在物理學(xué)的發(fā)展史上，牛頓力學(xué)、拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)分別代表了三個重要的里程碑。這三者分別以偉大的科學(xué)家艾薩克·牛頓、約瑟夫·路易·拉格朗日和威廉·羅維爾·哈密頓的名字命名，它們在不同的歷史時期逐步完善了我們對物理世界的認識。從牛頓力學(xué)的經(jīng)典描述，到拉格朗日力學(xué)的分析數(shù)學(xué)方法，再到哈密頓力學(xué)的能量守恒原理，這三個理論在不同程度上揭示了自然規(guī)律的普適性，對物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響。

這篇文章，我將為大家簡要介紹經(jīng)典力學(xué)的三種表述方式，即牛頓力學(xué)、拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)。牛頓力學(xué)是每個人在上物理課時都會學(xué)到的內(nèi)容，即將F=ma應(yīng)用于簡單系統(tǒng)。然而，現(xiàn)代物理學(xué)家更廣泛使用的還有另外兩種力學(xué)表述方式，它們對于理解量子力學(xué)至關(guān)重要。這就是拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)。

我將用單擺（the simple pendulum）來說明每種方法。設(shè)有一個質(zhì)量為m的粒子，懸掛在一個長度為l的輕桿上，桿的另一端固定在一個支點上。現(xiàn)在簡要回顧一下牛頓力學(xué)方法。

首先，我們需要建立一些坐標來描述擺的位置。這里可以選擇任何坐標系，但最簡單的方法是選擇沿著粒子運動圓周的弧長坐標s，

或者使用桿與豎直方向的夾角θ。

它們是完全等價的，任何一個都可以用來描述質(zhì)點的位置。它們之間的關(guān)系就是弧度制角度θ的定義，即弧長s除以半徑l。

我們希望預(yù)測擺在被拉起到某個初始角度后會如何運動，或者在受到一個小推力后會如何運動。根據(jù)牛頓力學(xué)，首先要寫出作用在粒子上的所有力。這里只有兩個力，一個是垂直向下的重力mg，另一個是沿徑向指向圓心的桿的張力T。

然后牛頓告訴我們要把所有的力相加，寫出F=ma方程，即總力等于質(zhì)量乘以加速度。

F=ma是一個矢量方程，但我們實際上關(guān)心的是切向分量。張力在這里不起作用，因為它直接指向圓心，與切線方向垂直。所以唯一相關(guān)的力實際上是重力的切向分量。通過一些幾何計算，你可以看到是mg sinθ，指向單擺的平衡位置方向。

對于弧長坐標s，F(xiàn)=ma方程簡單地表示為

我這里用點表示關(guān)于時間的變化率。所以，如果s(t)是關(guān)于時間的位置函數(shù)，那么s點等于ds/dt是速度，s雙點是加速度，即關(guān)于時間的二階導(dǎo)數(shù)。

我想用θ表示所有內(nèi)容，所以我將使用s雙點等于l乘以θ雙點這個事實來重寫F=ma方程，得到

這稱為θ的運動方程，它是一個控制擺運動的微分方程，在這種情況下，由于右側(cè)的sinθ因子，它實際上相當復(fù)雜。

事實上，這個方程過于復(fù)雜，以至于我們無法寫出一個簡單的通用解。但是，在一個特殊情況下，我們可以得到解：當θ很小的時候，即擺離平衡位置不遠。在這種情況下，解就是一個正弦或余弦函數(shù)。

以上是我們使用牛頓力學(xué)和F=ma理解單擺運動的快速回顧。但力學(xué)不僅僅是F=ma，在牛頓力學(xué)之后，約瑟夫·路易斯·拉格朗日和威廉·羅文·漢密爾頓發(fā)展了新的力學(xué)方法。

拉格朗日和漢密爾頓的方法提供了關(guān)于力學(xué)結(jié)構(gòu)的新的見解，它們在量子力學(xué)研究中尤其重要。拉格朗日和漢密爾頓力學(xué)方法在數(shù)學(xué)上比牛頓方法更復(fù)雜一些，但它們都非常有趣。

拉格朗日力學(xué)（Lagrange mechanics）

讓我們看看單擺的拉格朗日量。動能K當然只是

其中v等于s點，所以，

我想用θ表示所有東西，所以我將用l乘以θ點來替換s點，那么動能就是

與此同時，勢能U是mg乘以y，y是粒子的高度。我要把地面高度放在支點的高度處。

然后，粒子的y坐標是-l cosθ，勢能是

而單擺的拉格朗日量是動能和勢能之差，即

牛頓告訴我們從總力開始并將其設(shè)為ma，拉格朗日則告訴我們從拉格朗日量開始，然后使用它來寫出所謂的歐拉-拉格朗日方程，即

我不打算深入探討這個歐拉-拉格朗日方程從哪里來，我只是想把它寫下來，然后研究它的結(jié)果。歐拉-拉格朗日方程是作用量S的最小化條件，

作用量（action）定義為拉格朗日量的積分。在粒子可能遵循的所有可能路徑中，它實際選擇的路徑是使作用量最小化的路徑。這被稱為最小作用量原理（principle of least action），其含義是軌跡滿足歐拉-拉格朗日方程。

現(xiàn)在，將單擺拉格朗日量代入歐拉-拉格朗日方程時會發(fā)生什？歐拉-拉格朗日方程的右側(cè)是關(guān)于θ的拉格朗日量的導(dǎo)數(shù)，我們在求這些導(dǎo)數(shù)時將θ和θ點視為獨立變量。這意味著?L/?θ中的唯一貢獻來自拉格朗日量中的cosθ項，得到

對于左側(cè)，我們需要知道?L/?θ點是多少，從動能項得到

然后取該項的時間導(dǎo)數(shù)，將θ點變?yōu)棣入p點。

順便說一下，這里的?L/?θ點被稱為與坐標θ對應(yīng)的動量p，

?L/?θ被稱為廣義力，

用這個術(shù)語的原因是，歐拉-拉格朗日方程使人想起了牛頓第二定律：力是動量的變化率。

將單擺拉格朗日量代入歐拉-拉格朗日方程的結(jié)果表明，

取消共同因子，我們再次得到

這是我們之前使用f=ma得到的相同的運動方程，但這次我們使用了基于拉格朗日量和歐拉-拉格朗日方程的截然不同的策略。

如果你以前從未遇到過拉格朗日量，那么所有這些可能看起來有點抽象，但實際上，它是一種快速獲得系統(tǒng)運動方程的非常有用方法，通常比使用f=ma更容易。當我面對任何力學(xué)問題時，我通常會先寫下拉格朗日量。首先，我們不必處理f=ma中出現(xiàn)的任何煩人的向量，我們可以選擇任何我們喜歡的坐標來描述系統(tǒng)，包括潛在的非慣性坐標系，寫下拉格朗日量，然后為每個坐標寫下歐拉-拉格朗日方程。拉格朗日形式還使得處理約束和理解對稱性變得更加容易。

哈密頓力學(xué)（Hamiltonian mechanics）

再次出現(xiàn)負號是因為勢能是負的?，F(xiàn)在，我們通過ml2θ點來定義動量P，

我將使用該表達式將能量的第一項重寫為P2/2ml2，

這意味著我們可以將總能量寫成θ和P的形式，即

這個量被稱為哈密頓量（hamiltonian），它是哈密頓力學(xué)的起點，正如拉格朗日量是拉格朗日力學(xué)的起點。

我們用拉格朗日量來寫歐拉-拉格朗日方程，我們將使用哈密頓量來寫哈密頓方程，它們表示為：θ點等于關(guān)于P的H的導(dǎo)數(shù)，

而P點等于關(guān)于θ的H的負導(dǎo)數(shù)

請注意，雖然F=ma和歐拉-拉格朗日方程給出了一個二階微分方程，但哈密頓方程給出了一對關(guān)于θ和P的一階方程。

順便說一下，在這個簡單的例子中，哈密頓量只是總能量，但這并不總是必然的情況，所以在我們繼續(xù)之前，讓我給出一個完全通用的定義。請記住，動量P是由速度的拉格朗日量的導(dǎo)數(shù)定義的，

哈密頓量是通過取P乘以速度，然后減去L來定義的，

然后像之前一樣，用P替換所有的θ點，

讓我們看看從單擺中可以得到什么。關(guān)于P的H的導(dǎo)數(shù)只是第一項的P除以ml平方，

關(guān)于θ的導(dǎo)數(shù)，我們從cosθ的導(dǎo)數(shù)得到-sinθ，得到-mglsinθ，

哈密頓方程告訴我們，

這第一個方程只是動量的定義。如果我求它的變化率，它表示為

現(xiàn)在，將它插入哈密頓的第二個方程，得到

消去公共因子，我們再次得到

因此，哈密頓方程等價于我們從F=ma或歐拉-拉格朗日方程得到的原始運動方程。它們只是將單個二階微分方程分解為一對關(guān)于θ和P的一階方程。一階，因為我們只有一個導(dǎo)數(shù)作用在θ和P上。但這對我們有什么好處呢？哈密頓的一對一階方程并不一定比單個二階運動方程更容易解。然而，我們確實獲得了一個新的幾何觀點來看待單擺的力學(xué)，將其與所謂的相空間上的流相聯(lián)系，現(xiàn)在我來解釋一下。

為了在任何給定時刻指定單擺的運動，我們只需要給出它的位置和速度，或者等價地說，它的位置和動量θ和P。有了這個初始數(shù)據(jù)，我們可以通過求解關(guān)于θ（t）和P（t）的哈密頓方程來計算單擺在任何以后的時間的行為。θ和P的對定義了一個平面，這個平面稱為系統(tǒng)的相空間（the phase space ofthe system）。

我們從初始條件θ（0），p（0）開始，隨著時間的推移，坐標在這個θP平面上移動，沿著這個相空間上的一條曲線，這條曲線被稱為流（flow）。

這些流非常特殊，它們不會沿著θP平面上的任何舊曲線運動。特別是因為單擺的能量是守恒的，如果我們在沿流的任何時間t計算哈密頓量，我們保證總是得到相同的數(shù)值，能量是流的常數(shù)。這里是單擺的一些等能量線，

由于單擺的能量是恒定的，我們知道初始點在隨時間演變時必須沿著這些等能量線移動。特別注意，這里有兩種不同類型的等能量曲線。在相空間中心附近有這些閉合的環(huán)，而在遠離中心的地方有開放的波狀線。嘗試設(shè)置初始條件，使粒子位于其中一個波狀線上，找出這兩種相空間流的物理差異。

這只是拉格朗日和哈密頓力學(xué)的冰山一角，我希望已經(jīng)激發(fā)了你的好奇心，讓你想要自己去了解更多。這些不僅僅是對經(jīng)典力學(xué)非常有趣和非常有用的方法，它們也是我們對量子力學(xué)思考的基礎(chǔ)。例如，在經(jīng)典力學(xué)中的相空間上的函數(shù)會變成量子力學(xué)中的狀態(tài)空間上的算符。所以如果你繼續(xù)學(xué)習(xí)物理，我保證你會在各個地方看到拉格朗日和哈密頓。