以微課堂
初中精品微課， 數學奧林匹克國家一級教練執(zhí)教。
已知題目中出現線段中點或兩邊倍半關系，要想到的輔助線有：
1、倍長中線
2、等腰三角形三線合一
3、中位線
4、直角三角形斜邊上的中線
I、通過構造中位線來解決相關問題
（1）通過構造中位線解決線段倍半問題：
先來看書本中的一道課后證明題，
證明三角形重心性質：
例1 已知：△ABC中，中線AD、CE相交于點O，求證：AO=2DO, CO=2EO
思路：要證線段倍半關系，可倍長或取中點，下面用取中點構造中位線證明，分別取AO、CO中點G、H，依次連接GEDF，根據中位線性質，可證DE∥GF，DE=GF，推得四邊形GEDF為“平四”，得：EO=FO=FC,DO=OG=AG
（注：本題也可用倍長或相似證明）
練習1 已知：△ABC中，點E為中線AD中點，連BE并延長交AC于點F.
求證：CF=2AF，BE=3EF
提示：
(2) 通過構造中位線解決中點四邊形相關題型：
中點四邊形有關結論有：
1、依次連接任意四邊形四邊中點可得平行四邊形
2、依次連接對角線相等的四邊形四邊中點可得菱形
3、依次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點可得矩形
4、依次連接對角線相等且互相垂直的四邊形四邊中點可得正方形
（以上結論易證，由學生自己畫圖證明并掌握）
例2 已知：OA=OB,OC=OD,且∠AOB=∠COD=α，E、F、G、H分別為
AB、BC、CD、DA邊上的中點,
（1）求證：四邊形EFGH為菱形
（2）當α=___°時，四邊形EFGH為正方形
簡析：
連對角線,先證明四邊形EFGH為“平四”
1、由“手拉手”全等可證AC=BD，再證EH=HG,可得菱形
2、當α=90°時，可證AC⊥BD，可證菱形EFGH為正方形。
例3 已知：RT△ABC中，∠A=90°，D、E分別為AC、AB邊上兩動點，連BD、CE，F、G、M、N分別為BC、DE、CE、BD邊上中點,
（1）求證：FG=MN
（2）當動點D、E滿足什么關系時，FG⊥MN
練習3 已知：正方形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的點，且EG⊥FH,依次連接EFGH,分別取EF、FG、GH、HE各邊中點J、K、L、I，連KI、LJ,探究線段KI與LJ的關系，并證明.
(3)通過構造中位線把分散的邊角集中在一起
例4 已知：四邊形ABCD中,M、N分別為AD、BC邊的中點，AB=8,CD=6
（1）當∠ABC+∠DCB=90°時，求MN的值.
（2）求：MN的最大值
簡析：
（1）連BD,取BD中點H,連HM,HN，通過導角，可證∠MEN=90°，勾股得MN=5
練習4 已知：四邊形ABCD中,AB=CD,M、N分別為AC、BD邊的中點,分別延長BA、DC交于G,延長NM交BG于F,交BG延長線于E
求證：△EFG為等腰三角形
小結：已知兩對邊，連對角線，取其中點構造中位線，可把已知兩邊縮小一半集中在一個三角形中，并通過已知邊、角的轉化來解決問題。
小結：已知四邊形兩對角線，取一邊中點構造中位線，可把已知兩對角線縮小一半集中在一個三角形中，并通過已知邊、角的轉化來解決問題
練習5 已知：四邊形ABCD中，AB=CD，F分別為BD、AC的中點，H、G分別為EF、BC的中點，
求證：HG⊥EF
練習6 已知：△ABC中，BD=CE，F、G分別為BE、CD的中點，直線FG分別交AB、AC于點M、N.
求證：△AMN為等腰三角形
II 通過構造直角三角形斜邊上的中線結合中位線來解決問題
（1）先來關注一類重要題型：共斜邊的兩個直角三角形
例6 已知：在RT△ABC和RT△ADC中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分別為AC和BD的中點，
（1）求證：EF⊥BD；
（2）若∠BAD=45°求AC：EF的值.
簡析：（1）E為兩個直角三角形斜邊中點，連BE、DE ，得：BE=AE=DE，又F為BD中點，三線合一得EF⊥BD
（2）導角：∠ABE=∠BAE,∠DAE=∠ADE,由外角性質可證∠BED=2∠BAD=90°，△BED為等腰直角三角形，設EF=1,則BE=√2，AC=2√2，AC：EF=2√2
練習7 已知：四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=120°，連接AC、BD，求AC：BD的值.
（解法參考例1第二步）
練習8 已知銳角△ABC中，兩條高AD、CE相交于點F，連BF，G、H分別為BF、AC中點，連接DE、GH
求證:GH垂直平分DE.
（提示：連EG、DG、EH、DH）
例7 已知：□ABCD中，AB=3,BC=4,E為□ABCD外一點，∠AEC=∠BED=90°,
（1）求□ABCD的面積；
（2）求四邊形ABCE面積的最大值.
參考例7（2）來道相關的面積最值題練習讀者們自己完成吧。
練習9 已知：∠MON=90°，線段AB=6，兩端點A、B分別在OM、ON上運動，求△AOB面積的最大值.
（2）結合直角三角形斜邊上中線和中位線解決與角有關的問題：
例8 已知：AD、AE分別是△ABC的高和中線
（1）若DE=0.5AC ,求證：∠B=0.5∠C
（2）若∠B=0.5∠C, 求證：DE=0.5AC
簡析：取AB中點F,連DF、EF,
（1）易證 DE=0.5AC=EF，∠1=∠2=0.5∠3，又∠1=∠B，∠3=∠C,
得∠B=0.5∠C
（2）與（1）反其道而證之！
練習10 已知：△ABC中，AD是高，E、F、G分別是BC、BA、AC邊上的點，連DF、DG、EF、EG
求證：∠FEG=∠FDG.
練習11 已知菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O,DE⊥AB于點O,連OE,求證：∠DEO=∠DAO.
例9 已知：RT△ADB和RT△AEC中，∠ADB=∠AEC=90°，∠DAB=∠EAC，連BC，取中點O，連DO、CO,求證：DO=CO.
練習13 已知△ABC中，D為BC中點，E、F分別在AB、AC延長線上，且DE=DF,分別過E、F作AB、AC的垂線，兩垂線相交于點G，求證：∠EGB=∠FGC.
提示：輔助線如下圖，思路參考例4
小結：題中有直角三角形，可嘗試作直角三角形斜邊上中線，再根據其性質，來分析、解決問題。
III （1）通過構造直角三角形斜邊上中線，把線段最值問題轉化成三角形三邊關系來解決！
例10 RT△ABC，斜邊AB=6，頂點A、B分別在∠MON兩邊OM、ON上運動，且∠MON=90°，求線段OC的最大值。
簡析：O為定點，C為動點，OC為變量，通過構造直角三角形斜邊上中線，可得OM=CM=0.5AB=3,根據三角形三邊關系（兩邊和大于第三邊）：當O、M、C三點共線時取最大值，即：OC≤OM+CM,得到OC最大值為6.
練習14 等邊△ABC，邊AB=6，頂點A、B分別在∠MON兩邊OM、ON上運動，且∠MON=90°，求線段OC的最大值。
練習15 矩形ABCD,邊AB=6，BC=4,頂點A、B分別在∠MON兩邊OM、ON上運動，且∠MON=90°，求線段OD的最大值。
例11 已知RT△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2,D為△ABC內一動點，且滿足∠1=∠2，求線段AD的最小值。
簡析：通過導角，可證∠BDC=90°，AD長是個變量，由例1可知：取BC中點M，連DM、AM，可知DM、AM為定值，DM=0.5BC=1,勾股得AM=√13,根據三角形三邊關系，兩邊差小于第三邊，可知A、D、M三點共線時，AD取最小值，為√13-1.
練習16 已知△ABC中，AB=AC=10,BC=12,D為△ABC內一動點，且滿足∠BDC=90°，求線段AD的最小值。
練習17 已知RT△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，D為BC邊一動點，連AD,過C作CE⊥AD于E,連BE，求線段BE的最小值。
例12 已知△ABC中，∠ACB=120°，CA=CB=2，D為平面內一動點，且滿足∠ADB=90°，連CD，求線段CD的取值范圍。
簡析：法1，類比例1、2，取AB中點M,當C、M、D三點共線，且點M在線段CD上時,CD取最大值√3+1，當C、M、D三點共線，且點C在線段MD上時,CD取最小值√3-1，所以CD的取值范圍為：√3-1≤CD≤√3+1.如下圖：
法2，九年級隱圓，問題實質為：求圓內一點與圓上一點距離的最值！如下圖：
練習18 已知正方形ABCD,邊長AB=2,E為平面內一點，且滿足∠AEB=90°，求線段CE的取值范圍.
（2）通過構造直角三角形斜邊上中線結合中位線性質，把線段最值問題轉化成三角形三邊關系來解決！
例13 已知△ABC中，AB=4,BC=2,D為平面內一點且滿足∠ADB=90°，E為BC中點，連DE,求線段DE的取值范圍.
簡析：DE變量，取AB中點M,連EM,DM,由斜邊中線和中位線性質可知，EM、DM為定值，EM=0.5AC=1,DM=0.5AB=2,線段DM、EM、DE構成三角形，根據三角形三邊關系，可知：DM-EM≤DE≤DM+EM，即：1≤DE≤3.如下圖：
練習19 已知RT△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=3,D為平面內一動點，且AD=2，連BD,E為BD中點，求線段BE的取值范圍。
（3）通過構造直角三角形斜邊上中線，轉化線段，根據垂線段最短來解決線段最值問題：
例14 已知：△ABC中，∠B=45°,∠C=60°，D、E分別為AB、AC邊上的一個動點，過D分別作DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,過E作EH⊥AB于H,EI⊥BC于I,連FG、HI,求證：FG與HI的最小值相等。
分析：本題圖形復雜，先分別提煉出與FG、HI相關圖形，思考：FG、HI該如何進行轉化？
從簡化后的圖形可以看出上一講的一類題型，共斜邊的兩直角三角形，容易聯(lián)想的輔助線：連接斜邊CD，并取其中點M,再連接FM、GM,易證：GM=0.5CD=FM,∠FMG=2∠ACB=120°，由基本圖形120°的等腰三角形三邊關系，1：1：√3 易知：FG=√3 FM=0.5√3 CD,所以當CD取最小值時FG最小.根據垂線段最短可知：當CD⊥AB時，CD取最小值。設BC=1，則：CD最小值=0.5√2,FG最小值=0.25√6
HI的最小值同理可得，設BC=1,則HI最小值=0.25√6=FG最小值.如下圖，
（推導過程由讀者自行完成）
練習20 已知等邊△ABC中，AB=6,D為AB上一個動點，過D分別作DF⊥AC于F,DE⊥BC于E,連EF,求線段EF的最小值。
小結：求線段最值問題的幾何解法初中階段必須要考慮到的應該是教材中的兩個公理的應用：兩點之間，線段最短和垂線段最短，本講通過構造直角三角形斜邊中線和中位線，讓要求的動線段與兩條定長線段組成三角形三邊，根據三角形三邊關系求出最值，或通過轉化找出動線段與已知定長線段之間關系再根據垂線段最短求出最值！
IV最后來練練與中點有關的綜合題
先來看下面這道例題以及它的延伸和拓展：
例15 已知共頂點的兩個正方形ABCD和AEFG，點E在AD上，點G在BA的延長線上，連CF，取中點H，連EH、DH ，
求證：（1）DH平分∠ADC,（2）DH=EH,（3）DH⊥EH.
解題策略：平行線+中點→8字形全等
簡析：如下圖：延長EH交DC于點G，易證△EFH≌△GCH，再證△EDG為等腰直角三角形，易得題目所要證明的三個結論。
追問：1、如果背景把正方形改成菱形、矩形，結論是否一樣？
2、如果把其中一個正方形繞A旋轉起來，結論是否一樣？
問題1，給出圖形和結論，證明過程由讀者來完成吧！
問題2：先觀察旋轉到特殊位置，如：正方形AEFG對角線AF在AD邊上時，三個結論是否仍然成立？
思路分析：圖形在變，方法不變，解題策略還是平行線+中點→8字形全等，輔助線：可倍長，可作平行，目的構造全等，等量轉移，如下圖，延長EH到G，使HG=EH,連CG、DG，先證△EFH≌△GCH，再證明△ADE≌△CDG，顯然兩組對應邊相等易得，難點在導角證明∠DAE=∠DCG,下面為導角過程：設∠DCF=α，則∠DFE=90°-α，∠EFH=180°-∠AFE-∠DFE=45°+α，∠HCG=∠HFE=45°+α,∠DCG=∠HCG-∠DCF=45°=∠DAE,可證△ADE≌△CDG，推出DE=DG,∠ADE=∠CDG,再證明△DEG為等腰直角三角形，可知
（1）DH平分∠ADC,（2）DH=EH,（3）DH⊥EH.三個結論仍然成立！
再來觀察旋轉在任何位置時，三個結論是否仍然成立？
方法策略仍然不變，倍長或作平行，證明全等，難點還是在導角證明∠DAE=∠DCG,觀察∠DAE和∠DCG兩邊分別垂直，聯(lián)想基本結論：一個角兩邊與另一個角兩邊分別垂直，那么它們相等或互補。分別延長AE、GC相交于點M,AM交BC于N，易證∠M=90°，∠CNM=∠DAE，∠CNM+∠MCN=∠DCG+∠MCN=90°，∠DAE=∠CNM=∠DCG，下面步驟與上題一樣，不再重復。
練習21：中考壓軸真題
練習22：已知正方形ABCD中，E為對角線BD上任意一點，過E作EF⊥于F,G為ED中點，連AF、AG，求∠FAG的度數。
例16 如圖：已知有公共頂點A的兩個等腰直角三角形,RT△ABC和RT△ADE,∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC,AD=DE，D在BA的延長線上，連CE取中點F,連BF、DF，求證：△BDF為等腰直角三角形。
方法與例一類似來個看圖無字證明吧
將三角形繞點A旋轉45°n，其余條件不變，證明△BDE仍是等腰直角三角形。
選其中第一種情況用三種方法來證明：
1、倍長中線法：延長DF到G,連BG、CG,易證△DEF≌△GCF，得：CG=ED=AD,易證∠DAB=∠GCB=135°，又AB=CB,可證△DAB≌△GCB，再證△DBG為等腰直角三角形，可得△DBF為等腰直角三角形.
2、構造直角三角形斜邊中線和中位線法：分別取AE,AC中點G、H，連DG、FG、FH、HB，則FG、FH都是△ACE中位線，DG=0.5AE=FH，GF=0.5AC=BH,再證明∠DGF=∠FHB=135°，證明△DGF≌△FHB,推出DF=BF,再證明四邊形AGFH為平行四邊形，∠GFH=∠GAH=45°，∠DFG+∠BFH=∠DFG+∠GDF=45°，所以DF⊥BF
3、構建“手拉手”全等：(學習自廣猛老師的廣猛說題一書)分別延長ED、CB于E'、C'，使E'D=ED,C'B=CB,連C'E,CE',他們相交于點M,易證△E'AC≌△EAC',DF=0.5E'C=0.5EC'=BF,根據8字模型導角可得∠CMC'=∠CAC'=90°，再通過平行導角可得∠DFB=∠EMC=90°，所以△DBF為等腰直角三角形.
以上六種情況均可用上面三種或其中一種方法來證明，請讀者自己完成，每種情況都可以作為單獨一個題目來命題。
下面再看旋轉到一個特殊位置----B、C、E三點共線時，其余條件不變，證明△DBF為等腰直角三角形.
給出圖形和輔助線：證明過程由讀者自己完成！
最后來證明當旋轉到任何位置時，△DBF都為等腰直角三角形.。
選擇構造直角三角形斜邊 中線和中位線法證明：
證明方法與上面類似，難點在導角證明∠DGF=∠BHG和∠DFB=90°，如下：設∠EAC=α，可證∠1=∠2=∠EAC=α，∠DGF=90°+α=∠BHG，接下來就容易證明
△DGF≌△FHB，DF=BF,下面推導∠DFB=90°，易證∠GFH=∠EAC=α，∠DFG+∠BFH=∠DFG+∠GDF=180°-∠DGF=180°-（90°+α）=90°-α，∠DFB=∠GFH+∠DFG+∠BFH=α+90°-α=90°.
繼續(xù)拓展，若把已知兩個等腰直角三角形改成兩個都是含30°的直角三角形，探究△DBF為怎樣特殊的三角形.（結論：等邊三角形）
在廣猛說題一書里有詳細解答！
壓軸模擬練習23：（2012北京豐臺一模）
壓軸模擬練習24：（2011北京朝陽一模）
壓軸模擬練習25：（2013湖南常德中考）
再來練一道與三線合一相關的綜合題（題目來自張鼎文老師文章：想不到的斜邊中線，看不見的中位線）
例17 如圖△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．
(1)求證：GH∥BC；
(2)若AB＝9，AC＝14，BC＝18，求GH．
(3)若將條件“∠B，∠C的平分線”改為“∠B的平分線及∠C的外角平分線”(如圖2所示)，或改為“∠B，∠C的外角平分線”(如圖3所示)，其余條件不變，求證：結論GH∥BC仍成立．
分析：
與上例類似，有角平分線，有垂直，延長構造等腰三角形，利用三線合一．
解答：
(1)證明：
分別延長AG，AH交BC于M，N，
在△ABM中
∵BG平分∠ABM，BG⊥AM，
∴∠ABG＝∠MBG，∠BGA＝∠BGM＝90°
∴∠BAM＝∠BMA．
∴BA＝BM，G是AM的中點．
同理CA＝CN，H是AN的中點，
∴GH是△AMN的中位線，HG∥MN，HG∥BC．
(2)由(1)知，△ABG≌△MBG，△ACH≌△NCH，
∴AB＝BM＝9，AC＝CN＝14．
∴MN＝BM＋CN－BC
＝AB＋AC－BC＝9＋14－18＝5
(3)無字證明如下，相信同學們都能看懂．
聯(lián)系客服
