在小學(xué)階段，運(yùn)算律貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。比如，在看圖列式或解決問題中加法交換律和乘法交換律就得到了廣泛應(yīng)用；進(jìn)位加法中利用湊十法進(jìn)行計(jì)算也需要加法結(jié)合律的支撐，除表內(nèi)乘法及整十整百數(shù)以外的乘法計(jì)算也都離不開乘法分配律的幫助。小學(xué)階段的運(yùn)算律學(xué)習(xí)大致可分為三個(gè)階段。第一階段，學(xué)生結(jié)合具體的生活實(shí)例初步感受運(yùn)算律，同時(shí)在解決問題和計(jì)算中不自覺地對運(yùn)算律加以應(yīng)用。第二階段，也就是四年級，將會系統(tǒng)地學(xué)習(xí)五個(gè)基本的運(yùn)算律，探索并了解運(yùn)算律。第三階段，將運(yùn)算律及其運(yùn)算法則遷移到小數(shù)和分?jǐn)?shù)中進(jìn)行應(yīng)用。在北師大版四年級教材中，五個(gè)運(yùn)算律的編排結(jié)構(gòu)基本一致，即“觀察算式—仿寫算式—解釋規(guī)律—表述規(guī)律—應(yīng)用規(guī)律”。但學(xué)生在做題時(shí)對乘法結(jié)合律和乘法分配律的應(yīng)用經(jīng)常出錯(cuò)，說明學(xué)生對運(yùn)算律的掌握僅僅停留在模仿階段，所以教師需要為學(xué)生提供合適的學(xué)習(xí)素材，比如圖形、實(shí)物、有趣的活動情境、適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法等，讓學(xué)生有所觀、有所感、有所悟、有所思，親身經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展過程，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：“數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程，逐步理解和掌握的，如分?jǐn)?shù)、函數(shù)、概率、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、模型思想等?！边@就明確了數(shù)形結(jié)合思想對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要作用。小學(xué)階段是數(shù)形結(jié)合思想形成的啟蒙和發(fā)展階段，因此，筆者思考：能不能利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生理解運(yùn)算律的本質(zhì)，進(jìn)而合理有效地運(yùn)用運(yùn)算律呢？
本論文采用調(diào)查問卷和錄音的方式進(jìn)行研究，調(diào)查對象來自桂林電子科技大學(xué)和廣西師范大學(xué)的學(xué)習(xí)漢語的泰國留學(xué)生，共計(jì)48人，男性和女性泰國留學(xué)生均有24人，年齡在17-26歲，且都通過HSK5級，漢語水平都比較高。
以加法交換律和乘法交換律為例，教材把它們放在一起呈現(xiàn)，例如出示幾組算式：
先讓學(xué)生觀察算式，仿寫算式，發(fā)現(xiàn)問題，然后舉出事例，說明解釋，確認(rèn)發(fā)現(xiàn)。然而，能寫出100 個(gè)這樣的算式，是不是就可以得出結(jié)論？筆者認(rèn)為還是要結(jié)合加法的運(yùn)算本質(zhì)來說。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)源于數(shù)?！奔臃▽?shí)際是數(shù)數(shù)的高級形式。在一年級的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會遇到這樣的題目：如下圖，一共有多少根小棒？
加法的本質(zhì)就是把多個(gè)數(shù)量合起來，因此有學(xué)生從左邊開始數(shù)起，列式為4+2=6，有學(xué)生從右邊開始數(shù)起，列式為2+4=6。不管從哪邊開始數(shù)，都是把這兩堆小棒合在一起，小棒的總數(shù)不變。如果小棒的堆數(shù)比較多，還可以進(jìn)行結(jié)合，這就出現(xiàn)了加法的結(jié)合律。教材要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、得出猜想后再列舉生活中的事例驗(yàn)證猜想，這是本末倒置的。仿寫的算式都符合規(guī)律，就代表所有的式子都符合規(guī)律了嗎？筆者認(rèn)為，教材可以調(diào)整編排順序，把一年級的看圖寫算式放在前面，讓生活事例緊跟其后。算式只是表面現(xiàn)象，是表現(xiàn)形式,其本質(zhì)上還是如何數(shù)數(shù)。教材在加法結(jié)合律的編寫中也是同樣的問題，在這里就不多加贅述。
作為“走進(jìn)紹興”活動的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，孫永相信，通過此次采風(fēng)活動，藝術(shù)家們對紹興的水鄉(xiāng)會有更深入的了解與判斷?！办`感與創(chuàng)作離不開生活，浙江畫院的藝術(shù)家將通過自己的畫筆和獨(dú)特視角，來詮釋原汁原味的紹興水鄉(xiāng)風(fēng)情。等我們回去后還會進(jìn)一步加工，作品會在兩年后‘走進(jìn)紹興’的展覽及畫冊中呈現(xiàn)?！?/p>
總之，以“形”助“數(shù)”，可促進(jìn)學(xué)生有效把握數(shù)的本質(zhì)，加深數(shù)與形之間的聯(lián)系與溝通。
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作為自主經(jīng)營公司，融資應(yīng)以成本最小化收益最大化為目標(biāo)，潤滑平臺資本結(jié)構(gòu)，適度負(fù)債，控制總負(fù)債規(guī)模。盡早改進(jìn)政府考核，積極引入社會資本；加強(qiáng)政府債務(wù)管理，把政府債務(wù)控制總限額。關(guān)鍵在于實(shí)現(xiàn)融資平臺政府融資功能的剝離。融資平臺失去政府信用擔(dān)保，應(yīng)確定合理資產(chǎn)負(fù)債率，優(yōu)化資本結(jié)構(gòu)，把握好財(cái)務(wù)杠桿，適度負(fù)債，爭取盡快實(shí)現(xiàn)實(shí)體化轉(zhuǎn)型，獲得更多現(xiàn)金流。
如果說加法是相同對象的運(yùn)算，那么乘法就是不同對象之間的運(yùn)算。雖然現(xiàn)在淡化了乘法意義的教學(xué)，比如3個(gè)6寫成兩個(gè)乘法算式：3×6，6×3；6個(gè)3也可以寫成3×6，6×3。雖然兩個(gè)式子的計(jì)算結(jié)果一樣，但表示的意義卻不一樣。因此，筆者認(rèn)為僅僅觀察算式，仿寫算式就得出結(jié)論是不恰當(dāng)?shù)?，還是要借助圖形或者實(shí)物來理解。教材出示了數(shù)椅子的情景圖：
在這里，乘法又回到了“數(shù)”，不管橫著看還是豎著看，椅子的總數(shù)不變，只是每個(gè)人數(shù)數(shù)的習(xí)慣不一樣。在解決問題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先從數(shù)的方面去分析，進(jìn)行抽象思維，再從形的方面去研究，進(jìn)行形象思維。用“數(shù)”來表示“形”，以把握“形之屬性”，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，可有效發(fā)展學(xué)生的邏輯思維。
乘法分配律歷來是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。前面學(xué)習(xí)的運(yùn)算律僅僅是同一種運(yùn)算，而乘法分配律就涉及了加法和乘法兩種運(yùn)算。
乘法分配律的字母表達(dá)式（a+b）×c=a×c+b×c 很抽象，也很難理解，需要借助圖形和大量的生活例子幫助學(xué)生理解，促進(jìn)學(xué)生自然構(gòu)建知識體系，只有這樣才能避免學(xué)生只會機(jī)械模仿，面對變式無從下手。教材創(chuàng)設(shè)了“貼了多少塊瓷磚?”這一情境，出示了兩組算式“3×10+5×10=（3+5）×10；4×8+6×8=（4+6）×8”，提出問題：觀察算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
筆者認(rèn)為，這一情境可以分兩步呈現(xiàn)給學(xué)生，而且要結(jié)合乘法的意義來說明。先呈現(xiàn)給學(xué)生正面的墻面：
近6年國內(nèi)信息素養(yǎng)主題研究集中在高等院校，特別是高等師范院校之中，聚集在高等院校本身來說是值得肯定，高等院校自身擁有良好的科研人員和研究條件無容置疑的，科研機(jī)構(gòu)、政府機(jī)構(gòu)以及公司等單位很少涉獵對此問題的研究，但從信息素養(yǎng)應(yīng)用領(lǐng)域?qū)拸V性來說，目前單位遠(yuǎn)遠(yuǎn)無法滿足這些領(lǐng)域的需要。同時(shí)部分單位與單位之間合作研究不夠緊密，或許不同單位協(xié)同研究會產(chǎn)出更高水平研究成果，今后的研究需要多單位協(xié)同創(chuàng)新研究，“而我們在行動方面還有待于加強(qiáng)”[3]。
學(xué)生可以很直觀地看出瓷磚有藍(lán)色和白色兩種顏色，列算式的方法有很多種：
為測試用戶操作軟件的性能，在泳池環(huán)境下進(jìn)行測試。圖5是泳池環(huán)境下的ROV，圖6是自動檢測界面，圖7是主操作界面。
方法一：3×6+5×6=48，白色瓷磚每行有6塊，共3行，所以 3×6 表示 3 個(gè) 6；藍(lán)色瓷磚每行有 6 塊，共 5 行，所以5×6表示5個(gè)6；3個(gè)6加上5個(gè)6就是8個(gè)6。
方法二：（3+5）×6=48，表示白色瓷磚有3 行，藍(lán)色瓷磚有5行，一共有8行瓷磚。
方法三：8×6=48，瓷磚一共有8行，每行有6塊，所以就有8個(gè)6。
看來這三種方法都表明瓷磚的總數(shù)可以用8 個(gè)6 表示。引發(fā)學(xué)生思考：能不能寫出這樣的等式：（3+5）×6=3×6+5×6=8×6=48？在學(xué)生有所感悟的基礎(chǔ)上再出示側(cè)面的墻壁。
側(cè)面墻壁的瓷磚數(shù)量和正面墻壁的瓷磚數(shù)量的計(jì)算方法一樣。
方法一：3×4+5×4=32，白色瓷磚每行有4塊，共3行，所以 3×4 表示 3 個(gè) 4；藍(lán)色瓷磚每行有 4 塊，共 5 行，所以5×4表示5個(gè)4；3個(gè)4加上5個(gè)4就是8個(gè)4。
方法二：（3+5）×4=32，白色瓷磚有3 行，藍(lán)色瓷磚有5行，一共有8行瓷磚。
方法三：8×4=32，瓷磚一共有8行，每行有4塊，所以就有8個(gè)4。
引導(dǎo)學(xué)生思考：是不是也可以寫出等式（3+5）×6=3×6+5×6=48 呢？單靠這兩組算式還不足以得出乘法分配律的公式，還需要大量生活事例的支撐才能抽象出乘法分配律的公式。但是通過這些式子，學(xué)生可以感受到，當(dāng)出現(xiàn)相同乘數(shù)時(shí)都可以利用乘法的意義，最后歸結(jié)于求出幾個(gè)幾的運(yùn)算。然后在學(xué)生有所感的前提下再要求他們應(yīng)用“學(xué)校要給28 個(gè)人的合唱隊(duì)買服裝，請算算買服裝要花多少錢？”，繼續(xù)思考能否寫出一組等式。
在大量素材的積累下，學(xué)生深刻理解了乘法分配律。可見，利用數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生化抽象為直觀，進(jìn)而建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，為學(xué)生的再創(chuàng)造和應(yīng)用做好準(zhǔn)備。
數(shù)形結(jié)合有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。正所謂“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休”，“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要方式。
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