前言
終于到了這一步，我們總算要見到大boss?；叵胍幌铝W(xué)領(lǐng)域里面是如何找出作用量的呢？先從單個(gè)的自由粒子入手，考慮到空間和時(shí)間的均勻性，再考慮到相對性原理這些更底層的約束，我們才猜出了單個(gè)自由粒子的作用量。然后再一步步增加難度就得到了受外加場作用的粒子的作用量啦。咱們這里依舊按照這個(gè)思路由易到難地去尋找電磁領(lǐng)域里的作用量！準(zhǔn)備好了嗎？01 單個(gè)自由粒子的拉格朗日函數(shù)
02 相互作用的帶電粒子的拉格朗日函數(shù)
03 電磁場的拉格朗日函數(shù)
04 驗(yàn)證猜想
05 結(jié)語
06 附錄
友情提示：公式較長時(shí)，請左右滑動(dòng)查看完整結(jié)果01 單個(gè)自由粒子的拉格朗日函數(shù)
假如你看過之前的這篇文章，你一定熟悉咱們尋找作用量的流程。不錯(cuò)，都是從單個(gè)的自由粒子開始的。不過以前尋找的結(jié)果是基于伽利略變換而來的，如今咱們更新了時(shí)空觀念，洛倫茲變換才是新寵。所以咱們要把以前得到的作用量修改一下，讓其能具有洛倫茲變換的不變性。這篇文章里已經(jīng)得到過結(jié)果（點(diǎn)我回顧），在不考慮相對論效應(yīng)時(shí)，單個(gè)自由粒子的作用量為如今要使它具有洛倫茲變換的不變性，時(shí)間是咱們首先能想到的可以進(jìn)行修改的物理量——把坐標(biāo)時(shí)換成固有時(shí)唄。
由于固有時(shí)和坐標(biāo)時(shí)間之間存在關(guān)系
所以作用量被改寫為
從改寫后的結(jié)果來看，由于固有時(shí)具有洛倫茲變換的不變性，如今只要被積項(xiàng)
也具有洛倫茲變換的不變性，那么作用量必將具有洛倫茲協(xié)變性。另外，咱們之前猜測單個(gè)自由粒子的拉格朗日函數(shù)時(shí)就有結(jié)論：拉氏函數(shù)只與粒子的速度平方有關(guān)，這是因?yàn)橐紤]空間和時(shí)間的均勻性。
所以這里的也應(yīng)該只與粒子的速度平方有關(guān)。考慮到這一項(xiàng)還肩負(fù)著洛倫茲變換不變性的使命，應(yīng)該不會(huì)是與普通速度的平方有關(guān)，而是應(yīng)該與四維速度矢量的平方有關(guān)。不過四維速度矢量的平方并不是取，而是取。為啥？還不是因?yàn)楹笳叩慕Y(jié)果是洛倫茲變換的不變量撒。再次提醒一下，指標(biāo)下降只是改變四維矢量里第一個(gè)分量的符號(hào)！由于四維速度矢量為
所以它的協(xié)變矢量
自己動(dòng)手算算，這里有
于是待修改的拉格朗日函數(shù)可以寫成這樣的等式
敲黑板，這里的所有猜想思路完全是照搬非相對論效應(yīng)下的猜想思路。如果你對此還不了解的話，請移步此長文。
思路發(fā)展到這一步后，只需把待定的比例系數(shù)給確定下來，咱們就能得到想要的結(jié)果啦。來，先把上面的式子變下形，則有結(jié)果折騰了半天，這便是咱們要找的考慮相對論效應(yīng)時(shí)的單個(gè)自由粒子的拉格朗日函數(shù)！
請不要忘記現(xiàn)在這副模樣的拉格朗日函數(shù)必須要能退化成不考慮相對論效應(yīng)時(shí)的單個(gè)自由粒子的拉格朗日函數(shù)
的模樣。這是因?yàn)樵诘退偾樾蜗拢?strong>伽利略變換是洛倫茲變換的近似結(jié)果。怎么退化呢？你還記得微分么？由于現(xiàn)在咱們要考慮的是的情況，所以把展開后的近似結(jié)果為（你若想知道具體的推導(dǎo)過程，可以去文末的附錄部分找到答案）。其中有一個(gè)附加常數(shù)并不影響自由粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。對比以前得到的拉格朗日函數(shù)就能發(fā)現(xiàn)，比例系數(shù)。哈哈哈，咱們照葫蘆畫瓢就得到了考慮相對論情形下的單個(gè)自由粒子的拉格朗日函數(shù)為咳咳咳，多說一句哈，你把剛才得到的結(jié)果還原成表達(dá)式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它等于。這個(gè)式子應(yīng)該算是人皆所知了吧？想知道它的具體故事嗎？我后續(xù)會(huì)給安排相關(guān)文章。
接下來就該開始增加難度，考慮受到外部作用的粒子的拉格朗日函數(shù)了。當(dāng)初在經(jīng)典力學(xué)領(lǐng)域里，受到外部作用的粒子的拉格朗日函數(shù)為
當(dāng)然啦，得到這個(gè)結(jié)果是有一個(gè)前提條件的：運(yùn)動(dòng)的物體受到是保守力，也就是說此力可以由勢能給表示出來，即有
但是對于在電磁場中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子而言，其受到的力可就不一定是保守力了。除了靜電力是保守力，洛倫茲力也好，渦旋電場施加的電場力也罷，這兩者可都不是保守力。
想到這，寫出拉格朗日函數(shù)的愿景好像遇到了一點(diǎn)數(shù)學(xué)上的困難。別難過，遇到這種情況，大家都是不想的，要不要煮碗面給你吃啊？呃，串詞啦。來來來，我們重新審視一下拉格朗日方程。
當(dāng)初我們得到的拉格朗日方程的完全體是這樣的
只有當(dāng)廣義力是保守力的時(shí)候，可以將其寫成于是移項(xiàng)就能得到
考慮到勢能與廣義速度無關(guān)，即
于是我們對方程的第一項(xiàng)進(jìn)行了拼湊，使其也有這一項(xiàng)，即
這樣我們才得出拉格朗日函數(shù)為
切，搞了半天是因?yàn)闇愴?xiàng)過日子才弄出這個(gè)結(jié)果的。咱現(xiàn)在硬氣一點(diǎn)，湊什么湊，直接把之前缺的那一項(xiàng)給補(bǔ)齊嘍——如果現(xiàn)在廣義力是被如此表示出來的
你把它帶入到拉格朗日方程里瞅瞅，是不是一樣也能得到于是拉格朗日函數(shù)依舊可以愉快地寫成
哈哈，非保守力的問題又看到了曙光。這意味著現(xiàn)在的“勢能”不僅與坐標(biāo)有關(guān)，還與速度有關(guān)。這個(gè)“勢能”可就有點(diǎn)不倫不類啦，別管它，給它冠以廣義勢能的名字。
既然你提及了廣義勢能，難道帶電粒子在電磁場中的受力會(huì)與這種廣義勢能有關(guān)系嗎？要說按照劇情的發(fā)展，也不是沒可能喲！
哎呀，你不要這么明顯地暗示啦！
咱們先看看帶電粒子在電磁場中的受力情況唄。如果只有電場存在，無論是靜電場還是渦旋電場，電荷量為的帶電粒子所受的電場力均為如果只有磁場存在，則電荷量的帶電粒子所受的洛倫茲力則為
洛倫茲力的這種寫法是考慮了洛倫茲力的方向、電荷的速度方向以及磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向三者之間的關(guān)系，也就是高中生很熟悉的左手定則。
于是，在電場與磁場都存在的情況下，電荷量為的帶電粒子所受的力應(yīng)該為電場力與洛倫茲力的矢量和，即有上篇文章里咱們已經(jīng)知道了電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別可以表示為
借用這兩個(gè)式子，咱們就能得到廣義勢能的結(jié)果為
（你若想知道廣義勢能是怎么來的，可以在文末附錄部分找到答案）。等式里的和分別是電勢和磁矢勢，而是帶電粒子的運(yùn)動(dòng)速度。是時(shí)候來驗(yàn)證一下與力之間的關(guān)系啦。鑒于力的矢量性，所以咱們采用分量式逐一驗(yàn)證。先看力的第一分量，咱們要驗(yàn)證的結(jié)果就是
一般情況下，不同位置、不同時(shí)刻的電勢和磁矢勢都會(huì)有不同的值，也就是說電勢和磁矢勢都是位置和時(shí)間的函數(shù)；而帶電粒子的速度被認(rèn)為與其所在的位置彼此獨(dú)立。數(shù)學(xué)警報(bào)拉響！理清了各個(gè)物理量之間的關(guān)系，就可以開始求對位置分量和速度分量的偏導(dǎo)啦。先把的式子里的磁矢勢與速度的數(shù)量積寫成展開式，于是對位置分量的偏導(dǎo)結(jié)果為至于對速度分量的偏導(dǎo)很簡單，結(jié)果為于是有
把以上這些結(jié)果全部帶入到分力的式子里，便有結(jié)果再來看力的表達(dá)式
咱們把第一分量記作
略顯麻煩的數(shù)學(xué)運(yùn)算主要在于第二項(xiàng)，老老實(shí)實(shí)地寫出叉乘運(yùn)算的展開式，于是第一分量的結(jié)果為
接下來要干嘛應(yīng)該就一目了然了吧？規(guī)規(guī)矩矩地把此結(jié)果里的電場強(qiáng)度分量和磁感應(yīng)強(qiáng)度分量分別用電勢和磁矢勢給寫出來唄，自己動(dòng)手寫寫哈。有結(jié)果
把這三坨玩意帶入到分力的結(jié)果里，整理一下就有對比兩個(gè)途徑所得分力的結(jié)果，你會(huì)發(fā)現(xiàn)第二個(gè)途徑所得到的結(jié)果，其第二項(xiàng)和第三項(xiàng)均比第一個(gè)途徑的對應(yīng)項(xiàng)里缺個(gè)東西：看仔細(xì)了哈，我可沒有忽悠你，你只要?jiǎng)庸P驗(yàn)算一下便知。
那么問題就來了，這玩意能缺不？你捋一捋：由于磁矢勢是位置和時(shí)間的函數(shù)，那么它的第一個(gè)分量對時(shí)間的全微分則為多元函數(shù)求微分的法則別忘了撒，你要實(shí)在忘了，請點(diǎn)我看重播哈。
由于的結(jié)果中，第二項(xiàng)和第三項(xiàng)是相減的關(guān)系，在這兩項(xiàng)里同時(shí)添加一項(xiàng)現(xiàn)在請大聲說出來：通過兩種不同途徑所得到的分力的結(jié)果是一樣的！至于力的另外兩個(gè)分量與廣義勢能之間的關(guān)系就留給你親自動(dòng)手去驗(yàn)證吧，我這回是真的不寫了喲。
數(shù)學(xué)警報(bào)解除！在數(shù)學(xué)的海洋里遨游了一下后，各位的頭腦應(yīng)該被嗆得很清醒了吧？
倘若沒有入海被嗆的讀者也不必懊惱，反正現(xiàn)在我們得知了一條消息：帶電粒子在電磁場中所受的力可以寫成
于是，帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)的拉格朗日函數(shù)為：
對了，這個(gè)結(jié)果具有咱們一直念叨的洛倫茲變換不變性的特征么？你去驗(yàn)證一下是不是洛倫茲變換的不變量不就可以了么？這里的系數(shù)依舊是咱們的老熟人。第一項(xiàng)就免檢了，前面已經(jīng)審核通過了。至于后面兩項(xiàng)：
括號(hào)里是啥？不正是四維速度矢量的協(xié)變矢量和四維勢矢量（即逆變矢量）的數(shù)量積么？拿出已有的符號(hào)，結(jié)果便是，妥妥滴是洛倫茲變換的不變量！撒花，關(guān)于在電磁場中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子的拉格朗日函數(shù)就被咱們猜出來啦！至于猜想的結(jié)果是否正確，那就要看通過拉格朗日方程是否能得到帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程嘍。內(nèi)容不多，你若感興趣可以去文末的附錄部分找到答案。
行文至此，電磁場的作用量僅僅完成了一半，因?yàn)樵蹅円恢痹趯憥щ娏Ｗ拥睦窭嗜蘸瘮?shù)。電磁場里即使沒有帶電粒子這個(gè)對象，僅靠電場與磁場的相互激發(fā)也能產(chǎn)生漣漪。所以咱們還得照葫蘆畫瓢去寫出刻畫電磁場自身特性的拉格朗日函數(shù)。
開局依舊靠猜。沒錯(cuò)，基于事實(shí)地大膽猜測，然后再小心求證嘛。理論物理學(xué)家的生命周期就是如此：猜出一個(gè)拉格朗日函數(shù)；將理論計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行比較；如果與實(shí)驗(yàn)吻合，去領(lǐng)諾貝爾獎(jiǎng)；否則開始重新輪回。
與單個(gè)的帶電粒子不同，電磁場是一個(gè)連續(xù)的介質(zhì)。咱們在力學(xué)領(lǐng)域里得到過多個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日函數(shù)，它等于每個(gè)自由粒子的拉格朗日函數(shù)之和。
類比過來，對于連續(xù)介質(zhì)而言，一個(gè)區(qū)域里的對象的拉格朗日函數(shù)也等于該對象包含的所有微元的拉格朗日函數(shù)之和，不過這種求和就得用上微積分了。
思路倒是挺清晰，那么現(xiàn)在我問你這個(gè)積分該怎么寫呢？
咱們先看最簡單的情形，假設(shè)電磁場只分布在一條線上，那么按照剛才的思路，這條線上的電磁場的拉格朗日函數(shù)是不是得寫成
呢？咱們姑且把積分號(hào)里的這一項(xiàng)用符號(hào)來表示。看著這個(gè)積分式，你覺得這個(gè)符號(hào)叫什么名字好呢？把它稱為拉格朗日函數(shù)的密度如何呢？你看嘛，密度乘以微元的線長就是這段微元的拉格朗日函數(shù)，再把所有微元的拉格朗日函數(shù)相加就是整條線所對應(yīng)的拉格朗日函數(shù)，寫成式子就是這個(gè)積分。
同理，如果電磁場分布在一塊平面區(qū)域里，你想寫出該區(qū)域里電磁場的拉格朗日函數(shù)，積分結(jié)果是不是得寫成
至于電磁場分布于三維空間的話，則該空間范圍內(nèi)電磁場的拉格朗日函數(shù)自然就得寫成
所以咱們正式官宣：就是拉格朗日密度函數(shù)，它就是為連續(xù)介質(zhì)而生！
解決了連續(xù)介質(zhì)的拉格朗日函數(shù)的寫法問題，作用量就有眉目啦。把上面剛剛得到的拉格朗日函數(shù)的表達(dá)式帶入到作用量的表達(dá)式里，那么連續(xù)介質(zhì)的作用量就得寫成眼瞅著積分號(hào)的數(shù)量越來越多，你心里是不是慌得一批？別擔(dān)心，轉(zhuǎn)機(jī)馬上就會(huì)出現(xiàn)。
不管你是單個(gè)粒子的作用量還是連續(xù)介質(zhì)的作用量，都逃不過洛倫茲變換不變性的手掌！而的積分結(jié)果有這么一長串東西：，這玩意兒正是四維時(shí)空里的體積元！悄悄告訴你，它是一個(gè)洛倫茲變換的不變量喲！為啥？拿最簡單的洛倫茲變換來說，兩參考系只沿著軸方向有相對運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)尺縮短效應(yīng)提示你軸方向上的長度會(huì)發(fā)生收縮，其收縮系數(shù)為。同時(shí)動(dòng)鐘變慢效應(yīng)也會(huì)提醒你時(shí)間會(huì)延長，延長的系數(shù)為。所以這個(gè)體積元是一個(gè)洛倫茲變換的不變量。如此一來，只要咱們要求拉格朗日密度函數(shù)具有洛倫茲變換的不變性，那么作用量就具有洛倫茲變換不變性。接下來，咱們的目光就只會(huì)盯在這個(gè)拉格朗日密度函數(shù)身上。預(yù)警一下，現(xiàn)在需要稍微涉及一點(diǎn)關(guān)于拉格朗日密度函數(shù)的數(shù)學(xué)知識(shí)了。
回顧此文第七節(jié)里對于最簡泛函的寫法
泛函里面的是獨(dú)立參數(shù)，是待求函數(shù)，是其導(dǎo)數(shù)，而泛函對應(yīng)的就是拉格朗日函數(shù)。對于如今身處四維時(shí)空里的拉格朗日密度函數(shù)來說，影響它的獨(dú)立參數(shù)可就不止一個(gè)啦，四個(gè)獨(dú)立參數(shù)前來報(bào)到。
至于拉格朗日密度函數(shù)里的變量一般包含有，這里的是待求的函數(shù)，而分別是待求函數(shù)對各個(gè)獨(dú)立參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。于是，拉格朗日密度函數(shù)可以記作
你對比一下最簡泛函，你會(huì)發(fā)現(xiàn)前者只是多了幾個(gè)獨(dú)立參數(shù)和對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)而已嘛。既然新的泛函略有調(diào)整，接下來就去瞧一瞧拉格朗日方程會(huì)有哪些改動(dòng)吧。
當(dāng)初咱們是要解決最簡變分問題——求
的最值，這才從數(shù)學(xué)的角度得出了拉格朗日方程，即現(xiàn)在的拉格朗日密度函數(shù)里面有四個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以通過求泛函極值所得的結(jié)果就不僅僅只是關(guān)于參數(shù)的拉格朗日方程，而是還包含其他三個(gè)參量的拉格朗日方程。新方程的形式是類似的，但是相比那個(gè)最簡的拉格朗日方程得加項(xiàng)！即有
紅藍(lán)對比是變動(dòng)部分；綠色部分只是加項(xiàng)；黑色部分不變諾，圖中清晰地標(biāo)出了新方程相比舊方程的變動(dòng)之處！除了加項(xiàng)以外，前四項(xiàng)里括號(hào)外的求導(dǎo)符號(hào)也有變化。
這是因?yàn)?strong>最簡泛函里只有一個(gè)獨(dú)立參數(shù)，對它求導(dǎo)當(dāng)然得寫成；而拉格朗日密度函數(shù)里面包含有四個(gè)獨(dú)立參數(shù)，對它們其中的一個(gè)參數(shù)求導(dǎo)是不是得寫成，，和？好啦，數(shù)學(xué)預(yù)警可以解除了，現(xiàn)在重新回到物理領(lǐng)域，是時(shí)候來猜一猜的表達(dá)式啦。類似于粒子可以分為自由粒子和受外部作用的粒子，電磁場可以分成沒有電荷或者電流存在的無源部分和有電荷或者電流存在的有源部分。
先看無源部分，既然只有電磁場存在，而且必須要具有洛倫茲變換不變性，所以描述電磁場的張量必然要出現(xiàn)在里面。同時(shí)考慮空間的同向性，必然只是個(gè)標(biāo)量。呃，你可以考慮一下，因?yàn)樗褪菨M足以上條件的一個(gè)標(biāo)量。所以咱們假設(shè)電磁場無源部分的拉格朗日密度函數(shù)應(yīng)該正比于，記作來來來，先給你把的結(jié)果安排出來。咱們在上篇文章里已經(jīng)知道了長啥樣而作為指標(biāo)下降的產(chǎn)物，只是將指標(biāo)含有或的項(xiàng)的符號(hào)異號(hào)即可。所以有：那么這兩者的乘積該如何求？愛因斯坦求和約定?。。∏蠛图s定??！約定！由于指標(biāo)和都重復(fù)出現(xiàn)了，所以得依次對兩個(gè)指標(biāo)遍歷求和。咱們就先對指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，則展開的結(jié)果為然后再對這四項(xiàng)里的每一項(xiàng)都對指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和即可完成最終的計(jì)算。呃，要是不給你具體算一算，恐怕你會(huì)罵罵咧咧地退出閱讀。
那就以展開式右邊的第一項(xiàng)為例，指標(biāo)要遍歷取完~的值，即把里的第一行（）里的四個(gè)元素取出來、把里的第一行（）里的四個(gè)元素取出來，對應(yīng)項(xiàng)相乘后求和，則有結(jié)果：因?yàn)檫@里的是電場強(qiáng)度的三個(gè)分量，所以有我都寫到這一步了，剩下的幾項(xiàng)的計(jì)算就留成作業(yè)給你了哈。于是咱們最終可以得到
再來看電磁場的有源部分。同樣是為了使得拉格朗日密度函數(shù)具有洛倫茲變換的不變性，有源部分得用四維電流密度矢量來刻畫，想必這個(gè)猜測是比較容易想到的。由于源的出現(xiàn)，必然會(huì)和電磁場產(chǎn)生相互作用。對帶電粒子來說，具有洛倫茲變換不變性的拉格朗日函數(shù)是。過渡到場，你想得到電磁場的拉格朗日密度函數(shù)，只需把帶電粒子的電量變成電荷密度即可。如此一來，有源存在時(shí)的電磁場的拉格朗日密度函數(shù)就與即有關(guān)，記作你寫成
一點(diǎn)問題也沒有，個(gè)人習(xí)慣罷了。對了，既然是帶電粒子和電磁場的相互作用的拉格朗日函數(shù)，所以和得一致，所以這里的比例系數(shù)取。通過以上的合理猜測，咱們現(xiàn)在可以寫出電磁場的拉格朗日密度函數(shù)的了，它應(yīng)該為
回看前面已經(jīng)介紹的關(guān)于的泛函記法，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這里的相當(dāng)于那里的待求函數(shù)；而里所含有的內(nèi)容其實(shí)就是，這對應(yīng)著那里的四項(xiàng)，咱們就簡記為。于是把那里所得的拉格朗日方程搬到這里就能寫成緊湊的四維形式，即為
關(guān)于符號(hào)的記法，可以回看上一篇文章的附錄部分喲。你若是把上面這個(gè)緊湊的四維形式的拉格朗日方程和基本的拉格朗日方程拿來對比，那么就相當(dāng)于是電磁場里的“廣義坐標(biāo)”，而就是電磁場里的“廣義速度”。如此一番對比，你是不是有了更清晰的認(rèn)識(shí)呢？煩請各位親身動(dòng)手驗(yàn)證一下這個(gè)緊湊式的展開結(jié)果，看看是否和前面從數(shù)學(xué)角度推導(dǎo)出的結(jié)論一致。
好啦，拉格朗日密度函數(shù)的表達(dá)式也猜了，其所滿足的方程也確定了，現(xiàn)在就到了驗(yàn)證猜想的時(shí)刻啦！對了，順便還要把比例系數(shù)的值給確定出來。既然已經(jīng)明確了和的地位，類比廣義坐標(biāo)和廣義速度之間的獨(dú)立關(guān)系，所以它倆之間也算是井水不犯河水。于是
這個(gè)看似顯然可得的結(jié)果，其實(shí)再次考驗(yàn)了你對指標(biāo)的掌握情況。是兩個(gè)四維矢量的標(biāo)量積，其指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)了，所以要對指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，結(jié)果為而對偏導(dǎo)符號(hào)來說，指標(biāo)也要遍歷取~的值，但是沒有求和的業(yè)績要求。所以這個(gè)偏導(dǎo)結(jié)果其實(shí)是由四項(xiàng)分量組成的一個(gè)四維矢量：我都寫到這一步了，你應(yīng)該會(huì)求了吧？
稍微麻煩一點(diǎn)的是
的計(jì)算。中與有關(guān)的只有這一項(xiàng)。重點(diǎn)提醒，不要看著都有指標(biāo)和就覺得計(jì)算好像很容易了，這些指標(biāo)都是要遍歷取值的！??！雖然前面已經(jīng)計(jì)算過的結(jié)果，不過為了詳細(xì)說明接下來的求導(dǎo)，這里會(huì)重新展開它的計(jì)算式，有結(jié)果這樣寫的目的是為了把所有指標(biāo)含零的項(xiàng)摘出來，因?yàn)楦鶕?jù)指標(biāo)下降的規(guī)則，含零指標(biāo)的項(xiàng)的符號(hào)會(huì)變號(hào)。
接下來先把指標(biāo)提起來，于是有
前兩項(xiàng)的負(fù)號(hào)為啥出現(xiàn)，你想明白了不？對了，你數(shù)一數(shù)，是不是一共有16項(xiàng)呢？
然后你就老老實(shí)實(shí)地把這16項(xiàng)逐一對進(jìn)行求偏導(dǎo)。當(dāng)然啦，你肯定不用每一項(xiàng)都求，因?yàn)橐?guī)律很快就會(huì)被發(fā)現(xiàn)了。咱們先看含零指標(biāo)的兩項(xiàng)：和。這兩項(xiàng)是行與列剛好互換位置的元素。你仔細(xì)觀察張量就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它里面的元素只要是行與列互換了位置，都滿足。這個(gè)特性稱為反對稱性，于是有。根據(jù)張量的構(gòu)造，這里有
但是上面的偏導(dǎo)項(xiàng)“分母”里面，兩個(gè)指標(biāo)會(huì)遍歷取完~的值，所以這個(gè)偏導(dǎo)結(jié)果會(huì)有16項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)張量，結(jié)果為不要忘了哈，對于張量來說，指標(biāo)代表行標(biāo)，指標(biāo)代表列標(biāo)。于是
照葫蘆畫瓢，這個(gè)結(jié)果就為
把上面這兩個(gè)偏導(dǎo)結(jié)果相加即為
請一定要看清楚行標(biāo)與列標(biāo)啊！至于其他含零指標(biāo)項(xiàng)的求導(dǎo)結(jié)果就可以同理可得了哈。作業(yè)已布置，請及時(shí)完成。
再來看看不含零指標(biāo)的項(xiàng)的求導(dǎo)結(jié)果，就以和為例吧。不難得出（想說這話很久了，現(xiàn)在說出來應(yīng)該沒毛病吧），最終的計(jì)算結(jié)果為：
這個(gè)最終的結(jié)果同樣用到了反對稱特性，即。顯而易見，其最終的計(jì)算結(jié)果為：
這個(gè)最終的結(jié)果同樣用到了反對稱特性，即。把這兩項(xiàng)偏導(dǎo)結(jié)果相加即為：
同樣提醒你的是一定要看清楚行標(biāo)與列標(biāo)！至于其他不含零指標(biāo)項(xiàng)的求導(dǎo)結(jié)果就留給你當(dāng)做作業(yè)了哈。
當(dāng)你完成了留給你的作業(yè)后，對于最后的總結(jié)果就應(yīng)該門兒清了吧？即有
仔細(xì)瞧瞧這個(gè)方陣的特點(diǎn)，里面所有含零指標(biāo)前都出現(xiàn)了負(fù)號(hào)！你應(yīng)該知道它是誰了吧？這不妥妥滴就是指標(biāo)下降后的產(chǎn)物么？所以有結(jié)果：
到此，拉格朗日方程里的兩項(xiàng)偏導(dǎo)就全部塵埃落定了。于是方程就簡化成了：
這個(gè)結(jié)果是不是看著很眼熟?。?！還記得上篇文章末尾處所得到的麥克斯韋方程組的張量形式么？你要是忘了，咱就辛苦一下再敲一遍：
用簡寫記號(hào)的話，即為
看到這里，你是不是已經(jīng)按奈不住激動(dòng)的心情啦？咱們猜測的拉格朗日密度函數(shù)經(jīng)拉格朗日方程推出了麥克斯韋方程組！還有什么能比自己的猜想被證實(shí)更值得高興的呢？加個(gè)雞腿先！
呃，我沒想打擾正在激動(dòng)的你，不過還是要提醒你仔細(xì)對比一下兩個(gè)方程，細(xì)心的你應(yīng)該發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)方程里的所有角標(biāo)的上下位置完美錯(cuò)開了！這是不是意味著拉格朗日方程得出的結(jié)果錯(cuò)了？哈哈哈，我很想看看此刻你樂極生悲的樣子。
好了，不和你開玩笑了。鄭重告訴你，由拉格朗日方程得到的結(jié)果沒有錯(cuò)！至于角標(biāo)的上下位置全部錯(cuò)開的特點(diǎn)，咱們可以將其稱為麥克斯韋方程組的協(xié)變形式！文末的附錄部分有詳細(xì)解釋，好奇的你可以前去查看。
哇喔，虛驚一場！咱們現(xiàn)在可以放心宣布電磁場的拉格朗日密度函數(shù)猜對啦！然后再順帶著把比例系數(shù)給確定出來，有于是電磁場的拉格朗日密度函數(shù)為
需要鄭重說明一下，你可能在不同地方看到的帶電粒子的拉格朗日函數(shù)與電磁場的拉格朗日密度函數(shù)的結(jié)果有所不同，原因有二：
第一是由于選用了不同的單位制所導(dǎo)致的，我這個(gè)系列的文章自始至終都是采用國際單位制。
第二是由于四維坐標(biāo)的記法派系（有個(gè)專有名詞為度規(guī)）不同所導(dǎo)致的，如果你看到的記法派系為，那么電磁場的拉格朗日密度函數(shù)里的第二項(xiàng)前面為負(fù)號(hào)。請?jiān)试S我把結(jié)論在這里鄭重地羅列一下。
處于電磁場中的帶電粒子的拉格朗日函數(shù)為：
其作用量為：
由它便可得到在電磁場不變的情況下帶電粒子的運(yùn)動(dòng)。電磁場的拉格朗日密度函數(shù)為：
其作用量為：
倘若你一路看完這個(gè)系列的連載文章，此刻你是不是會(huì)豪氣地替最小作用量原理宣布——力學(xué)和電磁學(xué)都要?dú)w我管？！
雖然最小作用原理沒有給出一個(gè)明確具體的方程（相對于牛頓運(yùn)動(dòng)定律、麥?zhǔn)戏匠潭裕?，但這正是原理所該具備的特征——抽象！只有抽象才能涵蓋廣泛的內(nèi)容！你瞅瞅相對性原理，不也是一句話簡而概之卻又統(tǒng)管所有物理定律么？
物理學(xué)本就是將追求所有物理規(guī)律的普遍特性當(dāng)做己任，自然就會(huì)孜孜不倦地探究比物理定律本身更高的一種普遍性、一種尋求和發(fā)現(xiàn)定律的普遍原則即原理！而在原理集體里（比如相對性原理，最小作用量原理，對稱性原理等），最小作用量原理被一些物理巨頭們（以普朗克為代表）認(rèn)為是物理學(xué)中包容最廣、最具普遍意義的原理！
我也正是在好奇心地驅(qū)使下才斷斷續(xù)續(xù)寫完這個(gè)系列的文章，隨著輸出的文字日漸增多，好奇心也水漲船高，很可能還有更多關(guān)于最小作用量原理的輸出，此處的終點(diǎn)僅僅是下一站的起點(diǎn)。不過我也得向你老實(shí)坦白，我乃一介凡夫，能不能繼續(xù)敲出一些文字取決于后續(xù)的學(xué)習(xí)進(jìn)展啦，敬請期待。
對啦，最后告訴你一個(gè)個(gè)人感受：持續(xù)學(xué)習(xí)與輸出真的會(huì)上癮！
咱們在這篇文章里詳細(xì)說過微分，下圖中、兩點(diǎn)間的縱坐標(biāo)差值即為寫成函數(shù)形式即為
這里的與分別是、兩點(diǎn)的函數(shù)值，是函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。當(dāng)你忽略掉高階無窮小量后，這不就有近似關(guān)系了么？這便是咱們進(jìn)行近似計(jì)算的依據(jù)！寫成更一般的形式，咱們?nèi)粝胗?jì)算函數(shù)在附近的近似值，則近似計(jì)算的公式為其中是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。是時(shí)候來看看的近似計(jì)算結(jié)果啦。
由于，所以非常接近于0，于是咱們就可以把式子在附近進(jìn)行近似計(jì)算。為了讓你看得更清楚，咱們把記為，則咱們要計(jì)算的函數(shù)便是。由于現(xiàn)在是要在附近展開，所以計(jì)算式就變成了剩下的數(shù)學(xué)計(jì)算就很容易了撒，顯然有，，于是有正向推出廣義勢能的結(jié)果，其實(shí)和正文里的思路一模一樣。
既然帶電粒子在電磁場中所受的力為
且電場強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度可分別表示為照抄正文里面的結(jié)果，則力的第一個(gè)分量即可寫為在整個(gè)式子里面只需增減一項(xiàng)，結(jié)果就變成了式子雖然有點(diǎn)長，但是你拿筆驗(yàn)算后還是能輕而易舉地看懂它。你瞧瞧這個(gè)結(jié)果中兩個(gè)括號(hào)里的內(nèi)容，第一個(gè)括號(hào)是不是可以寫成
你把的數(shù)量積結(jié)果寫出來，由于速度的各個(gè)分量均與坐標(biāo)分量彼此獨(dú)立，所以自然就是上式中第一個(gè)括號(hào)的簡寫結(jié)果。至于第二個(gè)括號(hào)里的內(nèi)容就更簡單了，它就是
考慮到的各個(gè)分量與的各個(gè)分量也是彼此獨(dú)立，所以咱們完全可以拼湊出這樣的結(jié)果，即有對了，標(biāo)量也與的各個(gè)分量彼此獨(dú)立，所以咱們干脆把結(jié)果湊成至于有何用意，馬上你就知道了。
有了上面兩段文字的助攻，力的第一個(gè)分量就變成了把的拼湊結(jié)果帶進(jìn)來，最終的結(jié)果便是至于力的其它兩個(gè)分量肯定也有相同的形式啦，不信你就自己完成剩余的推導(dǎo)哈。現(xiàn)在是時(shí)候給拿它和廣義力
去對比啦！還有啥好說的呢？帶電粒子在電磁場中的廣義勢能不就是3、由拉格朗日方程得出帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)方程所謂帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)方程，無非就是牛頓第二定律的具體應(yīng)用。由于帶電粒子在電磁場中所受到的力為所以運(yùn)動(dòng)方程為
這里之所以沒有寫成
是因?yàn)榭紤]相對論效應(yīng)時(shí)，物體的質(zhì)量不再是不變量，所以另外，考慮相對論效應(yīng)時(shí)，物體的動(dòng)量也不再被定義為
關(guān)于物體動(dòng)量的詳細(xì)內(nèi)容請閱讀下篇的番外篇文章，你目前姑且知道這個(gè)結(jié)論即可。
現(xiàn)在有請?jiān)陔姶艌鲋羞\(yùn)動(dòng)的帶電粒子的拉格朗日函數(shù)
角標(biāo)取值。咱們拿其中一個(gè)角標(biāo)驗(yàn)證一下就能看出端倪。為了不重復(fù)計(jì)算，你只需把替換成帶入到拉格朗日方程，化簡便可得到瞅瞅等號(hào)右邊的這兩項(xiàng)，附錄里的第2個(gè)問題不就是在推導(dǎo)它嘛？拿過來用唄，有
至于等號(hào)左邊的兩項(xiàng)，由于不顯含坐標(biāo)，所以立刻就能求得
現(xiàn)在把等號(hào)兩邊的結(jié)果均帶進(jìn)去，原等式不就變成了
即帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)方程的第一個(gè)分量式被驗(yàn)證成立啦。照葫蘆畫瓢，剩下兩個(gè)分量式同理驗(yàn)證，留給你去自行求證了哈。
所以，在電磁場中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子的拉格朗日函數(shù)經(jīng)受住了考驗(yàn)，收工！
在上篇文章里，咱們寫出的四維形式的麥克斯韋方程組為
而本篇文章里，通過拉格朗日方程得出的結(jié)果為
既然提到了協(xié)變式，說明兩個(gè)方程的差別只在于第一個(gè)分量的符號(hào)不同。
不管你有沒有忘記各個(gè)符號(hào)的具體意義，我都在這里羅列一下。
偏導(dǎo)符號(hào)：
電磁場的張量：
電磁場的協(xié)變張量：
四維電流密度矢量：
四維電流密度協(xié)變矢量：
咱們先看
按照愛因斯坦求和約定，展開式即為
至于的分量我就不寫了，建議你自行推導(dǎo)。對應(yīng)的結(jié)果分別是，和再看
按照愛因斯坦求和約定，展開式即為
你和上面的結(jié)果對比一看不就發(fā)現(xiàn)了的分量剛好異號(hào)了么？當(dāng)然啦，你也可以把這三項(xiàng)寫成，和，畢竟四維逆變矢量與四維協(xié)變矢量的區(qū)別僅在于0分量的符號(hào)不同而已。看到這里，你應(yīng)該很清楚是的協(xié)變式了吧？
