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數(shù)與代數(shù)應(yīng)用問題的內(nèi)容主線和教學(xué)建議

這里所指的“數(shù)與代數(shù)應(yīng)用問題”（以下簡(jiǎn)稱應(yīng)用問題）是指運(yùn)用數(shù)與代數(shù)的知識(shí)和方法解決實(shí)際生活中的問題，這無(wú)疑是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)的重要目標(biāo)。要討論這個(gè)主題，首先需要說明的是本問為什么使用這個(gè)提法，卻沒有使用大家熟悉的“解決問題”和“算術(shù)應(yīng)用題”。

與“應(yīng)用問題”相比，“解決問題”無(wú)疑是個(gè)更大范疇的概念。這既包括所涉及的領(lǐng)域不僅僅是數(shù)與代數(shù)的應(yīng)用，還包括空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率以及綜合運(yùn)用所有領(lǐng)域的知識(shí)和方法；同時(shí)解決問題也不僅僅局限于解決實(shí)際問題，還包括解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題。更為重要的，本文所持的觀點(diǎn)是把解決問題中的“問題”解釋為“非常規(guī)”的，學(xué)生必須經(jīng)歷探索、適當(dāng)?shù)膭?chuàng)造并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法加以解決的問題，即“問題解決”（Problem Solving）。即使都是解決實(shí)際問題，解決問題中的“問題”是具有真實(shí)意義的問題，它與學(xué)生的實(shí)際生活密切相關(guān)，往往需要考慮現(xiàn)實(shí)生活中的諸多因素，從而具有開放的特點(diǎn)。解決這些問題，學(xué)生并無(wú)類似熟悉的題目和解法去模仿，需要學(xué)生進(jìn)行探索、討論和一定的創(chuàng)造。而應(yīng)用問題中的“問題”，盡管提倡要符合學(xué)生實(shí)際，并且力求具有一定的開放性，但總體來(lái)說，問題已經(jīng)經(jīng)過了一定的簡(jiǎn)化，背景相對(duì)簡(jiǎn)單，其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系也往往是學(xué)生熟悉的，因此學(xué)生所做的工作主要是分析出其中的數(shù)量關(guān)系，并聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法加以解決。需要指出的是，對(duì)比兩者并不是說我們不提倡解決問題，而主要是為了界定這里所討論的主題。實(shí)際上，我們更應(yīng)以解決問題為理念和目標(biāo)，指導(dǎo)應(yīng)用問題的教學(xué)，比如注重學(xué)生思考的過程，設(shè)計(jì)的題目要符合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，適當(dāng)設(shè)計(jì)具有開發(fā)性的問題。

算術(shù)應(yīng)用題是傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中沒有使用算術(shù)應(yīng)用題的名詞，并且提倡將計(jì)算和應(yīng)用結(jié)合起來(lái)，這并不是削弱應(yīng)用題的教學(xué)。實(shí)際上，傳統(tǒng)算術(shù)應(yīng)用題教學(xué)在整個(gè)小學(xué)階段對(duì)學(xué)生發(fā)展產(chǎn)生了重要的作用，但也確實(shí)存在著一些問題：第一，在學(xué)生解答的應(yīng)用題中，很大一部分的內(nèi)容遠(yuǎn)離他們的生活，造成了應(yīng)用題“不應(yīng)用”。第二，過于注重問題的類型和固定解法，套搬題型的現(xiàn)象比較嚴(yán)重。誠(chéng)然，這樣做可以提高學(xué)生解符合“題型”的問題時(shí)的速度。但設(shè)置應(yīng)用題的目的是培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，如果忽視對(duì)問題實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義的理解，只是套搬題型，學(xué)生的解決問題的能力又如何能提高？同時(shí)，原有應(yīng)用題的分類，在數(shù)學(xué)邏輯上無(wú)疑是正確的，但是否是學(xué)生真正思考問題和解決問題的途徑呢，學(xué)生是否必須要經(jīng)歷分辨題型才能解決問題呢，這些都需要認(rèn)真思考。第三，呈現(xiàn)形式單一，基本上是純文字?jǐn)⑹?，同時(shí)所提供的信息往往是不多不少，這既無(wú)法激發(fā)學(xué)生解決問題的動(dòng)機(jī)，又與信息及其呈現(xiàn)形式豐富的現(xiàn)實(shí)世界不相符合。這些問題都在一定程度上造成了學(xué)生一接觸到生活中的實(shí)際問題，往往感到無(wú)從著手。第四，目前在小學(xué)高年級(jí)將使用方程解決應(yīng)用題，再使用算術(shù)應(yīng)用題的提法顯然也不科學(xué)。隨著代數(shù)的方法不斷地滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)中來(lái)，一些繁難的應(yīng)用題的算術(shù)解法應(yīng)該得到淡化。綜上所述，為了既繼承原有的算術(shù)應(yīng)用題教學(xué)中的優(yōu)勢(shì)，又避免其中的問題，更好的反映小學(xué)數(shù)學(xué)課程所追求的目標(biāo)，本文沒有使用“算術(shù)應(yīng)用題”，而采取了“應(yīng)用問題”的說法。

經(jīng)過幾年實(shí)踐，教師們對(duì)于《標(biāo)準(zhǔn)》中應(yīng)用問題設(shè)計(jì)的理念普遍認(rèn)同，但在具體教學(xué)中又出現(xiàn)了一些新的疑惑。實(shí)驗(yàn)教材將應(yīng)用與計(jì)算結(jié)合在一起出現(xiàn)，將解決實(shí)際問題作為數(shù)與運(yùn)算學(xué)習(xí)的自然組成部分，這無(wú)疑是重要并且應(yīng)該堅(jiān)持的。但由于缺乏相應(yīng)的系統(tǒng)思考和研究，造成教師們?cè)诮虒W(xué)時(shí)往往把握不好每節(jié)課應(yīng)該以應(yīng)用為重還是計(jì)算為重？另外，不以傳統(tǒng)的類型為線索，實(shí)驗(yàn)教材在應(yīng)用問題的安排方面是否存在其他基本線索呢？沒有傳統(tǒng)的應(yīng)用題類型，不去訓(xùn)練學(xué)生記憶一些基本應(yīng)用題的類型，如何指導(dǎo)學(xué)生去分析問題和解決問題呢？這些問題無(wú)疑都是需要認(rèn)真思考和交流的。圖1呈現(xiàn)了筆者認(rèn)為的應(yīng)用問題內(nèi)容中的基本線索。下文將具體闡述這些線索，并提出一些教學(xué)策略和建議。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

圖1  應(yīng)用問題的內(nèi)容主線

 

為了解決問題，學(xué)生首先需要學(xué)習(xí)在什么實(shí)際背景中應(yīng)該用加法、減法、乘法或除法來(lái)解決問題，即四則運(yùn)算的實(shí)際背景，有人也稱之為四則運(yùn)算的意義。四則運(yùn)算實(shí)際背景的不斷豐富構(gòu)成了教材編寫的一條線索，教師應(yīng)該對(duì)此加以梳理，并且思考如何能幫助學(xué)生理解和積累這些背景。

“以加法做合并或移入的模型；以減法做拿走、比較、移出或加法逆運(yùn)算的模型；以乘法做大小的變化、交叉相或比率因子的使用的模型；以除法做比、率、比率除法、大小變化除法或乘法的逆運(yùn)算的模型”[1]。文中的“合并”、“移入”等筆者理解實(shí)際上就是指四則運(yùn)算的實(shí)際背景。例如，對(duì)于乘法的學(xué)習(xí)，在二年級(jí)開始時(shí)，教材一般會(huì)提供一些具有“相等的數(shù)的和”的結(jié)構(gòu)的實(shí)際情境，然后從中抽象出乘法；然后，學(xué)生將開始接觸到具有“倍”的實(shí)際情境；在三年級(jí)面積學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生又接觸到乘法在“求長(zhǎng)方形面積”的實(shí)際情境中的運(yùn)用。這些對(duì)于乘法實(shí)際背景的積累將一直延伸到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的乘法，特別是對(duì)于“倍”的認(rèn)識(shí)，將擴(kuò)充到“幾分之幾”。有關(guān)“組合”的實(shí)際情境在小學(xué)教材中也出現(xiàn)，比如搭配問題，但在小學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生通過操作、畫圖等策略加以解決，意在發(fā)展學(xué)生解決問題的策略，而不需要總結(jié)公式。由于實(shí)驗(yàn)教材對(duì)于運(yùn)算的實(shí)際背景大多安排為“暗線”，這就需要教師對(duì)教材進(jìn)行系統(tǒng)梳理，找到實(shí)際背景不斷擴(kuò)充的這條線索。

有的教師可能會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問，這和原來(lái)的十一類簡(jiǎn)單應(yīng)用題類型又有什么不同呢？首先，我們不難看出，實(shí)際背景更加豐富了，比如乘法中的面積計(jì)算的實(shí)際背景。更主要的是，教師明確這些蘊(yùn)含一定“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的實(shí)際背景，不是要讓學(xué)生去背誦類似“一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的類型，而是提醒教師，學(xué)生此處增加了新的實(shí)際背景，學(xué)生也許不能從以前的實(shí)際背景的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)直接還原到運(yùn)算意義，而是需要經(jīng)歷將新的實(shí)際背景與運(yùn)算意義進(jìn)行聯(lián)系的過程，此時(shí)在教學(xué)中的重點(diǎn)應(yīng)放在如何實(shí)現(xiàn)聯(lián)系上了。至于二者到底還有什么區(qū)別，這正是一個(gè)值得研究的問題。

那么，進(jìn)一步如何實(shí)現(xiàn)實(shí)際背景與運(yùn)算意義之間的聯(lián)系呢？為了使大家更好地理解，我們對(duì)比一下兩條途徑。

第一條：?jiǎn)栴}情境——問題類型——運(yùn)算意義

第二條：?jiǎn)栴}情境——經(jīng)驗(yàn)、操作、畫圖等—運(yùn)算意義

在第一條套用類型的教學(xué)中，學(xué)生需要將問題情境中的數(shù)量關(guān)系與類型相對(duì)應(yīng)，然后決定用什么運(yùn)算。比如，看一個(gè)在小學(xué)低年級(jí)學(xué)生理解比較困難的問題：

例：小勇家養(yǎng)白兔8只，灰兔5只。白兔比灰兔多多少只？

想：已知大數(shù)（白兔8只）和小數(shù)（灰兔5只），求相差數(shù)。（白兔比灰兔多多少只？）

列式：8－5=3（只）。

從上面可以看出，學(xué)生遇到了這個(gè)問題情境，需要尋找符合哪個(gè)類型，發(fā)現(xiàn)符合已知大數(shù)和小數(shù)求差的類型，所以用減法。這樣的教學(xué)固然可以使學(xué)生熟記這些類型，從而熟練套用類型達(dá)到快速解題的作用。但確實(shí)存在著一些弊端：第一，這些類型相對(duì)比較抽象，學(xué)生往往不能真正理解，所以就會(huì)出現(xiàn)學(xué)生找不到大數(shù)和小數(shù)的情況，或者片面的認(rèn)識(shí)給出的數(shù)大就是大數(shù)，給出的數(shù)小就是小數(shù)等錯(cuò)誤。第二，在實(shí)際生活中遇到?jīng)]有現(xiàn)成類型的問題，學(xué)生往往束手無(wú)策。

既避免背誦一些相對(duì)抽象的類型，同時(shí)又教給了學(xué)生操

作、畫圖等基本的解決問題的策略。

老師可能又會(huì)產(chǎn)生新的困惑：不要“類型”，按照第二種途徑，僅僅依靠學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、操作、畫圖行不行？有多少學(xué)生行？如果學(xué)生有困難怎么辦？要回答這些問題最好的辦法是做學(xué)生研究。下面列舉一些學(xué)生研究的結(jié)果。

對(duì)一年級(jí)沒有學(xué)過“比較”問題的34名學(xué)生測(cè)試了如下的6道題目：

①

 

 

□〇□=□(個(gè))

 

②

 

 

□〇□=□(盆)

 

 

 

 

③                                      ④

 

 

 

 

 

 

 

⑤

 

 

 

 

 

 

⑥一支鋼筆15元，比一支簽字筆貴10元，一支簽字筆多少元？

    測(cè)試的結(jié)果如表2—3：

表2—3

從上面的結(jié)果可以看出，對(duì)于前四道題目學(xué)生已經(jīng)有了較好的經(jīng)驗(yàn)，通過自主思考就能夠獨(dú)立解決。即使對(duì)于學(xué)生困難較大的“反序”問題（第5題、第6題），也有不少學(xué)生能夠獨(dú)立完成。實(shí)際上，許多實(shí)驗(yàn)教材在一年級(jí)都不再要求此類問題，而是隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)自然得到解決，或者運(yùn)用方程來(lái)解決。對(duì)于這一點(diǎn)，筆者是表示贊同的。那么學(xué)生是如何思考的呢？下面摘錄部分的訪談片段（括號(hào)內(nèi)是筆者的注釋）：

l      對(duì)第1題的訪談：黑松鼠有20個(gè)松果，白松鼠有25個(gè)松果，白松鼠比黑松鼠多幾個(gè)？

師：你來(lái)說說這個(gè)（第1題）。

生：我（黑松鼠）有20個(gè)松果，我（白松鼠）有25個(gè)松果，我比你多幾個(gè)？就是用25-20還剩5個(gè)，所以它（白松鼠）就比它（黑松鼠）多5個(gè)。

   （此題學(xué)生借助以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，直接“反映”出用減法解決。）

l      對(duì)第4題的訪談：小亮有小汽車15輛，紅紅比小亮少5輛。紅紅有幾輛小汽車？

學(xué)生先拿出15個(gè)白棋子，擺成一行。又拿出10個(gè)黑棋子，擺成一行。

教師讓學(xué)生看著圍棋子，說明各表示什么？

生：15個(gè)白棋子表示小亮的，10個(gè)黑棋子表示紅紅的。

師：少的5個(gè)棋子在哪？

學(xué)生正確指出“空白處”，并列式：15-5=10。

（此題學(xué)生借助操作得出答案，并且“反映”出用減法解決。）

實(shí)際上，學(xué)生正是通過經(jīng)驗(yàn)、操作、畫圖等獨(dú)立完成了題目，即使是對(duì)于困難較大的第5、6題，也有部分學(xué)生正確列式。

通過訪談，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的常見錯(cuò)誤有如下幾種：第一，不能理解題目中的比較關(guān)系，搞不清楚誰(shuí)和誰(shuí)比；第二，清楚題目中的比較關(guān)系，但不能和運(yùn)算意義相聯(lián)系；第三，“看到多就加，少就減”等定勢(shì)。那么，如何幫助學(xué)生克服困難呢，通過操作和畫圖等手段是否能達(dá)到呢？我們還是從訪談中獲取信息。下面的兩位學(xué)生都是在進(jìn)行第5題時(shí)，開始列出了錯(cuò)誤算式“30-10=20”。老師分別對(duì)他們進(jìn)行了訪談，括號(hào)內(nèi)的文字是筆者的說明與感想。

l      對(duì)學(xué)生甲的訪談

師：怎么列式？

生：應(yīng)該用減法，30-10。

師：為什么用減法？

生：因?yàn)?#8220;小亮比小紅少跳10個(gè)”，“少”應(yīng)該用減法。（這是學(xué)生中不理解的一個(gè)典型表現(xiàn)：見多用加、見少用減）

師：你能不能畫圖表示一下這句話。

學(xué)生畫圖。邊畫邊解釋。

生：小亮跳了30個(gè)，小亮跳的少，小紅跳的多，小紅跳了多少個(gè)，我覺得應(yīng)該用減法比較好？（雖然學(xué)生仍然沒有改正，但畫圖已經(jīng)使她產(chǎn)生了“沖突”，對(duì)用減法產(chǎn)生了疑問）

師：你算一算小紅跳了幾個(gè)？

生：30減10等于20，小紅跳了20個(gè)。

師：小紅是跳了20個(gè)嗎？

生：不是，改用30+10=40。

師：為什么又改用加法了？

生：再次讀題，上面用減法不對(duì)，所以用加法。（重新讀題，用數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)并改正了錯(cuò)誤。）

l      對(duì)學(xué)生乙的訪談

學(xué)生讀題：在跳繩比賽中小亮跳了30個(gè)，小亮比小紅少跳10個(gè)，小紅跳了多少個(gè)？列式：30-10=20。

師：你是怎么想的？

生：我想3減1，加一個(gè)10。（學(xué)生在說計(jì)算方法）

師：這句話什么意思？（指“小亮比小紅少跳10個(gè)”）

生：小亮比小紅多跳了10個(gè)。

師：是嗎？

生：小亮比小紅少跳的。（學(xué)生開始不能準(zhǔn)確判斷到底誰(shuí)多。）

師舉例：假設(shè)我是小亮，你是小紅，咱倆誰(shuí)跳的多？（老師借助舉例，實(shí)際上是和學(xué)生一起模擬題目中的情境）

生：我。

師：那我們看這道題，小亮跳了多少個(gè)？

生：小亮跳了30個(gè)。

師：小紅應(yīng)該跳多少個(gè)？

生：小紅跳了40個(gè)。

師：哪你為什么這么做？（指學(xué)生的算式30-10=20。）

生：錯(cuò)了。

師：改一下。

生改正30+10=40。

師：剛才為什么用減法？

生：我讀錯(cuò)了，讀成小紅比小亮少了。

師：提醒我們什么？

生：不能讀錯(cuò)。（其實(shí)學(xué)生不是簡(jiǎn)單地粗心看錯(cuò)題目，還是沒有讀懂比較關(guān)系。由此可見，深入地了解學(xué)生的思維過程是非常重要的。）

    以上訪談從一個(gè)側(cè)面證明了學(xué)生可以通過操作、畫圖、模擬等手段分析清楚題目中的比較關(guān)系，并且聯(lián)系運(yùn)算意義的。特別是，做完題后的檢驗(yàn)也是很重要的，學(xué)生可以將結(jié)果帶回題目進(jìn)行檢驗(yàn)以做出正確判斷。當(dāng)然，還有哪些好的策略還需要教師們一起探索和實(shí)踐。但有一點(diǎn)可以明確的是，依靠背題型來(lái)克服困難是不足取的。

 總之，在運(yùn)算意義的教學(xué)中，應(yīng)突出在實(shí)際問題抽象出四則運(yùn)算意義的過程，強(qiáng)調(diào)對(duì)問題實(shí)際意義和運(yùn)算意義的真正理解，鼓勵(lì)學(xué)生通過聯(lián)系已有經(jīng)驗(yàn)、實(shí)際操作、畫圖分析等手段，尋找問題中的數(shù)量關(guān)系，并聯(lián)系所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義加以解決。

其實(shí)，對(duì)于運(yùn)算意義的教學(xué)，還有許多需要研究的問題。比如，在學(xué)生經(jīng)歷了從實(shí)際情境中抽象出運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上，還需要學(xué)生總結(jié)一些類似“求一個(gè)數(shù)的幾倍用乘法”的規(guī)律嗎？注意這里的總結(jié)和過去的套題型是不一樣的。主要體現(xiàn)在：第一，總結(jié)的主體不一樣。過去套題型大多是教師總結(jié)出來(lái)的，學(xué)生的工作主要是理解和記憶；而現(xiàn)在是學(xué)生在解決問題的基礎(chǔ)上的自己總結(jié)。第二，總結(jié)的基礎(chǔ)不一樣。過去大多是剛剛引入運(yùn)算在學(xué)生還沒有充分體驗(yàn)的基礎(chǔ)上就提出題型，現(xiàn)在是在學(xué)生經(jīng)歷了多次解決問題的基礎(chǔ)上加以歸納。第三，總結(jié)的目的不一樣。過去主要目的是給學(xué)生一個(gè)“抓手”，以便快速地解決其他問題；現(xiàn)在的目的是進(jìn)一步的提煉和概括，培養(yǎng)學(xué)生概括的能力，以進(jìn)一步加深對(duì)運(yùn)算的理解。

因此，筆者認(rèn)為可以適當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)自己對(duì)于運(yùn)算的理解。但這里需要注意，這個(gè)總結(jié)不要過早，最好是學(xué)生學(xué)習(xí)了一段時(shí)間后的水到渠成。同時(shí)，要鼓勵(lì)學(xué)生通過舉例、畫圖、自己的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)對(duì)于運(yùn)算的理解，而不是統(tǒng)一要求背誦程序化的語(yǔ)言。所以，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生完成如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：

（1）舉生活中不一樣的例子，可以用加法、減法、乘法或除法來(lái)解決。

（2）畫圖表示一個(gè)情境，可以用加法、減法、乘法或除法來(lái)解決。

（3）用自己的語(yǔ)言說說什么是加法、減法、乘法或除法。

那么，到底什么時(shí)候該總結(jié)，學(xué)生哪些語(yǔ)言可以認(rèn)為真正理解了運(yùn)算，這些問題都值得進(jìn)一步研究。研究的關(guān)鍵還是要了解學(xué)生真實(shí)的思維。

 

二、以表征和分析問題為線索，鼓勵(lì)學(xué)生探索如何分析數(shù)量關(guān)系

當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)了運(yùn)算的意義，并能解決一些簡(jiǎn)單的問題后，學(xué)生將要學(xué)習(xí)解決一些復(fù)雜的問題。這些問題之所以復(fù)雜，有的是因?yàn)閷?shí)際問題的背景比較復(fù)雜，學(xué)生不易讀懂題目；有的是問題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生不易分析出來(lái)。因此，在這里就存在著兩方面的問題，一是讀懂問題；二是分析數(shù)量關(guān)系。在新課程中應(yīng)用問題中的信息并不總是“正好”的，這就需要根據(jù)問題來(lái)選擇信息和收集信息。實(shí)際上，三者往往是交織在一起的，以下分開是為了更好地加以分析。

 這里讀懂題目指的是理解題目所表達(dá)的是一件什么事情，學(xué)生可以用自己的語(yǔ)言把這件事情說清楚，這一點(diǎn)應(yīng)該得到重視。因?yàn)椋x懂題目的意思是分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，而小學(xué)生由于生活經(jīng)驗(yàn)和閱讀能力等的缺乏會(huì)出現(xiàn)一些理解上的困難，所以一些有經(jīng)驗(yàn)的老師會(huì)深有體會(huì)地說：“許多學(xué)生做不出數(shù)學(xué)題是因?yàn)槲淖譀]讀懂”。因此，在教學(xué)中，對(duì)于復(fù)雜的題目，教師要鼓勵(lì)學(xué)生多懂幾遍，嘗試完整地用自己的語(yǔ)言敘述題意。當(dāng)題目中出現(xiàn)一些學(xué)生不易理解的詞語(yǔ)或句子時(shí)，教師可以采取情景表演、動(dòng)作操作等方式幫助學(xué)生。這方面有一個(gè)比較經(jīng)典的案例，吳正憲老師在執(zhí)教“相遇問題”時(shí)，首先鼓勵(lì)學(xué)生采取情景表演的方式，理解“同時(shí)、相遇、相對(duì)、相向”等題目中相對(duì)比較難理解的詞匯。

 同時(shí)，由于新課程提倡運(yùn)用圖、文字、表格等多種形式表達(dá)信息，這也給學(xué)生造成了一定的閱讀困難，學(xué)生往往不能同時(shí)從不同的形式中捕捉信息，這就需要教師加以適當(dāng)指導(dǎo)。下面就提供一個(gè)教師指導(dǎo)學(xué)生如何從圖中獲取信息的案例[4]。

教師呈現(xiàn)了一幅情境圖，圖中草地上有3個(gè)房子，還有6只兔子。一只小兔子提出問題：“平均每間房子住幾只？”

師：快看。從圖上你看到了哪些數(shù)學(xué)信息？

生1：草地上有3個(gè)房子，草地上還有6只兔子

師：你怎么知道有6只兔子，3間房子？

生1遲疑。

師：草地上確實(shí)有兔子，你怎么知道有6只？接著說，好嗎？誰(shuí)來(lái)幫幫她？

生2：我是數(shù)出來(lái)的。

    師：是嗎，你（生1）是怎么知道的？

    生1：我也是數(shù)的。

師：那3間房子你是怎么知道的 ？

    生1：3間房子也是數(shù)出來(lái)的。

師：也就是說我們?cè)诮忸}時(shí)，有時(shí)候數(shù)學(xué)信息時(shí)要從圖中直接數(shù)出來(lái)的。我們繼續(xù)看圖，問題在哪里？

生1：平均每間房子住幾只？

師：說的非常完整。誰(shuí)再說說說數(shù)學(xué)問題在哪里？

    生2：平均每間房子住幾只兔子？

師：他說的非常完整。誰(shuí)再說說這個(gè)數(shù)學(xué)問題你是怎樣知道的？

    生：它用文字表達(dá)了。

師：說的真好。你們看這是誰(shuí)說的話呀？

    生齊說:小兔子。

師：我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，有些數(shù)學(xué)信息時(shí)可以直接從圖中數(shù)一數(shù)得到，還有的數(shù)學(xué)信息，要從圖中看到小朋友或是小動(dòng)物說的話當(dāng)中而得到。

師：下面我們看著這幅圖，誰(shuí)能連起來(lái)把數(shù)學(xué)信息和所求問題一起說一說？

生：一共有3間房子，6個(gè)兔子，平均每間房子住幾只？

師：說的真好！大家一起來(lái)讀讀。

生齊讀：有6個(gè)兔子住3間房子，平均每間房子住幾只？

在上面的案例中，教師通過語(yǔ)言指導(dǎo)學(xué)生可以從哪些角度獲取信息，并且鼓勵(lì)學(xué)生完整地表述題意，這就由學(xué)生“局部”讀題到“整體”讀題；最后是由個(gè)人讀題到全班讀題。

在讀懂題目的基礎(chǔ)上，教師就要鼓勵(lì)學(xué)生分析題目中的數(shù)量關(guān)系了。在這方面，過去總結(jié)了一些方法，比如對(duì)于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題分析數(shù)量關(guān)系，就有人總結(jié)了“抓住關(guān)鍵句（帶分率的句子），找準(zhǔn)單位1，分清求什么（單位1已知用乘法，求單位1用除法）；量率要對(duì)應(yīng)”。我們來(lái)舉例說明：

某超市運(yùn)來(lái)600桶花生油，賣出的占總桶數(shù)的 。還剩下多少桶？

面對(duì)這樣的題目，教師會(huì)教給學(xué)生：“首先找關(guān)鍵句，此題的關(guān)鍵句是賣出的占總桶數(shù)的 ；然后找到單位1是總桶數(shù)；此題單位1已知用乘法；要求剩下的量，要找到剩下的率為1- 。所以600×（1- ）。”確實(shí)這樣分析數(shù)量關(guān)系的思路是正確的，但這種教師認(rèn)為好的思路，學(xué)生能自覺得到并認(rèn)同嗎？在面對(duì)這樣的問題時(shí)，學(xué)生是如何進(jìn)行分析的呢，他們的想法能給我們一起啟發(fā)嗎。我們來(lái)看下面的一個(gè)教學(xué)片段[5]。

教師出示題目：“某超市運(yùn)來(lái)600桶花生油，賣出的占總桶數(shù)的 。還剩下多少桶？”。

鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立審題（實(shí)際上包括讀懂題目和分析數(shù)量關(guān)系）。教師找學(xué)生中不同的審題策略，并要求學(xué)生板書。

師：請(qǐng)這幾位同學(xué)分別介紹各自的審題策略。并說明為什么選擇這種策略，說清這種審題策略是怎么做的。

生1：我用畫關(guān)鍵詞的方法。因?yàn)樗梢灾李}中最重要的詞是什么，這對(duì)解題是非常重要的。如果沒有關(guān)鍵詞，做題可能就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以我選擇畫關(guān)鍵詞的方法。

師：請(qǐng)說清楚你選擇了哪幾個(gè)詞作為關(guān)鍵詞，在它下邊寫了什么？

生1：如圖4，我選擇的關(guān)鍵詞是“賣出的”、“總桶數(shù)”和“剩下的”。“賣出的”按題意分析它占“總桶數(shù)的”的 ，“總桶數(shù)”是600桶，問的是“還剩下的有多少桶?” 這樣很快就可以求出

                                               圖4

問題。（邊說邊列式）600× =240噸桶，然后用總桶數(shù)減去賣出用去的240桶就是剩下的桶數(shù)， 就等于360桶，600－240=360噸桶。

師：他的思路很清晰，根據(jù)這種審題思路，他找到了要先求出賣出了多少桶，然后求剩下的桶數(shù)進(jìn)行列式解答。

生2：如圖5，我利用找關(guān)鍵句的方法，這種方法可以非常清楚地發(fā)現(xiàn)，剩下的占總桶數(shù)的 ，所以600× =360桶。                                     圖5

師：他是用找關(guān)鍵句的方法，他在關(guān)鍵句下面寫了一個(gè)簡(jiǎn)單的批注———“沒有賣的就是 ”。說明他從關(guān)鍵句當(dāng)中讀到了這里有一個(gè)隱藏的信息。這跟我們學(xué)習(xí)語(yǔ)文一樣，不能只看到表面的，還要找到他背后隱藏的其他條件，對(duì)我們審題會(huì)有所幫助。

生3：我用的是畫批注的方法，它能夠把題目的信息表達(dá)得更清楚，讓我們看得更明白。如圖6，600桶就是總數(shù)，賣出的占總數(shù)的 ，是600桶的 ，由此可以              圖6

看出，有 沒賣，求剩下多少桶也就是求600的 是多少，所以我用1— = ，           

600× =360桶。

師：我發(fā)現(xiàn)生3同學(xué)的畫批和生1的找關(guān)鍵詞有些聯(lián)系的。從整個(gè)句子理解，都是把重點(diǎn)提煉出來(lái)。

生4：我采用的是直觀圖的方法。因?yàn)橹庇^圖在我們班很少用過，所以，我想證明直觀圖這種方法也是很好的，對(duì)于不會(huì)畫線段圖的同學(xué)們來(lái)說會(huì)更加容易理解。（邊指圖7邊說）陰影部分表示賣出的占全部的 ，空白部分表示剩下了 ，求剩下的桶數(shù)就轉(zhuǎn)換成了求總桶數(shù)的 是多少，用600× =360桶。

 

 

 

 

 

 

                                                     圖7

師：我們用掌聲感謝生4。他為幾位畫不好線段圖的同學(xué)提供了一種直觀的策略。

生5（邊列式邊對(duì)應(yīng)著圖8解釋）：我用的是畫線段圖的方法。因?yàn)榫€段圖可 以使我更加理解題意。這里是賣出的 ，要求的是剩下的桶數(shù)，就是求余下的這一段是多少桶，         圖8

列式是：600×  =240桶，因?yàn)檫@求的是賣出了多少桶，所以再用600－240=360桶，就是求出了剩下多少桶。    

師：生5同學(xué)用畫線段圖的解題策略，讓我們很清晰地的看到了數(shù)量之間的一種關(guān)系。

生6：我把生5的方法改進(jìn)了一下，他的線段圖有平均分的份額，我把它省略了（所以叫“粗線條”線段圖，如圖9）。這樣的圖對(duì)我來(lái)說就能理解題意。用單位“1”減去賣出的 ，                     圖9

就是剩下的 ，用總桶數(shù)去乘 ，也就求出了是剩下的桶數(shù)。

師：大家看一看他們的線段圖，一個(gè)當(dāng)中有平均分的份數(shù)，一個(gè)沒有，影不影響審題呀？

生紛紛表示：不影響。

師：至少在這樣的題里面是不影響的，同樣也可以清晰地反映數(shù)量關(guān)系。

許多老師在處理這一問題時(shí)，總是把自己的解題方法“迫不及待”地講給學(xué)生，比如找關(guān)鍵句、畫線段圖，可是再遇到問題時(shí)學(xué)生往往還是不會(huì)用。老師的方法為什么無(wú)法轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的呢？認(rèn)真分析不難發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上教師在課堂上并沒有真正注重培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的方法。當(dāng)教師呈現(xiàn)給學(xué)生一個(gè)問題時(shí)，教師注重的是將自己已有的方法傳授給學(xué)生，學(xué)生不費(fèi)什么腦子就從老師那里得到了解決問題的方法。但是，這種方法好在哪，學(xué)生感受不深，輕而易舉得到的經(jīng)驗(yàn)學(xué)生印象不深，自然也就很難轉(zhuǎn)化為自身的經(jīng)驗(yàn)，也就不會(huì)在面對(duì)類似問題的時(shí)候主動(dòng)加以運(yùn)用。

另一方面，教師總擔(dān)心如果我不教，這么復(fù)雜的問題學(xué)生能會(huì)解嗎？回答這個(gè)問題只能靠學(xué)生自己。因此，教師要在課堂上給學(xué)生留一點(diǎn)獨(dú)立思考、探索策略的時(shí)間，一旦學(xué)生探索出了方法，并且體會(huì)到了畫圖等方法解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的好處，當(dāng)他們?cè)诿鎸?duì)類似問題的時(shí)候會(huì)注重借助這些方法幫助自己分析數(shù)量關(guān)系，從而正確解決問題。

同時(shí)，不同的學(xué)生有著不同的思維特點(diǎn)和思維水平，給學(xué)生展示自己分析數(shù)量關(guān)系方法的時(shí)間和空間，也是學(xué)生之間交流的需要。學(xué)生在獨(dú)立思考后就會(huì)對(duì)自己與他人的進(jìn)行比較，為方法之間的溝通聯(lián)系，突出數(shù)量關(guān)系打下了基礎(chǔ)。

  師：現(xiàn)在要思考一個(gè)新的問題：觀察這些審題策略，請(qǐng)你說一說這些策略之間都存在著哪些聯(lián)系？先獨(dú)立思考，然后進(jìn)行小組討論交流。

   （學(xué)生獨(dú)立思考后，小組交流。下面是不同小組交流后的發(fā)言）。

組1：我們組討論的是生5和生6兩個(gè)人的策略，生6的“粗線條”線段圖和生5的線段圖看上去有區(qū)別，其實(shí)表達(dá)方法是一樣的，只是沒有標(biāo)出多少份，實(shí)際上都表示了相同的量，我們認(rèn)為這兩種方法是差不多的。

師：你們組還有補(bǔ)充嗎？

組1的另一位同學(xué)：直觀圖和線段圖，方法其實(shí)都是一樣的。

師：好，他們組討論的是線段圖、直觀圖這三個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖的形式之間的聯(lián)系。其他組呢？

組2（指著“畫批注”、“找關(guān)鍵詞”、“找關(guān)鍵句”三種方法）：我們覺得這些都是有聯(lián)系的。他們這些審題方法都是把題目要表達(dá)的意思簡(jiǎn)單化，讓人看得更明白。

師：再具體一點(diǎn)，有什么聯(lián)系呢？怎么說能讓所有人都清楚明白？

組2：比如，這些都是題目中說的話，現(xiàn)在把它換成我們可以理解的簡(jiǎn)單的話。

組3補(bǔ)充：批注、關(guān)鍵句、關(guān)鍵詞這三個(gè)之間有聯(lián)系。因?yàn)樗麄內(nèi)前殃P(guān)鍵詞、關(guān)鍵句都畫出來(lái)，另外還都加上自己的理解，所以我們組覺得這三個(gè)之間有聯(lián)系。

師：這樣就把題目中已知的條件和隱藏的條件都表現(xiàn)出來(lái)了，對(duì)嗎？

組4：直觀圖、“精細(xì)”線段圖、“粗線條”的線段圖這三幅圖都是從圖中找更深層的意義，而批注、關(guān)鍵句、關(guān)鍵詞這些都是從文字中發(fā)現(xiàn)更深層的意義。

師：說得好！這是兩條線。你們組的兩條線一個(gè)是從圖的內(nèi)容找，一個(gè)是從文字去找。

組5：我們組發(fā)現(xiàn)直觀圖、精細(xì)線段圖這兩幅圖有著很大的聯(lián)系，如果要把直觀圖底下的線去掉，就可以變成精細(xì)線段圖這幅圖的意思，都標(biāo)出了“總數(shù)600桶”。畫批注、找關(guān)鍵句這兩個(gè)同時(shí)都標(biāo)出了“賣出了 ”，我們組發(fā)現(xiàn)了這幾個(gè)有很大的聯(lián)系。

師：他們組也是找這兩條線。

師：下面我們請(qǐng)組6的代表發(fā)言，。我剛才聽他說了一句話，覺得特別好。

組6：我們覺得黑板上的這些圖，還有畫批注、找關(guān)鍵句、找關(guān)鍵詞，這些審題策略之間都有聯(lián)系。比如說，它們把關(guān)系都提煉了出來(lái)，（生，手指黑板，標(biāo)出每種策略提煉出的內(nèi)容—沒賣的 ），同時(shí)文字中“沒賣剩下的占 ”，……在圖中很明顯的表示出來(lái)。

師：你們贊同組6所說的觀點(diǎn)嗎？

生齊答：贊同。

看到學(xué)生樸實(shí)而精彩的發(fā)言，筆者不禁有些感動(dòng)，這些來(lái)自農(nóng)村中心小學(xué)的孩子們不僅僅獨(dú)立探索出了分析數(shù)量關(guān)系的方法，而且還通過比較歸納出了這些方法之間的聯(lián)系。在這樣的過程中，他們不僅僅理解了題目中的數(shù)量關(guān)系，而且發(fā)展了概括歸納的能力。特別是那句“這些審題策略之間都有聯(lián)系，……它們把關(guān)系都提煉了出來(lái)”多么精彩。學(xué)生的精彩折射出教師的精彩。教師給了學(xué)生獨(dú)立探索的空間，又不僅僅停留于此，而是在探索出不同方法的基礎(chǔ)上，再鼓勵(lì)學(xué)生比較歸納，將個(gè)人的理解通過交流形成學(xué)習(xí)共同體的共識(shí)。這一切都源于教師對(duì)學(xué)生的信任，以及對(duì)他們能力的不斷培養(yǎng)。這個(gè)案例也給了我們分析數(shù)量關(guān)系的幾個(gè)教學(xué)策略。第一，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立探索分析數(shù)量關(guān)系的方法，并運(yùn)用自己的方式有條理地表達(dá)自己的理解；第二，鼓勵(lì)學(xué)生將不同的方法進(jìn)行比較溝通，以凸顯其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。看起來(lái)這兩個(gè)策略并不新鮮，但它不正是教學(xué)這一問題的兩個(gè)“大”策略嗎？

這里還需要討論的是一些傳統(tǒng)的方法，比如畫線段圖、抓關(guān)鍵詞句等，在現(xiàn)在的應(yīng)用題教學(xué)中還強(qiáng)調(diào)嗎？關(guān)于線段圖將在下面一個(gè)問題，分析和解決問題的畫圖策略中再加以闡述。我們來(lái)看看抓關(guān)鍵詞句。其實(shí)，每一個(gè)問題確實(shí)都有分析問題和解決問題的關(guān)鍵詞句，抓住并理解了它們無(wú)疑對(duì)分析數(shù)量關(guān)系是重要的。但關(guān)鍵是對(duì)關(guān)鍵詞句的理解以及如何“抓法”。過去的抓關(guān)鍵詞句的主要目的是服務(wù)于回憶題型，這種題型的教學(xué)在短期內(nèi)可能會(huì)取得效果，特別是對(duì)付傳統(tǒng)的考試，但長(zhǎng)期卻存在著弊端，這在上文已經(jīng)論述過。同時(shí)，服務(wù)于題型的抓關(guān)鍵詞句，學(xué)生往往不仔細(xì)地去閱讀和理解題目，而是快速地找到類似“一共”、“剩余”、“幾倍”等詞語(yǔ)，由此去確定是什么題型，這就會(huì)造成學(xué)生出現(xiàn)大量的“見一共就加，見剩余就減”的問題。另一方面，關(guān)鍵字句的“抓法”基本上是教師告訴的，學(xué)生甚至體會(huì)不到為什么要去抓關(guān)鍵字句，而在以上的案例中，我們不難看出，部分學(xué)生也在抓關(guān)鍵句，但他們是在對(duì)題目整體結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)上找到的，并且都對(duì)這些句子為什么關(guān)鍵、這些句子的意思是什么、這些句子隱含了哪些條件作出了闡述，這實(shí)際上是體現(xiàn)了學(xué)生們對(duì)于數(shù)量關(guān)系的理解。同時(shí)，由于學(xué)生們是自己探索出方法，所以他們也感受到這一方法的好處：“他們這些審題方法都是把題目要表達(dá)的意思簡(jiǎn)單化，讓人看得更明白。”“批注、關(guān)鍵句、關(guān)鍵詞這些都是從文字中發(fā)現(xiàn)更深層的意義。”因此，概括地說，找到問題中的關(guān)鍵字句是重要的，但要注意實(shí)現(xiàn)三個(gè)轉(zhuǎn)變：由為了套用題型的抓關(guān)鍵字句轉(zhuǎn)變?yōu)榛诶斫鈹?shù)量關(guān)系的抓關(guān)鍵字句；由教師要求找轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生自主感受找的必要性；由教師介紹找的統(tǒng)一方法轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生探索自己的方法并多樣化的表達(dá)（如案例中有的用批注，有的找到了幾個(gè)關(guān)鍵詞，有的找到了一個(gè)句子）。

同時(shí)，無(wú)論采取哪種方法，教師要引導(dǎo)學(xué)生注重問題中最基本的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的分析，即關(guān)注題目中的“大邏輯”。比如，在上面所舉的問題，一個(gè)最基本的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)是“總的數(shù)量—賣出的數(shù)量=剩下的數(shù)量”。學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這一結(jié)構(gòu)后，就自然地去尋找如何能得到賣出的數(shù)量和剩下的數(shù)量，并發(fā)現(xiàn)了常用的兩種方法之間的聯(lián)系。下面的對(duì)話還是來(lái)自于分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題的課堂：

師：請(qǐng)你觀察兩種方法有什么區(qū)別和聯(lián)系？

生互相討論。

生1：第一種方法（600×  =240，600-240=360）是先求出賣出的數(shù)量，然后再用總箱數(shù)減去賣出的箱數(shù)，求出剩下的箱數(shù)，第二種方法（1-  = ，600× =360）是先求出剩下的分率，再用600乘剩下的分率求出剩下的數(shù)量。相同點(diǎn)是都求剩下的數(shù)量。

生：相同點(diǎn)都是用對(duì)應(yīng)量乘以對(duì)應(yīng)的分率求出對(duì)應(yīng)的數(shù)量。

那么題目中的“大邏輯”到底是什么，還需要具體問題具體分析。

人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中接觸到的問題，其信息往往是多途徑的，對(duì)話、報(bào)紙、電視、廣播、標(biāo)牌等都可能呈現(xiàn)出信息；呈現(xiàn)的形式也許是文字的、表格的、圖畫的；信息也許雜亂無(wú)章，需要你重新組織，而且經(jīng)常是多余或不足的。因此，應(yīng)用問題也應(yīng)注重以多種形式（如表格、圖形、漫畫、對(duì)話、文字）提供信息、呈現(xiàn)問題。必要時(shí)，也可以鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)信息進(jìn)行選擇、判斷或者是補(bǔ)充。

實(shí)際上，在幫助學(xué)生如何有效地收集和選擇信息上，教材和教學(xué)中都做了一些有益的嘗試。比如，鼓勵(lì)學(xué)生面對(duì)情境中的眾多信息，選擇若干信息提出可以用數(shù)學(xué)解決的問題；又如，鼓勵(lì)學(xué)生回答如果要解決某一問題，需要收集哪些信息等問題。但總的來(lái)說，無(wú)論是在教材還是在教學(xué)中，如何幫助學(xué)生有效地收集和選擇信息，這方面的教學(xué)策略還比較缺乏，需要廣大教師不斷研究和實(shí)踐。

 

解決問題活動(dòng)的價(jià)值不只是獲得具體問題的解，更重要的是學(xué)生在分析問題和解決問題過程中獲得的發(fā)展。其中重要的一點(diǎn)在于使學(xué)生學(xué)習(xí)一些分析問題和解決問題的基本策略，體驗(yàn)策略的多樣性，并在此基礎(chǔ)上形成自己解決問題的某些策略。各套實(shí)驗(yàn)教材涉及的解決問題的策略不盡相同，筆者選擇其中最基本的三個(gè)策略：畫圖策略、列表策略和模擬操作策略加以具體闡述。需要指出的是，這三個(gè)策略不僅僅是解決問題的策略，也可以用來(lái)分析數(shù)量關(guān)系，并且，二者往往是結(jié)合在一起使用的。因此，本線索提及的內(nèi)容與上一條線索有所交叉。

畫圖策略是非常重要的一種分析問題和解決問題的策略，它是利用“圖”的直觀來(lái)對(duì)問題中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)進(jìn)行表達(dá)，從而幫助人們分析問題和解決問題的。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。同時(shí)，畫圖又是一個(gè)“去情境化”的過程，它把情境中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行提煉，并且進(jìn)行直觀表達(dá)?？偟膩?lái)說，畫圖的策略的作用主要體現(xiàn)在：畫圖可以幫助理解問題；畫圖可以幫助解決問題；畫圖可以促進(jìn)反思和交流；畫圖可以導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)。其中，教師對(duì)于畫圖可以幫助理解問題、分析數(shù)量關(guān)系并不陌生，下面舉兩個(gè)例子說明畫圖對(duì)于解決問題、促進(jìn)反思和交流的作用。

一位教師在三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)后，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試解決如下的問題：氣象小組有12人，攝影小組的人數(shù)是氣象小組的1/3，航模小組的人數(shù)是攝影小組的3/4，航模小組有多少人。

當(dāng)學(xué)生面對(duì)過去需要學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)乘法才能解決的問題，是否就束手無(wú)策了呢？其實(shí)不然，不少學(xué)生選擇畫圖得到了正確答案。圖10是學(xué)生畫出的一些圖，體現(xiàn)了畫圖策略可以幫助學(xué)生解決問題。

 

 

 

 

圖10

這方面的例子在實(shí)際教學(xué)中是比較少的。這里列舉筆者在一篇文章中摘錄的例子[7]，來(lái)對(duì)畫圖可以促進(jìn)學(xué)生反思加以闡述。

教師在鼓勵(lì)學(xué)生解決完下面的應(yīng)用題后，

 

 

 

 

 

 

鼓勵(lì)學(xué)生將探索出來(lái)的三種解法用“圖”進(jìn)行表達(dá)：

想法一：

 

想法二：

 

 

想法三：

 

 

借助圖學(xué)生對(duì)兩道題進(jìn)行比較，反思到這兩個(gè)題目雖然情境不同，但題目中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)是相同的。

以上對(duì)于畫圖策略的意義和作用加以了分析，下面對(duì)教師如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的“畫圖”策略提一些教學(xué)建議。

第一，鼓勵(lì)學(xué)生畫圖來(lái)分析問題和解決問題，發(fā)展學(xué)生的畫圖意識(shí)。事實(shí)上，不僅僅在解應(yīng)用題上，畫圖策略廣泛應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容領(lǐng)域中。比如，運(yùn)用畫圖可以有助于學(xué)生理解數(shù)概念、運(yùn)算的道理、正反比例的變化情況等。因此，教師應(yīng)在教學(xué)中重視尋找教學(xué)契機(jī)，發(fā)展學(xué)生的畫圖意識(shí)?？梢怨膭?lì)學(xué)生運(yùn)用圖、表格、自然語(yǔ)言、符號(hào)等對(duì)某一概念和規(guī)律進(jìn)行多重表達(dá)；在解決問題缺乏思路時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生畫圖分析一下；在問題解決后運(yùn)用畫圖來(lái)向別人表達(dá)自己的思路。當(dāng)然，畫圖是一種分析問題和解決問題的策略，是否需要畫圖與問題的難度、情境對(duì)學(xué)生的熟悉程度、學(xué)生的年齡特點(diǎn)等都有關(guān)系。如果學(xué)生不借助畫圖已經(jīng)可以解決問題了，教師可以鼓勵(lì)他運(yùn)用畫圖來(lái)表達(dá)自己的思考過程，但不必強(qiáng)求他必須經(jīng)過畫圖才解決問題，更不能因?yàn)閺?qiáng)求必須畫統(tǒng)一的圖而造成學(xué)生“會(huì)解決問題，但不會(huì)畫教師要求的圖”的困惑。

第二，重視學(xué)生自己的示意圖。在過去的教學(xué)中往往只強(qiáng)調(diào)線段圖，或者不鼓勵(lì)學(xué)生自己去畫圖，或者認(rèn)為學(xué)生畫的圖比較“初等”，不如線段圖來(lái)得“簡(jiǎn)潔和抽象”。筆者認(rèn)為，畫圖本身是一種解決問題的策略，能夠有效地解決問題就是好的辦法。而且畫圖正是借助了圖形的直觀。而“直觀”是因人而異、因年級(jí)而異的，因此要重視學(xué)生自己的示意圖，挖掘這些圖中的價(jià)值。其實(shí)，學(xué)生的許多示意圖在本質(zhì)上與線段圖沒有太大的差別。如圖11，我們來(lái)對(duì)比一下案例4和案例6中學(xué)生的示意圖和線段圖。（下圖中將直觀圖放在左面，線段圖放在右面）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

圖11

從圖11中不難看出，學(xué)生的某些圖（如上面所展示的學(xué)生作品）與線段圖“結(jié)構(gòu)”是一樣的。而學(xué)生的圖更加直觀，容易表達(dá)出學(xué)生自己的理解，同時(shí)不同的學(xué)生可能會(huì)選擇不同的圖；而線段圖則顯得更加簡(jiǎn)潔。鑒于此，我們有必要對(duì)于是否要求線段圖做一個(gè)討論。對(duì)于什么是“要求”學(xué)生畫線段圖，至少有下面四種觀點(diǎn)：

觀點(diǎn)1：學(xué)生能畫出線段圖更好，不畫也不用教，只要自己的圖是合理的，有效發(fā)揮了作用從而達(dá)到解決問題目的就可以了。因?yàn)楫媹D的目的是為了幫助學(xué)生分析問題、理解問題，學(xué)生會(huì)借助自己的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行選擇，不必為了教線段圖而教線段圖。

觀點(diǎn)2：教師可以畫出線段圖來(lái)引導(dǎo)學(xué)生，但學(xué)生只要能看懂線段圖即可，不要求一定畫線段圖。因?yàn)榫€段圖確實(shí)比較簡(jiǎn)潔，所以教師可以畫出了引導(dǎo)，但學(xué)生能否體會(huì)其簡(jiǎn)潔性，選擇來(lái)畫線段圖就不做要求了。

觀點(diǎn)3：學(xué)生可以運(yùn)用自己的示意圖來(lái)分析問題和解決問題，但到一定年級(jí)應(yīng)該使每個(gè)學(xué)生都會(huì)畫線段圖。當(dāng)然從學(xué)生的示意圖到線段圖的學(xué)習(xí)是一個(gè)漸進(jìn)的過程，可以鼓勵(lì)學(xué)生通過比較，體會(huì)線段圖的簡(jiǎn)潔性。其實(shí)在低年級(jí)教材中已經(jīng)有了線段圖的雛形，如幾個(gè)小圓片、幾個(gè)三角形等排成一排；到了四年級(jí)的“路程、時(shí)間、速度”學(xué)習(xí)中大多數(shù)實(shí)驗(yàn)教材就出現(xiàn)了比較規(guī)范的線段圖，如果還停留在學(xué)生示意圖的層面，教學(xué)的梯度沒有體現(xiàn)。

觀點(diǎn)4：盡可能早地教給學(xué)生畫線段圖，并且在分析問題和解決問題中盡可能使用線段圖。

雖然以上對(duì)于“線段圖”的要求不盡相同，但也存在著共識(shí)：教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用畫圖分析問題和解決問題，挖掘“畫圖”的價(jià)值；如果需要學(xué)習(xí)線段圖，應(yīng)使學(xué)生通過比較等方式體會(huì)到線段圖的好處；對(duì)于線段圖不必過分苛求格式，比如量一定要標(biāo)在下面、率一定要標(biāo)在上面，只要清晰地表達(dá)出正確的數(shù)量關(guān)系就可以。并且，大部分的觀點(diǎn)認(rèn)為畫圖是一個(gè)分析問題和解決問題的策略，既然是策略，在具體解題時(shí)就可以用或者不用，就可以選擇用示意圖或線段圖。對(duì)于以上共識(shí)，筆者是非常贊同的。確實(shí)，如果把畫圖當(dāng)成策略，那么能有利于學(xué)生分析問題和解決問題的就是好策略，而每個(gè)人選擇的策略是可以不一樣。而學(xué)生的示意圖和線段圖都是利用了圖形的直觀，并且如前所述學(xué)生的很多示意圖和線段圖的結(jié)構(gòu)上無(wú)本質(zhì)性區(qū)別，所以筆者比較傾向于上面的第一種觀點(diǎn)。進(jìn)一步，我們不必馬上陷入觀點(diǎn)之爭(zhēng)上，而是需要思考一些基本問題：線段圖與學(xué)生的示意圖相比到底優(yōu)勢(shì)在哪里，包括在分析問題和解決問題中的優(yōu)勢(shì)以及對(duì)于其他內(nèi)容學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)；學(xué)生是否能通過比較體會(huì)到這種優(yōu)勢(shì)，特別是能否自發(fā)體會(huì)到。

第三，重視畫圖在解決問題和反思交流中的作用。如前所述，畫圖不僅僅可以幫助學(xué)生分析問題，它還有助于學(xué)生解決問題和反思交流。而后兩者在教學(xué)中是比較缺乏的，需要我們不斷加深對(duì)它們的理解，并創(chuàng)造出更多更好的案例。

第四，重視畫圖中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。學(xué)生畫圖的過程應(yīng)該與數(shù)學(xué)思維的過程結(jié)合在一起，實(shí)際上根據(jù)對(duì)題目的分析畫出圖、根據(jù)圖聯(lián)系運(yùn)算的意義、運(yùn)用圖來(lái)直觀表示解決問題的思路和結(jié)果等，這些都必然會(huì)與數(shù)學(xué)思維緊密聯(lián)系。作為教師，要把這種聯(lián)系適當(dāng)凸顯出來(lái)，比如鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己圖的意思，是根據(jù)什么畫出此圖的；鼓勵(lì)學(xué)生借助圖有條理地表達(dá)自己的思路等。

總而言之，畫圖是一種非常重要的分析問題和解決問題的策略，但在它的教學(xué)中也確實(shí)存在著不少需要進(jìn)一步研究的問題。比如，學(xué)生是否選擇畫圖來(lái)解決問題，與題目的難度、呈現(xiàn)形式以及學(xué)生的年齡特點(diǎn)有關(guān)，那么，影響學(xué)生選擇這一策略的因素有哪些呢？在教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象，許多學(xué)生遇到解決不了的問題時(shí)，并不主動(dòng)選擇畫圖策略，而當(dāng)老師要求畫圖后往往能正確畫圖解決問題，也就是學(xué)生會(huì)畫但缺乏畫圖意識(shí)，如何看待這一問題呢？教師也會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果我們鼓勵(lì)學(xué)生畫自己的示意圖，學(xué)生的圖是非常富有個(gè)性的，但這些圖中哪些可以真正有效地解決問題，需要我們細(xì)致研究。再如，前面提到的線段圖教學(xué)中的問題。總之，如何使學(xué)生體會(huì)到畫圖的價(jià)值，并且在需要時(shí)自覺想到畫圖解決問題，并能畫圖有效地解決問題，是我們今后需要不斷思考的問題。

在小學(xué)教材中，列表策略的作用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面。

第一方面，學(xué)生通過列表枚舉出符合條件的一些結(jié)果，然后通過驗(yàn)證從中選擇中最終的答案。比如，對(duì)于“雞兔同籠”的問題，教材大多選擇了列表的策略，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行枚舉，學(xué)生通過枚舉每一種情況并進(jìn)行檢驗(yàn)，得到問題的最終答案。如果頭和腿的數(shù)目較多的情況，學(xué)生也可以在列舉中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律從而進(jìn)行調(diào)整，如“發(fā)現(xiàn)腿數(shù)還差得很多，多增加些兔子”；又如可以從一半開始枚舉（從假設(shè)有一半是雞開始）。這不僅使學(xué)生學(xué)習(xí)了解決問題的重要策略，還可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)的感覺和估計(jì)的能力，使學(xué)生經(jīng)歷建立假設(shè)、檢驗(yàn)假設(shè)的過程，發(fā)展學(xué)生自己進(jìn)行判斷的能力。隨著對(duì)這個(gè)問題的不斷討論，越來(lái)越多的老師認(rèn)識(shí)到枚舉方法的重要性。正如張景中先生提到的[8]：“小學(xué)數(shù)學(xué)里有很多應(yīng)用題，解題的思想方法常常是因題而異?？刹豢梢砸龑?dǎo)學(xué)生探索一下，用一個(gè)思想來(lái)解各種各樣的題目呢?試商的思想，其實(shí)有普遍意義，可以用來(lái)求解許多不同類型的問題，包括應(yīng)用問題，只要問題中的條件數(shù)據(jù)和解答之間有確定性的關(guān)系。例如，修一條長(zhǎng)32千米的公路，已經(jīng)修了24千米，已修的路程是剩下的幾倍?我們用類似試商的辦法來(lái)試解。如果是1倍，剩下的是24千米，總長(zhǎng)48千米，比題設(shè)數(shù)據(jù)大了；如果是2倍呢，剩下的是12千米，總長(zhǎng)36千米，仍比題設(shè)數(shù)據(jù)大；3倍呢，剩下8千米，總長(zhǎng)32千米，正好符合要求。我想很多老師不會(huì)這樣引導(dǎo)學(xué)生思考，認(rèn)為這是個(gè)笨辦法。其實(shí)，這個(gè)辦法具有一般性，把試解的倍數(shù)看成自變量，把根據(jù)試解算出的總長(zhǎng)看成試解倍數(shù)的函數(shù)，找尋使函數(shù)值符合題目要求的自變量，這個(gè)思路能解決很多問題，是‘大智若愚’。這樣思考試算，最終也會(huì)發(fā)現(xiàn)具體的規(guī)律，列出通常的算式。”我們不難看出文中所指的“試商”的方法就是這里說的枚舉并驗(yàn)證的方法，它是一個(gè)“大智若愚”的方法。

第二方面，學(xué)生可以將問題中的信息用表格的形式加以整理，往往既起到整理信息的作用，也有助于學(xué)生探索出解決問題的思路?？刺K教版教材中的一個(gè)例子（如圖12）：借助表格整理了條件和問題，并且學(xué)生通過觀察表格會(huì)有助于思考出解決問題的思路，也為正比例的學(xué)習(xí)奠定了經(jīng)驗(yàn)。進(jìn)一步，通過整理信息，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)赝评恚袝r(shí)就能解決問題。看北師大新世紀(jì)版教材中的一個(gè)例子（如圖13）：學(xué)生通過表格整理提供的信息，并進(jìn)行進(jìn)一步的推理，就能解決最終問題了。

 

 

 

 

 

 

 

 

          圖12                            圖13

模擬操作是借助實(shí)際操作或模擬操作分析問題和解決問題的策略。一方面，如前面提到的通過模擬“相遇問題”中的情境，幫助學(xué)生理解題意和分析問題。另一方面，學(xué)生可以通過操作解決問題。比如，一年級(jí)學(xué)生在解決“8個(gè)男孩比2個(gè)女孩多幾人”時(shí)，學(xué)生通過操作可以得到多6人的結(jié)果。

對(duì)于小學(xué)中到底有哪些基本的分析問題和解決問題的策略，目前還存在著不同認(rèn)識(shí)，以上筆者只是列出最基本的三種策略。同時(shí)，這三種策略在實(shí)際解決問題時(shí)往往是結(jié)合在一起使用的。

對(duì)于分析問題和解決問題策略的教學(xué)，這里提出兩點(diǎn)建議。第一，教學(xué)中要重視對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題策略的指導(dǎo)，適時(shí)地將“隱性”的策略“顯性化”。例如，在具體求解問題前，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生思考需要運(yùn)用哪些策略；在解決問題的過程中，教師可以根據(jù)具體情況，適時(shí)使學(xué)生注意是否要調(diào)整策略；在解決問題之后，教師要鼓勵(lì)學(xué)生反思自己所使用的策略，并組織全班交流；在適當(dāng)時(shí)候，教師可以總結(jié)一些分析和解決問題的策略，讓學(xué)生收集使用這些策略的典型實(shí)例。總之，教師要將分析問題和解決問題的策略作為重要的目標(biāo)，有意識(shí)地加以指導(dǎo)和教學(xué)。

第二，學(xué)生所采用的策略，在老師的眼中也許有優(yōu)劣之分，但在孩子的思考過程中并沒有好壞之別，都反映出學(xué)生對(duì)問題的理解和所作出的努力。只要解題過程及答案具有合理性，就值得肯定。這為樹立學(xué)生的自信心和培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神提供了很有價(jià)值的機(jī)會(huì)。

 

在分析問題和解決問題的過程中，還需要幫助學(xué)生學(xué)習(xí)一些基本數(shù)量關(guān)系，這些關(guān)系對(duì)于解決實(shí)際問題和今后學(xué)習(xí)都是重要的。在課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中，明確了小學(xué)需要學(xué)習(xí)的兩個(gè)基本數(shù)量關(guān)系：一個(gè)是物理模型中的“路程、時(shí)間和速度”關(guān)系；一個(gè)是經(jīng)濟(jì)模型中的“總價(jià)、數(shù)量和單價(jià)”關(guān)系。這兩個(gè)關(guān)系不僅僅在生活中有著廣泛地應(yīng)用，同時(shí)也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)（如微積分）的兩個(gè)重要的基本模型。

這兩個(gè)基本數(shù)量關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中一般在四年級(jí)左右正式引入，但教師應(yīng)注意它們?cè)谛W(xué)中的學(xué)習(xí)線索，包括第一學(xué)段的蘊(yùn)伏——四年級(jí)的正式學(xué)習(xí)——高年級(jí)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。在第一學(xué)段，雖然沒有正式引入這一數(shù)量關(guān)系，但學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)和對(duì)運(yùn)算意義的理解，能夠解決類似“飛機(jī)每分飛行21米，60分飛行多少米”的問題，這為正式學(xué)習(xí)路程、時(shí)間和速度的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)。

到了四年級(jí)正式學(xué)習(xí)兩個(gè)數(shù)量關(guān)系時(shí)，教師要幫助學(xué)生理解速度（或單價(jià)）的意義，以及三量之間的關(guān)系。在下面的案例中，教師在多次幫助學(xué)生構(gòu)建“路程、時(shí)間與速度”之間關(guān)系方面做了有益的嘗試[9]。

1.三量關(guān)系的初步構(gòu)建——體會(huì)速度與路程、時(shí)間有關(guān)系

（1）設(shè)置沖突，引發(fā)思考

    師：兩位小朋友在比上學(xué)路上誰(shuí)走得快，你能幫他們比一比嗎？

出示情境：

 

 

 

師：你覺得誰(shuí)走得快些？

生1：我認(rèn)為張明走得快，因?yàn)樗叩臅r(shí)間短，李紅走得時(shí)間長(zhǎng)。

生2：我覺得不一定，因?yàn)槔罴t的家離學(xué)?？赡鼙葟埫骷疫h(yuǎn)一些。因?yàn)椴恢勒l(shuí)的家遠(yuǎn)。

師：再知道什么，你就能比出誰(shuí)走得快了?

生：他們兩家到學(xué)校的路程。

（2）嘗試解決問題，初步體會(huì)速度含義

教師呈現(xiàn)張明與李紅上學(xué)的路程：張明從家到學(xué)校要走280米，李紅從家到學(xué)校要走480米。

學(xué)生嘗試計(jì)算。

師：誰(shuí)走得快些？你是怎么想的？

生1：李紅走得快些。因?yàn)?80÷4=70（米），480÷6=80（米），80比70大，所以李紅快。（教師板書算式）

師：算式中的70米、80米表示的是什么？

生：表示每分走多少米。（教師板書：每分走70米，每分走80米）

（筆者按：教師通過創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生體會(huì)到速度不僅僅與路程有關(guān)，還與時(shí)間有關(guān)，并且借助已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)體會(huì)到需要計(jì)算中每分走的路程）。

2.三量關(guān)系的再次構(gòu)建——速度表示單位時(shí)間內(nèi)的路程

師：我們知道了速度與什么有關(guān)，現(xiàn)在你會(huì)求速度了嗎？呈現(xiàn)兩個(gè)問題，請(qǐng)學(xué)生口答。

 ① “神七”飛船在太空5秒飛行了約40千米，“神七”飛船的速度約是（        ）。

 ②小青騎自行車，2小時(shí)騎了16千米，小青騎自行車的速度是（     ）。

  學(xué)生口答，教師列式“40÷5＝8（千米）”“16÷2＝8（千米）”。

師：“神七飛船”的速度和騎自行車速度都是8千米，他們的速度是一樣的嗎？你有什么想法?

生：是不一樣的，“神七飛船”的速度是每秒8千米，騎自行車的速度是每分8千米。

師：但黑板上這樣的寫法能區(qū)分清楚嗎？有什么辦法區(qū)分開呢？

生：寫上時(shí)間。

師：說得好，我們可以在路程單位后面加上時(shí)間單位來(lái)表示速度單位，如這兩個(gè)速度單位可以寫為8千米/分、8千米/秒。

引導(dǎo)學(xué)生將步行速度也改寫成70米/分、80米/分，并讀一讀。

師：觀察上述幾個(gè)速度，你能說說速度表示的是什么嗎？

生1：速度表示每分走多少米，每時(shí)走多少千米，每秒走多少千米。

生2：速度表示每分、每時(shí)、每秒走的路程。

師：速度怎樣計(jì)算呢？

生：路程÷時(shí)間=速度。（板書）

（筆者按：學(xué)生通過比較兩個(gè)情境，首先找到其結(jié)果的不同點(diǎn)，體會(huì)表達(dá)速度需要明確路程和時(shí)間；然后找到不同情境的共同點(diǎn)，從而提煉出速度=路程÷時(shí)間的關(guān)系式）

3. 三量關(guān)系的三次構(gòu)建——運(yùn)用其中的兩個(gè)量可以表示第三個(gè)量

（1）體會(huì)速度的實(shí)際意義

①解讀博爾特的速度。

師：跑步是有速度的，你知道當(dāng)今世界上“100米”跑得最快的人是誰(shuí)嗎？

生：博爾特。（教師呈現(xiàn)圖片）

師：“9.58”是博爾特的跑步的時(shí)間還是速度？

生：時(shí)間。

師：他跑步的速度是多少？怎么求？（呈現(xiàn)10.4米/秒）。

師：10.4米/秒什么意思？

生：每秒10.4米。

師：博爾特的速度是10.4米/秒，有多快呢？

生：“滴答一下，就10米多”。（滴答，1秒過去了，也就是咱們一眨眼的時(shí)間。）

師：這個(gè)教室從前到后共10米，嘀嗒一下，博爾特已經(jīng)從這里跑到教室后面了。（老師生動(dòng)的描述引起學(xué)生笑聲、驚訝聲。）

師：你有什么感受？

生：太快了。

……

②解讀獵豹、聲音的速度、光的速度

師：博爾特的速度真夠快的，有沒有更快的速度呢？

生1：光速。

生2：獵豹的速度。

師：想知道獵豹的速度嗎？（課件呈現(xiàn)：獵豹奔跑的速度是30米/秒）。

生（驚訝聲）。

師：看了獵豹的速度你有什么感想？

生1：像閃電一樣，快得沒法說了。

生2：1秒鐘可以跑過了這樣三個(gè)教室，太厲害了。

再呈現(xiàn)聲音的傳播速度是340米/秒，光的速度是300000千米/秒，請(qǐng)學(xué)生選擇一個(gè)與同桌說說速度表示的含義。

③解讀蝸牛爬行的速度

師：不過不是所有動(dòng)物跑起來(lái)都會(huì)很快的，也有跑起來(lái)很慢的。

生1：烏龜。

生2：蝸牛。

課件呈現(xiàn)：蝸牛爬行的速度大約8米/時(shí)。（生讀）

師：什么意思？

生：每時(shí)爬8米。

師：你有什么感受？

生：太慢了，這個(gè)教室博爾特只要跑1秒鐘，蝸牛要爬1小時(shí)多。

（2）解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題，進(jìn)一步完善數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)

課件呈現(xiàn)問題：

①蝸牛爬24米大約要幾時(shí)？

②蝸牛4時(shí)大約可以爬多少米？

學(xué)生獨(dú)立解答，再反饋交流。

師：蝸牛爬24米大約要幾時(shí)？

生1：24÷8=3（時(shí)）

師：你怎么想的？你能結(jié)合線段圖說說嗎？（呈現(xiàn)線段圖）

生1：24米里有3個(gè)8米，就是3小時(shí)。

生2：路程÷速度=時(shí)間。

師：蝸牛4時(shí)大約可以爬多少米？

生：8×4=32（米）。

師：有一位同學(xué)畫了下面這樣一幅圖，你能看懂嗎？（呈現(xiàn)學(xué)生作品）

 

生：一段表示每時(shí)爬8米，4時(shí)就有4個(gè)8米，8×4=32米。

師：對(duì)，老師把這四條線段連起來(lái)就與我們所畫的線段圖一樣了。（呈現(xiàn)線段圖）

師：從這個(gè)問題中，我們可以知道怎樣求路程？

生：速度×時(shí)間=路程。

（筆者按：學(xué)生通過感受不同情境下速度的實(shí)際意義，不僅使學(xué)生將數(shù)學(xué)概念與生活實(shí)際相聯(lián)系，并且進(jìn)一步加深對(duì)于速度的含義。進(jìn)一步，學(xué)生通過解決實(shí)際問題，探索如何由兩個(gè)量來(lái)求第三個(gè)量，從而對(duì)于這三量關(guān)系有了比較完整的認(rèn)識(shí)）。

學(xué)習(xí)了兩個(gè)基本數(shù)量關(guān)系之后，學(xué)生可以在進(jìn)一步學(xué)習(xí)和解決問題中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三量之間關(guān)系。比如，在正反比例學(xué)習(xí)中，學(xué)生將認(rèn)識(shí)到當(dāng)“速度一定時(shí)，路程與時(shí)間是正比例關(guān)系；路程一定時(shí)，速度與時(shí)間是反比例關(guān)系”。

 

教學(xué)中還應(yīng)注重鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問題的解加以檢驗(yàn)。檢驗(yàn)的一方面是解是否正確，是否為所求。教師可以鼓勵(lì)學(xué)生將問題的解帶入題目進(jìn)行檢驗(yàn)。比如，在解決完“六一班學(xué)生分成兩組進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，跳繩的有16人，打籃球的占全班人數(shù)的60%，全班多少人”后，在教師的鼓勵(lì)下，學(xué)生們嘗試將結(jié)果（40人）帶入題目，從不同角度進(jìn)行檢驗(yàn)。

生1：40×60%=24；40-24=16.

生2：40×（1-40%）=16.

生3：16 ÷40=40% . 

檢驗(yàn)的另一方面是考察問題的解是否符合實(shí)際。事實(shí)上，驗(yàn)證結(jié)果的合理性需要兩種基本的能力：首先需要對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量及其關(guān)系有一定了解。例如，知道中國(guó)的人口是10億左右，而不是1億或100億；人的速度、自行車的速度、汽車的速度、飛機(jī)的速度分別大約是多少。雖然這些信息并不只是數(shù)學(xué)的內(nèi)容，但是它們對(duì)于判斷實(shí)際問題解的合理性卻是重要的背景知識(shí)。第二個(gè)方面是能對(duì)結(jié)果的數(shù)量級(jí)有準(zhǔn)確地估計(jì)。這種能力并不是通過大量地訓(xùn)練筆算就可以獲得的，而是通過對(duì)位值的理解和對(duì)簡(jiǎn)單數(shù)的運(yùn)算的靈活運(yùn)用而得到的。

特別地，雖然課程改革提倡應(yīng)用問題與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，但確實(shí)應(yīng)用問題是將生活中的真實(shí)情境進(jìn)行了適當(dāng)簡(jiǎn)化。為了使學(xué)生發(fā)展應(yīng)用意識(shí)，可以在解答完應(yīng)用題后，鼓勵(lì)學(xué)生將應(yīng)用問題的情境與學(xué)生的真實(shí)生活聯(lián)系起來(lái)。比如，一位教師在解決了題目“學(xué)校買了200本書，放在2個(gè)書架上，每個(gè)書架有4層，平均每層放了多少本書”后，鼓勵(lì)學(xué)生討論在自己的學(xué)校是否有類似的事情。學(xué)生聯(lián)系自己學(xué)校買書的情境，提出“學(xué)校圖書館新購(gòu)了一批書，而學(xué)校只有2個(gè)空書架，每個(gè)書架有4層，那么平均每層必須要放多少書才能放下”；“如果放不下，需要再找?guī)讉€(gè)書架”等問題。

進(jìn)一步，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候教師還可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所求解的問題抽象或一般化；思考在解應(yīng)用問題的過程中使用的策略能否作為解決一類問題的重要方法；對(duì)不同策略進(jìn)行比較，以體會(huì)各自不同的特點(diǎn)與適用性；在解應(yīng)用問題的基礎(chǔ)上提出新的問題，等等。必要的時(shí)候，教師還可以鼓勵(lì)學(xué)生舉出類似的問題，以通過變化具體的情境從而突出問題中所蘊(yùn)含的基本結(jié)構(gòu)。