○ 《畫(huà)廊》，埃舍爾（1956）
美術(shù)館里，一個(gè)年輕人正凝視著一副描繪馬耳他森格利亞海港的畫(huà)。畫(huà)中的建筑是一個(gè)畫(huà)廊，這個(gè)年輕人站在畫(huà)廊里，再次看著描繪這個(gè)地中海碼頭的畫(huà)；在這幅畫(huà)的建筑里，再次出現(xiàn)這個(gè)畫(huà)廊和這個(gè)年輕人。
這幅包含了無(wú)限的畫(huà)作名為《畫(huà)廊》（Print Gallery），它出自荷蘭藝術(shù)家埃舍爾（M. C. Escher, 1898-1972）之手。在畫(huà)中，埃舍爾還扭曲了這種無(wú)休止的重復(fù)，它膨脹和扭曲，形成不可能的形狀。
如果不是因?yàn)檫@幅畫(huà)中央、地中海風(fēng)格的建筑與畫(huà)廊窗戶之間印著埃舍爾名字的白色圓形斑點(diǎn)，這幅畫(huà)的沖擊效果將是完美的。埃舍爾創(chuàng)作這幅畫(huà)的時(shí)間是1956年，要等到大約五十年后，荷蘭萊頓大學(xué)的一位數(shù)學(xué)家才設(shè)法完成了這幅作品。
在從舊金山飛往阿姆斯特丹的航班上，Hendrik Lenstra教授在雜志上第一次看到埃舍爾的平版印刷畫(huà)作，他利用這次旅途的閑暇，試圖找到解開(kāi)謎團(tuán)的辦法。Lenstra解釋說(shuō)：“我想知道，如果你繼續(xù)向內(nèi)畫(huà)這些線，是否會(huì)出現(xiàn)一個(gè)無(wú)法解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題。我還想知道這幅畫(huà)背后的結(jié)構(gòu)是什么，作為一名數(shù)學(xué)家，我該如何畫(huà)出這樣一幅畫(huà)？”
這些問(wèn)題的答案并沒(méi)有在短暫的飛行途中揭曉，所以Lenstra決定開(kāi)展一個(gè)為期兩年的調(diào)查，在這個(gè)過(guò)程中他發(fā)現(xiàn)，破解《畫(huà)廊》的空白斑點(diǎn)也就是破譯埃舍爾本人的秘密。
數(shù)學(xué)與藝術(shù)的結(jié)合
埃舍爾從來(lái)都不是一個(gè)優(yōu)秀的學(xué)生，他的正規(guī)數(shù)學(xué)知識(shí)僅限于中學(xué)階段獲得的那些。他最初學(xué)習(xí)建筑，但后來(lái)將他的職業(yè)生涯專注于成為一名繪畫(huà)藝術(shù)家。盡管在理論知識(shí)方面存在缺陷，數(shù)學(xué)和幾何卻是埃舍爾作品的關(guān)鍵元素。
1936年，這位荷蘭人來(lái)到西班牙格拉納達(dá)的阿爾罕布拉宮，在這里，他對(duì)伊斯蘭密鋪藝術(shù)和平面的規(guī)則分割等概念非常著迷，花了幾天時(shí)間仔細(xì)復(fù)制那些裝飾宮殿的幾何設(shè)計(jì)。而這些，也在日后成為了他作品的核心元素。他的許多版畫(huà)都充滿了重復(fù)的動(dòng)畫(huà)人物，這些人物的空間創(chuàng)造了新的形狀。
○ 阿爾罕布拉宮的密鋪瓷磚。| 圖片來(lái)源：Wikipedia
后來(lái)，埃舍爾想知道能否更進(jìn)一步，保持圖像的形狀不變，并固定圖像間的相對(duì)位置，用圖像而非幾何圖形來(lái)填充繪畫(huà)，并以一種連貫的方式改變圖像的大小。
在H.S.M. Coxeter的數(shù)學(xué)文章《晶體對(duì)稱性及其推廣》中，埃舍爾找到了組合圖形的方法。埃舍爾承認(rèn)，自己并沒(méi)有理解當(dāng)中的所有概念，但是，從這些科學(xué)研究中，他發(fā)展了主要是視覺(jué)和直覺(jué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。
○ 騎馬的人，埃舍爾（1946）
在下一個(gè)階段，埃舍爾的作品開(kāi)始探索結(jié)構(gòu)中透視的錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤乍一看似乎是合理的，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，根本不可能在現(xiàn)實(shí)中創(chuàng)造出這些情景。
○ 升與降，埃舍爾（1960）。畫(huà)中包含彭羅斯階梯。
1954年，埃舍爾的一些版畫(huà)在阿姆斯特丹的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上展出。從那時(shí)起，他與數(shù)學(xué)家和晶體學(xué)家之間的對(duì)話就成為他創(chuàng)作不可能的作品、光學(xué)幻象和無(wú)限表象的靈感源泉。
○ 手與發(fā)射的球面，埃舍爾（1935）
無(wú)限遞歸
這種數(shù)學(xué)與藝術(shù)的交叉在《畫(huà)廊》中得以具體化。在平板印刷中，埃舍爾違反透視法則，創(chuàng)造了無(wú)限的、扭曲的重復(fù)，而在他完成這些重復(fù)時(shí)，既沒(méi)有憑借工具，也沒(méi)有依靠計(jì)算。
為了解釋這一現(xiàn)象，Lenstra教授發(fā)現(xiàn)了一種被稱為“德羅斯特效應(yīng)”的現(xiàn)象。例如在《畫(huà)廊》中，如果年輕人所在的美術(shù)館在畫(huà)中被再次復(fù)制，那么同樣的事情也應(yīng)該發(fā)生在白色斑點(diǎn)處。
○ 德羅斯特效應(yīng)是指，一張圖片的部分與整張圖片相同，以荷蘭的巧克力品牌命名，在這種巧克力的廣告畫(huà)面中，女子拿的杯子及紙盒上的圖與整張圖片相同。| 圖片設(shè)計(jì)：Jan Misset
在與埃舍爾的朋友，也是《埃舍爾的魔鏡》一書(shū)的作者Hans de Rijk交談之后，Lenstra發(fā)現(xiàn)，埃舍爾曾試圖以閉合圓環(huán)的形式進(jìn)行連續(xù)的圓形擴(kuò)展，沒(méi)有起點(diǎn)也沒(méi)有終點(diǎn)。
因此，在埃舍爾的變形中，網(wǎng)格中正方形的尺寸從中心向外遞增，在相反的方向上則遞減，從而形成一個(gè)循環(huán)，就像是從裝滿水的水槽中拔掉塞子時(shí)水流動(dòng)的形狀。這就是圖像背后的結(jié)構(gòu)。
為了找到埃舍爾扭曲他的平板印刷時(shí)所用的精確值，Lenstra的團(tuán)隊(duì)花了幾個(gè)月時(shí)間進(jìn)行實(shí)驗(yàn)（甚至是猜測(cè)），將旋轉(zhuǎn)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合，同時(shí)縮小尺寸或比例。由于現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展，一旦有了精確的公式，填補(bǔ)空白的步驟就變得簡(jiǎn)單明了。
他們用計(jì)算機(jī)程序去除埃舍爾畫(huà)中的變形，將其轉(zhuǎn)換成一個(gè)平面網(wǎng)格，填補(bǔ)平面圖像上的空洞，完成整個(gè)場(chǎng)景，最后，通過(guò)使用已經(jīng)識(shí)別出的變形，讓圖像恢復(fù)原來(lái)的形狀。
○ 相對(duì)性，埃舍爾（1953）
在那次飛行兩年之后，Lenstra和他的團(tuán)隊(duì)終于解開(kāi)了與一位最神秘的藝術(shù)家有關(guān)的最大謎團(tuán)之一。然而，答案早就在那里，埃舍爾是一個(gè)天才中的天才中的天才…...
原文鏈接：
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