新課改以來，小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式有了很大的改變，學(xué)生的基礎(chǔ)性學(xué)力(基礎(chǔ)知識和基本技能)有了較大提升。但是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)許多小學(xué)生缺乏獨(dú)立觀察思考和分析判斷能力，問題解決能力普遍不強(qiáng)，創(chuàng)新思考的意識淡薄，存在“學(xué)不透”的事實(shí)，究其原因就是學(xué)生發(fā)展性學(xué)力低下所造成[1]。所謂發(fā)展性學(xué)力，在小學(xué)階段主要指學(xué)生對于知識規(guī)律的分析表征能力、想象能力、推理能力以及解決問題時表現(xiàn)出來的創(chuàng)新思考能力等，是“知識和技能”背后的“學(xué)習(xí)方法、思維方式、情感態(tài)度和價值觀”，它和基礎(chǔ)性學(xué)力共同支撐學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要想讓學(xué)生走得“既快又遠(yuǎn)”，就應(yīng)該重視發(fā)展性學(xué)力的培養(yǎng)和提升。
所謂數(shù)學(xué)分析表征能力主要是指學(xué)生透過數(shù)學(xué)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、結(jié)構(gòu)關(guān)系的能力水平，它是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心能力之一。小學(xué)階段學(xué)生的思維特點(diǎn)主要以形象思維為主，逐漸向邏輯思維發(fā)展，因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們應(yīng)該遵循這一規(guī)律，逐步培養(yǎng)和提升學(xué)生的分析表征能力。
項(xiàng)目建設(shè)范圍內(nèi)主要為荒地、房屋、魚塘和山地，地面標(biāo)高為29.95～12.56m（黃海高程、下同），地勢起伏較大，呈北高南低的趨勢。沿線無任何市政管線，雨污水處于散排狀態(tài)，通過地面徑流就近排入附近魚塘、洼地，造成污染。
就以觀賞石的分類而論，古典觀賞石的分類因受制于科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力條件的約束，就只有靈壁石、太湖石、昆石、英石四大類型為正宗，延續(xù)了上千年。
小學(xué)階段的教材中很多學(xué)習(xí)材料都以主題圖的方式呈現(xiàn)，通過直觀形象的情景圖，讓學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)圖中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，找到知識之間存在的結(jié)構(gòu)關(guān)系，進(jìn)而提出數(shù)學(xué)問題并且嘗試解決。這個過程中，圖式表征不僅能夠把直觀形象的數(shù)學(xué)信息串聯(lián)起來，而且讓學(xué)生在觀察分析中初步體會知識之間存在的邏輯關(guān)系，有助于學(xué)生初步形成分析表征的意識和能力。如：蘇教版一年級下冊“兩位數(shù)加一位數(shù)(不進(jìn)位)”教學(xué)中，出示主題圖(如圖1所示)后，先讓學(xué)生觀察交流圖中的數(shù)學(xué)信息(摘下23個，樹上還剩5個)，根據(jù)數(shù)學(xué)信息提出問題“樹上原來有多少個桃子？”讓學(xué)生根據(jù)加法的意義(兩個數(shù)合并成一個數(shù))嘗試列式計(jì)算。雖然這個過程看似簡單，但對于一年級的小學(xué)生來說，最重要的意義是經(jīng)歷了加法意義的一次系統(tǒng)圖式表征，就是對數(shù)學(xué)信息(摘下23個，還剩5個)的準(zhǔn)確判斷和連續(xù)分析后，選擇用加法列式計(jì)算，讓學(xué)生邁出了合情推理的第一步。
圖1
隨著級段的升高，小學(xué)數(shù)學(xué)教材符號化的特征越來越明顯，主要有這樣幾種形式：一是不完全符號，如概念、數(shù)量關(guān)系、公理等；二是完全符號，如數(shù)、字母、公式、方程等。在實(shí)際教學(xué)中，符號化的學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)以后，要引導(dǎo)學(xué)生用自己的思維準(zhǔn)確地分析材料中已知和未知之間的數(shù)量關(guān)系，調(diào)動與之有聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗(yàn)，快速地提取、抽象、表達(dá)，嘗試解決問題。這一過程中，符號表征更多體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷不完全的建模過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維[2]。如：蘇教版五年級上冊“釘子板上的多邊形”一課，教材先呈現(xiàn)這樣一個主題學(xué)習(xí)材料(如圖2)，引導(dǎo)學(xué)生探索多邊形內(nèi)只有1枚釘子的面積計(jì)算規(guī)律，這是特殊的、也是最容易發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。在探索規(guī)律的過程中，讓學(xué)生充分調(diào)動已有的知識經(jīng)驗(yàn)，在對比觀察、計(jì)算中發(fā)現(xiàn)多邊形的面積和多邊形邊上的釘子數(shù)之間存在的關(guān)系，最后嘗試用字母來概括這一規(guī)律。接著再探索多邊形內(nèi)有2枚、3枚、4枚釘子的情況，最后再探索多邊形內(nèi)沒有釘子的特例。這樣一來，整個探究呈現(xiàn)的例證就比較完整，有利于學(xué)生用不完全歸納法概括最后的規(guī)律，同時用含有字母的式子來表示規(guī)律，增強(qiáng)了學(xué)生的符號意識。
所謂想象能力主要是學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行觀察、分析、認(rèn)知的抽象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的想象能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一，同時也是難點(diǎn)之一。根據(jù)小學(xué)生的身心特點(diǎn)，在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)。
我以為喬振宇會偏袒自己妹妹數(shù)落妹夫一頓，不料他居然幫理不幫親，數(shù)落表妹太黏人、缺乏獨(dú)立意識，凡事依賴、嚴(yán)防死守會讓男人覺得很累，全家開支都壓在一個男人的肩膀上誰都想逃走！表妹把頭沉成了熟透的麥穗。
數(shù)學(xué)觀察是學(xué)生想象的基礎(chǔ)，因此，在教學(xué)實(shí)踐中，要為學(xué)生提供豐富、直觀的學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生快速地提取數(shù)學(xué)信息。不僅要在觀察方法指導(dǎo)上多下功夫，讓學(xué)生根據(jù)時間、空間以及邏輯順序，學(xué)會有序觀察，更要在組織的形式上有層次、有目標(biāo)，讓學(xué)生經(jīng)歷多輪數(shù)學(xué)觀察，積累一些有用的數(shù)學(xué)表象，為深入理解數(shù)學(xué)概念奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。如三年級“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”一課中，在課始“分一分”活動中，教師先提供過生日分蛋糕的動畫情境，呈現(xiàn)“每份一樣多”和“每份不一樣多”的情況，讓學(xué)生迅速直觀感知“平均分”；接著再提供給學(xué)生一些直觀“平均分”和“不平均分”的學(xué)習(xí)材料(圖形、物體等)，讓學(xué)生再次進(jìn)行觀察、辨析、比較、分類；最后直觀地感知“整體與部分”的關(guān)系，初步形成“平均分”的表象。在這一過程中，不僅培養(yǎng)了學(xué)生“同中求異”的數(shù)學(xué)眼光，更培養(yǎng)了學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的能力。
圖3
所謂直觀思維，就是學(xué)生在數(shù)學(xué)觀察的基礎(chǔ)上，經(jīng)過快速的分析，迅速對圖形或者問題作出合理的猜測、設(shè)想的一種思維方式，它是在動手操作中逐步發(fā)展起來的。因此，我們培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，就應(yīng)該為學(xué)生提供動手操作的機(jī)會，調(diào)動學(xué)生多種感官參與數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生積累一些認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生自覺洞察事物空間存在的形式，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和內(nèi)涵。如四年級下冊“確定位置”一課中，例2后的“練一練”(如圖3)，可以改變原題中學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式，給出四個點(diǎn)的坐標(biāo)，讓學(xué)生在描點(diǎn)后想象一下這是個什么圖形。一方面，學(xué)生在動手描點(diǎn)中，可以直觀看出；另一方面，也可以結(jié)合數(shù)合的特點(diǎn)，想象出圖形。顯然后者是在前者動手操作的基礎(chǔ)上，再通過數(shù)學(xué)觀察、分析才能夠快速地發(fā)現(xiàn)圍成的圖形是什么。
圖4
數(shù)形結(jié)合能夠把具體的圖形和抽象的數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，由圖形帶來的直觀可以降低數(shù)學(xué)的抽象程度，提高思維的靈活性和深刻性，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解；對圖形的探索和推導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，全面發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象能力。如五年級下冊“解決問題的策略”一課，先呈現(xiàn)“
所謂推理能力主要指學(xué)生根據(jù)已知的學(xué)習(xí)材料(前提)推出未知的學(xué)習(xí)結(jié)果(結(jié)論)的一種思維能力，它貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，一般包括合情推理能力和演繹推理能力兩種[3]。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要讓學(xué)生通過歸納、類比等數(shù)學(xué)活動探索一些規(guī)律，形成一些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力；同時還要結(jié)合一些實(shí)例驗(yàn)證一些結(jié)論的正確性，初步發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。
所謂合情推理在小學(xué)階段主要指學(xué)生從已有的數(shù)學(xué)事實(shí)出發(fā)，憑借知識經(jīng)驗(yàn)和直觀思維，通過歸納和類比等數(shù)學(xué)活動推斷形成一些數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，一般可分為類比推理和歸納推理。由于小學(xué)數(shù)學(xué)的各種概念、法則、公式、性質(zhì)等基本上是通過較為豐富的具體實(shí)例逐步抽象、概括得出的，所以小學(xué)階段學(xué)生的合情推理所占的比重較大。在教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)該科學(xué)設(shè)計(jì)，創(chuàng)設(shè)具有挑戰(zhàn)意義的問題情境，讓學(xué)生在自主探索、獨(dú)立思考、合作交流中逐步發(fā)展合情推理能力。
血管母細(xì)胞瘤是中樞神經(jīng)系統(tǒng)一種富含血管的良性腫瘤，屬于其他與腦膜相關(guān)的腫瘤(WHO I 級)[1-2]?，F(xiàn)報(bào)道中國人民解放軍總醫(yī)院海南分院病理確診實(shí)性腫塊型血管母細(xì)胞瘤1例。
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圖5
(1)類比推理，讓學(xué)生在“思辨”中經(jīng)歷推理過程。小學(xué)階段的類比推理主要是把兩類具有相同(相似)屬性的研究對象放在一起進(jìn)行比較，從中發(fā)現(xiàn)其他方面一些不同屬性的過程。這就需要我們能夠?yàn)閷W(xué)生提供一些具有研究價值、挑戰(zhàn)意義的學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生從中探索、比較，找到問題的答案。例如在“能被2、5、3整除的數(shù)的特征”一課中，一般都是通過能被2整除數(shù)的特征類比推出能被5整除數(shù)的特征，但是實(shí)際教學(xué)效果往往不理想。筆者在教學(xué)中整合了原有教材的內(nèi)容，在課始就出示“百數(shù)表”(如圖5)，讓學(xué)生自己找出能被2整除的數(shù)，并且用紅色在表中標(biāo)出。學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)能被2整除的數(shù)要看個位，數(shù)字特征是：0、2、4、6、8；接著讓學(xué)生嘗試類比能被5整除數(shù)的特征，還是在“百數(shù)表”中，用藍(lán)色標(biāo)注出來。學(xué)生在動手操作、類比以后，很快就發(fā)現(xiàn)了能被5整除數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、5。并且通過“百數(shù)表”直觀總結(jié)發(fā)現(xiàn)：2、5的倍數(shù)都分布在列上。最后研究能被3整除數(shù)的特征，讓學(xué)生嘗試圈一圈，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)和能被2、5整除數(shù)的特征完全不一樣，不能看個位。這里類比推理主要是讓學(xué)生自己破除“看個位”的定式，重新尋找規(guī)律。學(xué)生通過觀察、交流最后發(fā)現(xiàn)：十位數(shù)字和個位數(shù)字和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除，而且發(fā)現(xiàn)在“百數(shù)表”中能被3整除的數(shù)全部分布在“斜行”上。整個推理過程學(xué)生不僅能夠充分利用“百數(shù)表”，通過正反兩個方面對比發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而且加深了對于知識的理解程度，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。
(2)歸納推理，讓學(xué)生在“建模”中提升推理能力。小學(xué)階段的歸納推理是學(xué)生在考察一類對象特殊的屬性之后，抓住其中具有一般意義的關(guān)鍵屬性，由此推出此類對象一般屬性的過程，它包括不完全歸納和完全歸納，其中不完全歸納推理是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中常見的呈現(xiàn)方式。在教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析，準(zhǔn)確認(rèn)知特例，通過對特例進(jìn)行數(shù)學(xué)意義的概括歸納，總結(jié)出具有一般意義的性質(zhì)或者規(guī)律，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，并且能夠在數(shù)學(xué)活動中加以應(yīng)用證明。例如四年級“加法運(yùn)算律”一課中，通過實(shí)例等式“28+17=17+28”，讓學(xué)生照著寫一組這樣的等式，觀察這些等式，找出它們共同特征：等號兩邊的加數(shù)調(diào)換了位置，和不變，進(jìn)一步進(jìn)行歸納概括，如果用字母a和b表示兩個加數(shù)，加法交換律該怎樣表示？最后讓學(xué)生把加法交換律應(yīng)用到實(shí)際運(yùn)算中。這就是一個典型的不完全歸納推理的案例，這個過程中，學(xué)生通過觀察分析豐富的實(shí)例，提取出共同的特征，并且建立了加法交換律的模型：a+b=b+a，應(yīng)用模型進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，進(jìn)一步提升學(xué)生的推理能力。
所謂演繹推理主要是指小學(xué)生根據(jù)已知的概念、性質(zhì)、定理、公式等一般性知識，推出某個特殊性結(jié)論的過程。它一般由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成：大前提是已知的一般知識，小前提是所研究的特例，結(jié)論是根據(jù)一般知識對特例做出的判斷。小學(xué)階段發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力要讓學(xué)生在一些數(shù)學(xué)應(yīng)用和證明中，初步建立演繹推理的意識，在解決問題的過程中發(fā)展演繹推理能力。如：在學(xué)習(xí)了“因數(shù)和倍數(shù)”這一單元后，教師就可以有意識地設(shè)計(jì)一些演繹推理的練習(xí)：234是不是3的倍數(shù)？在學(xué)生獨(dú)立做出判斷后，教師要追問：能說一說是怎樣得出結(jié)論的？引導(dǎo)學(xué)生嘗試交流表達(dá)：因?yàn)橐粋€數(shù)各位上數(shù)字的和如果是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)(大前提)，234各位上數(shù)的和2+3+4=9，9是3的倍數(shù)(小前提)，所以，234是3的倍數(shù)(結(jié)論)。這樣一來，學(xué)生不僅能夠按照演繹推理的一般模式解決問題，而且能夠清楚地表達(dá)推理過程，在有條理的表達(dá)中培養(yǎng)思維的有序性。
小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力最薄弱的就是創(chuàng)新思考能力，這需要我們在教學(xué)實(shí)踐中能夠積極營造開放的問題情境，潛移默化、日積月累，在解決問題的過程中讓學(xué)生打開思維的閘門，釋放創(chuàng)新的潛能，不斷發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思考能力。
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和技能是學(xué)生創(chuàng)新思考的基石，因此我們要在平時保證普通習(xí)題訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，適度設(shè)計(jì)一些開放的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生“跳一跳”，引導(dǎo)學(xué)生通過分析一些基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)信息，迅速把握問題的核心與實(shí)質(zhì)，獨(dú)立進(jìn)行探索研究，在順利地解決問題的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和技能的超越和升華。如在“因數(shù)和倍數(shù)”綜合練習(xí)課中，教師呈現(xiàn)這樣一個題目：在102、138、139、210、234、259六個數(shù)中，2的倍數(shù)有哪些？3的倍數(shù)有哪些？學(xué)生自己較快地解決了這兩個問題。教師再追問：6的倍數(shù)有哪些？學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試解決，教師指名交流解題思路。一部分學(xué)生依據(jù)倍數(shù)的概念，用6去除每一個數(shù)，根據(jù)余數(shù)判斷是否是6的倍數(shù)；另一部分學(xué)生則是大膽地將2和3的倍數(shù)特征綜合成6的倍數(shù)特征，直接進(jìn)行判斷。這里學(xué)生在2和3倍數(shù)特征的基礎(chǔ)上，通過自主探索、大膽聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)了6的倍數(shù)同時符合2和3倍數(shù)的特征，堪稱是創(chuàng)新思考的一個典型案例。
圖6
開放問題情境的創(chuàng)設(shè)，能夠激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思考的欲望，讓學(xué)生以自己獨(dú)特的思考，描述、分析或解決數(shù)學(xué)問題。在這個過程中，學(xué)生不僅會興趣盎然，思路開闊，而且深刻感受到創(chuàng)新思考的魅力，體驗(yàn)成功的喜悅，不斷收獲成功和信心。如：三年級“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”這一單元復(fù)習(xí)課中，教師出示圖(如圖6)，讓學(xué)生尋找七巧板中的幾分之一。學(xué)生對于七巧板構(gòu)成是很熟悉的，但是對于部分與整體之間、部分與部分之間的比例關(guān)系是一個需要創(chuàng)新思考才能解決的問題。學(xué)生可以從中找到很多的幾分之一，關(guān)鍵通過練習(xí)，不僅讓學(xué)生加深對于幾分之一的認(rèn)識，而且促進(jìn)學(xué)生突破性地思考，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思考的能力，學(xué)生的學(xué)力就可在這種真實(shí)、有效、開放的情境中得到良好的培養(yǎng)和提升。
有知情人士透露，美的對事業(yè)部的整合還會持續(xù)。曾經(jīng)歸屬環(huán)電的清潔電器，傳言已久的冰箱和洗衣機(jī)、家用空調(diào)和中央空調(diào)都是潛在整合對象。下一步更深層次的變革將是機(jī)制、模式和人員改革，去掉臃腫、下放權(quán)力，加大激勵讓能者多勞。
[參 考 文 獻(xiàn)]
[1] 岳欣云，董宏建.論小學(xué)生數(shù)學(xué)隱性學(xué)力的提升[J].課程·教材·教法，2016(10)：63-68.
[2] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.
[3] 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀之七：推理能力[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2014(9)：31-37.
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