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推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一。史寧中教授認(rèn)為，“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型”[1]。這三個(gè)基本數(shù)學(xué)思想是“讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”的基礎(chǔ)和具體體現(xiàn)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）把“推理能力”作為核心概念之一，確立了推理思想的重要地位。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中所涉及的“推理思想”內(nèi)容十分豐富，筆者對(duì)“推理思想”的內(nèi)涵與具體體現(xiàn)做了分析梳理，并提出相應(yīng)的教學(xué)策略。

一、“推理思想”的內(nèi)涵

（一）推理思想的概念

推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的命題得出另一個(gè)新命題的思維形式[2]。廣義地說(shuō)，一切數(shù)學(xué)公式、定理和法則等都是推理的結(jié)果。狹義地看，推理是從事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過(guò)程。《課標(biāo)》指出“推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)(包括定義、公理、定理等)和確定的規(guī)則(包括運(yùn)算的定義、法則、順序等)出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論”[3]。由此可見，合情推理與演繹推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都很重要，不能厚此薄彼。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)的合情推理和演繹推理

1.小學(xué)數(shù)學(xué)的合情推理

合情推理包括歸納推理和類比推理。歸納推理是一種從特殊到一般的推理，是一種基于推斷的推理。它包括歸納法、簡(jiǎn)單枚舉法、類比法、數(shù)據(jù)分析法等，通過(guò)歸納推理得到的結(jié)論是或然的。很多數(shù)學(xué)結(jié)論都是先通過(guò)歸納推理得到結(jié)論，再以演繹推理加以證明。如費(fèi)馬達(dá)定理幾百年前就被發(fā)現(xiàn)了，到20世紀(jì)末才被數(shù)學(xué)界證明。類比推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據(jù)兩類事物的相似性，用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物也具有該性質(zhì)的推理方法，也叫類比法。

研究表明，體會(huì)并逐步掌握合情推理對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新意識(shí)具有重要意義。如果說(shuō)歸納更多地依賴于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，那么類比則更多地依賴于跳躍的聯(lián)想。

2.小學(xué)數(shù)學(xué)的演繹推理

“能任五棵樹鎮(zhèn)黨委書記，我滿懷感恩之心。我當(dāng)時(shí)的想法就是把五棵樹鎮(zhèn)發(fā)展起來(lái)，不辜負(fù)黨組織的信任。”據(jù)李青?；貞洠麆?cè)挝蹇脴滏?zhèn)黨委書記的幾年，一心撲在工作上，能夠做到嚴(yán)格自律，拒收賄賂，有人稱他是“為理想而奮斗的人”。然而，隨著鎮(zhèn)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，各方面條件改善，李青海飄飄然起來(lái)?！拔耶?dāng)時(shí)錯(cuò)誤地認(rèn)為五棵樹鎮(zhèn)的發(fā)展，完全是自己努力的結(jié)果?！?/p>

演繹推理是一種由一般到特殊的推理方法[4]。最基本的形式是三段論，它包含大前提、小前提和結(jié)論的論證形式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很少涉及數(shù)學(xué)證明這樣嚴(yán)格規(guī)范的演繹推理，但演繹推理的思想處處可見。平行四邊形面積公式的推導(dǎo)是運(yùn)用演繹的方式得到的：通過(guò)剪拼不難發(fā)現(xiàn)拼成后的平行四邊形的面積等于長(zhǎng)方形的面積，平行四邊形的底等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，平行四邊形的高等于長(zhǎng)方形的寬，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，所以平行四邊形的面積等于底乘高。學(xué)生對(duì)演繹思想的體悟和感受，不僅有助于建立對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論確定性的信念，培養(yǎng)合乎邏輯的表達(dá)能力，同時(shí)也有助于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提高分析和解決問(wèn)題的能力。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“推理思想”的具體體現(xiàn)

借鑒人教社小學(xué)數(shù)學(xué)編輯室王永春老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法》一書中對(duì)推理思想的闡述，筆者對(duì)人教版教材的推理思想進(jìn)一步梳理和歸納。

（一）合情推理的具體應(yīng)用

合情推理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用比較廣泛。很多運(yùn)算法則、公式、定律等的推導(dǎo)與應(yīng)用，都是在列舉幾個(gè)特殊例子的基礎(chǔ)上歸納、類比得出的。

1.法則的歸納和類比

二是區(qū)域差異的形成原因。既有研究發(fā)現(xiàn):地理環(huán)境、制度政策、供給、人文社會(huì)等多重因素導(dǎo)致了廣東區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展差異。陳淳、肖玲將廣東區(qū)域經(jīng)濟(jì)差距歸因于自然條件、政策和社會(huì)、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、人口素質(zhì)、基礎(chǔ)設(shè)施等差異。[6]陳洪將其歸因于包括經(jīng)濟(jì)制度、人文因素、地理位置、產(chǎn)業(yè)基礎(chǔ)、政策、觀念、產(chǎn)業(yè)價(jià)值鏈低端、技術(shù)等多種主觀、客觀因素長(zhǎng)期鎖定的綜合結(jié)果。[7]楊英將其歸因于改革開放以來(lái)廣東利用區(qū)位條件和政策優(yōu)勢(shì)形成了“單極驅(qū)動(dòng)”的發(fā)展模式和相應(yīng)的空間格局。[8]王少劍等認(rèn)為全球化、簡(jiǎn)政放權(quán)和固定資產(chǎn)投資是影響廣東省區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展的三個(gè)核心驅(qū)動(dòng)因素，市場(chǎng)化、城鎮(zhèn)化水平和儲(chǔ)蓄水平是輔助驅(qū)動(dòng)因素。[9]

整數(shù)四則運(yùn)算的法則，都是通過(guò)幾個(gè)有限的由易到難的例子，讓學(xué)生在理解算理和口算方法的基礎(chǔ)上探索計(jì)算方法，最后進(jìn)行算法的總結(jié)，這種法則的得出就是運(yùn)用歸納法，如多位數(shù)乘一位數(shù)法則的歸納總結(jié)，多位數(shù)乘多位數(shù)的類比。

2.性質(zhì)的歸納和類比

商不變的性質(zhì)、小數(shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的性質(zhì)、比和比例性質(zhì)、等式的性質(zhì)等，都是通過(guò)幾個(gè)例子，讓學(xué)生進(jìn)行探索、交流，最后歸納總結(jié)而得到的。如商不變的性質(zhì)，讓學(xué)生計(jì)算并觀察一組算式，探索并歸納規(guī)律。分?jǐn)?shù)、比的基本性質(zhì)則是在此基礎(chǔ)上的類比。

3.公式的歸納和類比

小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)量關(guān)系式與計(jì)算公式，主要是圖形的周長(zhǎng)、面積和體積公式，及比、正比例、反比例、比例尺、百分?jǐn)?shù)等的應(yīng)用和計(jì)算，是在學(xué)生探索、交流的基礎(chǔ)上歸納得到的，如長(zhǎng)方形面積的計(jì)算公式推導(dǎo)。而三角形、梯形和圓面積公式推導(dǎo)都是在類比平行四邊形面積基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。

4.定律的歸納和類比

小學(xué)生最早學(xué)習(xí)的運(yùn)算律是關(guān)于整數(shù)加法和乘法的運(yùn)算定律，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)計(jì)算幾組算式來(lái)猜想并歸納規(guī)律，由整數(shù)運(yùn)算定律類比推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算中。

5.規(guī)律的歸納和類比

他以為這樣的盛世，會(huì)是一千年，一萬(wàn)年，他讀書學(xué)武，游蕩在街巷里，母親在百花谷迎來(lái)送往，打情罵俏，達(dá)官貴人、三教九流在他們倆的小世界之外活色生香地活。三個(gè)月后，回望過(guò)去，我們不在其中，那也不過(guò)是一場(chǎng)做得有些長(zhǎng)、又太過(guò)熱烈的綺夢(mèng)罷了，他們真的由夢(mèng)里醒來(lái)了嗎？胡子大叔、秀才哥哥，還有胖嬸，你們掉在這個(gè)流言里，不愿醒來(lái)，是想搬去萬(wàn)花谷里繼續(xù)做夢(mèng)吧！

小學(xué)數(shù)學(xué)中的規(guī)律主要有圖形、數(shù)列、算式的規(guī)律，乘法和除法的變化規(guī)律，排列組合的規(guī)律，這些規(guī)律的發(fā)現(xiàn)主要是通過(guò)對(duì)一些例子的觀察、比較、聯(lián)想，再提出猜想，這是歸納法的典型應(yīng)用。

6.平面與立體、數(shù)與形的類比等

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中涉及類比思想的內(nèi)容還包括數(shù)與形的類比、特殊與一般的類比、平面與立體的類比、有限與無(wú)限的類比等。學(xué)習(xí)立體圖形有關(guān)知識(shí)時(shí)，可把立體與平面進(jìn)行類比。如體積與面積進(jìn)行類比，面積是求一個(gè)平面圖形所占平面的大小，即含有多少個(gè)單位面積；體積是求一個(gè)立體圖形所占空間的大小，即含有多少個(gè)單位體積，本質(zhì)上都是用單位1 去度量。面積公式和體積公式的探索、推導(dǎo)過(guò)程和方法是類似的。

（二）演繹推理的具體應(yīng)用

演繹推理作為數(shù)學(xué)的一種重要證明方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)中雖然沒(méi)有初中類似于數(shù)學(xué)證明等嚴(yán)密規(guī)范的演繹推理，但是很多結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程中應(yīng)用了演繹推理的省略形式。小學(xué)生在解題時(shí)經(jīng)常不自覺地運(yùn)用演繹推理，這時(shí)，教師經(jīng)常問(wèn)學(xué)生“為什么”，訓(xùn)練學(xué)生敘述推理的依據(jù)，養(yǎng)成推理有據(jù)的好習(xí)慣。小學(xué)數(shù)學(xué)演繹推理的應(yīng)用見表1[5]。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)“推理思想”滲透的教學(xué)策略

（一）把握總原則，明確階段性目標(biāo)

《課標(biāo)》指出“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中?！评砟芰Φ男纬珊吞岣咝枰粋€(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過(guò)程?！?span title='pagenumber_ebook=62,pagenumber_book=58' tag='6'>[6]因此，教師應(yīng)把握滲透推理思想的基本原則：適時(shí)適當(dāng)、貫穿始終?！斑m時(shí)適當(dāng)”指在合適的時(shí)機(jī)做合適的事，數(shù)學(xué)思想方法該露臉時(shí)就露臉，根據(jù)需要，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉、歸納和概括?！柏灤┦冀K”首先指推理思想的滲透應(yīng)該是一個(gè)長(zhǎng)期的動(dòng)態(tài)發(fā)展過(guò)程；其次指推理思想滲透融合在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，落實(shí)到“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容之中。

例如，平面圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)中，推理思想貫穿始終，逐級(jí)上升。在“長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算”教學(xué)時(shí)，作為學(xué)習(xí)平面圖形面積計(jì)算的起始課，突出對(duì)面積計(jì)算的意義理解，建立計(jì)算公式與乘法意義的聯(lián)系，初步體驗(yàn)歸納思想。在推導(dǎo)“平行四邊形的面積計(jì)算公式”中著重突出“轉(zhuǎn)化（即化歸）”思想；在探索“三角形面積”時(shí)，通過(guò)對(duì)三角形分類研究，突出歸納推理；而當(dāng)學(xué)習(xí)“梯形面積”時(shí)，放手讓學(xué)生自主探索梯形面積計(jì)算公式，自覺運(yùn)用歸納和類比推理。到學(xué)習(xí)“圓的面積”時(shí)，通過(guò)“類比”將圓“轉(zhuǎn)化”為學(xué)過(guò)的圖形，感受化曲為直過(guò)程中的類比、極限等思想。并在解決組合圖形面積問(wèn)題時(shí)，強(qiáng)化歸納、類比等思想，從而提升對(duì)推理思想的認(rèn)識(shí)。

因此，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生與教材實(shí)際，準(zhǔn)確把握教學(xué)要求和滲透推理思想的“度”與“量”，進(jìn)行合理準(zhǔn)確的目標(biāo)定位，做到有意識(shí)、有目的地凸現(xiàn)推理思想。

根據(jù)《課標(biāo)》關(guān)于“數(shù)學(xué)思考”分階段的目標(biāo)要求，以及不同年齡學(xué)生推理能力的發(fā)展水平，建構(gòu)分層次、分階段的目標(biāo)體系（參見表2、表3）。

（二）設(shè)計(jì)有效活動(dòng)，經(jīng)歷推理全過(guò)程

推理思想滲透要求學(xué)生自己“悟”，不應(yīng)強(qiáng)行灌輸，這種“悟”只有在親歷數(shù)學(xué)活動(dòng)中才能進(jìn)行。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、嘗試、估算、歸納、類比等“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)探索發(fā)現(xiàn)，經(jīng)歷生動(dòng)直觀的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理和演繹推理能力。

1.經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過(guò)程

著名心理學(xué)家朱智賢說(shuō)過(guò)：“小學(xué)生思維是以形象思維為主要形式逐步過(guò)渡到以抽象邏輯思維為主要形式?！币虼?，在小學(xué)數(shù)學(xué)推理教學(xué)中，教師既要允許學(xué)生“大膽猜測(cè)”，又要引導(dǎo)學(xué)生“小心求證”，逐步意識(shí)到結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，從而由合情推理過(guò)渡到演繹推理，感悟推理思想。

案例1：“三角形內(nèi)角和”教學(xué)中的推理片段

第一環(huán)節(jié)：游戲?qū)耄l(fā)猜想

（1）課件出示三角形的一個(gè)角，猜猜是什么三角形？復(fù)習(xí)三角形的分類，認(rèn)識(shí)三角形的“內(nèi)角”。

（2）演示拉動(dòng)三角形頂點(diǎn)，使高慢慢增長(zhǎng)或縮短，觀察：拉動(dòng)過(guò)程中，三角形的三個(gè)內(nèi)角會(huì)有什么變化？想象一下：不斷上拉或下拉，內(nèi)角會(huì)怎么樣？在討論中形成猜想：內(nèi)角和可能是固定的，可能180度等。

結(jié)果顯示，入院后6～12小時(shí)兩組患者SAS、SCL-90、SDS和VAS評(píng)分差異均無(wú)顯著性（P＞0.05），見表1～3；圍手術(shù)期對(duì)患者進(jìn)行心理護(hù)理后于出院前一天對(duì)兩組再次進(jìn)行心理評(píng)估，干預(yù)組SAS、SCL-90、SDS評(píng)分較對(duì)照組明顯下降，差異有顯著性（P＜0.05）；VAS評(píng)分差異無(wú)顯著性（P＞0.05）。

（3）聚焦問(wèn)題：如何來(lái)驗(yàn)證我們的猜想？

當(dāng)下提筆，題目暫定《與往事干杯》。寫完便請(qǐng)寶釵審閱，寶釵手指點(diǎn)腮，說(shuō)，“你看如今的暢銷書，春樹那樣的小孩都將兩情相悅的細(xì)節(jié)描寫得特真實(shí)，現(xiàn)在的讀者，精著呢，你不全抖給他們，他們才不買賬呢。”于是，寶玉又將如何相約乃至如何漸漸發(fā)展至深不能自拔，最后，寫至動(dòng)情處已欲罷不能，索性將黛玉前胸的一顆朱砂痣也寫了進(jìn)去。寶釵看了，又是咬牙，又是笑。幾經(jīng)修改，最后定好書名《我和林妹妹不得不說(shuō)的事》。書的封面是黛玉送寶玉珍藏的一幀半裸體己照。并附紅字介紹：本書情色炫然，描寫大膽真實(shí)之類。

第二環(huán)節(jié)：操作實(shí)驗(yàn)，推理驗(yàn)證

（1）討論用什么樣的材料驗(yàn)證。三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，對(duì)哪些三角形驗(yàn)證才能說(shuō)明問(wèn)題？得出按角分類的三角形作為研究材料，分類驗(yàn)證。

（2）討論驗(yàn)證方法，學(xué)生先說(shuō)說(shuō)打算用哪些方法。

（3）小組合作探究。提供各種類型的三角形和幾張長(zhǎng)方形、正方形紙片。

艾瑞克走向賽場(chǎng)中央，他的動(dòng)作很慢，雙手抱胸，站到克里斯蒂娜身旁，輕聲說(shuō)了句：“抱歉，你剛才說(shuō)什么？你投降？”

（4）全班交流匯報(bào)。①測(cè)量的方法，展示各種三角形測(cè)得的度數(shù)，討論這種方法有什么問(wèn)題？如何避免誤差？

模型的可視化使得進(jìn)度控制變得更加容易，對(duì)項(xiàng)目管理非常有利。在模型審查中，一些多專業(yè)交叉的問(wèn)題會(huì)暴露出來(lái)，設(shè)計(jì)人員可以及時(shí)修改設(shè)計(jì)。儀表專業(yè)施工中發(fā)生概率較高的電纜槽板與管道碰撞等問(wèn)題，通過(guò)三維建模和模型審查，完全可以在設(shè)計(jì)階段發(fā)現(xiàn)和解決，從根本上杜絕了該類問(wèn)題的發(fā)生。

②剪拼的方法。分別剪下三角形三個(gè)角拼成平角；折拼成平角的。

③初步推理。通過(guò)沿長(zhǎng)方形對(duì)角線對(duì)折得到兩個(gè)三角形，推理得到每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和。質(zhì)疑：你怎么知道兩個(gè)直角三角形完全相同？這樣做證明了什么？銳角和鈍角三角形不能像這樣正好拼成長(zhǎng)方形，它們的內(nèi)角和是180°怎么來(lái)說(shuō)明呢？學(xué)生結(jié)合圖示驗(yàn)證：在三角形內(nèi)作高，分成兩個(gè)直角三角形驗(yàn)證。

（5）課件演示剪拼、推理過(guò)程，介紹發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的科學(xué)家帕斯卡。再用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示不同形狀三角形內(nèi)角度數(shù)，使學(xué)生感受到三角形內(nèi)角和與三角形大小形狀無(wú)關(guān)。

以上過(guò)程，提供充足的探究時(shí)間和材料，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“猜想——操作——驗(yàn)證——再操作——再驗(yàn)證”的推理過(guò)程。第一環(huán)節(jié)的演示觀察、形成猜想是合情推理的過(guò)程，第二環(huán)節(jié)的剪拼法則是演繹推理的過(guò)程。這樣教學(xué)，學(xué)生不再停留于表面現(xiàn)象，而通過(guò)抓住轉(zhuǎn)化為平角的本質(zhì)，探索各類三角形的內(nèi)角和規(guī)律。不僅呈現(xiàn)了知識(shí)發(fā)現(xiàn)與形成過(guò)程，更加關(guān)注由合情推理過(guò)渡到演繹推理，兩者有機(jī)融合，促進(jìn)和諧發(fā)展。

2.經(jīng)歷歸納推理到類比推理的過(guò)程

數(shù)學(xué)中歸納和類比往往相輔相成，經(jīng)過(guò)歸納推理得到的結(jié)論需要進(jìn)一步通過(guò)類比拓展運(yùn)用。因此，教師既要注重新舊知識(shí)間的聯(lián)系轉(zhuǎn)化，又要讓學(xué)生經(jīng)歷歸納到類比推理的過(guò)程，運(yùn)用類比推理解決新問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，提高推理能力。

案例2：“多邊形的內(nèi)角和”教學(xué)片段

第一環(huán)節(jié)：探索四邊形的內(nèi)角和

（1）出示一個(gè)三角形，如果剪掉一個(gè)角，剩下的是什么圖形？大膽猜想一下四邊形的內(nèi)角和是多少度？

五是通過(guò)微博推廣。憑借內(nèi)容短小、發(fā)布快捷的特點(diǎn)，微博成為互聯(lián)網(wǎng)極具影響力的信息發(fā)布平臺(tái)。微博運(yùn)營(yíng)門檻低、信息發(fā)布迅速，是鄉(xiāng)村旅游推廣的有效手段。

（2）驗(yàn)證猜想，解決問(wèn)題

③為避免大壩中部面板（受壓區(qū)）破壞，選擇10條面板受壓縫采用瀝青杉板嵌縫充填，以嵌縫瀝青杉板變形吸收擠壓力，防止面板破壞。

①思考：我們學(xué)過(guò)的四邊形有哪些？出示長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形等。你準(zhǔn)備用什么方法驗(yàn)證你的猜想？（生：用量角器量；剪拼法；分割法。）

1.4療效判定標(biāo)準(zhǔn)[2]患者PANSS減分率≥70%為痊愈;PANSS減分率在50%~69%為顯著進(jìn)步;PANSS減分率在30%~49%為好轉(zhuǎn);不滿足上述標(biāo)準(zhǔn)者均視為無(wú)效,總有效率=(痊愈+顯著進(jìn)步+好轉(zhuǎn))/總例數(shù)×100%。

②小組合作，選擇你喜歡的方式來(lái)驗(yàn)證。

③交流反饋：你們組是怎么研究的？得出什么結(jié)論？

（3）回顧與反思：剛才證明了四邊形的內(nèi)角和是360°，最好的辦法是怎樣的？把這個(gè)四邊形分割成兩個(gè)三角形，兩個(gè)三角形的內(nèi)角和為什么就是四邊形的內(nèi)角和呢？

第二環(huán)節(jié)：類推多邊形內(nèi)角和

（1）思考：如何求五邊形、六邊形的內(nèi)角和？

（2）分析：多邊形內(nèi)角和與三角形個(gè)數(shù)有什么關(guān)系呢？是否存在規(guī)律？學(xué)生小組討論，通過(guò)列表觀察、推理，發(fā)現(xiàn)多邊形邊數(shù)與分割成的三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系：多邊形邊數(shù)比三角形個(gè)數(shù)多2，即n邊形可分為（n-2）個(gè)三角形，最終得出公式：n 邊形的內(nèi)角和=180°×（n-2）。

上述過(guò)程中，探究四邊形內(nèi)角和環(huán)節(jié)，學(xué)生自主猜想、用不同方法驗(yàn)證不同的四邊形內(nèi)角和，由特殊四邊形到一般四邊形，經(jīng)歷不完全歸納推理的過(guò)程，同時(shí)感悟轉(zhuǎn)化思想，經(jīng)歷“再創(chuàng)造”。

在此基礎(chǔ)上，借助探究四邊形內(nèi)角和的經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”策略，將多邊形分割成若干個(gè)三角形，類比推理多邊形的內(nèi)角和，體驗(yàn)內(nèi)角和公式的猜想與歸納過(guò)程，從而體會(huì)感悟歸納思想，實(shí)現(xiàn)思維能力的提升。

（三）以問(wèn)題解決為核心，把握推理的層次性和差異性

由于數(shù)學(xué)思想方法具有概括性和層次性，為避免數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)在同一水平上反復(fù)，有必要根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)，圍繞問(wèn)題解決，理清內(nèi)在的邏輯層次，把握好推理思想教學(xué)的層次性和差異性，經(jīng)歷自主探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，不斷激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能，鍛煉學(xué)生邏輯思維能力。

1.經(jīng)歷“猜想——驗(yàn)證”過(guò)程，體現(xiàn)層次性

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的，是一個(gè)低級(jí)到高級(jí)螺旋上升過(guò)程。因此，對(duì)同一種數(shù)學(xué)思想的體悟，應(yīng)注意不同階段的再現(xiàn)，甚至在一節(jié)課的不同階段，呈現(xiàn)不同的層次與形式，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解。

案例3 人教版四下“三角形的三邊關(guān)系”

第一環(huán)節(jié)：提出猜想，生成問(wèn)題

通過(guò)“倒過(guò)來(lái)說(shuō)”的游戲，引出一個(gè)挑戰(zhàn)性問(wèn)題——三條線段一定能圍成一個(gè)三角形嗎？

生1：能圍成一個(gè)三角形。

生2：不一定能，當(dāng)兩條很短的線段和一條長(zhǎng)的線段圍起來(lái)時(shí)，不能圍成。

生3：有的能，有的不能，要看線段的長(zhǎng)度。

在教師的教學(xué)風(fēng)格中，有的擅長(zhǎng)于“情”，善于調(diào)動(dòng)學(xué)生的情感，使學(xué)生愛學(xué)、樂(lè)學(xué)；有的擅長(zhǎng)于理，通過(guò)符合邏輯性教學(xué)程序的安排和有很強(qiáng)邏輯性的講述，使學(xué)生掌握知識(shí)和學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。據(jù)心理學(xué)研究，上述兩種風(fēng)格的教學(xué)都可以取得較好的效果。學(xué)生的學(xué)習(xí)有兩個(gè)心理系統(tǒng)在起作用：一是動(dòng)力系統(tǒng)，如興趣、情感、動(dòng)機(jī)；二是認(rèn)識(shí)系統(tǒng)在起作用，如觀察、記憶、思維、想象。善于煽情的，促使學(xué)生動(dòng)力系統(tǒng)起作用；長(zhǎng)于說(shuō)理的，則促使學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)起作用。在教學(xué)中，應(yīng)力求把兩者結(jié)合起來(lái)，形成混合型的風(fēng)格。善于煽情的要學(xué)習(xí)有條理的講述，靠邏輯的力量提高教學(xué)效率；善于“說(shuō)理”的要努力激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的情感，使學(xué)生愛學(xué)、樂(lè)學(xué)。

師：三條線段到底能不能圍成一個(gè)三角形呢？我們可以動(dòng)手做一做來(lái)驗(yàn)證。

第二環(huán)節(jié)：操作感悟，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

首先只提供兩根吸管，讓學(xué)生獨(dú)立思考、操作，通過(guò)小組合作，展示交流兩種圍不成的情況。著重討論“兩條線段的和等于第三條”時(shí)，提供4、6、10 厘米的線段，讓學(xué)生展開想象，通過(guò)課件演示來(lái)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)“較短兩條線段的和等于第三條時(shí)，圍不成一個(gè)三角形”。

在此基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)“較短的兩條線段小于或等于第三條時(shí)，不能圍成三角形”，“較短的兩條線段大于第三條時(shí)，能圍成三角形”，歸納得出：任意兩條線段的和大于第三條，能圍成一個(gè)三角形。

生：把左邊3個(gè)2圈起來(lái)是6，在豎式中就是3和個(gè)位的2相乘，積得6，就在積的個(gè)位上寫6，再把左邊的3個(gè)十圈起來(lái)是30，在豎式中就是3和十位上的1相乘積是30，就在積中寫30，再把兩層積加起來(lái)，就是12乘3的積。

最后，“反過(guò)來(lái)說(shuō)”得出“要圍成一個(gè)三角形，必須任意兩條線段的和大于第三條”的新猜想。

作為L(zhǎng)umix系列相機(jī)的全新旗艦，這臺(tái)無(wú)反相機(jī)使用了一塊4700萬(wàn)像素的全畫幅傳感器，機(jī)內(nèi)防抖系統(tǒng)以及60fps的4K視頻拍攝能力，XQD+SD雙儲(chǔ)存卡的設(shè)置則保證了數(shù)據(jù)儲(chǔ)存的安全性。S1R是松下與適馬以及徠卡結(jié)成聯(lián)盟（詳見右頁(yè)）之后發(fā)布的第一款產(chǎn)品，使用的鏡頭卡口為徠卡L卡口。

第三環(huán)節(jié)：再次猜想，驗(yàn)證結(jié)論

追問(wèn)：是不是任意一個(gè)三角形的三條邊之間，都具有這樣的關(guān)系呢？你可以想什么辦法來(lái)驗(yàn)證？ 讓學(xué)生通過(guò)畫任意三角形、算一算等方法自主收集例證，進(jìn)一步理解、驗(yàn)證規(guī)律。

上述過(guò)程，經(jīng)歷兩次“猜想——驗(yàn)證——結(jié)論”的豐富而完整的不完全歸納的問(wèn)題解決過(guò)程。在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中積累推理經(jīng)驗(yàn)，鍛煉邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，促進(jìn)學(xué)生思維水平的不斷提升。

2.體驗(yàn)多種表征方式，體現(xiàn)差異性

學(xué)生之間的差異是客觀存在的，教師應(yīng)根據(jù)不同學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，提供展示交流的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生用多種方式表達(dá)問(wèn)題解決的過(guò)程，展示各自的推理與思考過(guò)程，鍛煉初步的推理能力。

案例4 人教版二下“數(shù)學(xué)廣角——推理”例1教學(xué)片段

例1 猜書游戲中有3個(gè)條件——每人各拿一本書（共3 本），小紅拿了語(yǔ)文書，小麗拿的不是數(shù)學(xué)書。為了幫助學(xué)生順利梳理信息間的相互關(guān)系，可以用課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)“有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和品德三本書，下面三人各拿一本”，再分別出示小紅和小麗所說(shuō)的話，最后出示問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析題目的已知條件和問(wèn)題。學(xué)生獨(dú)立思考后，引導(dǎo)他們用自己喜歡的方式記錄解決問(wèn)題的過(guò)程。學(xué)生交流反饋：

生1：我是根據(jù)“小紅拿的是語(yǔ)文書”先確定小紅拿了語(yǔ)文書；根據(jù)“小麗拿的不是數(shù)學(xué)書”確定小麗拿了品德書，最后小剛拿的是數(shù)學(xué)書。

生2：我用的是連線方法得到的（參見圖1）。

生3：我是列表解決的（參見表4）。

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)比較三種表征方法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用列表方法輔助推理，不但能把情境圖中復(fù)雜的信息簡(jiǎn)潔、有序地呈現(xiàn)出來(lái)，而且能簡(jiǎn)化解決問(wèn)題的思路，過(guò)程清晰，一目了然。三種表征方法都要抓住關(guān)鍵信息，有序分析，直到推出結(jié)論。

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，為幫助學(xué)生學(xué)會(huì)不同策略解決問(wèn)題，最后設(shè)計(jì)“接力比賽順序”一題：明明、丁丁、小杰和小松代表班級(jí)參加接力比賽。明明說(shuō)“我不是第一棒?！倍《≌f(shuō)“我不是第一棒，但是我也不是最后一棒。”小杰說(shuō)：“我是第3棒?！蹦阒浪麄兪窃趺磁诺模?/p>

由于信息的增加，引發(fā)學(xué)生列表整理信息的內(nèi)在需求，引導(dǎo)學(xué)生在比較中體會(huì)列表方法的價(jià)值，從而自覺地應(yīng)用列表策略解決問(wèn)題，為后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜推理問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)，積累推理經(jīng)驗(yàn)。

總之，推理思想的滲透與各領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)有機(jī)結(jié)合的過(guò)程，這種滲透不是一朝一夕之事，需要“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”。教師要充分挖掘教材中蘊(yùn)含推理思想的素材，讓學(xué)生在掌握知識(shí)與技能的同時(shí)，感悟推理思想，發(fā)展思維能力，形成終生受用的數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷提升。▲

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