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數(shù)學為什么這么有用？因為數(shù)學具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，但這同樣是很多人覺得數(shù)學難學的原因。

數(shù)學的學習從初中開始從直觀經(jīng)驗向抽象的邏輯思辨過渡。特別是平面幾何，更是演繹證明的經(jīng)典。不像計算題有常用的公式和算法，幾何題解法多種多樣，初學者往往不知道從何入手。

作為小縣城刷題家，雖然我

但當年刷題形成的數(shù)學思維解題方法還在，今天借一道簡單的幾何題來講講解題的經(jīng)驗。

先貼兩個精彩的解答，來自微博上寶刀不老的老張老了真的來了和一個父親和他的兒子。

“看懂”只是代表你跟著解答確認了一遍有關的定理和推論，對于這道題而言，看懂毫無難度。

解題切忌直接看答案，一定要先自己充分思考進行探索，看完答案反思下添加輔助線的邏輯。

比如老張的解答，可能是觀察到外角∠EAB=45°，那么圍繞這個45°構造等腰直角三角形，就很容易發(fā)現(xiàn)這條輔助線。另一個解答出發(fā)點相同，但是通過計算邊長發(fā)現(xiàn)相似三角形進而解決了問題。

平時的作業(yè)和課后習題大部分是專項練習，比如學完“直角三角形斜邊中線長定理”后看到這道習題，你會注意到“D是BC中點”，再圍繞BC為斜邊去觀察，自然會選30°去構造直角三角形。和老張的解法出發(fā)點不同，但證明過程大同小異。

專項練習你有解題的方向，難度比較低，目的是為了熟練掌握單個知識點，以后解題從條件結論發(fā)現(xiàn)特征點時可以準確提取出這個知識點的記憶。

而考試和綜合練習融合了多個知識點，就像破案，要仔細勘察現(xiàn)場（認真審題），根據(jù)線索開始排查嫌疑人（從某個特征想到思路探索是否可行），不斷排除嫌疑人，發(fā)現(xiàn)新線索，最終找到真兇（通過不斷探索最終解決問題）。

每個人對幾何圖形的感知，思考問題的角度都不同，解題也會從不同的路出發(fā)，只是有些路好走，有些路難走，有些路根本不通。找到便捷的路，有一些直覺和運氣的成分，更多的是來自平時的經(jīng)驗和積累。

下面跟著我來體會如何從不同的思路出發(fā)，嘗試把條件和結論都聯(lián)系起來。

看到中線，你會想到什么？很多人馬上會想到倍長中線。倍長中線的目的是什么？實質(zhì)就是構造了一個平行四邊形，把邊角關系轉(zhuǎn)移，與其他條件產(chǎn)生聯(lián)系。那就來嘗試一下，把構造的關系標上去，更有利后續(xù)的觀察。

觀察到∠ABE=45°，如何圍繞這個45°構造等腰直角三角形？想不明白就動手試一試，也許找到了突破口，比如過C點作垂線。

畫完再觀察，有45°角的RtΔBFG?FB=FG；而倍長中線構造了平行四邊形，易看出ΔACG也是等腰直角三角形?GC=AC=BE；那么就有EF=CF。要求∠BAD，可以先求外角∠FED，還有什么條件沒用上？還有ΔBCF是有30°角的直角三角形，那么就容易想到連接DF，既有EF=CF=DF，等腰對等角，∠FED就求出來了。

思路通了，然后按邏輯的順序?qū)懗鲎C明即可。其實再想想，如果連EC就是把前一個解法鏡像了一下。

剛才是過C點作垂線，如果過A點會怎么樣？畫出來試一試。

觀察到有等腰直角ΔABF，有30°角的直角ΔBFG和ΔACG，明顯邊長之間有聯(lián)系，那就算一算。比如設FG=1（證明時設a），就有BG=2，BF=AF=√3，AG=√3-1，GC=2√3-2，BC=BG+GC=2√3，BD=√3

①BD:AB=AB:BC，ΔBAD∽ΔBCA，思路可行

②FD是RtΔAEF斜邊中線，BD=BF，易得外角∠BDE=45°，思路可行

③做AH⊥BC垂足為H，易算出AH=DH，外角∠ADC=45°，同樣可行

注意到30°是15°的2倍，那么作角平分線的思路也可以嘗試一下

顯然ΔBCE等腰，D為中點，三線合一，條件聯(lián)系起來了，很有希望。還有角平分線怎么用？模型有幾種，但是本質(zhì)都是以角平分線為對稱軸構造全等，先試試A點，

作AF⊥EC交BC于F，易知ΔAEC≌ΔFEC，∠FEC=∠AEC=30°，AE=EF?ΔAEF是等邊三角形，∠EFD=45°?ΔDEF是等腰直角三角形?DE=EF，ΔAED≌ΔAFD?∠BAD=∠FAD=30°

再試試D點

易知ΔCEG≌ΔCED，ΔEFD和ΔCFG是有30°角的直角三角形，ΔAEG是等腰直角三角形，這條路比較麻煩，但還是能通過特殊三角形的三邊關系算出來，設FD=1，則EF=2，DE=EG=GA=√3，F(xiàn)G=2+√3，CG=3+2√3，AC=3+√3，AH=(3+√3)/2，CH=(3+3√3)/2，DH=(3+√3)/2=AH，∠ADH=45°

剛剛是把30°拆成2個15°，那么反過來2個15°也能湊出30°，先類似之前的等腰三角形三線合一把D為中點用上。

為了利用角平分線，觀察E關于AB鏡像點F，發(fā)現(xiàn)∠EAF=90°，證明時可作AF⊥AC再推出AE=AF，設FG=1，則AE=AF=2，AG=√3，AC=2√3，GC=3，CE=2+2√3，CD=3+√3，DG=√3=AG，∠ADG=45°，可行

再試試作AF⊥BE，AG⊥BC，用另一種方式利用角平分線。

∠AEF=60°，設AG=AF=1，則AC=2，GC=√3，EF=1/√3，AE=2/√3，CD=1+√3，DG=1=AG，∠ADG=45°，同樣可行

之前2個15°湊30°是折上去構造角平分線的思路，還可以構造等腰三角形，外角也是30°，是不是能和條件里的30°聯(lián)系起來呢？

圖一畫出就很明顯了，ΔABF和ΔAFC都是等腰三角形，證明時可以如圖作AE⊥BC，再作EF=EC，設AE=1，BF=AF=AC=2，CE=EF=√3，BC=2+2√3，CD=1+√3，DE=1=AE，∠ADE=45°，∠BAD=30°

講了再多也就是點啟發(fā)的作用，要把解題方法吸收必須通過自己刷題，并且要帶上腦子刷。

刷題不是搞題海戰(zhàn)術，簡單的題刷透，難的題多堅持，嘗試一題多解，把知識點聯(lián)系起來，總結出自己的解題方法，多解歸一。

數(shù)學是思維的體操，讓我們一起感受思考的樂趣