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在中考數(shù)學(xué)中，函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題有多重要，我想不用老師多說(shuō)，大家心里都很清楚。此類(lèi)問(wèn)題一般是把幾何圖形“植入”平面直角坐標(biāo)系中，再結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)，從而形成函數(shù)與幾何綜合性較強(qiáng)的中考試題，大部分都是以壓軸題的形式出現(xiàn)。
應(yīng)很多讀者朋友的要求，今天我們一起來(lái)講講反比例函數(shù)與幾何相關(guān)的綜合問(wèn)題，希望能更好幫助大家學(xué)好此塊內(nèi)容，戰(zhàn)勝中考。
函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題最大的特點(diǎn)就是“數(shù)”與“形”相互結(jié)合、相互滲透，反比例函數(shù)與幾何相關(guān)的綜合問(wèn)題也不例外。其次在現(xiàn)實(shí)生活中，也存在著大量的反比例關(guān)系，影響著我們生活方方面面，通過(guò)反比例函數(shù)知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)會(huì)把這些實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成反比例函數(shù)來(lái)解決，從而達(dá)到提高分析問(wèn)題、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
那么什么是反比例函數(shù)呢？
一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=k/x (k為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱(chēng)y是x的反比例函數(shù)。
因?yàn)閥=k/x是一個(gè)分式，所以自變量X的取值范圍是X≠0。
y=k/x有時(shí)也被寫(xiě)成xy=k或y=k·x-1。
表達(dá)式為：x是自變量，y是因變量，y是x的函數(shù)。
中考數(shù)學(xué)，反比例函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題，典型例題分析1：
如圖，反比例函數(shù)y=k/x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,4),直線y=-x + b(b≠0) 與雙曲線y=k/x在第二、四象限分別相交于P，Q 兩點(diǎn)，與x軸、y 軸分別相交于C,D 兩點(diǎn).
(1)求k 的值;
(2)當(dāng)b=-2 時(shí)，求△OCD 的面積；
(3)連接OQ，是否存在實(shí)數(shù)b,使得S△ODQ=S△OCD？ 若存在，請(qǐng)求出b 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：（1）∵反比例函數(shù)y=k/x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A （﹣1，4 ），
∴k= ﹣1×4= ﹣4 ；
（2 ）當(dāng)b= ﹣2 時(shí)，直線解析式為y= ﹣x ﹣2 ，
∵y=0 時(shí)，﹣x ﹣2=0 ，解得x= ﹣2 ，
∴C （﹣2 ，0 ），
∵當(dāng)x=0 時(shí)，y= ﹣x ﹣2= ﹣2 ，
∴D （0，﹣2 ），
∴S△ OCD=2×2/2=2 ；
（3 ）存在．
當(dāng)y=0 時(shí)，﹣x+b=0 ，解得x=b ，
則C （b ，0 ），
∵S△ ODQ=S△ OCD，
∴點(diǎn)Q 和點(diǎn)C 到OD 的距離相等，
考點(diǎn)分析：
反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題；計(jì)算題。
題干分析：
（1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得k= ﹣4 ；
（2 ）當(dāng)b= ﹣2 時(shí)，直線解析式為y= ﹣x ﹣2 ，則利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出C （﹣2 ，0 ），D （0，﹣2 ），然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（3 ）先表示出C （b ，0 ），根據(jù)三角形面積公式，由于S△ ODQ=S△ OCD ，所以點(diǎn)Q 和 點(diǎn)C 到OD 的距離相等，則Q 的橫坐標(biāo)為（﹣b ，0 ），利用直線解析式可得到Q （﹣b ，2b ），再根據(jù)反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到﹣b ·2b= ﹣4 ，然后解方程即可得到滿(mǎn)足條件的b的值。
解題反思：
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)。也考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和三角形面積公式。
k在反比例函數(shù)中是一個(gè)非常重要的量，很多問(wèn)題的正確解決關(guān)鍵就在于如何用這個(gè)k。
如確定反比函數(shù)解析式我們一般采用的是待定系數(shù)法，而在反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=k/x中，只需確定一個(gè)待定系數(shù)k。因此求反比例函數(shù)的解析式只需要確定一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。
k不僅能幫助我們確定反比例函數(shù)的解析式，更具有特殊的幾何意義。如過(guò)反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）圖像上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PM ·PN=|y| ·|x|=|xy|。
∵y=k/x
∴xy=k,S=|k|。
中考數(shù)學(xué)，反比例函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題，典型例題分析2：
如圖，反比例函數(shù)y=k/x（k≠0，x＞0）的圖象與直線y=3x相交于點(diǎn)C，過(guò)直線上點(diǎn)A（1，3）作AB⊥x軸于點(diǎn)B，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D，且AB=3BD．
（1）求k的值；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在y軸上確定一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到C、D兩點(diǎn)距離之和d=MC+MD最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
考點(diǎn)分析：
反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題；軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題．
題干分析：
（1）根據(jù)A坐標(biāo)，以及AB=3BD求出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值；
（2）直線y=3x與反比例解析式聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；
（3）作C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C′D交y軸于M，則d=MC+MD最小，得到C′的坐標(biāo)，求得直線C′D的解析式，直線與y軸的交點(diǎn)即為所求。
解題反思：
此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，以及直線與反比例的交點(diǎn)求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵。
反比例函數(shù)的圖像屬于以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)的雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。反比例函數(shù)圖象中每一象限的每一支曲線會(huì)無(wú)限接近X軸Y軸但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交（y≠0）。
通過(guò)對(duì)近幾年中考數(shù)學(xué)試題的分析，我們發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題，溝一般可以分為以下三大類(lèi):
1、利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義探究圖形的面積或探究結(jié)構(gòu)相同的若干個(gè)幾何圖形的面積間的規(guī)律；
2、根據(jù)幾何圖形的面積確定k的值；
3、以點(diǎn)的坐標(biāo)為載體進(jìn)行規(guī)律探究。
函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題最大的特點(diǎn)就是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，反比例函數(shù)相關(guān)綜合問(wèn)題也不例外，因此大家在解決反比例函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題時(shí)候，一定要認(rèn)真學(xué)習(xí)、理解消化相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，這樣才能綜合提高自身的解決問(wèn)題能力。
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