僅一道題，就把圓、解三角形、相似、一元二次方程等中考重點(diǎn)全綜合起來，您見過嗎？
歡慶的同時(shí)，學(xué)會(huì)一道好題。精細(xì)講解，保證學(xué)會(huì)。
多數(shù)學(xué)生說第二問很難，怎么也形不成思路，您敢挑戰(zhàn)嗎：我講解一貫詳細(xì)，保證您能看懂學(xué)會(huì)！
一、例題及附圖
如圖，在△ABC中，BC⊥AC，AC=3，AD平分∠BAC，點(diǎn)D在BC上，BD×DC=15/4，圓心在AB上的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D和點(diǎn)A，⊙O與AB、AC的交點(diǎn)分別為E、F。
求證BC為⊙O切線且切點(diǎn)為D。
求⊙O半徑及∠ADC的正切值。
例題及附圖。別看圖形不復(fù)雜，第二問難倒85%的學(xué)生！
二、第一問證明切線的分析及四種證法：
證明直線與圓相切，根據(jù)是什么？就一個(gè)精髓：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。我給出四種證法，其中證法四用到容易忽略、但很管用的相等的圓周角所對(duì)的弧相等以及垂徑定理，請您仔細(xì)體會(huì)。證相切，一定要寫出垂直處的點(diǎn)在圓上！
就像制作工藝品，學(xué)習(xí)要精細(xì)、認(rèn)真。
證法一：連接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵⊙O經(jīng)過點(diǎn)D和點(diǎn)A，
∴OA=OD，∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥AC，而BC⊥AC，
∴BC⊥OD，
∵D為⊙O上的點(diǎn)，
∴BC是⊙O切線且切點(diǎn)為D。
第一問前三種證法附圖
證法二：連接OD，
∵BC⊥AC，
∴∠4+∠2=90°---①
∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠3=∠2---②
由①②知∠4+∠3=90°，
則BC⊥OD，下同解法一。
證法三：連接OD，
∠B+(∠1+∠2)=90°，
外角∠5=∠1+∠3=∠1+∠2,
∴∠B+∠5=90°，
即BC⊥OD，下同解法一。
第一問證法四附圖
證法四：連接OD、EF，
由題意AE為⊙O的直徑，
直徑所對(duì)的圓周角為90°，
∴EF⊥AC，而BC⊥AC，
∴EF∥BC----③
∵AD平分∠BAC，∠1=∠2，
∴弧DE=弧DF，
由垂徑定理，
垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧，
∴OD⊥EF----④
由③④知：BC⊥OD，
而D為⊙O上的點(diǎn)，
故BC是⊙O切線且切點(diǎn)為D。
三、第二問求⊙O半徑和∠ADC正切值，難度較大。我提供五種解法，請注意領(lǐng)會(huì)每種解法的精妙之處。
解法一：連接OD，
設(shè)半徑為r，DC=x，
則BD=(15/4)÷x=15/4x。
過點(diǎn)O作OG⊥AD于點(diǎn)M，
第二問解法一附圖
則由垂徑定理OM平分AD。
∵OD∥AC，
∴OD:AC=BD:BC，下接截圖：
第二問解法一過程，接下圖：
解法一結(jié)束。
解法一和下面的解法二，
均是充分利用r和x的關(guān)系求解，
涉及的知識(shí)點(diǎn)有：平行成比例、
相似、垂徑定理、勾股定理、
弦切角、解一元二次方程等。
解法二：連接OD、ED，過點(diǎn)C作CN∥AB交AD的延長線于點(diǎn)N。
觀察△BED∽△CDN是否成立？
第二問解法二附圖
∵CN∥AB，
∴∠B=∠6，∠1=∠N。
而弦切角∠7=∠1，
∴∠7=∠N，則相似成立。
∴BE×CN=CD×DB。
上式中CN=AC=3，
已知右端等于15/4，
∴BE=5/4。
由△AED∽△ADC得
AE:AD=AD:AC，下接截圖：
第二問解法二的過程，接下圖：
拓展延伸求BE。
拓展延伸求BE，
高妙之處在于“兩式相乘”，
不容易想到，您注意領(lǐng)會(huì)。
解法三：
第二問解法三的過程
對(duì)第二問解法三的反思
解法四：
過點(diǎn)D作DG⊥BA于點(diǎn)G，
角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊
距離相等，DG=DC=x，
BD=15/4x，下接截圖：
第二問解法四附圖
第二問解法四過程，接下圖：
第二問解法四結(jié)束。
解法五：用高中知識(shí)二倍角的三角函數(shù)，可不掌握它。
DC=x，BD=15/4x，下接截圖：
第二問解法五過程，接下圖：
欲求直徑AE，只需求出AF。
第二問解法五結(jié)束。
四、劉老師文末寄語：
圓、解三角形、相似、一元二次方程，是歷年中考重點(diǎn)。本文對(duì)您的復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，都大有裨益。
往這考！
我教務(wù)主任，初、高中各門主科都擔(dān)任，持續(xù)發(fā)布中、高考經(jīng)典例題原創(chuàng)解析，敬請您關(guān)注我。
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