不定期分享一些本人原創(chuàng)文章、說題短文或者專家系列講座，主要對象針對初中學生，尤其是初三學生，對于解題研究展開系列探究！
謝謝各位老師的捧場，感謝紀哥，感激于頭以及各路助陣大咖！《第一集》我們講了確定性與構造法，思想決定高度，今天我們直奔第二個板塊！
板塊二：轉化與化歸思想之“斜化直”策略
只有先樹立了好的“解題意識”，才能談“解題能力”的提升與積累！解題意識包含很多，如最基本的抓不變量意識、畫圖意識、轉化意識、分類意識，甚至于解題后反思意識等！這需要學生先意識到有這些最基本的解題策略或者說是解題原則，然后逐漸地、有“自我意識”地去強化訓練，這樣的話，解題能力才能得到根本提升！
可以說，轉化與化歸思想在數(shù)學中無處不在！什么是化歸思想呢？
化歸思想：將一個問題由難化易，由繁化簡，由復雜化簡單的過程稱為化歸，它是轉化和歸結的簡稱”（百度百科語）.筆者認為，轉化與化歸思想可以說是數(shù)學中最重要的思想與方法，“學習本身就是一種轉化”，化“未知的領域”為“已知的領域”，化“今天的新知”為“昨天的舊知”，化難為易，化繁為簡，化抽象為具體等等，總而言之，學生解題需要時刻懷揣轉化意識，讀已知條件，想想能得到什么，讀結論所求，想想怎么得到它，轉化無處不在，心有轉化，則萬物皆可轉化，心無轉化，則思維必將停滯不前.
“化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學思維方式.所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法.一般總是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題.總之，化歸在數(shù)學解題中幾乎無處不在，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗.說到底，化歸的實質(zhì)就是以運動變化發(fā)展的觀點，以及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉化，使問題得以解.實現(xiàn)這種轉化的方法有：待定系數(shù)法，配方法，整體代入法以及化動為靜，由抽象到具體等轉化思想.這也是辯證唯物主義的基本觀點，把復雜的內(nèi)容簡化處理，化整為零就是它的另一層含義.化歸的實質(zhì)是不斷變更問題”！
今天我們主要談一談轉化與化歸思想之“斜化直”策略！
第三步：畫出所求直線的草圖，如圖1-3所示，這兩條所求直線與已知直線l1平行，且與直線l1之間的距離均為3；若能求出這兩條直線的解析式，最終所求b的值也就呼之欲出了！那么如何求其解析式呢？這是本題的難點，也是關鍵點！
第四步：這兩條直線都可以看成是已知直線l1平移而來，但問題是，并非平移3個單位的距離那么簡單，3僅僅是平行線之間的距離，這個距離是一個“斜距離”，不是我們需要的距離，我們需要的是如圖1-4所示的距離d，即目光聚焦在AB=AC=d上，這個“直”距離若是能求出來，直接利用平移口訣“上加下減”即可輕松搞定解析式；
第五步：如圖1-5所示，要求AB的長，可以依托AB過點B作BF⊥AE于點F，構造出一個有趣的Rt△ABF，其邊BF及邊AB都具有很強的幾何意義，其中BF=h表示兩條平行線之間的距離，不妨稱之為“斜”距離；而AB=d表示兩條平行直線沿y軸上下平移的距離，不妨稱之為“直”距離，這個Rt△ABF不妨取名為“距離三角形”；
解題后反思：解決此題的關鍵是如何將“直”距離h轉化為“斜”距離d，從而利用平移思想口算出所求直線的解析式，而這個轉化主要是借助于一組極其有趣的相似，即所謂“距離三角形”與“坐標軸三角形”的相似，這組相似在本人以前的作品中多次提及，是我很喜歡的一組相似，對于解決很多與直線相關的綜合題中往往可以發(fā)揮奇效，望同學們重視，這里的轉化是一種重要的“斜化直”思想，不妨戲稱為“改斜歸正”大法.
上面一道小小的中考選擇題，但透露的思想與策略卻不簡單，下面繼續(xù)以一道大題開啟我們的探討之路！
解題后反思：本題中“斜線段”PD與“直線段”PC的轉化巧妙借助了三角函數(shù)值，其本質(zhì)還是相似，即上題中提及的所謂“坐標軸三角形”與“距離三角形”的相似關系，如圖2-2所示，這一有趣的相似再次發(fā)揮奇效，其實兩道題目的解題策略與思想方法一模一樣，掌握了“思想”，就牽住了“牛鼻子”，再怎么考也不難了！這依然是轉化策略中“改斜歸正”大法的應用，
另外此題還有個有趣的做法，思路如下：
利用△ABP面積之“寬高公式”，將面積表示成m的代數(shù)式，如圖2-3所示；
再利用△ABP面積之“底高公式”，由底邊AB確定，結合面積法，可以將高PD表示成m的代數(shù)式，如圖2-4所示；
這里的所謂“寬高公式”，下面也會重點提及；
所以PD的最大時，就是△ABP面積最大時，也就是其所謂“鉛錘高”PC最大時，這是“一根繩上的螞蚱”，而且有一個更有趣的結論就是當動點P位于定線段AB中點的正下方時，即當點C是線段AB的中點時，上面所說的量均達到最大值，這個結論對于任意直線與拋物線都是普適的，可以設成最一般的一般式去推導，不再贅述，同學們不需掌握此推導方法，因為會用到“韋達定理”，揚州地區(qū)中考對此淡化了，但是我們可以記住這個結論，作為最后的檢驗結果正確與否之用，不亦樂乎！
（2）②最后一問是一個面積存在性問題，其間也會涉及到極其有趣的轉化思想及分類思想，Let’s go！
解題后反思：這里面積處理中涉及的“共高原理”及“共邊原理”，再加上“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”面積問題中轉化的有力三大工具，值得同學們將之形成知識串，掌握理解應用；
結合“斜直”思想，權衡之下，本問采取了“共邊原理”，放棄了“共高原理”，這里的“改斜歸正”策略也是值得同學們認真推敲的重要解題思想方法；
另外此題中系列“距離三角形”與“坐標軸三角形”的相似關系用來轉化“斜線段”的“轉化鏈”也非常有趣，同學們可以將之串成“一根繩上的螞蚱”，知一條線段，所有的線段將出現(xiàn)“連鎖反應”，都能夠自然而然的表示出來！
還有這里的分類意識，同學們也值得關注，不要漏解，考慮問題要全面，做一個嚴謹?shù)摹皩W者”！分不分類，如何分類，都取決于題目中的部分條件可能指代不明，需要同學們“咬文嚼字”式地“細嚼慢咽”，用心分析的！
為了讓同學們徹底固化上面兩道例題均涉及的“斜化直—改斜歸正”大法，即“斜線段”與“直線段”的相互迅速切換，下面再提供一道九年級上學期同學們就做過的一道所謂“難題”，而且這里的“斜線段”還比較隱蔽，需要有主動尋找的意識，才能有效識別！
思想決定高度，只有站得高，才能望得遠！當你高瞻遠矚，以一個高視角居高臨下重新審視一類問題時，很多看似不同的問題本質(zhì)都一樣，其解題思想、方法、策略幾乎如出一轍！所以同學們一定要養(yǎng)成解題后反思的好習慣，去反思題中的思想、方法、策略，再跟以前自己做過的題類比，去發(fā)現(xiàn)異同，達到真正做一題通一類的效果！這樣你會收益良多的，學習一定會更上一層樓的！
在平面直角坐標系中，有兩個幾何直觀需要在學生腦海中生根發(fā)芽的，一是與坐標軸平行的線，這是常見輔助線；二是直線與坐標軸相交后形成的直角三角形，即我所謂的“坐標軸三角形”；三是用相似的眼光尋找解題突破口！（陜西延安賀基旭老師語錄）
板塊二：轉化思想（“改斜歸正”大法）補充資料
下面我們補充巧用“改斜歸正”大法能夠解決的幾個經(jīng)典問題，特別提醒：我們下面的經(jīng)典問題可能有人會認為都是高中的知識，但這并不影響我們用初中的方法巧解所謂高中知識的情懷，有大師就說過，適當?shù)母咧兄R下放，初中知識巧妙的銜接是有必要的，另外這里我更想表達的其實是，思想決定高度，下面的幾個經(jīng)典問題與上面兩道例題的思想方法如出一轍，所以只要站的高，就能望得遠，今后的路才能走的更順暢！
經(jīng)典問題1（九（13）班吳星宇同學課堂上提出問題）：在平面直角坐標系中，求一條定線段的垂直平分線的解析式；
簡析：首先，用“確定性思想”分析此問題，很明顯線段AB是確定的，其垂直平分線當然是確定的，既然是確定的，肯定是可求的，如何去求解呢？
如圖問題1-1，設線段AB的中點為點M，則易知點M的坐標為（3,3），很明顯所求直線l已經(jīng)過一個定點M；
要想求一條直線的解析式，一般需要兩個點的坐標，這里還需求直線l上的另一個點的坐標，理論上可以隨便選取直線l上的另一個定點，求其坐標即可，一般選取比較特殊的點較好，如直線l與坐標軸的交點就蠻好的，尤其是與y軸的交點最好，如圖問題1-1所示，設直線l與y軸的交點為點N，只要求出點N的坐標即可；
現(xiàn)在圖中已有三個已知點，它們分別為點A、點B及點M，要求的是第四個點N的坐標，接下來只要依托于這四個點作一些有趣的“水平—豎直輔助線”，利用所求直線l垂直于線段AB，容易推出一組所謂“三垂直結構”的相似三角形，更有趣的是，只要過這四個點作系列“水平—豎直輔助線”，無論怎么做都可以解決問題，當然輔助線有多少之分，一般我們最好要有用最少的輔助線來解決問題的追求；
解題后反思：求一條定線段的垂直平分線，關鍵是確定該垂直平分線上的另一個點的坐標，一般可求其與y軸的交點，主要依托線段的兩個已知端點及其可求的中點，借助這四個點作一系列“水平—豎直輔助線”，利用垂直條件，可以推導一個“三垂直相似”結構，結合比例法即可口算得出，這里的思想方法依然屬于“改斜歸正”大法的內(nèi)涵！
解題后反思：最后提出的兩個問題都是高中學生的基本功，屬于解析幾何最基本的內(nèi)容，但我們初中學生也可以借助巧妙簡潔、美觀大方的構造法解決，何樂而不為！也就是說知識可能屬于高中的，但方法絕對是初中的，用初中的方法巧妙解決了高中的問題，我想這與有些中考題屬高中知識下放不謀而合，對于某些與直線型相關的綜合計算題有著舉足輕重的作用；
而且上面兩個問題的解決其實是共通的，方法幾乎差不多，用到的思想方法也都是初中數(shù)學中核心的重要思想方法，這兩個問題甚至還可以與本人作品《求一個定點關于一條定直線的對稱點模型介紹》中介紹的求一個定點關于一條定直線的對稱點以及派生出來的求一個定點到一條定直線的距離等問題聯(lián)系在一塊，共同琢磨，它們其實都是相通的，越類比越有趣！
值得一提的是，這組相似三角形在“坐標系中與直線相關的綜合型問題”中，若能被有效利用，經(jīng)常能達到意想不到之效，是本人非常喜歡的一組相似.而且只要直線解析式確立下來，這條直線與坐標軸圍成的三角形也就隨之確定，即圖中的Rt△BAO，從而其三邊之比確定，再利用“兩組內(nèi)角分別相等的三角形相似”，通過構造與坐標軸垂直的直線得到與其相似的直角三角形，如圖中的Rt△MCG，從而其三邊之比也隨之確定，知道或者能算出一邊長，則所有邊均可用“比例法”口算得出，書寫可用“相似法”或“三角函數(shù)法”.
另外，我們知道要想作出點M關于直線AB的對稱點N，首先是過點M作直線AB的垂線，設垂足為點G，再將MG延長一倍至點N即可.第三步其實僅僅就只利用上述操作過程中的MG⊥AB.“一個東西如何來或者說如何作出來，就如何求”，這就是“因果分析法”的精髓所在，也應該是很容易被理解、被接受的方法.
“做數(shù)學題就是玩條件的”！將題目中的每一個條件“有條不紊”地都充分利用一遍，一般情況下，這個題目也就幾乎迎刃而解了.本題的作對稱點過程中，還有一個條件MG=GN未被使用，只要將之充分利用，問題的解答估計也就“呼之欲出”了，這就自然引出“第四步”.
至此，題目中的條件都被用了一遍，但問題怎么還沒解決呢？別急！說明問題已經(jīng)到了“收尾階段”，再進一步，估計就差不多了！這就告訴我們，有的時候，某些題目可能要對題目中的某些條件利用不止一遍！
不要忘了，我們第一步確立的“終極目標”或者說題目問的問題是什么.“目的決定方向”，千萬別忘了“初衷”而變成一艘沒有帆的船，沒有目標，沒有方向！
鑒于題目要求的“終極大boss”就是點N的坐標，此處也幾乎不可能再用“求交點坐標”的方式聯(lián)立兩個函數(shù)去求解，勢必要過N向坐標軸或者與坐標軸平行的直線作垂線，由“坐標的由來”進行求解.
至此，“求一個定點關于一條定直線的對稱點的坐標”問題得到了比較完美的解答！當然這個問題的解法還有很多，比如“代數(shù)法列方程組”，再比如“垂直處理先求垂足G點的坐標”等等！在此不再贅述！
“目的決定方向”，只要你能有好的方法順利到達目的地，而且這個方法是通法就足矣！解題時，同學們要確立目標，堅定方向，矢志不渝，終將能達到勝利的彼岸！
經(jīng)典問題3應該是解決很多對稱問題的通解通法，當你會“求某個點關于一條定直線的對稱點”這個技能后，很多對稱或折疊問題的解題思路就變得簡單多了.最近筆者就遇到過好幾道與對稱有關的壓軸題，都可以用這個模型輕松搞定.特別提醒：這里求對稱點時，最好是在對稱軸是已知直線時進行，不然當直線含有參數(shù)時，再去求動點關于這條動直線的對稱點的話，理論上肯定能行得通，但對于運算量以及符號感的要求都極高，很容易出現(xiàn)計算錯誤，這時建議同學們可以再考慮其他轉化等方法，本人作品《廣猛說題系列之巧施絕對值策略》中就有具體介紹，請參閱.
上面我們一共解決了四個經(jīng)典而重要的問題：斜距離與直距離的轉化；中垂線的求法
；過定點的垂線的求法；對稱點的求法等.這四個所謂高中的基本功，都可以用初中巧妙的構造法，通過改斜歸正之基本技能，幾乎達到口算之效，不亦樂乎！尤其是在一些對稱折疊問題中，上面的“模型題”往往能發(fā)揮奇效！
最后再以今天課堂上遇到的一道小題來鞏固“改斜歸正”大法，供大家思考：
證法1中的割補思想與前面三角形“底高公式”的推導如出一轍；而證法2，是借助了“底高公式”結合三角形相似導出，體現(xiàn)了由已知到未知的轉化與化歸思想，趣味十足.
如圖3所示的三角形，即當點A跑到了點C的右側時，有沒有類似的“寬高公式”呢？答案是：當然有.
由上面的證明過程可以看出，圖2與圖3的證法一致，結論也是一致的，體現(xiàn)數(shù)學中幾何證明的統(tǒng)一美、和諧美.
至于圖4所示的三角形面積，即當點跑到了點B的左側時，結論及方法也是一模一樣，在此不再贅述，同學們可自行探討，我僅提供兩張“無字證明圖”，如圖4-1及圖4-2所示.
細心觀察上面三種情形，操作方式都是過點A作平行于y軸的直線交邊BC所在的直線于點D，則AD就是“鉛錘高”；而B、C兩點之間的水平距離，即線段OC就是“水平寬”.在實際應用中，筆者不建議學生固化思維，強記這里的結論而直接使用.一方面，這個公式課本上并沒有直接出現(xiàn)，中考時能不能直接使用值得商榷；另一方面，對于圖2的結論，大部分學生普遍可以接受，但是若是不知道這個公式推導的來龍去脈而強行直接使用，圖1及圖3的結論，多數(shù)學生是很難理解原理而導致不能正確使用.
更何況，這三種情形下的推導過程也是相輔相成、思想統(tǒng)一的，都采用了“改斜歸正”及“割補法”的思想，而這兩種思想方法又是極其重要的解題原理，需要同學們認真深刻體會的，所以筆者強烈建議學生體會這里的推導原理，以達到靈活使用的目的.
其實，掌握了原理，怎么割補三角形都可以，只要過三角形的三個頂點中的任意一點作平行于坐標軸的直線都可以實現(xiàn)面積處理，僅僅是繁簡程度不一而已，下文會一一提及.
那么問題來了，割補方式千變?nèi)f化，而且好像都可行，在解題實戰(zhàn)中，難道就隨意割補嗎？非也！理論上是都可行，但計算量絕不相當！
我們知道，“在變化中抓不變量”也是一種重要的思想方法，“以不變應萬變”.此時再結合這個解題策略，就可以使計算過程“如履平地”.
若是你“不信邪”，偏偏如圖10所示那樣“割補”，我想說“此路依然行得通”，但與前面的兩種方法相比，一煩在“水平寬”BD上，需要求出直線AC的解析式，理論上肯定行得通，這條直線的解析式會因為點A是動點而導致含有參數(shù)，計算量較大；二煩在“鉛錘高”AE上，也是因為點A是動點而導致含有參數(shù).“罪魁禍首”都在動點A上，而“元兇”就是因為一開始過定點B進行了“割補”.需要特別說明的是，這種方法并非是錯誤的，僅僅是計算量較大些，其操作依然是可行的.
至此，這個“兩定一動型”三角形面積問題，利用“寬高公式”得到了比較完美的解答.當然，關于面積處理，絕不僅僅只有“寬高公式”，還有很多其他的路可走，如“框圖法”（亦可稱“矩形大法”）、其他的割補法（如上題中連接OM也是一種很好的分割處理手段）等等，但大多體現(xiàn)出來的思想方法都是“大同小異”的，即想方設法將所求“斜面積”“改斜歸正”，使問題得以解決.后面若有機會，會專門成文，敬請期待！
通過前面的模型與實戰(zhàn)分析，筆者認為根本不用記憶所謂的“寬高公式”，只要在處理面積的問題中，狠抓不動點不放手，過動點作平行于坐標軸的直線交這不動邊所在的直線于一點，將三角形的面積進行“割”或“補”，即面積“加”或“減”，然后平移其中一條高線，即可轉化為高線的“加”或“減”，就能夠得出所謂的“寬高公式”！
這道蘇州中考真題中有一個限制條件“點M在第一象限內(nèi)”，很明顯是為了簡化起見.若是將這個條件去掉，即“點M是拋物線上任意一動點”，那么△ABM的面積為S關于m的函數(shù)表達式又如何求解呢？我想其他的方法就未必恰當了，這時“寬高法”的作用會更明顯.圖14及圖15給出了兩種情形，前者可看出此時方法過程跟原題一模一樣；而后者可看出唯一的區(qū)別就是點N位于了點M的上方，此時MN=yN-yM，其他都沒變化.
最后來首打油詩結束本文，“橫切豎切都可以，切法不一莫強求；關鍵抓住不動點，最好沿著動點切；切完之后即加減，加減之后即寬高！”
板塊二鞏固訓練
結束語
思想決定高度！平時的教學我也經(jīng)常給學生說這句話，站在怎樣的思想高度去審視問題，就會有怎樣的認知！站得高才能望的遠！
數(shù)學解題思想方法有很多，今天我們主要講了三種常見的解題策略：抓不變量、轉化之斜化直思想、軌跡思想.這三種解題思想方法與策略，如果學生能夠熟練掌握并應用之，初中階段很多所謂難題將不再那么神秘！作為教師，平時教學，也一定不能就題論題，講解題目應該講到題目中去，說到題目中的思想方法深處！每道題目都有自己的“靈魂”，如何引導學生抓住題目的“靈魂”，即思想方法等，是我們教師應該一直要反思的問題！
最后一句話送給大家：思想的方向與深度，決定人生的高度！思想決定高度，學識決定厚度！
感謝大家的蒞臨指導，小段祝各位生活愉快！
（第二集完?。?/p>
敬請各位朋友關注本人公眾號，若能幫忙宣傳，則不勝感激，旨在服務于更多的學子還有更多喜歡鉆研的同仁們！
