在日常生活中，利用牛頓定律我們就可以描述各種運動。但是，當物理學家想要探索微觀世界，比如電子圍繞著原子核運動，他們發(fā)現(xiàn)事情變得異常詭異，而牛頓定律也不再適用。要想要描述微觀世界就必須運用量子力學，該理論在20世紀初發(fā)展起來。而量子力學的核心方程就是薛定諤方程，它就好比是牛頓第二定律在經典力學中的位置。
也許你沒見過薛定諤方程，但是你或許聽過他那只舉世聞名的貓，因為薛定諤貓同時處于死和活的疊加態(tài)。不過今天的主要目的是要讓你們理解薛定諤方程， 因此我首先要從波和粒子開始說起。
薛定諤（1887 - 1961）。
【波與粒子】
在經典力學中，我們利用位置和動量來描述一個物理系統(tǒng)的狀態(tài)。舉個例子，在一個桌上有許多的臺球，如果你知道每個球在某個時刻 t 的位置和動量（即質量乘以速度），那么你就知道該系統(tǒng)在 t 的一切：球的位置，以及它們移動的方向和速度。因此我們可以問，如果我們知道一個系統(tǒng)的初始條件，即該系統(tǒng)在時間 t? 的狀態(tài)，那么這個系統(tǒng)的動態(tài)如何演化？利用牛頓第二定律我們就可以回答這個問題。在量子力學中，我們問同樣的問題，但是答案更加的巧妙，因為位置和動量已不再是描述該系統(tǒng)的合適變量。
愛因斯坦提出的光電效應。（? Hyperphysics）
問題的關鍵在于，發(fā)生在微觀尺度下事物的行為與桌球的行為不同。舉個例子，牛頓認為，光是由微粒構成的，但是，之后許多其它科學家的通過實驗表明光的行為像波動。但是，愛因斯坦在1905年發(fā)現(xiàn)，波動學說也并不是完全正確的。為了解釋所謂的光電效應，你需要把一束光想象成一束粒子流，愛因斯坦稱之為光子。光子的數量正比于光的強度，每個光子的能量 E 與它的頻率 f 成正比：
普朗克常數 h = 6.626068×10?3?m2kg/s，這個非常小的數字是由普朗克在1900年對黑體輻射研究時提出來的。現(xiàn)在我們面對的問題是有時光的行為像粒子，而有時它的性質像波。
愛因斯坦的研究結果將過去兩個重要的領域連接了起來：他統(tǒng)一了光學（這是關于波的）和力學（這是關于粒子的）。德布羅意受到光的這種自相矛盾的行為的啟發(fā)，在這個探索的過程中更進一步。他提出不僅僅是光，所有的物質都應該擁有所謂的“波粒二象性”。比如電子有時表現(xiàn)的像粒子，有時則像波。
對波粒二象性最著名的實驗描述是雙縫實驗。考慮電子（或其它粒子，比如光子或中子）在下圖所示的實驗裝置中表現(xiàn)的行為。首先將電子朝一面有雙縫的屏幕連續(xù)發(fā)射，在屏幕后是另外一面可以探測電子的屏幕。如果電子具有粒子的行為，那么它們會在雙縫后面的兩條直線旁邊堆積（下圖中間）。但實際上，你觀測到的是干涉圖案！而只有當電子是波的時候才會產生干涉，波經過雙縫后在屏幕另一面后傳播開時自我干涉?？偨Y來說，電子作為粒子總是以完整顆粒的形式到達，這些顆粒到達的概率分布則像波的強度的分布。正是從這個意義來說，電子的行為“有時像粒子，有時像波”。
雙縫實驗：上圖表示波經過雙縫產生的干涉圖案，中間是你期望看到的粒子通過雙縫的圖，底下則是電子穿過雙縫產生的干涉圖案，但電子還是以完整顆粒的形式到達探測屏幕。
注：關于波粒二象性的詳細討論有興趣的讀者可閱讀《費恩曼物理學講義》的第三卷的前兩章。
【薛定諤方程】
德布羅意提出來的新圖景需要新的物理。那么在數學上，我們要怎么描述波粒二象性？我們已經知道光子的能量與頻率有關，而頻率與波長的關系為 λ=c/f 。這里c是光速。利用相對論的結果，我們可以把光子的能量和動量聯(lián)系起來。最后可以得出
該方程聯(lián)系了光子的波長 λ 和動量 p。我們要知道量子力學的其中一個結果就是沒有任何物體會完全保持靜止，因此 p 永遠不會等于零。我們也知道 h 的值太小了，以至于通常我們根本觀察不到宏觀物體的波動性。（之所以用“通?！笔且驗樵谀承┣闆r下量子效應在宏觀尺度也可以被觀察到，比如玻色-愛因斯坦凝聚）。
德布羅意假設任何粒子的波長和動量都應該服從上述的波長和動量之間的關系。
現(xiàn)在，我要你們先不要考慮粒子表現(xiàn)的像波究竟是什么意思，而把注意力放在數學上。
在經典力學中，波隨著時間演化，例如水波或聲波，是由波動方程描述的。波動方程是一個偏微分方程，其解是一個波函數，它給出波在任意時間的形狀（需要滿足合適的邊界條件）。
在某一時刻，弦在xy平面上下運動，這里呈現(xiàn)的波可以用余弦函數來描述。
舉個例子，如果你把一根拉緊的弦上下抖動，就會在弦上形成一個簡單的波。為了完全地描述波，你需要知道弦在時間 t，位置 x 上沿著 y 軸方向的位移 y(x,t)。運用牛頓的運動第二定律，我們可以推導出 y(x,t) 服從以下的波動方程：
v 是波的速度。
這個方程的一般解 y(x,t) 相當復雜，因為繩子可以以各種方式扭動，而需要更多的信息（初始條件和邊界條件）才能正確的找出它所作的運動。但是，作為一個例子，函數
描述的是一個沿著x軸正方向移動并具有角頻率ω的波。你可以把該解帶入波動方程來驗證。
同樣的，應該也存在一個描述德布羅意的“物質波”隨時間演化的波動方程。無論方程是什么，它的解應該是一個波函數，它告訴我們關于量子系統(tǒng)在任意時刻的一切，例如單個粒子在一個盒子內的運動。該方程是由薛定諤在1926年提出來的。對于一個在三維空間中運動的單個粒子，薛定諤方程為：
V是粒子的勢能（它是 x,y,z,t 的一個函數），i是虛數，m是粒子的質量，h是普朗克常數。該方程的解為波函數 Ψ(x,y,z,t) 。
在某些情況，勢函數不依賴于時間 t ，也就是說函數 Ψ 的值僅依賴于空間 Ψ =Ψ(x,y,z)，因此薛定諤方程簡化為
E是粒子的總能量。整個方程的解為：
這些方程適用于在三維空間中運動的一個粒子，但也有相對應的方程描繪一個由多個粒子組成的系統(tǒng)。
【進入不確定性】
我們已經看過薛定諤方程以及它的解了，但方程的解的真正含義是什么？在給定時間 t，它沒有給出粒子的位置，所以它并沒有給出粒子隨時間的運動軌跡。其實它是一個函數，在時刻 t 給出對于所有可能位置（x,y,z）的一個值 Ψ(x,y,z,t)。我們該如何詮釋這個波函數？1926年波恩給出了一個概率的解釋。他假設這個波函數的絕對值平方
給出在時刻 t，粒子在位置（x,y,z）的一個概率密度。換句話說，粒子在時刻 t 將在一個區(qū)域 R 中被發(fā)現(xiàn)的概率是
1927年，海森堡發(fā)現(xiàn)這個概率圖像與德布羅意關于粒子的波長和動量公式有著令人驚奇的聯(lián)系。海森堡發(fā)現(xiàn)對一個粒子的位置和動量的測量有著一個根本的限制，我們無法同時精確測量一個運動粒子的位置和動量。一旦位置知道的越精確，關于動量的信息就越不精確，反之亦然。這并不是指測量儀器的質量問題，而是自然界的根本不確定性。這個結果就是所謂的不確定性原理，是量子力學令人抓狂的幾個結論之一。這意味著在量子力學中，我們無法談論粒子的位置或軌跡。
如果我們相信這個不確定性圖像，我們則必須接受所發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象的概率解釋，因為我們對“電子在時刻 t 在哪里”這樣的問題沒有精確的答案。換句話說，所有量子狀態(tài)的數學表示及波函數所能給我們的只是一個概率。
波函數是否有任何物理解釋在過去及現(xiàn)在仍然是個棘手的問題。問題是，我們有這個波函數，但我們真的認為有隨著空間和時間傳播的波嗎？ 德布羅意、薛定諤和愛因斯坦試圖提供一個例如像光波在真空中傳播的真實闡述，但是泡利、海森伯及玻爾都反對這個真實的圖像。對他們而言，波函數只是計算概率的一個工具。
我們之所以相信薛定諤方程是對的，是因為到目前為止它通過了所有實驗的考驗。它是量子力學的基本方程，它是我們想描述的每一個量子力學系統(tǒng)的出發(fā)點。薛定諤方程最早的成功在于它描繪了氫原子的離散能量譜。在玻爾的原子模型中，電子被限制在某些能量級上，薛定諤將他的方程用于氫原子，發(fā)現(xiàn)他的解精確的重現(xiàn)了玻爾的能量級。
正是基于薛定諤方程的建立，之后才有了關于量子力學的詮釋，波函數坍縮，量子糾纏，多重世界等等的激烈討論。
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