若人們不相信數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單，只因他們未意識(shí)到生命之復(fù)雜。
－馮·諾依曼
讀書(shū)之妙在于與作者發(fā)生共鳴，并且產(chǎn)生一種表達(dá)的欲望，把所讀內(nèi)容重新整合消化成為自己的東西。這一過(guò)程和吃飯消化是一樣的，不管你吃的豬肉還是牛肉，最后都成為自己的新的身體組織。即使自己的思考發(fā)現(xiàn)與前人的思考成果相同，對(duì)個(gè)人而言，仍然是一種創(chuàng)造和突破。
人類(lèi)的強(qiáng)大在于他的思維，并且他的思維具有持續(xù)的成長(zhǎng)性。人類(lèi)思維使混沌的模糊的難以把握的復(fù)雜現(xiàn)象變?yōu)橛行虻木_的易于掌控的簡(jiǎn)潔模型，正因?yàn)槿藗儼阉袕?fù)雜的操作全部轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單的二進(jìn)制運(yùn)算，所以人類(lèi)才能創(chuàng)造出像計(jì)算機(jī)這樣精密的可控制的多功能的無(wú)與倫比的強(qiáng)大工具。
任何一個(gè)學(xué)科只有經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)化，才可能應(yīng)于實(shí)踐，成為生產(chǎn)生活的工具，這正是數(shù)學(xué)的有序性、精確性決定的。處理任何事務(wù)，數(shù)學(xué)的思想方法和思維方式都是很有幫助的，因而，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)決不能滿(mǎn)足于埋頭做題而沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)精神的領(lǐng)悟。
數(shù)學(xué)題的解決正是體現(xiàn)了把信息有序化、精確化（也就是模型化、簡(jiǎn)單化）的過(guò)程，如何把問(wèn)題簡(jiǎn)單化？如何高效解決問(wèn)題？我們從具體實(shí)例來(lái)領(lǐng)悟吧。
二、簡(jiǎn)單化的方法：加減、進(jìn)退、分合、動(dòng)靜、數(shù)形，目標(biāo)是構(gòu)造模型建立聯(lián)系，從而解決問(wèn)題。
1.舉一個(gè)網(wǎng)上的趣題：王老板是賣(mài)鞋的，進(jìn)價(jià)50元的鞋30元虧本甩賣(mài)，顧客來(lái)買(mǎi)鞋給了50元，王老板沒(méi)零錢(qián)找鄰居換了50元零錢(qián)找給了顧客，事后鄰居發(fā)現(xiàn)50元是假錢(qián)，王老板又賠給鄰居50元，問(wèn)王老板在這次交易中虧了多少錢(qián)？這道題繞住了不少人，其實(shí)稍有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人對(duì)這個(gè)問(wèn)題很快可以簡(jiǎn)單化：鄰居不虧不賺可以忽略不計(jì)，顧客付出的價(jià)值為0，得到50元的鞋和20元找零，顧客得到的就是王老板所虧的，顯然王老板虧了70元。這就是“減”法，把無(wú)關(guān)緊要的信息忽略，抓住有效關(guān)系解題。
另外一個(gè)與書(shū)中類(lèi)似的例子：在一條水流速度為3km/h的大河里，漁夫逆水開(kāi)船而上，途中風(fēng)把漁夫帽子吹落水中順?biāo)?，漁夫把船開(kāi)到離帽子5km的地方才發(fā)現(xiàn)帽子落水，于是他立刻掉頭開(kāi)船向帽子追去，若漁夫開(kāi)船的速度是10km/h，他是在下午2點(diǎn)丟失帽子的，請(qǐng)問(wèn)他何時(shí)能追上帽子？細(xì)思一下本題會(huì)發(fā)現(xiàn)，帽子和漁夫始終都在水中運(yùn)動(dòng)，水流速度對(duì)人和帽子的影響是相同的，我們?cè)诘厍蛏嫌?jì)算有關(guān)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題考慮過(guò)地球的運(yùn)動(dòng)速度嗎？肯定不用，完全可以把地球當(dāng)成靜止不動(dòng)的。本題中直接忽略水流速度，當(dāng)成在靜止的水中運(yùn)動(dòng)，很簡(jiǎn)單得到結(jié)果：帽子落水后船追到帽子所走的路程為10km，用時(shí)1h，所以能在下午3時(shí)追上帽子。
2.已知(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，求證:x-y=y-z.
本題解法比較多，如果直接把原等式展開(kāi)的話(huà)很麻煩，我們從題目的整體結(jié)構(gòu)及組成元素來(lái)看，題中多次出現(xiàn)x-y、y-z，而x-z似乎是一個(gè)障礙，需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，我們用“加”法，添加-y+y即可，x-z=x-y+y-z，這樣形成關(guān)于x-y與y-z的完全平方與積的形式，[(x-y)+(y-z)]2-4(x-y)(y-z)=0，得[(x-y)-(y-z)]2=0，得(x-y)-(y-z)=0，即得x-y=y-z。從整體觀點(diǎn)簡(jiǎn)化一下原式實(shí)質(zhì)就是(m+n)2-4mn=(m-n)2。這里是在問(wèn)題條件中添加補(bǔ)充關(guān)聯(lián)元素，使之出現(xiàn)數(shù)學(xué)模型，產(chǎn)生數(shù)學(xué)關(guān)系。再如：分解因式4x4+1=4x4+1+4x2-4x2=(2x2+1)2-(2x)2=(2x2+1-2x)(2x2+1+2x)，也是通過(guò)添加元素構(gòu)造數(shù)學(xué)模型。
3.100名乒乓球 選手采用淘汰制爭(zhēng)奪單打冠軍，共需進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？
若直接計(jì)算要進(jìn)行7輪比賽，算出每輪場(chǎng)數(shù)再相加：50+25+12+6+3+2+1=99。其實(shí)有更簡(jiǎn)單的方法，我們可以換個(gè)方向思考：最后的冠軍剩下1人，即99人被淘汰，每場(chǎng)比賽淘汰1人，則很容易得到比賽場(chǎng)數(shù)為99場(chǎng)。
再有一例：一條毛毛蟲(chóng)由幼蟲(chóng)長(zhǎng)為成蟲(chóng)每天長(zhǎng)大一倍，30天能長(zhǎng)到20厘米，請(qǐng)問(wèn)第幾天長(zhǎng)到5厘米？這里我們也不需要從第一天開(kāi)始計(jì)算，可以從最后一天開(kāi)始倒推，29天長(zhǎng)到10厘米，28天長(zhǎng)到5厘米。
這是“退”法，即逆向思考，從結(jié)果往前追溯，問(wèn)題就很清楚，很容易解決。
4.曾經(jīng)考過(guò)的一道題：說(shuō)明關(guān)于x的方程(x-m)2-(x-m)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。大多數(shù)學(xué)生都很教條，他們不辭勞苦地先把方程展開(kāi)合并成一般形式，再用根的判別式配方證明△>0，得出結(jié)論。這真是舍本逐末，其實(shí)我們由原方程很容易直接解出兩根為x=m或x=m+1，顯然m≠m+1，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。若問(wèn)題條件與結(jié)論有明確的聯(lián)系，我們直接從條件出發(fā)，推進(jìn)至結(jié)論即可。
5.一道趣題：杰克正看著安妮，安妮正看著喬治，杰克已婚，喬治未婚，請(qǐng)問(wèn)有已婚人士看著未婚人士嗎？ （A.有 B.沒(méi)有 C.不能確定）
籠統(tǒng)地看，似乎感覺(jué)不能確定，這里我們做個(gè)簡(jiǎn)單的分類(lèi)即可輕松解決：若安妮未婚，杰克看著安妮，有已婚人士看著未婚人士；若安妮已婚，安妮看著喬治，仍有已婚人士看著未婚人士，答案顯然是A。
復(fù)雜問(wèn)題可以分類(lèi)成不同情況或分解為不同部分，然后各個(gè)擊破逐步加以解決，“分”是簡(jiǎn)單化的重要方法。
再看一道幾何題：Rt△ABC中，AC=BC=2，D為AC的中點(diǎn)，E為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，得△DC′E，M、N分別為AB、BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△MNC′的周長(zhǎng)最小值為 .
分三步思考：（1）化折為直，要求△MNC′三邊之和最小，一般先“化折”再“化直”，通過(guò)沿動(dòng)點(diǎn)所在直線翻折使三邊變?yōu)檫B續(xù)折線PM、MN、NQ，再使三條折線共線即PQ為最小，如下圖。
（2）動(dòng)中尋定，圖中有無(wú)確定的長(zhǎng)度、角度和圖形？由翻折易知∠PBQ=90°，BP=BQ，所以△PBQ的形狀是確定的，它是等腰直角三角形，那么當(dāng)其中任意一條邊最小時(shí)各邊即得最小，所以當(dāng)PB最小時(shí)PQ亦最小。
（3）軌跡定位，動(dòng)點(diǎn)C′的軌跡是圓弧，由翻折知PB=BC′，轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)到定圓的最短路徑，即為BC′D共線時(shí)，BC′最小為√5-1，由此得出結(jié)果最小周長(zhǎng)即為PQ=√2PB=√2BC′=√2(√5-1)=√10-√2。
6.已知：圖中有正方形ABCD、正方形DEFG、正方形BMFN，求證：四邊形AEFM是平行四邊形.
圖中有三個(gè)正方形，可以產(chǎn)生豐富的邊角相等關(guān)系，但是從原圖看不出現(xiàn)成的幾何模型，顯然是缺少點(diǎn)什么。也許有經(jīng)驗(yàn)的解題者會(huì)構(gòu)造出下面的圖形：
圖中出現(xiàn)了兩組“手拉手”形全等，然而卻發(fā)現(xiàn)這對(duì)解題并沒(méi)有直接的幫助。我們做個(gè)“減”法就會(huì)明白上圖所構(gòu)造出來(lái)的兩個(gè)三角形與問(wèn)題結(jié)論缺少緊密的關(guān)聯(lián)，因?yàn)閳D中的G、C、N三點(diǎn)根本就是冗余的圖形，把這三個(gè)點(diǎn)刪掉對(duì)問(wèn)題沒(méi)有影響，如下圖：
只保留三個(gè)等腰直角三角形并不影響結(jié)論的成立，現(xiàn)在圖形簡(jiǎn)潔明了，我們?cè)儆谩昂稀狈ò训妊苯侨切蝺蓛山M合，就會(huì)發(fā)現(xiàn)圖中已然包含兩對(duì)“一轉(zhuǎn)成雙·手拉手”模型，易得△BDF∽△ADE∽△BAM，相似比為1：√2，利用邊的關(guān)系證AE=FM，AM=EF，得四邊形AEFM是平行四邊形。（也可以利用角關(guān)系證邊平行）
7.例1.已知：ΔABC中，∠C=90°，BD=AC，AE=CD，求證：∠BPD=45°.
結(jié)合條件觀察圖形，由兩對(duì)相等線段BD=AC，AE=CD，且BD⊥AC，CD⊥AD，也就是說(shuō)圖中有有兩組邊分別相等，邊的夾角都是90度，只不過(guò)有兩條邊是分散的不在一個(gè)三角形中，自然想到利用運(yùn)動(dòng)變換構(gòu)造旋轉(zhuǎn)90度的全等三角形，即把圖中已有的ΔACD旋轉(zhuǎn)90度移至相應(yīng)的位置構(gòu)造出另一個(gè)與之全等的三角形。
如下圖，相當(dāng)于把AE移至BF處組成全等三角形。
下圖是把BD平移至EF處。
下圖是把AE平移至DF處。
下圖是把BD平移至AF處。
8.平面直角坐標(biāo)系中，A（0，8），B（6，0），M是AB的中點(diǎn)，P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△BPM沿PM翻折得△CPM，當(dāng)C點(diǎn)落在直線x=-1上時(shí)求C點(diǎn)的坐標(biāo).
怎樣思考最清晰明了？C點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，我們以“靜”制動(dòng)，從整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程看，C點(diǎn)的軌跡是圓弧，作出圓弧求與直線x=-1的交點(diǎn)即可，把運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)轉(zhuǎn)化成靜止圖形，這樣處理簡(jiǎn)單直觀不易遺漏。
9.大李對(duì)小王說(shuō)：“我像你這么大時(shí)，你才1歲，你像我這么大時(shí)，我已經(jīng)49歲了?！闭?qǐng)問(wèn)大李和小王今年多大？
如圖，我們把年齡關(guān)系用線段長(zhǎng)度表示，三條線段即是兩人年齡差，顯然兩人年齡差為16歲，現(xiàn)在年齡分別為33歲、17歲。
圖形可以直觀地表示數(shù)量關(guān)系，數(shù)形結(jié)合既可以加深對(duì)數(shù)學(xué)原理的理解，也可以有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。
再舉一例：某制衣廠計(jì)劃若干天完成一批服裝的訂貨任務(wù).如果每天生產(chǎn)服裝20套，那么就比訂貨任務(wù)少100套；如果每天生產(chǎn)服裝23套，那么就可超過(guò)訂貨任務(wù)20套.這批服裝的訂貨任務(wù)是多少套？計(jì)劃多少天完成？
如下圖，服裝數(shù)量為面積，每天完成量為一邊長(zhǎng)，計(jì)劃天數(shù)為一邊長(zhǎng)，由面積關(guān)系易得所求數(shù)量。
三、反思，讓解題更優(yōu)美：更簡(jiǎn)潔、更一般、更特殊
（未完待續(xù)）
學(xué)習(xí) 思考 實(shí)踐 創(chuàng)作
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