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【費(fèi)馬點(diǎn)解析】

“費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn)。

【換言之：若給定一個(gè)△ABC，從這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)P到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離之和比從其它點(diǎn)的距離之和都要小。這個(gè)特殊點(diǎn)對(duì)于每一個(gè)給定的三角形有且只有一個(gè)?！?/strong>

那么，如何找尋費(fèi)馬點(diǎn)呢？

【費(fèi)馬點(diǎn)的找法】

一、以△ABC的三邊向外分別作等邊三角形，然后把外面的三個(gè)頂點(diǎn)與原三角形的相對(duì)頂點(diǎn)相連，交于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是原三角形的費(fèi)馬點(diǎn)；

二、以△ABC的任意兩邊向外作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形外接圓在△ABC內(nèi)部交于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是原三角形的費(fèi)馬點(diǎn)；

若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),此時(shí)內(nèi)心與費(fèi)馬點(diǎn)重合 。

【費(fèi)馬點(diǎn)的主要性質(zhì)】

1、費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小；

2、費(fèi)馬點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線夾角皆為120°。

【費(fèi)馬點(diǎn)證明】—通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)解決

將△ABP繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A'BP'，連接PP'。

那么PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC≥A'C

所以，A'、P'、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，值最小，

根據(jù)等邊△BPP'可得∠BP'P=∠BPP'=60°，那么∠BP'A'=∠BPC=120°，所以∠BP'A=∠BPA=120°，即可證明：費(fèi)馬點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線夾角皆為120°。

【例題講解】

【解析】

以AB、BP為邊分別作等邊三角形，那么BP=PP'；可證明△ABP和△A'BP'全等，將AP轉(zhuǎn)為A'P'，那么只要A'、P'、P、C四點(diǎn)共線即可；

其實(shí)我們?cè)趫D二中，連接AC，就可以看出上述的模型。

在求解最小值方面，小編給出兩種方法，第一種方法，連接AC，△ACE是含30°的直角三角形，△AA'E是含45°的直角三角形，其中AC的值可求，那么解直角三角形即可；第二種方法，借助等腰△A'BC和15°角，構(gòu)造含30°角的直角三角形，即Rt△A'BE，直接勾股定理求斜邊長(zhǎng)度。

【延伸】如果給出AP+BP+CP的最小值，求正方形邊長(zhǎng)呢？

在上述兩種方法下，你是否能算出來(lái)呢？