cè)重于數(shù)論，數(shù)的運算、數(shù)值計算方面的成果甚少。
與希臘人不同，在中國古代，算術(shù)指的是整個數(shù)學(xué)，特別重視數(shù)的運算、計算方法的研究，許多現(xiàn)代看來是屬于幾何學(xué)的問題也是轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題通過計算來解決的(有時稱之為“算術(shù)化”)。與此有關(guān)，中國數(shù)學(xué)在世界上最早采用的十進位值制數(shù)字，在計算中表現(xiàn)出較大的優(yōu)點。中國古代數(shù)學(xué)使用了獨特的計算工具——算籌。算籌的使用大大促進了中國數(shù)學(xué)的發(fā)展，也影響到數(shù)學(xué)的發(fā)展方向：在整個中國古代數(shù)學(xué)中，計算處于中心的地位。算籌至遲出現(xiàn)于公元前5世紀，此時中國開始進入封建社會，社會生產(chǎn)有了較大的發(fā)展，廣泛的社會生活對數(shù)學(xué)提出多方面的要求，中國古代數(shù)學(xué)逐漸形成了獨特的應(yīng)用體系，《九章算術(shù)》就是典型的代表作。一般的應(yīng)用數(shù)學(xué)的模式是：人們對某類問題研究出算法，用它可以計算求解同類問題。在遇到這類問題時，則按算法的規(guī)定，用算籌計算(后來發(fā)展為算盤)。加上中國數(shù)字一字一音，形成關(guān)于各種算法的口訣，利用口訣可以布籌如飛，大大提高了計算速度和解決問題的能力。把算籌擺法記錄下來就是中國的籌算數(shù)字，對零的概念和零號的產(chǎn)生起了很大的作用。
中國古人對算術(shù)作了全面的發(fā)展，在《九章算術(shù)》中就有了完整的分數(shù)運算法則，給出了求最大公因數(shù)的一個算法，這與《幾何原本》的算法本質(zhì)上是一致的；對比例問題、盈虧問題都進行了研究并給出相應(yīng)的算法；給出開方(開平方、開立方)運算的法則和具體的計算方法；給出正負數(shù)的加減法則等。后來劉徽為該書作注，進一步使用了十進小數(shù)，提出分數(shù)和比例計算的一些新方法?！稄埱窠ㄋ憬?jīng)》和《孫子算經(jīng)》對不定方程進行了研究，由后者的一個問題發(fā)展出孫子定理這樣舉世聞名的成就和大衍求一術(shù)這種獨特的算法?！稊?shù)術(shù)記遺》則系統(tǒng)研究了各種大數(shù)進位法和計算方法，其中一種大數(shù)進位法與現(xiàn)代方法相近。用分數(shù)來逼近某個重要數(shù)值也是中國古代的一項著名的算術(shù)成就。例如劉徽用
印度也很早就產(chǎn)生了算術(shù)，現(xiàn)今世界通用的印度一阿拉伯數(shù)字就起源于印度，零的概念的形成和零號的使用是印度人的一大貢獻。9世紀印度數(shù)學(xué)傳人中亞阿拉伯地區(qū)，阿拉伯人進行了改造和發(fā)展，12世紀傳人歐洲，促進了歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展。
7世紀，古代希臘數(shù)學(xué)發(fā)展中斷，歐洲處于“黑暗時代”，數(shù)學(xué)出現(xiàn)大幅度的倒退。羅馬人主要偏重于實際問題的計算，但古代希臘數(shù)學(xué)的計算不發(fā)達，羅馬人所使用的是與希臘人類似的非位值制十進數(shù)字，算術(shù)運算十分困難，多位數(shù)的乘法幾乎無法進行，分數(shù)計算更是難以想像的復(fù)雜。記數(shù)法限制了歐洲算術(shù)的發(fā)展。12世紀，阿拉伯數(shù)學(xué)傳人歐洲，帶來了印度一阿拉伯數(shù)字，使歐洲人從繁雜的計算中解放出來，算術(shù)得到新的發(fā)展。
在乘法運算方法上，一大成果是開始了筆算(歐洲人原來也使用各種“算盤”作計算)。首先發(fā)展的是一種源于阿拉伯人的。格子”算法，在歐洲，它出現(xiàn)在最早出版的印刷本算術(shù)書中(1478年)。方法如下圖，表示943x314，乘數(shù)和被乘數(shù)分別寫在格子的上方和右方。每兩個數(shù)的積寫在格子里，斜行相加便得答數(shù)293276。后來才出現(xiàn)現(xiàn)代通用的筆算乘法格式。
歐洲文藝復(fù)興后，數(shù)學(xué)有了空前的發(fā)展，16世紀開始形成現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號，17世紀創(chuàng)立了解析幾何學(xué)和微積分學(xué)。這些都促進了算術(shù)的發(fā)展，一方面，由算術(shù)發(fā)展出代數(shù)、數(shù)論等新的數(shù)學(xué)分支；另一方面，算術(shù)自身也有了不斷的發(fā)展。例如數(shù)的概念先后擴張到實數(shù)和復(fù)數(shù)(見數(shù))，深入研究了數(shù)的運算的性質(zhì)。1801年，高斯出版了他的名著《算術(shù)研究》，不僅開創(chuàng)了現(xiàn)代數(shù)論，而且開始了深人的算術(shù)理論研究。高斯證明了算術(shù)基本定理(大于1的任意自然數(shù)均可表成素數(shù)的乘積，如果不計次序的差別，表法是唯一的)，對算術(shù)理論的發(fā)展具有重大意義。
19世紀非歐幾里得幾何學(xué)的創(chuàng)建是數(shù)學(xué)史上的一個轉(zhuǎn)折點，人們從此開始了對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。隨著這一研究的深入，人們不無驚異地發(fā)現(xiàn)，為了證明新建立的數(shù)學(xué)理論的“正確”——首先是無矛盾性，人們不得不借助于原來已有的數(shù)學(xué)理論；不僅如此，這個過程還要一再地“回顧”，把非歐幾何的無矛盾性歸結(jié)為歐氏幾何的無矛盾性，把微積分和歐氏幾何的無矛盾性歸結(jié)為實數(shù)理論的無矛盾性，并把實數(shù)理論的無矛盾性歸結(jié)為自然數(shù)算術(shù)的無矛盾性，于是人們的數(shù)學(xué)研究劃過一個巨大的圓圈——又回到人們的數(shù)學(xué)由之出發(fā)的地方：自然數(shù)算術(shù)。人們用數(shù)學(xué)發(fā)展的各種成果重新研究了自然數(shù)算術(shù)，給出了它的公理體系(例如皮亞諾，1889年)，后來還證明了自然數(shù)算術(shù)(純數(shù)論系統(tǒng))的無矛盾性(根岑，1936；阿克曼，I糾0；竹內(nèi)外史，1955；哥德爾，1958)。這些都是現(xiàn)代稱之為“理論算術(shù)”的學(xué)科內(nèi)容。與此同時，人們還展開了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)諸方面的研究，取得許多重要的成果，例如算術(shù)系統(tǒng)的不完全性(哥德爾，1931；帕里斯等，1977)等。人們深刻地認識到，關(guān)于自然數(shù)及其性質(zhì)的研究對數(shù)學(xué)新一層次研究的起點。
對計算方法和計算工具的研究，由于計算機的發(fā)展(由機械式一電動式一機電式計算機直到電子計算機)而不斷得到深入的發(fā)展，對運算性質(zhì)及本質(zhì)的研究也成為計算機科學(xué)的不可缺少的分支?，F(xiàn)代算術(shù)為計算機的使用和發(fā)展提供了重要的理論基礎(chǔ)。
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