相似是兩個(gè)圖形之間的一種關(guān)系，是初二學(xué)過的全等的一個(gè)進(jìn)階，今后求線段求角度的一種重要手段，因此這一章的重要性大家也就明白了。下面我們先從比例線段開始講起~（本文篇幅較長，建議分成兩至三次去看）
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一、比例線段的基本概念
1、比例線段的定義（低頻考點(diǎn)）
（1）兩條線段的比：選用同一長度單位量得的兩條線段的長度的比，叫做這兩條線段的比。
（2）成比例線段：如果線段和的比等于線段和的比，那么線段，，，叫做成比例線段，記作或，其中，叫做比的前項(xiàng)，，叫做比的后項(xiàng)，，叫做比例內(nèi)項(xiàng)，，叫做比例外項(xiàng)，叫做，，的第四比例項(xiàng)。（看著好繁瑣對不對，那我問你，小學(xué)學(xué)的外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積還記得不？記得？OK，那就夠了）
（3）比例中項(xiàng)：若，則稱是，的比例中項(xiàng)。
一般上面的這部分期末考察的不多，考察的題目也相對比較基礎(chǔ)，比如2015-2016南開期末考過比例尺：
例：在比例尺的地圖上，量得甲、乙兩地距離是，則甲、乙兩地的實(shí)際距離為__________。
分析：設(shè)兩地實(shí)際距離為，根據(jù)題意得，所以，注意題目最后的單位是“”，所以記得單位換算~
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二、比例的性質(zhì)
1、比例的基本性質(zhì)
可能很多同學(xué)表示上邊這堆亂七八糟的都是啥？我咋從來沒見過？莫慌，問題不大。比例的基本性質(zhì)和反比定理以及更比定理這幾個(gè)掌握了就可以了，因?yàn)楹筮呄嗨迫切瘟斜壤P(guān)系需要用，別的就了解一下也就完了~
2、黃金分割（低頻考點(diǎn)）
上面官方的語言看著有些繁瑣，我一般會(huì)這么翻譯“三點(diǎn)共線，短的比上長的等于長的比上整個(gè)的，那這個(gè)比就是黃金比”，能明白引號(hào)里邊的意思，做題也就不成問題了。比如，咱們來一個(gè)思考題~
按照上面黃金分割的定義來分析，那我們是不是可以類似的定義一個(gè)“黃金比例身材”？也就是：以肚臍為分割點(diǎn)，上半身的長度比上下半身的長度等于下半身的長度比上整個(gè)身高。如果滿足這個(gè)關(guān)系，那就是一個(gè)黃金比例的身材。斷臂維納斯知道不?這個(gè)雕塑就是一個(gè)典型的黃金比例。
黃金分割考察不多，近幾年期末中去年的河西考了一次，題目是這樣的：
例：
分析：根據(jù)概念來看，很容易的能選出A是正確選項(xiàng)對吧~
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三、平行線分線段成比例（基礎(chǔ)）
平行線分線段成比例其實(shí)也是相似的一種基本模型，通過此時(shí)的線段對應(yīng)成比例延伸到后面三角形相似之后得到的相似比。剛才說這部分是基礎(chǔ)，考察的難度也不大。下面咱們看看近幾年的期末是如何考察的：
例：
分析：這個(gè)題是三條平行線退化成兩條的情況，也就是“A字型”。根據(jù)“上比下等于上比下”的原理，我們可以輕松得到，也就是，解得，選擇。
比例線段的知識(shí)點(diǎn)咱先說這么多，畢竟那些只是這一章的引入，后面咱來“正經(jīng)”的聊聊相似三角形。
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四、圖形的相似（基礎(chǔ)）
1、我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形。也就是說，一個(gè)圖形可以看成是另一個(gè)圖形的等比放大或縮小。
比如下面這兩張圖片，這就是相似的關(guān)系。
（注意：在這里強(qiáng)調(diào)一下全等和相似的關(guān)系。全等的特點(diǎn)是什么？形狀相同，大小相等。相似呢？形狀相同。因此相似是包含全等的。全等是相似比為1:1的相似。題目中經(jīng)常出現(xiàn)的話就是：全等一定相似，但相似不一定全等。這句話是對的~）
2、相似多邊形
（注意：對于多邊形相似而言，必須強(qiáng)調(diào)“角分別相等，邊成比例”一個(gè)不能少！不能都和三角形一樣只看角對應(yīng)相等就證明相似。比較常見的就是正方形和矩形，同樣都是4個(gè)直角，但并不一定相似，如果題目說的是兩個(gè)正多邊形，那沒問題）
看到這兒有沒有困了的同學(xué)？來，開飯了，醒醒，下面講正經(jīng)事兒了
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五、相似三角形的判定（重點(diǎn)，難點(diǎn)）
1、相似三角形定義：
注意：
看懂了上邊，咱來個(gè)題：
例：
分析：①全等一定相似，正確；②兩個(gè)等腰三角形如果說頂角相等，那么根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°以及等邊對等角，它們的底角也一定相等，正確；③兩個(gè)等腰是否相似需要看它們的邊是否對應(yīng)成比例或者角是否對應(yīng)相等，比如等腰直角三角形和等邊三角形就不相似，錯(cuò)誤；④菱形自身四條邊都相等可以滿足邊對應(yīng)成比例，但是角度不確定，錯(cuò)誤，故選B。
思考一個(gè)問題：如果將上題中②改為“有一個(gè)角是30°的兩個(gè)等腰三角形相似”，那么這句話對還是不對？為什么？思考一下，稍后公布答案~
如果題目只是說有兩個(gè)等腰三角形都有30°，而沒有明確這個(gè)30°是頂角還是底角，當(dāng)然是不能說明相似的。因?yàn)榭梢允恰?0°，30°，120°”的鈍角等腰三角形，也可以是“30°，75°，75°”的銳角等腰三角形。
2、相似三角形的判定（重點(diǎn)難點(diǎn)）
例1：
分析：這是一個(gè)很明顯的A字模型對吧？直接用平行線分線段成比例就可以吧？自己算算，核對一下下面的答案吧
例2：
分析：原圖的三邊比為，也就是。A選項(xiàng)三邊比；B選項(xiàng)三邊比；C選項(xiàng)三邊比；D選項(xiàng)三邊比。綜上，只有B滿足條件。
（其實(shí)這個(gè)題有個(gè)簡便方法，相似三角形是不是得有對應(yīng)角相等？有沒有注意到原圖有一個(gè)135°？是不是四個(gè)選項(xiàng)中只有B才有135°？懂了吧？秒解）
（啰嗦兩句：其實(shí)講道理，這條判定使用的頻率相對比較小，所以解題時(shí)不需要優(yōu)先考慮這一條，但正因?yàn)檫@個(gè)用的少，所以真正用到的時(shí)候才可能會(huì)忘……其實(shí)我的意思就是，雖然它用的少，但也得時(shí)不時(shí)地看兩眼）
例3：
分析：這個(gè)題就屬于比較直接，兩個(gè)直角三角形直角相等，兩條直角邊對應(yīng)成比例，直接用判定就OK啦~
（重中之重！重中之重?。≈刂兄兀。?！重要的重點(diǎn)得用6個(gè)“重”。這個(gè)兩角對應(yīng)相等是咱們以后見到的絕大多數(shù)情況，做題優(yōu)先考慮使用這條。相似條件不夠腫么辦？先找兩組相等的角壓壓驚就好了~建議少年們做題的時(shí)候可以像上邊的模型圖那樣，把相等的角用相同的符號(hào)：點(diǎn)或圈之類的標(biāo)注出來的，做題效率會(huì)高很多的，一般人兒我不告訴）
例4：
分析：讀完題先把角度標(biāo)一標(biāo)，∠B=∠C=∠ADE=60°，然后△ABD里邊，點(diǎn)+圈=120°對吧，平角∠BDC上，點(diǎn)+圈=120°對吧，點(diǎn)=點(diǎn)出來了吧？相似有了，比例關(guān)系能不能自己寫了？其實(shí)，這題就是考察一個(gè)“一線三等角”的模型。什么？一線三等角是啥你居然不知道？還不趕緊看看后文！
其實(shí)今后用到判定兩直角三角形相似的題會(huì)有很多，因此上面總結(jié)的這部分要好好看，記住了，明天數(shù)學(xué)課要考，哈哈
例5：
分析：如果說翻折之后的還能繼續(xù)落在AC上，那么說明折痕DE和被折疊的AC之間的關(guān)系是……垂直對吧？然后A字模型就有了，根據(jù)是CE的中點(diǎn)，那這三條小線段，和的關(guān)系是不是就有了，后邊我不說了行么？
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六、相似三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)）
例1：
分析：
例2：
分析：第一問根據(jù)平行線分線段成比例的基本模型就能知道相似吧？第二問的重點(diǎn)在于關(guān)注第一問中兩個(gè)相似三角形的高以及第二問所求的正方形邊長之間的關(guān)系，有了這個(gè)方向，設(shè)未知數(shù)的方程思想就浮現(xiàn)出來了吧？（我不會(huì)告訴你后邊有對這個(gè)模型的講解的，傲嬌臉）
（1）
（2）
例3：
分析：由平移可以得到平行對吧？是不是有了諸如這樣的4組相似？由平移距離可以推導(dǎo)相似比對么？那面積比等于？當(dāng)我們求出來和四邊形的面積比之后，剩下的是不是就很簡單了？
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七、位似（基礎(chǔ)，一般這部分考試考察一至兩個(gè)題，難度不大）
（溫馨提示：如果覺得這部分的知識(shí)點(diǎn)沒啥必要看或者說太長，可直接看知識(shí)點(diǎn)后面的紅字部分~）
1、位似的定義
2、位似圖形性質(zhì)
3、位似作圖
4、用坐標(biāo)描述位似變換
我來總結(jié)兩句：說得簡單一點(diǎn)，位似只是相似的一種特殊情況，當(dāng)相似圖形所有頂點(diǎn)的連線都交在同一點(diǎn)（位似中心）時(shí)也就出現(xiàn)了位似，位似比是等于相似比的，唯獨(dú)需要注意的就是圖形位似經(jīng)常會(huì)需要分類討論，位似中心的兩邊兒，一邊兒一個(gè)。你看這么總結(jié)完是不是更加糊涂
例：
分析：對于這個(gè)題，我有一個(gè)比較麻煩的方法……把尺拿出來，自己畫圖，畫完圖讀坐標(biāo)，完事兒~當(dāng)然，如果機(jī)智如你發(fā)現(xiàn)了這個(gè)題位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，想到了直接把每個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)乘以2得到一個(gè)結(jié)果，再乘以一個(gè)-2得到另一個(gè)結(jié)果那就再好不過了。
八、相似的基本模型（這個(gè)是點(diǎn)兒干貨，一丁點(diǎn)水都沒兌，好好see一see吧~）
1、與平行線有關(guān)的相似
①“A”字模型
②反“A”模型
③“8”字模型
圖3中，，
④內(nèi)接矩形與相似三角形
例1：
分析：8字模型很明顯對吧，只要能把線段長度標(biāo)出來相似比就出來了。而題目所求的的線段的一部分，勾股求沒毛病吧？用相似比求和是不是沒啥難度了？
例2：
分析：這個(gè)題比上面的復(fù)雜一些，不過好在方法比較多~
（你是不是想說方法多也耽誤不了你不會(huì)。首先根據(jù)題目問的東西，是不是能大致猜到這個(gè)題考察相似？然后來，拿眼看，圖里有相似么？沒有吧？沒有相似但考相似，是不是……需要用到我們最喜歡的作輔助線，開不開心？如果我想把題目問的放到一個(gè)基本的相似模型的話，是不是能想到B，C，D可以在一個(gè)A字模型中？那是不是少一條平行線？平行線從哪個(gè)點(diǎn)作？線段里邊的C對吧？那……作完輔助線后邊能不能自己標(biāo)標(biāo)比例算算數(shù)了？）
2、與角平分相關(guān)的相似（低頻考點(diǎn)，我就偷個(gè)懶不給例題啦）
3、與射影定理有關(guān)的相似
例3：
分析：這個(gè)就直接用結(jié)論就可以了吧？看著別扭的話把手機(jī)轉(zhuǎn)過來，讓線段AC水平放置，那么這個(gè)圖的BF就是知識(shí)點(diǎn)里面的線段AD了吧？
4、一線三等角模型與相似
例4：
分析：還記得我上面講等邊三角形標(biāo)點(diǎn)圈的那個(gè)題么？自己標(biāo)一遍，來來來，趕緊的！
5、手拉手旋轉(zhuǎn)模型與相似
九、最后來倆“簡單的”
1、相似與圓（看完這四個(gè)字是不是感覺整個(gè)人都不好了？別急，后面還有更刺激的，期待不？）
例1：
分析：第一問，有切點(diǎn)證切線，直接連半徑。第二問其實(shí)就是一個(gè)射影定理的圖吧？把互余關(guān)系的角度標(biāo)一標(biāo)，是不是就有，剩下的只要能用勾股求出AD，那AE是不是也就有了？
例2：
分析：第一問，注意題目的已知條件，是所對的圓周角，而是的一半，也就是說對吧？后面自己寫~第二問的①是不是又是射影定理的圖？推導(dǎo)個(gè)相似就出來了吧？第二問的②，求，沒問題吧？的話是不是意味著是的角平分線??？角平分線有什么性質(zhì)？角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等。而剛好就是其中的一個(gè)距離，所以是不是該做另一個(gè)距離了？輔助線有了。輔助線是不是構(gòu)造出了一個(gè)A字模型？通過模型求出輔助線的長度是不是也就求出了的長度？
2、相似與二次函數(shù)（這才叫“強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合”）
例：
分析：第一問待定系數(shù)法求出解析式之后根據(jù)勾股逆定理推導(dǎo)出三角形的形狀，這個(gè)比較基礎(chǔ)。第二問，相似三角形存在問題。首先，題目說的“以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似”和“”兩種說法是不一樣的，區(qū)別在于前者沒有頂點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，因此需要分類討論。好在，也就是兩點(diǎn)一定是對應(yīng)點(diǎn)，剩下的分兩類也就可以了。把點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出來，線段的長度也就有了，剩下的用相似的性質(zhì)對應(yīng)角相等以及對應(yīng)邊成比例也就可以自己解決了吧？
相似三角形屬于難點(diǎn)，而且對這部分的要求也會(huì)比較高。因?yàn)樵诮窈罂荚嚨膬蓚€(gè)壓軸題（24幾何綜合25二次函數(shù)綜合）中需要經(jīng)常自己構(gòu)建相似三角形去解決問題，因此對于模型我們不光要做到能認(rèn)識(shí)，還得做到見到模型的一部分的時(shí)候自己補(bǔ)出來另一部分的模型再去解題。
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