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幾何模型 | 費(fèi)馬點

黃河清 >《待分類》

2022.05.09 重慶

關(guān)注

一、費(fèi)馬點及結(jié)論

費(fèi)馬點：就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點。

費(fèi)爾馬的結(jié)論：對于一個各角不超過120°的三角形，費(fèi)馬點是對各邊的張角都是120°的點；對于有一個角超過120°的三角形，費(fèi)馬點就是這個內(nèi)角的頂點。

二、費(fèi)馬點結(jié)論的證明

例：P為△ABC內(nèi)任一點，請找點P使它到△ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最??？

（1）當(dāng)△ABC各角不超過120°時，如下圖。

解析：如圖，把△APC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C′，連接PP′．

則△APP′為等邊三角形，AP= PP′，P′C′=PC，

所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．

點C′可看成是線段AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點，BC′為定長，所以當(dāng)B、P、P′、C′ 四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小．

這時∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，

∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，

∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°

因此，當(dāng)?shù)拿恳粋€內(nèi)角都小于120°時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120°，可在AB、BC邊上分別作120°的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點就是P點。

（2）當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角超過120°時，如下圖。

解析：如圖，延長BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（說了這么多，其實就是把三角形APC以A為中心做了個旋轉(zhuǎn)）

則△APC≌△AP'C'

∵∠BAC≥120°

∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°

∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'

∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC

所以A是費(fèi)馬點

因此，當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求的P點就是鈍角的頂點．

三、費(fèi)馬點的求法

當(dāng)△ABC是三個內(nèi)角皆小于120°三角形時，分別以 AB、BC、CA為邊，向三角形外側(cè)做正三角形△ABD、 △ACE，然后連接DC、BE，則二線交于一點，記作點P，則點P就是所求的費(fèi)馬點。

四、費(fèi)馬點的驗證

1.△ABC是等邊三角形，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點為點P，點P為費(fèi)馬點。則可得出結(jié)論：

①AP=BP=CP；

②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；

③△ABP、△ACP、△BCP全等；

④點P是垂心，是△ABC各邊的高線的交點；

⑤點P是△ABC各邊的中線的交點；

⑥點P是內(nèi)心，是在三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點；

⑦△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費(fèi)馬點時和最小。

2.△ABC是等腰三角形，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點為點P，點P為費(fèi)馬點。則可得出結(jié)論：

①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；

②△ABP與△ACP全等；

③△BCP為等腰三角形；

④△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費(fèi)馬點時和最小。

3.△ABC是直角三角形，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點為點P，點P為費(fèi)馬點。則可得出結(jié)論：

①△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費(fèi)馬點時和最?。?/section>

②∠APB=∠BPC=∠APC=120°

五、費(fèi)馬點與中考題

例1（2008年廣東中考題）已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長．

分析：連接AC，發(fā)現(xiàn)點E到A、B、C三點的距離之和就是到三個頂點的距離之和，這實際是費(fèi)爾馬問題的變形，只是背景不同．

解：如圖1，連接AC，把△AEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△GFC，連接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等邊三角形，則EF=CE．

又FG=AE，

∴AE+BE+CE = BE+EF+FG（圖2）．

∵ 點B、點G為定點（G為點A繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°所得）．

∴ 線段BG即為點E到A、B、C三點的距離之和的最小值，此時E、F兩點都在BG上（圖2）．

注：本題旋轉(zhuǎn)△AEB、△BEC也都可以，但都必須繞著定點旋轉(zhuǎn)，不妨一試．

例2（2009年湖州中考題）若點P 為△ABC所在平面上一點，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°, 則點P叫做△ABC的費(fèi)馬點．

（1）若P為銳角△ABC的費(fèi)馬點，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 則PB的值為；

（2）如圖，在銳角△ABC的外側(cè)作等邊△ACB′，連結(jié)BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點P，且BB′=PA+PB+PC．

解：（1）利用相似三角形可求PB的值為2根號3．

（2）設(shè)點P為銳角△ABC的費(fèi)馬點，即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°

如圖，把△ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到△B′CE，連結(jié)PE，則△EPC為正三角形．

∵∠B′EC = ∠APC =120°，∠PEC=60°

∴∠B′EC+∠PEC=180°

即 P、E、B′ 三點在同一直線上

∵∠BPC=120°, ∠CPE=60° ，

∴∠BPC +∠CPE =180°，

即 B、P、E 三點在同一直線上

∴ B、P、E、B′ 四點在同一直線上，即BB′ 過△ABC的費(fèi)馬點P．

又PE=PC，B′E= PA，

∴ BB′=E B′+PB+PE=PA+PB+PC．

注：通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變線段的位置，優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu)．在使用這一方法解題時需注意圖形旋轉(zhuǎn)變換的基礎(chǔ)，即存在相等的線段，一般地，當(dāng)題目出現(xiàn)等腰三角形（等邊三角形）、正方形條件時，可將圖形作旋轉(zhuǎn)60°或90°的幾何變換，將不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，或?qū)⒎稚⒌臈l件集中在一起，以便挖掘隱含條件，使問題得以解決．

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