圓是初中幾何的重要知識點，也是中考的難點，在復(fù)習(xí)迎考的最后一周，為了幫助大家解決這些必考難點問題，本文就例題詳細(xì)講解與圓相關(guān)的幾何證明題的解題思路，希望能給大家?guī)韼椭?/p>

例題1

如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上的一點，∠EAB=∠ADB．

（1）求證：EA是⊙O的切線；

（2）已知點B是EF的中點，求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似；

（3）已知AF=4，CF=2．在（2）條件下，求AE的長．

1、證明EA是⊙O的切線

連接DC

根據(jù)圓周角定理和題目中的條件：同弧所對的圓周角相等，圓弧BC所對的兩個圓周角分別為∠BAC和∠BDC，則∠BAC=∠BDC。

根據(jù)題目中的條件和結(jié)論：∠EAB=∠ADB，∠BAC=∠BDC，∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠ADC=∠ADB+∠BDC，則∠EAC=∠ADC。

根據(jù)圓周角定理和題目中的條件：直徑所對的圓周角為直角，AC為⊙O的直徑，則∠ADC=90°，∠ABC=90°。

根據(jù)結(jié)論：∠EAC=∠ADC，∠ADC=90°，則∠EAC=90°。

根據(jù)切線的判定定理、題目中的條件和結(jié)論： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，∠EAC=90°，點A在⊙O上，則EA是⊙O的切線。

2、求證△ABC與△AEF相似

連接BC

根據(jù)直角三角形斜邊中線定理、題目中的條件和結(jié)論：∠EAC=90°，點B是EF的中點，則AB=BF=EF/2。

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和結(jié)論：等腰三角形的底角相等，AB=BF，則∠BAF=∠AFB。

根據(jù)結(jié)論：∠EAC=90°，∠CBA=90°，則∠EAC=∠CBA。

根據(jù)相似三角形的判定定理和結(jié)論：兩組角分別相等的兩個三角形相似，∠EAC=∠CBA，∠AFB=∠BAF，則△AEF∽△BCA。

3、求AE的長

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和結(jié)論：相似三角形的對應(yīng)邊成比例，△AEF∽△BCA，則AF/EF=AB/AC。

根據(jù)題目中的條件：AF=4，CF=2，AC=AF+CF，則AC=6。

根據(jù)題目中的結(jié)論：AB= EF/2，AC=6，AF=4，AF/EF=AB/AC，則EF=4√3。

根據(jù)勾股定理和結(jié)論：AE+AF=EF，EF=4√3，AF=4，則AE=√EF-AF=4√2。

例題2

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于D，過點D作DE⊥AD交AB于E，以AE為直徑作⊙O．

（1）求證：點D在⊙O上；

（2）求證：BC是⊙O的切線；

（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面積．

1、證明點D在⊙O上

連接OD

根據(jù)直角三角形斜邊中線定理和題目中的條件：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，DE⊥AD，O是AE的中點，則OD=OA=OB=AE/2。

根據(jù)題目中的條件和結(jié)論：AE為⊙O的直徑，OD=AE/2，則點D在⊙O上。

2、證明BC是⊙O的切線

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和結(jié)論：等腰三角形的底角相等，OD=OA，則∠OAD=∠ODA。

根據(jù)角平分線性質(zhì)和題目中的條件：角平分線可以得到兩個相等的角，AD為∠BAC的平分線，則∠OAD=∠CAD。

根據(jù)題目中的條件：∠C=90°，∠CAD+∠CDA+∠C=180°，則∠CAD+∠CDA=90°。

根據(jù)結(jié)論：∠OAD=∠CAD，∠OAD=∠ODA，則∠CAD =∠ODA。

根據(jù)結(jié)論：∠CAD+∠CDA=90°，∠CAD =∠ODA，則∠ODA+∠CDA=90°，即OD⊥BC。

根據(jù)切線的判定定理和結(jié)論：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，OD⊥BC，點D在⊙O上，則BC是⊙O的切線。

3、求△BDE的面積

過E點作EF⊥BD，交BD于點F

根據(jù)勾股定理和題目中的條件：AC+BC=AB，AC=6，BC=8，則AB=10。

設(shè)⊙O的半徑為r

根據(jù)題目中的條件：OA+OB=AB，OA=r，AB=10，則OB=AB-OA=10-r。

根據(jù)相似三角形的判定和結(jié)論：∠ACD =∠ODB，∠B =∠B，則△BOD∽△BAC。

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和結(jié)論：相似三角形的對應(yīng)邊成比例，△BOD∽△BAC，則OB/OD=AB/AC。

根據(jù)題目中的條件和結(jié)論：OB/OD=AB/AC，AC=6，AB=10，OD=r，OB=10-r，則(10-r)/r=10/6，即r=15/4。

根據(jù)題目中的條件：OB=10-r，r=15/4，則OB=25/4。

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和結(jié)論：相似三角形的對應(yīng)邊成比例，△BOD∽△BAC，則BD/OD=BC/AC。

根據(jù)題目中的條件和結(jié)論：BD/OB=BC/AB，OB=25/4，AB=10，BC=8，則BD=5。

根據(jù)題目中的條件：EF⊥BD，則∠EFB=90°。

根據(jù)相似三角形的判定和結(jié)論：∠EFB =∠C，∠B =∠B，則△EFB∽△ACB。

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和結(jié)論：相似三角形的對應(yīng)邊成比例，△EFB∽△ACB，則EF/BE=AC/AB。

根據(jù)題目中的條件：BE=BO-OE，OB=25/4，OE=15/4，則BE=5/2。

根據(jù)結(jié)論：EF/BE=AC/AB，BE=5/2，AC=6，AB=10，則EF=3/2。

根據(jù)三角形面積的計算公式和結(jié)論：S△BDE=BD*EF/2，EF=3/2，BD=5，則S△BDE=15/4。

結(jié)語

關(guān)于圓的幾何證明題，需要用到圓及其他幾何圖形的性質(zhì)、定理，因為涉及的知識面較廣，是有較大難度的一類題型。同學(xué)們在解決這樣的難題時，在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，需要理清圓及相關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、定理，尤其是要靈活運(yùn)用相似三角形、直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、定理進(jìn)行證明計算。只要考生們按部就班地分析解題，就能成功應(yīng)對這類題型，為數(shù)學(xué)中考取得高分助力加油！