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《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的若干思考

史寧中

（東北師范大學(xué) 　長春 　130024）

　　編者按　史寧中教授是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家。 自 1998 年擔(dān)任東北師范大學(xué)校長后，他對中小學(xué)教育做過深入的思考，并于 2005 年開始主持教育部《九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的修訂工作。 史校長將學(xué)校的主要培養(yǎng)目標(biāo)定位于教師的職前教育，主張數(shù)學(xué)教師的培養(yǎng)要注重專業(yè)課的學(xué)習(xí)，將教育理念滲透到課程當(dāng)中。目前東北師大數(shù)學(xué)系的畢業(yè)生遍布于全國各地的中學(xué)，包括各大城市的許多重點中學(xué)，這件事情成為他的驕傲。本文根據(jù)史校長 4 月 14 日在寧波數(shù)學(xué)教育高級研修班上的報告記錄和 4 月 26 日訪問北京師范大學(xué)的座談記錄整理而成。

　　1、制定《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的目的

　　為什么要制定課程標(biāo)準(zhǔn)呢？為什么要進(jìn)行如此大規(guī)模的課程與教學(xué)改革呢？有的人說是要解決應(yīng)試教育的問題，有人說要減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)， 還有人說要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣等等， 有各種各樣的理由。 但是我想這些都不是根本。教育的好壞取決于兩條：第一，是不是有利于學(xué)生的發(fā)展；第二，是不是有利于國家的發(fā)展。 如果教育既有利于學(xué)生的發(fā)展又有利于國家的發(fā)展，即便辛苦一點也沒什么了不起的。

　　我之所以說這些，是因為在討論問題時應(yīng)當(dāng)遵循一個原則，也就是在考慮任何問題時應(yīng)該有個很好的出發(fā)點，這個出發(fā)點應(yīng)當(dāng)是大家公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)。

　　關(guān)于學(xué)生發(fā)展的需要我不想談的更多，過去的教育是一種專業(yè)人才的培養(yǎng)，專業(yè)人才的培養(yǎng)適應(yīng)于計劃經(jīng)濟(jì)。但是對市場經(jīng)濟(jì)來說，學(xué)生畢業(yè)之后的工作、求職往往是會變化的， 而且要更多地尊重本人專業(yè)的志向，因此要采用自主發(fā)展的人才培養(yǎng)模式。

　　第二就是國家發(fā)展的需要。現(xiàn)在國家最需要的是創(chuàng)新人才，為什么呢 ？因為中國的經(jīng)濟(jì)已經(jīng)得到了快速的發(fā)展，要保持這個速度發(fā)展， 創(chuàng)新是很重要的。 新的思想、新的工藝、新的技術(shù)很重要，所以創(chuàng)新人才的培養(yǎng)是國家重要的發(fā)展戰(zhàn)略。

　　創(chuàng)新人才應(yīng)該在基礎(chǔ)教育階段開始培養(yǎng)，這個想法已經(jīng)被國家采用了。過去大家誤認(rèn)為創(chuàng)新型人才都是在大學(xué)或者是工作之后才培養(yǎng)的， 其實不然。 為什么呢 ？創(chuàng)新最起碼依賴于三個條件，創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力和創(chuàng)新機遇。 事實上創(chuàng)新意識、甚至創(chuàng)新能力都是在基礎(chǔ)教育階段培養(yǎng)。一個在18 歲之前一個問題都沒有認(rèn)真思考過的孩子是不可能成為創(chuàng)新型人才的。 所以在基礎(chǔ)教育階段應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，這是我們研制課程標(biāo)準(zhǔn)和未來教學(xué)的最基本的出發(fā)點。

　　2 、創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)

　　創(chuàng)新能力依賴于三方面：知識的掌握、思維的訓(xùn)練、經(jīng)驗的積累，三方面同等重要。關(guān)于“知識的掌握”，我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育是沒有問題的；關(guān)于“經(jīng)驗的積累”， 大概還差得很多； 關(guān)于“思維的訓(xùn)練”，我們做得也不夠，只能打五十分。 那么為了創(chuàng)新型國家的建立我們現(xiàn)在的教育只做了一半的工作。 我們沒有更多地在基礎(chǔ)教育階段教孩子如何去創(chuàng)新，幫他們從小的事情、小的發(fā)現(xiàn)開始積累經(jīng)驗，沒有這樣的意識。

　　我今天主要談一談思維訓(xùn)練。思維訓(xùn)練主要靠兩個能力，一個是演繹能力，一個是歸納能力。 愛因斯坦說過：“西方科學(xué)的發(fā)展是以兩個偉大成就為基礎(chǔ)，希臘哲學(xué)家發(fā)明的形式邏輯體系（在歐幾里德幾何中），以及通過系統(tǒng)的實驗發(fā)現(xiàn)有可能找出因果關(guān)系 （在文藝復(fù)興時代， 特別是工業(yè)革命以后） .”前者指的是演繹能力，后者指的是歸納的能力。

　　3、我國教育的現(xiàn)狀

　　回憶我們的數(shù)學(xué)教育，特別是50 年代的數(shù)學(xué)教育，我們強調(diào)數(shù)學(xué)的雙基。 雙基主要是基礎(chǔ)知識和基本技能。 基礎(chǔ)知識本質(zhì)上是概念的記憶和命題的理解，要求基礎(chǔ)知識扎實；還要求基本技能，主要是證明的技能和運算的技能；要求熟練。這是我們當(dāng)時整個教育的狀況，也就是說我國的數(shù)學(xué)教育主要關(guān)注的是演繹能力的培養(yǎng)。 關(guān)于這一點， 楊振寧先生深有體會。 他在《我的生平》中說“：我很有幸能夠在兩個具有不同文化背景的國度里學(xué)習(xí)和工作，我在中國學(xué)到了演繹能力，在美國學(xué)到了歸納能力。”不僅僅是楊振寧先生， 許多留學(xué)生都有同感，不管他們是否作出了卓越的成績， 他們的感受是一樣的。 事實上，我國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是歸納推理，因為在古代中國根本就沒有演繹推理，一直是歸納、計算。 但是現(xiàn)在歸納少了，演繹反而多了。 演繹從康熙時代翻譯《幾何原本》開始到現(xiàn)在也不過幾百年歷史，但是現(xiàn)在卻占了主導(dǎo)。 為什么會出現(xiàn)這種情況 ？我想大概演繹和中國上千年的科舉考試關(guān)系密切。因為科舉要求的是基本功扎實， 知識記憶的牢靠和八股文的寫作。 演繹方法與此有相似之處。

　　現(xiàn)在，很多中學(xué)提出來，數(shù)學(xué)問題應(yīng)該“一看就會、一做就對”。 怎么能這樣呢 ？不經(jīng)過思考的不是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)不是技能訓(xùn)練。一定程度的熟練是必要的，但是過分強調(diào)就走向反面。 所以我這次跟教育部很認(rèn)真地提出來，要不然增加考試時間， 要不然減少考試題目。 只要學(xué)生經(jīng)過思考能夠答出就是好樣的。

　　演繹能力是能夠熟練使用演繹推理的能力。演繹推理來源于什么呢 ？來源于亞里士多德。 當(dāng)時的古希臘非常盛行辯論， 在辯論過程中， 亞里士多德發(fā)現(xiàn)兩個事情需要清楚， 第一， 大家討論問題得有一個脫離邏輯背景的公認(rèn)前提；第二，在討論過程中必須有一個大家都認(rèn)為可行的推理的辦法，然后再來推理。 亞里士多德對這個進(jìn)行了總結(jié)， 并將其寫入《工具論》這本書里。 他提出了著名的三段論，即大前提、小前提和結(jié)論。這個方面他有一個非常重要的推理的模式，這個模式之一就是：

　　凡人都會死，蘇格拉底是人，蘇格拉底會死。

　　凡人都會死是大前提，蘇格拉底是人是小前提，蘇格拉底會死是結(jié)論。 這是一種標(biāo)準(zhǔn)的三段論模式。 這是一種前提和結(jié)論之間有必然性聯(lián)系的推理，是基于概念、按照規(guī)則進(jìn)行的一種推理，是由一般到特殊的推理。歐幾里德把這個思想成功地用到了幾何學(xué)的研究上， 創(chuàng)立了幾何公理化體系， 即歐氏幾何。

　　歐幾里德幾何是現(xiàn)代數(shù)學(xué)推理的典范，甚至是開源。它的演繹推理是基于公理、定義和符號的，按照規(guī)定的法則進(jìn)行命題的證明或者公式的推導(dǎo)。 從這個意義上來說，計算也是一種演繹的推理， 因為計算也是對符號在規(guī)定的法則下進(jìn)行的一種推理。其基本推理模式是這樣的：已知 A 求證B ，A 和B 都是確定的命題，是由確定的命題到確定的命題的一種推理。 我們往往認(rèn)為幾何證明是數(shù)學(xué)的本質(zhì)， 這是不正確的。克萊因說，推理本身是個工具。邏輯可以是數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)和約定，但不是它的本質(zhì)。演繹推理的主要功能在于驗證結(jié)論而不在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論，由一般到特殊的推理本質(zhì)上在于驗證結(jié)論。

　　前些年我寫了篇文章，提出個問題：數(shù)學(xué)到底是發(fā)明的還是發(fā)現(xiàn)的 ？事實上，在一個體系之下作出任何結(jié)果都是顯然的。 為什么呢 ？因為這個結(jié)果在體系中必然存在的，只是你發(fā)現(xiàn)它而已。所以體系建立有好處也有壞處。它的好處在于講課可以很規(guī)范，壞處在于任何東西都是顯然的。所以忙于建立一個體系不是什么好的事情。

4、還缺少什么

　　那么我們還缺少什么呢？缺少的是根據(jù)情況預(yù)測結(jié)果的能力和根據(jù)結(jié)果探究成因的能力。 這兩個能力很重要，是創(chuàng)新的基礎(chǔ)。 前者有利于創(chuàng)造新產(chǎn)品，形成新工藝；后者有利于發(fā)現(xiàn)新理論。

　　拉普拉斯說，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比。龐加萊說，數(shù)學(xué)推理的性質(zhì)是什么 ？真是我們通常所認(rèn)為的演繹嗎 ？歸納能力是能夠熟練使用歸納推理的能力。 現(xiàn)代歸納推理來源于培根，他在《新工具論》中談到，就“幫助人們尋求真理”而言，三段論的“壞作用多于好作用”。 黑格爾也有類似的說法。數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是關(guān)系（各種關(guān)系） ，最難研究的是因果關(guān)系。 數(shù)學(xué)這些年來最核心的研究也是因果關(guān)系，因果關(guān)系幾乎無法用式子表達(dá)，但可以研究其內(nèi)涵。休謨利用歸納和類比思想研究了因果關(guān)系，雖沒完全搞清楚因果關(guān)系， 但是對因果關(guān)系研究做出了很大的貢獻(xiàn)，而這已經(jīng)成為現(xiàn)代科學(xué)的動力。 穆爾在他的著作《論自由》中認(rèn)真地總結(jié)了歸納推理。歸納推理十分龐雜， 就方法而言， 包括枚舉法、歸納法、類比法、統(tǒng)計推斷、因果分析，以及觀察實驗、比較分類、綜合分析。 與演繹推理相反，歸納推理是一種從特殊到一般的推理。穆爾說過“，這句話不是很確實的，歸納推理是一種從特殊到范圍更廣的推理。”歸納推理主要包括兩種方法，歸納法和類比法。借助歸納推理可以幫助學(xué)生培養(yǎng)預(yù)測結(jié)果和探究的能力，這是演繹推理不可比擬的， 因此從方法、思維角度來說，過去雙基教育缺少了對歸納能力的培養(yǎng)，對學(xué)生未來走向社會不利，對培養(yǎng)創(chuàng)新人才不利。

　　5 、如何培養(yǎng)歸納能力

　　現(xiàn)在的教育本質(zhì)上是知識的教育，考察的是該教的內(nèi)容是否教了，教了的知識學(xué)生是否掌握了。這樣的教育是不夠的。我們必須知道教育應(yīng)該是以人為本的教育，要考慮學(xué)生的全面發(fā)展。 不僅考慮學(xué)生知識的掌握，還要考慮身心的發(fā)展， 要考慮能力、思維的教育。 所以新課標(biāo)提出的三維目標(biāo)很重要，除了知識能力的考察外，還要考察過程的目標(biāo)、情感態(tài)度的目標(biāo)。

　　演繹推理表現(xiàn)為一種知識，歸納推理則表現(xiàn)為一種智慧。知識和智慧有什么不同呢 ？我在一篇文章① 中談到，“知識在本質(zhì)上是一種結(jié)果，可能是經(jīng)驗的結(jié)果，也可能是思考的結(jié)果。”單純追求知識的教育是一種結(jié)果的教育，這種教育要走在時代的前面是不可能的。“智慧并不表現(xiàn)在經(jīng)驗的結(jié)果上，也不表現(xiàn)在思考的結(jié)果上，而表現(xiàn)在經(jīng)驗的過程，表現(xiàn)在思考的過程中。”“智慧表現(xiàn)于對問題的處理，對危難的應(yīng)付， 對實質(zhì)的思考以及實驗的技巧等等。”歸納能力是建立在實踐的基礎(chǔ)上的，更多地依賴于過程，依賴于經(jīng)驗的積累。

　　要培養(yǎng)一個人的創(chuàng)新能力，必須注重過程，啟發(fā)思考，總結(jié)經(jīng)驗，教會反思。“過程的教育”不是指在授課時要講解、或者讓學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程，甚至不是指知識的呈現(xiàn)方式。而是學(xué)生探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預(yù)測的過程、推理的過程、反思的過程等等。 討論知識產(chǎn)生的過程是必要的，但是不可能把知識產(chǎn)生過程都重復(fù)一遍，因此，重要的是加深對問題本身的理解，并且能夠抓住問題的本質(zhì)，啟發(fā)新的思考。 比如函數(shù)，現(xiàn)在函數(shù)的定義非常好，但是當(dāng)初并不是這樣定義的。 當(dāng)初“function”是萊布尼茲給出的，他當(dāng)時定義的只是圖形與數(shù)量的對應(yīng)。 雖然他的定義是有問題的，但是他抓住了函數(shù)最本質(zhì)的東西。 雖然以后定義改的非常好了，本質(zhì)卻看不見了。 一個學(xué)者或發(fā)明家得到的最后結(jié)論可能是非常完美，但頭腦中思考的是非常簡潔的東西。我在教研究生時，總是讓學(xué)生先讀懂華麗文章的背后思考的東西是什么、思考的主線是什么、思考的核心是什么， 這個讀出來才能發(fā)明創(chuàng)造， 把根本的東西吃透了才能得到新的東西?，F(xiàn)在，數(shù)學(xué)課堂上討論的很熱鬧，討論時是一鍋粥，討論完了還是一鍋粥。 為什么呢 ？老師必須幫學(xué)生總結(jié)，不是總結(jié)結(jié)論對還是錯， 而是討論過程中孩子的思考對還是不對，思考的是符合常理還是不符合常理。老師幫助孩子反思總結(jié)，積累經(jīng)驗，這是我們的目的。 我們必須清楚，世界有很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷，比如智慧。 智慧并不完全依賴知識的多少，而依賴知識的運用、依賴經(jīng)驗，你只能讓學(xué)生在實際操作中磨練，自己去感悟，去積累去反思。

　　下面我舉例說明。

　　先講分類。分類是很重要的。 可以給小學(xué)三年級以下的學(xué)生出這樣的題目：自己選擇某一個標(biāo)準(zhǔn)將全班同學(xué)分成兩類，并與同學(xué)交流分類的標(biāo)準(zhǔn)和分類的結(jié)果。 分類有個基本的原則，能把類分出來，分類之后得到的結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)符合就行，無所謂對錯。 分類在數(shù)學(xué)中是很重要的， 一個好的分類必須抓住事物的本質(zhì)特征。 對于這樣的問題，答案是無所謂對錯的，只要分類的結(jié)果與分類的標(biāo)準(zhǔn)一致就可以。 這種問題可以讓學(xué)生體會到，標(biāo)準(zhǔn)是可以自己定的，這種思維是創(chuàng)新的根本。 如果所有的發(fā)明創(chuàng)造都是在別人的標(biāo)準(zhǔn)下的發(fā)明創(chuàng)造，這是要吃虧的，我們要突破這些。 所以從小要教給孩子們：數(shù)據(jù)可以自己獲取，標(biāo)準(zhǔn)可以自己定，結(jié)論也可以自己給。

　　下面是北大附中張思明老師給出的例子：

　　如圖所示，桌子上散落著各式各樣的扣子， 請同學(xué)們想一想能把這些扣子分成幾類 ？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

這個問題難一些，可以按照扣子的顏色分類，也可以按照扣子的眼數(shù)或形狀分類， 讓孩子們來分。不管開始是怎么分的，這樣分下去，分到一定程度后，結(jié)果是一樣的。 讓學(xué)生知道，可以從不同角度思考問題，這都是歸納。分類基本思想：從一個大前提出發(fā)分出兩類，再細(xì)分，標(biāo)準(zhǔn)逐漸加細(xì)，但最后結(jié)果一樣。

　　到了初中階段，問題就可以更復(fù)雜了：

　　某電視臺希望了解本地區(qū)居民喜歡的電視節(jié)目的類型，請同學(xué)幫助設(shè)計一個調(diào)查方案。

　　這個問題就十分復(fù)雜了，不同年齡段的人喜歡的節(jié)目不同，光知道這個還不行，還得知道不同年齡段的人數(shù)占總?cè)丝诘谋壤?；涉及到不同文化背景及其所占比例?涉及到不同類型的人看電視的時間；涉及到需要調(diào)查的人數(shù)等等。 在做這個調(diào)查之前要把方案設(shè)計得很周密，分類分得很仔細(xì)，把這個特性抓住。 但是，這個問題的核心還是在于標(biāo)準(zhǔn)和結(jié)果的關(guān)系。 學(xué)生通過類似這樣的貫穿始終的訓(xùn)練，是能夠逐漸領(lǐng)悟歸納的思想的。

　　下面說歸納。歸納這種思想方法與分類有關(guān)，歸納的基本思路是：在一類事物中，如果我們考察的所有事物都有性質(zhì) A ，則認(rèn)為這類事物都具有性質(zhì) A.

　　歸納思想在代數(shù)的研究中體現(xiàn)得非常多。比如高斯曾說，在數(shù)論中由于意外的幸運頗為經(jīng)常，所以用歸納法可萌發(fā)出極漂亮的新的真理。 歐拉則認(rèn)為，今天人們所知道的數(shù)的性質(zhì)， 幾乎都是由觀察所發(fā)現(xiàn)的 ……這類知識是通常所說的用歸納所獲得的。 包括哥德巴赫猜想、費爾馬大定理。 下面舉一個代數(shù)的例子：

　　在一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16 個，如果椅子腿與凳子腿加起來共有60 個，有幾個椅子和幾個凳子？

　　這是“雞兔同籠”的問題的變形， 但是椅子和凳子相差一條腿，問題相對簡單了一些。老師在教的時候要靈活一些， 不要顯得太聰明，要讓學(xué)生思考。 對于低年級學(xué)生，可以讓學(xué)生列表嘗試：