關(guān)鍵詞： 理論物理, 數(shù)學(xué)方程
下面是一個典型的教科書問題：你的車已經(jīng)用完了汽油，你要用多大的力才能把它加速到給定的速度？答案來自牛頓第二運動定律：
F
=ma,
其中
a
是加速度，
F
是力，
m
是質(zhì)量。這個完美、直截了當(dāng)、但也細(xì)微的定律可以描述各種運動，因此至少在理論上可以回答一個物理學(xué)家可能要問的關(guān)于世界的幾乎所有問題。
真是可以嗎？當(dāng)人們第一次開始考慮最小尺度的世界時，例如電子繞原子核旋轉(zhuǎn)，慢慢意識到事情變得非常奇怪，事實上，牛頓定律不再適用。為了描述這個微小的世界，你需要用到遲至二十世紀(jì)初才開始發(fā)展的量子力學(xué)理論。這個理論的核心方程類似于經(jīng)典力學(xué)中的牛頓第二定律，它被稱為薛定諤方程。
薛定諤方程是以歐文·薛定諤（1887-1961）的名字命名的。
波和粒子
“在經(jīng)典力學(xué)中，我們使用位置和動量來描述一個物理系統(tǒng)的狀態(tài)，”劍橋大學(xué)的理論物理學(xué)家NAZIM Bouatta解釋道。例如，假設(shè)桌面上有一些運動著的臺球，如果你知道了每個球在某個時刻
t
的位置和動量（即質(zhì)量乘以速度），那么你就知道了該系統(tǒng)在時刻
t
的一切：這里的一切指的是運動的狀態(tài)和運動得多快。我們會問：“如果我們知道一個系統(tǒng)的初始條件，即我們知道系統(tǒng)在時間
t
0的狀態(tài)，那么該系統(tǒng)的動態(tài)如何演變？牛頓第二定律可以幫助我們回答此類問題。在量子力學(xué)中，我們問了同樣的問題，但得到的答復(fù)是棘手的，因為位置和動量不再是描述系統(tǒng)的合適變量?！?/span>
問題的關(guān)鍵是，量子力學(xué)試圖描述的對象及其行為并不總是像小小的臺球那么簡單。有時，最好把它們看成是波?！鞍压庾鳛槔樱ｎD除了他關(guān)于引力的工作，也對光學(xué)有興趣，”Bouatta說?！案鶕?jù)牛頓，光由粒子所描述，但是，經(jīng)過許多科學(xué)家的工作，其中包括由詹姆斯·克拉克·麥克斯韋的理論所導(dǎo)致的認(rèn)識，人們發(fā)現(xiàn)，光確實可用波來刻畫?！?/span>
但在1905年，愛因斯坦認(rèn)識到波動學(xué)說也并不完全正確。為了解釋光電效應(yīng)，你需要把光束視為被愛因斯坦稱為光子的粒子流。光子數(shù)與光的強度成正比，每個光子的能量
E
與其頻率
f
成正比：
E
=hf.
這里
h
=6.626068×
10?34
m2kg/s是一個令人難以置信的小數(shù)，稱為普朗克常數(shù)，以物理學(xué)家馬克斯·普朗克的名字命名，他在1900年關(guān)于黑體輻射的工作中已經(jīng)猜到這個公式?！耙虼?，我們面臨這樣的情況：描述光的正確方法是它有時為波，有時為粒子，”Bouatta說。
雙縫實驗：最上面的圖表示波經(jīng)過雙縫產(chǎn)生的干擾模式，中間是你期望看到的粒子發(fā)射通過雙縫的圖，底下那幅是實際粒子例如電子發(fā)射經(jīng)過雙縫的示意圖：你得到期望的波干擾模式，但電子還是如同粒子的面貌達(dá)到。
愛因斯坦的結(jié)果可以與一個古老的努力聯(lián)系在一起，它開始于17世紀(jì)的克里斯蒂安·惠更斯而在19世紀(jì)由威廉·漢密爾頓再次探索：將光的物理原理（這是關(guān)于波的）和力學(xué)（這是關(guān)于微粒的）統(tǒng)一起來。由于光自相矛盾行為的靈感刺激，年輕的法國物理學(xué)家路易·德布羅意在探索的征途中走出了戲劇性的一步：他設(shè)想不僅光而且物質(zhì)受制于所謂的波粒二象性。物質(zhì)的微小組成部分，例如電子，有時呈現(xiàn)粒子性，有時則呈現(xiàn)波動性。
德布羅意1920年代提出的思想并不基于實驗的證據(jù)，而是由于愛因斯坦相對論所激起的理論考慮。但是實驗依據(jù)將接踵而至。1920年代后期牽涉到晶體散射粒子的實驗證實了電子的波動性。
波粒二象性的最著名演示之一是雙孔實驗。將電子（或像光子或中子那樣的其他粒子）一次一個地對著有兩個小孔的屏幕打靶。屏幕后面有另一張屏幕，它能檢測通過小孔的電子在屏幕上的位置。如果電子具有粒子行為，那么它們在小孔后面的兩條直線旁邊堆積。但檢測屏幕時人們實際看到的是干涉模式：這是電子具有波動性的圖像，每個波經(jīng)過雙孔后在屏幕另一面后傳播開時自我干涉。然而在檢測屏幕上電子如同你所期待的那樣以粒子的面貌到達(dá)。這確實是一個非常不可思議的結(jié)果，但它重復(fù)了無數(shù)次---我們必須接受世界就是這么運行的事實。
薛定諤方程
德布羅意提出的徹底新穎的圖像需要新的物理。與粒子有關(guān)的波在數(shù)學(xué)上看像什么？愛因斯坦已經(jīng)將光子的能量
E
與光的頻率
f
聯(lián)系在一起，后者又通過公式
λ
=c/f與光的波長有關(guān)，其中
c
為光速。運用相對論的結(jié)果，也可以將光子的能量與動量相聯(lián)系。將所有這些結(jié)合起來就得到光子的波長
λ
和動量
p
之間的關(guān)系
λ
=h/p,
其中
h
還是普朗克常數(shù)。
從這里繼續(xù)走下去，德布羅意假設(shè)波長和動量的同樣關(guān)系對任何粒子都成立。
這個時候我們最好不要管粒子行為（如波的說法）到底意味著什么樣的直覺性，而就跟著數(shù)學(xué)走吧。
在經(jīng)典力學(xué)里，波隨著時間的演化，例如聲波或水波，是由一個波動方程描述的。這是一個微分方程，其解是一個波函數(shù)，它給出波在任何時刻的形狀（需要滿足合適的邊界條件）。
例如，設(shè)想你有一個直線波沿著
x
-軸方向的細(xì)繩傳播開去，并在
xy
-平面內(nèi)振動。為了完全地描述波，我們需要找到細(xì)繩上任一點
x
在任一時刻
t
沿著
y
-軸方向的位移
y
(x,t)。運用牛頓運動第二定律可以證明，
y
(x,t)服從下列波動方程
其中
v
為波的速度。
在某一時刻的xy平面的線性振蕩快照，這里呈現(xiàn)的波可以用余弦函數(shù)來描述。
這個方程的通解相當(dāng)復(fù)雜，反映出細(xì)繩可具有各種方式扭動的事實，并且你需要更多的信息（初始條件和邊界條件）來精確發(fā)現(xiàn)它所作的運動。但是，作為一個例子，函數(shù)
y
(x,t)=Acosω(t?
xv
)
描繪了一個沿
x
-軸正方向移動并具有角頻率
ω
的波，因而如你可以期望到的，它是這個波動方程的一個可能解。
類似，應(yīng)當(dāng)有揭示神秘的“物質(zhì)波”隨時間演化規(guī)律的波動方程，無論它是什么。它的解應(yīng)是一個波函數(shù)（但不要把它看成是刻畫實際波的），它給出關(guān)于量子系統(tǒng)在任何時刻所知道的一切---例如單個粒子在某個空間內(nèi)的運動。正是奧地利物理學(xué)家歐文·薛定諤在1926年找到了這個方程。對于在三維空間中運動的單個粒子，該方程可以被寫成
這里，
V
是粒子的勢能（它是
x
,y,z,t的一個函數(shù)），
i
=
?1
???
√
,m是粒子的質(zhì)量，
h
是普朗克常數(shù)。這個方程的解是波函數(shù)
Ψ(x,y,z,t)
。
有時人們需要求解僅依賴于空間變量的函數(shù)
Ψ
，即在某些情形下勢函數(shù)不依賴于
t
。這時我們可以通過考慮較為簡單的與時間無關(guān)的薛定諤方程：
其中
E
為粒子的總能量。整個方程的解
Ψ
則為
這些方程適用于在三維空間中運動的一個粒子，但也有相對應(yīng)的方程描繪一個由多個粒子組成的系統(tǒng)。如果不把波函數(shù)寫成位置和時間的函數(shù)，人們也可以將它們化為動量和時間的函數(shù)。
進(jìn)入不確定性
我們可以用一些簡單的例子來看看怎樣求解薛定諤方程，并能知道方程的解的確類似于描繪波的數(shù)學(xué)方程的解。但是這個方程的解到底意味著什么？它并不給你粒子在時刻
t
的精確位置，因而它并不給你粒子隨時間而行進(jìn)的軌跡，而是一個函數(shù)，在時刻
t
給出對于所有可能位置
(x,y,z)
的一個值
Ψ(x,y,z,t)
。這個值意味著什么？1926年物理學(xué)家馬克斯·波恩給出了一個概率的解釋。他假設(shè)這個波函數(shù)的絕對值平方
給出在時刻
t
粒子位于位置
(x,y,z)
的一個概率密度。換言之，粒子在時刻
t
將在一個區(qū)域
R
中被發(fā)現(xiàn)的概率是
這個概率圖像與德布羅意關(guān)于粒子波長和動量關(guān)系公式有令人吃驚的聯(lián)系。維爾納·海森堡1927年發(fā)現(xiàn)的一個結(jié)果是：如果要測量一個運動粒子的位置和動量，人們有一個基本的精度限制。在某一方面如果想要測量的精度越高，其他方面人們能說的就越少。這并不是指測量儀器的質(zhì)量問題，而是自然界根本就具有的不確定性。這個結(jié)果現(xiàn)在稱為海森堡的不確定性原理，且是常常用來引述量子力學(xué)奇怪現(xiàn)象的幾個結(jié)果之一。它意味著在量子力學(xué)里我們談?wù)摬涣肆Ｗ拥奈恢没蜍壍馈?/span>
維爾納·海森堡，1901-1976.
“如果我們相信這個不確定性圖像，我們則必須接受所發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象的概率解釋，因為我們對t0刻粒子在哪里’這樣的問題沒有精確的答案，”Bouatta說。換句話說，所有量子狀態(tài)的數(shù)學(xué)表示及波函數(shù)所能給我們的只是一個概率。
波函數(shù)是否有任何物理解釋一直是個棘手的問題。“問題是，我們有這個波函數(shù)，但我們真的認(rèn)為有隨著空間和時間傳播的波嗎？”Bouatta說?！暗虏剂_意、薛定諤和愛因斯坦試圖想提供一個例如像光波在真空中傳播的真實闡述，但是物理學(xué)家沃爾夫?qū)づ堇?、維爾納·海森伯及尼爾斯·玻爾都反對這個真實的圖像。對他們而言，波函數(shù)只是計算概率的一個工具?！?/span>
它有效嗎？
為什么我們應(yīng)當(dāng)相信這個異想天開的設(shè)想？在該文我們已經(jīng)展現(xiàn)了薛定諤方程，好像它是從稀薄空氣中采摘而來，但是它實際上從何處而來？薛定諤怎樣得到它的？著名物理學(xué)家理查德·費恩曼把它看成是無用的問題：“我們從哪里獲得那個方程？不大可能從你所知道的地方獲得它。它來自于薛定諤的大腦。”
路易·德布羅意，1892-1987.
然而這個方程已經(jīng)經(jīng)受過到目前為止所有實驗的考驗?！八橇孔恿W(xué)最基本的方程，”Bouatta說?！八俏覀兿朊枋龅拿恳粋€量子力學(xué)系統(tǒng)的出發(fā)點：電子、光子、中子，所有的?！痹摲匠套钤绲某晒?，也是薛定諤的動因之一，在于描繪了幫助直接推動量子力學(xué)誕生的一種現(xiàn)象：氫原子的離散能量譜。根據(jù)歐內(nèi)斯特·盧瑟福的原子模型，像氫原子這樣的原子的放射線頻率應(yīng)當(dāng)連續(xù)變化，但實驗表明不是這樣的：氫原子只放射出某些頻率的射線，當(dāng)頻率變化時有跳躍。這個發(fā)現(xiàn)在常規(guī)知識面前飛走了，因為它支持了由十七世紀(jì)的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨所指定的格言：“自然不允許跳躍”。
1913年尼爾斯·玻爾給出了新的原子模型，其中電子被限制在某些能量級上。薛定諤將他的方程用于氫原子，發(fā)現(xiàn)他的解精確地重現(xiàn)了玻爾制定的能量級?！斑@是一個令人驚奇的結(jié)果---是薛定諤方程的第一個主要成就之一”Bouatta指出。
由無數(shù)的成功實驗支持，薛定諤方程已經(jīng)成為牛頓第二定律在量子力學(xué)的類似物和替代品。
作 者:Marianne Freiberger，劍橋大學(xué)主辦的“千年數(shù)學(xué)項目”之下的網(wǎng)絡(luò)雜志Plus的共同主編
翻 譯:丁玖，密執(zhí)安州立大學(xué)博士，南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)教授
校 對:湯濤，香港浸會大學(xué)數(shù)學(xué)講座教授
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