師者首在傳道，那么道在何處？
老子說(shuō)：道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物。
可見(jiàn)道在萬(wàn)物之中，我們只能從萬(wàn)物的現(xiàn)象之中感悟道，這是一種逆向追溯的過(guò)程。
老子又說(shuō)：為學(xué)日益，為道日損。
可知求道是做減法，繁華落盡，去偽存真，萬(wàn)物歸為一合于道，這是一個(gè)舍而后得的過(guò)程。
學(xué)習(xí)者在“為學(xué)”的同時(shí)不要忘了“為道”，為學(xué)是手段，為道是目的。為道不為學(xué)，便如盲人摸大象，越學(xué)越糊涂，為道不為學(xué)，亦是空中建樓閣，無(wú)有著力處。
如何求道呢？君子務(wù)本，本立而道生。比如生物體的外在性狀千差萬(wàn)別難以盡知，而決定它的是細(xì)胞的基因結(jié)構(gòu)，若能破解基因密碼，則生物界的一切問(wèn)題便可迎刃而解。
數(shù)學(xué)的核心是抽象概括和邏輯推理，培養(yǎng)和訓(xùn)練這兩種能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本。我們無(wú)論在知識(shí)教學(xué)還是解題訓(xùn)練中，都要尋找規(guī)律追溯源頭，歸一以求其本。
例1.AB=m，AC=n（m>n），則BC的最大值是 ，最小值是 .
（1）用三角形三邊關(guān)系得：m-n≤BC≤m+n（三邊共線時(shí)取等號(hào)），所以最大值為m+n，最小值為m-n。
（2）用點(diǎn)到圓的路徑關(guān)系得：C在圓A上，當(dāng)直線BC過(guò)圓心時(shí)，BC分別為最大值m+n，最小值m-n。
若追問(wèn)：“以上結(jié)論的依據(jù)是什么？”很可能不少學(xué)生回答不了！
而以上兩種結(jié)論的源頭是最簡(jiǎn)單的基本事實(shí)：“兩點(diǎn)之間，線段最短。”
圖中，在B、C兩點(diǎn)之間，有BC≤m+n；在A、B兩點(diǎn)之間，有m≤BC+n。
例2.如圖，PM=1，BM=2，∠BPC=90°，PB=PC，求CM的最小值。
由例1，我們可以有兩種思路：（1）把CM置于有兩條定長(zhǎng)邊的三角形中；（2）M看成定點(diǎn)，確定動(dòng)點(diǎn)C的軌跡。
那么如何構(gòu)造模型呢？這里利用等腰直角三角形為媒介，通過(guò)旋轉(zhuǎn)縮放把已知和未知建立聯(lián)系。如下圖，構(gòu)造等腰直角三角形BMN，得△CBN∽△PBM，相似比為√2：
△CMN中，MN=2，CN=√2，CM最小值為2-√2。
這里M、N為定點(diǎn)，CN為定長(zhǎng)，同時(shí)可以看成C的軌跡是圓N，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)M到圓N的最短路徑：
上述構(gòu)造為什么可以一箭雙雕？因?yàn)檫@兩種方式同根同源，都可以歸結(jié)為點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑。
構(gòu)造方法還有以下五種：
以上都用同一種構(gòu)造方式：旋轉(zhuǎn)縮放（一轉(zhuǎn)成雙），達(dá)到了同一種效果：出現(xiàn)含兩條定長(zhǎng)邊的三角形。
所以這種方法的本質(zhì)是：通過(guò)相似（全等）變換使條件集中到同一個(gè)三角形中。
條件情境是：有一個(gè)確定形狀的三角形（等腰直角三角形BCP），有一個(gè)點(diǎn)到該三角形其中兩點(diǎn)距離一定（點(diǎn)M）。
由此推廣：等腰直角三角形可以變?yōu)槠渌我獯_定形狀的三角形，解法不變。
例3.如圖，AB=4，M是AB的中點(diǎn)，PM=1，∠BPC=90°，PB=PC，求AC的最小值。
如下圖，構(gòu)造等腰直角三角形BMF，同樣出現(xiàn)△ACF中有兩邊長(zhǎng)度確定，或看成C在⊙F上，易求AC的最小值為AF-CF=√2.
下圖的構(gòu)造可以解決問(wèn)題嗎？
貌似構(gòu)造方式與前面相同，但以此圖無(wú)法完成。
其實(shí)本題與例2條件情境不同，點(diǎn)A與點(diǎn)M的角色是不一樣的，點(diǎn)M滿足它到等腰直角三角形BCP的B、C兩點(diǎn)距離一定，而點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離不確定。
前提變了，方法當(dāng)然不能套用了！
我們可以通過(guò)構(gòu)造把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成與例2同樣的問(wèn)題，如下圖，倍長(zhǎng)BP，構(gòu)造等腰直角三角形BCE，這樣有：AE=2，AB=4，點(diǎn)A到等腰直角三角形BCE的其中兩點(diǎn)距離一定。
此圖中，P、M就可以刪除了，這樣與例2的圖形結(jié)構(gòu)及條件情境完全相同，同樣產(chǎn)生六種構(gòu)圖方式：
上面的做法可以從中點(diǎn)的角度思考：把△BPM以B為中心縮放，構(gòu)造“A形”相似，即可把定長(zhǎng)線段PM放大2倍，得到以下與例2同樣的模型：
簡(jiǎn)化：
我們用類(lèi)比或?qū)ΨQ(chēng)的思維思考：把△ABC以B為中心縮放，構(gòu)造“A形”相似，即可把所求線段AC縮小一半，也可以得到以下與例2同樣的模型：
簡(jiǎn)化（轉(zhuǎn)化為求ME的最小值）：
同樣可以有六種構(gòu)造方式，不再贅述。
例4.如圖，正方形BEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的邊CD上，AB=4，求AF的最小值。
我們可以把圖形簡(jiǎn)化：
與例2比較，這里仍有一個(gè)形狀確定大小不確定的等腰直角三角形BEF，點(diǎn)A到B距離一定，到另一點(diǎn)E所在直線的距離一定（不同點(diǎn)）。這里的不同之處從軌跡角度看，例2是點(diǎn)到點(diǎn)的距離為定值，此題是點(diǎn)到線的距離一定，用主從聯(lián)動(dòng)規(guī)律判斷，一個(gè)軌跡是圓，一個(gè)軌跡是線。解決方法仍是類(lèi)似的：構(gòu)造一轉(zhuǎn)成雙模型。
構(gòu)造等腰直角三角形BDP，可證△BPF∽△BDE，得∠BPE=∠BDE=45°，所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑在射線PF上，當(dāng)AF⊥PF時(shí)最小為6√2。
還可以用下列構(gòu)造方法：
下圖的構(gòu)造為什么不行呢？
雖然此圖結(jié)構(gòu)看上去與前面相似，實(shí)質(zhì)上違背了一個(gè)要點(diǎn)：E點(diǎn)在CD上，所以F點(diǎn)軌跡與CD相關(guān)，應(yīng)把CD上某一定點(diǎn)繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度構(gòu)造等腰直角三角形。只要取一個(gè)CD上確定的點(diǎn)都可以達(dá)到目的，如下圖，取CD中點(diǎn)O，構(gòu)造等腰直角三角形BOP，亦可得∠BPF是定角，證明F點(diǎn)在直線上。
本文所涉“主從聯(lián)動(dòng)”和“一轉(zhuǎn)成雙”模型請(qǐng)參閱文章：
探本求源－秒解旋轉(zhuǎn)縮放型的動(dòng)點(diǎn)路徑問(wèn)題
上述策略與模型在本人所著中考復(fù)習(xí)教程－《中考數(shù)學(xué)思維方法與解題策略》一書(shū)中有詳細(xì)剖析講解，此書(shū)把中考數(shù)學(xué)解題方法與策略系統(tǒng)化組織，為師生打造一款完整的思維方法與解題策略的訓(xùn)練方案，其中包含四大基本原則、四種通用策略、七類(lèi)常用方法、十四個(gè)具體模型，涵蓋了中考數(shù)學(xué)所涉的知識(shí)、方法與題型，每個(gè)內(nèi)容都有配套練習(xí)。按策略方法分類(lèi)進(jìn)行集中教學(xué)和訓(xùn)練更易于學(xué)生掌握，最適合于中考二輪復(fù)習(xí)使用，需要的朋友點(diǎn)擊下方“閱讀原文”或掃下方二維碼進(jìn)入微店購(gòu)買(mǎi)，不用微店的請(qǐng)加微信“tzg5236”聯(lián)系。購(gòu)書(shū)讀者可加入思維教學(xué)交流QQ群：307595472共同探討交流思維教學(xué)與思維訓(xùn)練相關(guān)問(wèn)題。
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