導(dǎo)讀：自從凱利公式被巴菲特和比爾格羅斯等大佬引用了后，就火遍了整個(gè)投資圈。這個(gè)公式也順理成章的成了投資界里最被濫用的概念之一。那么凱利公式到底對投資有什么幫助呢？這個(gè)公式又有什么致命的缺點(diǎn)呢？
▌一、賭場神器：凱利公式
簡單來講，凱利公式是一個(gè)根據(jù)賠率來計(jì)算最佳投注比例，以此來獲得最高賭博收益的公式。
就是這樣的一個(gè)關(guān)于賭博的公式被巴菲特，查理芒格和比爾格羅斯引用了無數(shù)回。
查理芒格曾更直白的表示過：“股市本質(zhì)上就是個(gè)大賭場，不這么認(rèn)為的人很天真。如果你仔細(xì)想想，就會明白賽馬場分享賭金的方法就是一個(gè)股票市場系統(tǒng)，每個(gè)人都進(jìn)去押注，機(jī)會也會隨著賭注的變化而變化，這就是股市發(fā)生的情況。”
正是股市和賭場存在很強(qiáng)的相似性，凱利公式順利的從一個(gè)賭徒的工具演變成了投資者的工具。
不同的是，大多數(shù)賭徒都承認(rèn)自己是賭徒，而大多數(shù)投資者都不認(rèn)為自己跟賭徒有一分錢關(guān)系。
這也就是為什么股市里有些投資大師也是專業(yè)的撲克玩家。比如說，巴菲特?zé)釔蹣蚺?，并無數(shù)次強(qiáng)調(diào)投資和打橋牌的相似性。
除此之外，大衛(wèi)艾因霍恩，這個(gè)管理著近100億美金并且曾因做空雷曼兄弟大賺10億美金的投資大師還是個(gè)業(yè)余的撲克高手！在2012年的世界撲克系列賽（WOSP）的決賽桌上，大衛(wèi)艾因霍恩以業(yè)務(wù)選手的身份拿下了比賽的第三名，獲得獎金435萬美金！
讓這些大佬們?nèi)绱舜蹬醯膭P利公式到底是什么呢？
凱利公式其實(shí)很簡單：
f*為現(xiàn)有資金應(yīng)進(jìn)行下次投注的比例；
b為投注可得的賠率；
p為獲勝率；
q為落敗率，即1- p
換句話說，你只要計(jì)算出賠率，計(jì)算出獲勝的概率，那么你就能知道要拿多少倉位去下這個(gè)注。
假設(shè)你有1000美金進(jìn)行一項(xiàng)2賠1的拋硬幣游戲——如果硬幣為正面，你就贏2美元；如果硬幣為反面，你就輸1美元。你有50%獲勝率(p =0.50, q = 0.50)，贏的話會獲得2倍的賠率 (b= 2)，那么你應(yīng)該每次下注資金的25% (f* = 0.25)，才能使收益最大化。
知名的數(shù)學(xué)家Edward Thorp 讀了 John Kelly 的論文之后，先是自學(xué) Fortran 用 IBM 大型機(jī)開發(fā)了一套專門用于 21 點(diǎn)的算法，帶上 John Kelly 的導(dǎo)師在拉斯維加斯狂賺幾百萬美金。
隨后，這哥們又成立了一個(gè)對沖基金：PrincetonNewport Partners。從1968年到1988年，這個(gè)對沖基金凈值上漲了14.5倍，同期標(biāo)普500只上漲了5倍。
▌二、凱利公式起源
凱利公式是由物理學(xué)家John Kelly發(fā)明而來。
1955 年 6 月，美國出現(xiàn)了一個(gè)極其有名的電視節(jié)目，叫做 64000 dollar question. 答題者通過不斷答對題來累積獎金，一時(shí)風(fēng)靡全美，黃金時(shí)段收視率達(dá)到 85%，各路山寨節(jié)目不斷。這樣一個(gè) quiz show 迅速吸引了場外下注來賭贏家的賭盤。這檔節(jié)目的錄制是在紐約，東海岸現(xiàn)場直播，而西海岸則有延時(shí)。當(dāng)時(shí)的新聞爆出一些丑聞，有關(guān)西海岸的賭徒通過電話提前得知結(jié)果，趕在了西海岸直播前下注。
John Kelly 看了新聞之后，他想到這個(gè)如何使具備一定內(nèi)幕消息 (private wire) 但是同時(shí)有一部分雜音 (noise) 的賭徒最大化長期獲益的問題，可以使用他們實(shí)驗(yàn)室關(guān)于咨詢學(xué)和噪音傳遞研究的公式來解決。于是，他以一個(gè)賽馬的模型，推出了凱利公式的雛形。
John Kelly 的理論是這樣的，對于有一定 private wire 的賽馬人來說，第一個(gè)自然的想法當(dāng)然是放入全部的資金，但是這樣就會造成萬一輸?shù)粞緹o歸的慘境。而在 Kelly 想要解決的這個(gè)問題中，在任何一個(gè)時(shí)刻輸?shù)羧抠Y金顯然是不符合最大化累積收益的需求的。
真正應(yīng)該關(guān)心的是長期累積的收入 (compounding return)，對于累積的收益來說，最后的結(jié)果只和輸贏的局?jǐn)?shù)有關(guān)，而和輸贏的順序無關(guān)。所以他推出了一個(gè)最佳的投入倉位比，來最大化長期的累積收益：
bet = edge / odds = 預(yù)期獲益／獲益回報(bào)
這里的預(yù)期獲益（edge）在賭博中可以理解為“獲勝的概率＊賠率 -失敗的概率”，當(dāng)預(yù)期獲益的數(shù)字為正的時(shí)候，這就是值得下注的比賽，而預(yù)期獲益為 0 或者負(fù)數(shù)的情況說明賭徒不具備任何優(yōu)勢, 不應(yīng)該下注 (applies to most of games in casino)。
專業(yè)的資金管理者，會尋求他們認(rèn)為自己有優(yōu)勢的投資，只有在他明白自己是比競爭對手更有優(yōu)勢，勝率更大的時(shí)候，這些資金管理者才會重拳出擊。
查理芒格曾在2013年的一個(gè)采訪中解釋過巴菲特為什么會在2009年大舉加倉富國銀行。當(dāng)然從現(xiàn)在來看，巴菲特是確確實(shí)實(shí)抄在了大底部。
查理芒格解釋說，巴菲特買入富國銀行是因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)自己在2009年的時(shí)候有巨大的信息優(yōu)勢。巴菲特比別的投資者更清楚富國銀行的文化，風(fēng)險(xiǎn)敞口，風(fēng)控能力，他相信富國銀行是整個(gè)金融危機(jī)里受損最小的銀行。換句話說，如果富國銀行都破產(chǎn)了，那么整個(gè)美國銀行股不可能有一個(gè)銀行得到幸存。
正是看到自己的這個(gè)優(yōu)勢，巴菲特選擇重拳出擊。這是一個(gè)典型的利用凱利公式進(jìn)行投資決策的案例。
▌三、凱利公式如何運(yùn)用在股市
那么在股市里概率和賠率是如何計(jì)算出來的呢？
市面上大多數(shù)關(guān)于凱利公式的文章都避而不談這個(gè)問題，其實(shí)對普通投資者這才是關(guān)鍵。
如果沒有辦法大致思考出概率和賠率，那么使用凱利公式也就無從談起了。
另外，只有少數(shù)自己非常了解的股票才能計(jì)算出來概率和賠率，大多數(shù)公司都是出于自己不了，或者模棱兩可的狀態(tài)。
概率的計(jì)算：
如果你調(diào)查的事件僅僅只有幾種可能的結(jié)論，那么概率計(jì)算其實(shí)就是簡單的加減乘除法。比如說一個(gè)篩子只有6面，出現(xiàn)任意一個(gè)1-6數(shù)字的概率是六分之一。
如果可能的結(jié)果數(shù)量是無限的，而你能找到大量過去的事例，你可以基于頻數(shù)分布得出的概率。
這里舉的例子是巴菲特投資可口可樂的例子。毫無疑問，可口可樂是巴菲特最成功的投資之一。
巴菲特經(jīng)常說可口可樂的投資代表著幾乎肯定100%的成功概率。因?yàn)榭煽诳蓸酚兄?00多年的業(yè)績數(shù)據(jù)可以查詢，這些數(shù)據(jù)構(gòu)成了一副頻數(shù)分布圖。
而可口可樂陷入困境的原因是因?yàn)楫?dāng)時(shí)的CEO做了一次驚人的嘗試—改變可口可樂的口味。正是這次改變口味讓可口可樂的股價(jià)重挫，因?yàn)橄M(fèi)者不買單。那么股價(jià)重挫后，可口可樂打算怎么辦呢？
新上任的CEO羅伯特打算重新回答原來的口味上來。那么重回原來的口味上能讓消費(fèi)者滿意嗎？能讓可口可樂重回之前的業(yè)績嗎？
這個(gè)時(shí)候，你就可以拿出可口可樂在過去100年業(yè)績數(shù)字組成的頻數(shù)分布圖了。在這個(gè)問題上，巴菲特認(rèn)為概率是100%。
如果可能的結(jié)果的數(shù)量是無限的，但是你沒有辦法拿到充足的可重復(fù)的數(shù)據(jù)建立頻數(shù)分布，那你只有使用主觀概率分析法，盡可能收集更多信息了。在這種情況下，你的概率數(shù)據(jù)與你對自己的分析信心水平相一致。
賠率的計(jì)算：
所謂的賠率也就是你賭對了的收益與賭輸了的損失比。
很不幸的是，在多數(shù)情況下你都不知道賠率是多少。這也就是為什么在股市里長期穩(wěn)定獲利很難。
幸運(yùn)的是，你不需要知道每個(gè)股票的賠率，你只需要知道幾個(gè)你自己真正了解的公司的賠率就ok了。
比如說，生物制藥公司TBPH手里有著一個(gè)處于FDA第三階段審核的藥物（2016年底就知道第三階段的，如果這個(gè)藥物通過，那么TBPH的市值應(yīng)該超過25億美金，如果沒通過可能會降至6億美金。
25億美金是對新藥市場的一個(gè)預(yù)測，這是華爾街對這藥物前景的預(yù)測。
6億美金是整個(gè)公司除去這個(gè)第三階段藥物之后剩下正在研發(fā)藥物的總市值。
而現(xiàn)在TBPH的市值是10億美金，也就是說，如果這款藥通過FDA，那么上漲收益是200%-250%，如果沒通過，大概要損失40%。這就是這個(gè)事件的賠率計(jì)算。
▌四、為什么需要改良凱利公式以用于投資
即使如此，凱利公式也還是有很多缺點(diǎn)的，如果不了解這些缺點(diǎn)而盲目的霸王硬上弓，那么結(jié)局很可能是個(gè)悲劇。
游戲與投資的區(qū)別：
凱利公式的運(yùn)用前提是獨(dú)立的有順序的賭博。這對于賭博游戲來說也許是個(gè)好的模型，但并不一定適用于投資領(lǐng)域。擲骰子不會受原油價(jià)格、戰(zhàn)爭發(fā)生、金融系統(tǒng)崩塌的影響，但證券價(jià)格會。凱利公式要求賭注之間沒有關(guān)聯(lián)——這很難適用于投資組合。撲克游戲由一手發(fā)牌開始，以玩家們展示自己牌結(jié)束。然后游戲重新開局。專業(yè)投資意味著有投資組合。即使投資組合是一個(gè)整體，但里面還是有各種各樣的bets。如果一次只考慮一個(gè)賭注，凱利公式認(rèn)為每次要押資金的10%，意味著投資者的全部資金是有風(fēng)險(xiǎn)的。那樣風(fēng)險(xiǎn)很大，尤其當(dāng)賭注的報(bào)酬是有關(guān)聯(lián)性的。作為投資者，如果你以這種方式增加10%的倉位，那就需要它們之間沒有關(guān)聯(lián)性，凱利公式才會起作用（在公式里，關(guān)聯(lián)性定義為相關(guān)統(tǒng)計(jì)關(guān)系）。再者，投資組合一般同時(shí)擁有10個(gè)bets。因此，凱利公式的有序性更適用于賭博游戲而非投資。
賭博游戲的報(bào)酬是統(tǒng)計(jì)好的，而投資有異質(zhì)性?；诙ㄐ栽?，在運(yùn)氣類游戲中，猜測或在假設(shè)上的改變都只有一次機(jī)會。證券價(jià)格不僅受“市場對內(nèi)在價(jià)值認(rèn)同”和“外在宏觀事件”的影響，還受“理性利益相關(guān)方的行為”和“非理性的無知的利益相關(guān)方行為”的影響。當(dāng)投資者做出認(rèn)為自己有競爭優(yōu)勢的決定時(shí)，大多數(shù)是定性的且基于分析師或投資組合經(jīng)理的個(gè)人觀點(diǎn)。
長遠(yuǎn)來看我們都會死亡：
凱利公式“從長遠(yuǎn)來看”是有作用的（有漸近性）。凱利公式只考慮長期財(cái)富。這是價(jià)值投資者用凱利公式衡量投資的原因之一。然而，對于我們許多人來說，短期也是很重要的。只用凱利公式衡量交易會帶來高度不穩(wěn)定的短期結(jié)果，不論在未來會發(fā)生什么事。
不要賭上所有資產(chǎn)：
將凱利公式應(yīng)用于投資，其中一個(gè)最不現(xiàn)實(shí)的假設(shè)就是：財(cái)富既是目標(biāo)，也是限制賭徒發(fā)揮的因素。
即使當(dāng)高概率的事件出現(xiàn)時(shí)，大多數(shù)人不能押上他們的全部財(cái)產(chǎn)。因?yàn)榇蠖鄶?shù)人都無法忍受短期的波動，以及無法忍受當(dāng)自己的觀點(diǎn)和別人不一樣時(shí)忍受的壓力。
凱利公式其中一個(gè)最重要的觀點(diǎn)是：如果下賭注的數(shù)額比凱利公式算出來的多，則會提高得到差回報(bào)的可能性，同時(shí)也降低了得到好回報(bào)的可能性。既然在現(xiàn)實(shí)中我們很少知道精確的概率和報(bào)酬，也知道賭注過多比賭注過少還不利，那就應(yīng)該要穩(wěn)妥謹(jǐn)慎下注，且投注數(shù)額要比凱利公式算出來的少。
▌五、結(jié)語
凱利公式是我們用來衡量進(jìn)入投資組合的倉位的有效工具。這個(gè)公式著眼于關(guān)注長期回報(bào)率和風(fēng)險(xiǎn)控制。
然而，就像上面提到的，嚴(yán)格來講，凱利公式上還是有很多缺點(diǎn)：
凱利公式適用于有順序但無關(guān)聯(lián)性的賭注。在有內(nèi)在賭注的投資組合中(且內(nèi)在賭注被宏觀因素、市場和彼此影響)，專業(yè)操作資金池也會樣做。他們之間存在些內(nèi)在關(guān)聯(lián)性。
賭博游戲的輸贏可以統(tǒng)計(jì)。而投資的行為和最終價(jià)值具有特殊性。
決定賭博中的 “edge”是定量和精確的。決定賭博中的 “edge” 經(jīng)常是定量且基于個(gè)人觀點(diǎn)，因此很難去精確定義。
在尋求長期絕對回報(bào)時(shí)，專業(yè)經(jīng)營投資池很少可以在不在意短期波動的情況下去押高度集中的賭注。真實(shí)世界里是存在競爭目標(biāo)的。
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