2016年物理獎的三位獲獎?wù)撸瑘D片來自nobelprize.org
編者按：
拓撲被人俗稱為“橡皮膜上的幾何學(xué)”。物質(zhì)有氣、液、固、等離子態(tài)等變化，但相變要復(fù)雜得多，物理學(xué)家索利斯等人，第一次將數(shù)學(xué)中的拓撲概念應(yīng)用于物理學(xué)中，研究量子電磁現(xiàn)象。事實上，在凝聚態(tài)物理活躍的舞臺上，不乏華裔學(xué)者的身影。
撰文 | 張?zhí)烊?/strong>（美國德州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士）
責編 | 葉水送
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2016年,諾貝爾物理獎頒發(fā)給了三位美國科學(xué)家：戴維·索利斯（David Thouless）、鄧肯·霍爾丹（Duncan Haldane）和邁克爾·科斯特利茲（Michael Kosterlitz），以表彰他們“在拓撲相變以及拓撲材料方面的理論”。
拓撲描述幾何空間的整體性質(zhì)，不感興趣“點與點之間的距離”之類的數(shù)值，只感興趣點之間的連接方式，即研究的是“連沒連”、“怎樣連”這樣的問題。
舉三維空間中二維曲面的拓撲性質(zhì)為例，可以更為直觀地理解拓撲。如果一個二維曲面不能被撕裂和粘貼，但可以如同橡皮膜一樣地被拉伸、彎曲或壓扁，這個曲面是拓撲不變的，或者說拉伸前后保持同樣的拓撲。因此，拓撲也被人俗稱為“橡皮膜上的幾何學(xué)”。
更為直觀和有趣的是考慮二維閉合曲面。比如說，一個橡皮膜做成的球面（圖1左），通過拉伸及縮小可以變形成橢球面或其它各種形狀，但卻不可能變成圖1中圖所示的面包圈面的形狀。類似地，面包圈面形狀的一個面團，可以揉捏成一個茶杯形狀。也就是說，面包圈面的拓撲，與茶杯表面的拓撲是一樣的。
數(shù)學(xué)上將這一類“有限、無邊界、有方向”的二維閉合面，用“虧格”來描述和分類。對實閉曲面而言，通俗地說，虧格就是曲面上洞眼的個數(shù)，即：球面的虧格為0，面包圈面的虧格為1，如圖1所示。
圖1：不同的虧格對應(yīng)的不同拓撲
初中的物理書上就告訴我們，物質(zhì)有三態(tài)：氣態(tài)、液態(tài)、固態(tài)。后來的說法再擴大了一些，加上了等離子態(tài)、波色-愛因斯坦凝聚態(tài)、液晶態(tài)等等。除了“態(tài)”這個字之外，現(xiàn)代物理學(xué)中用得更多的是物質(zhì)的“相”。物質(zhì)不同“相”的種類比一般所說的“態(tài)”的種類要多得多。也就是說，對應(yīng)于同一個態(tài)，還可以有許多不同的相。比如，水的固態(tài)是冰，但冰有很多種不同的結(jié)晶方式，它們便對應(yīng)于不同的相，如圖2（左）所示。此外，昂貴的鉆石和鉛筆中的石墨，同為碳的同素異形體，但因其晶體結(jié)構(gòu)不同，也形成了特性迥異的物質(zhì)相，見圖2（右）。
圖2：同一物質(zhì)不同的相。（左）雪花的不同結(jié)晶態(tài)；（右）碳的同素異形體
人們最開始對“固、液、氣”三態(tài)的認識，是基于它們不同的表現(xiàn)形態(tài)：固體有一定的體積和形狀；液體有一定體積，但形狀不定；氣體則體積、形狀均不固定。而當物質(zhì)的這三態(tài)互相轉(zhuǎn)變時，也相應(yīng)地伴隨著體積的變化和熱量的吸收或釋放。物理學(xué)家們將這一類轉(zhuǎn)換叫做一級相變。這個“一級”，在這兒有一個數(shù)學(xué)上的意義：在相變發(fā)生點，熱力學(xué)中的參量（比如化學(xué)勢）不變化，而它的一階導(dǎo)數(shù)（如體積等）則有變化。
為了解釋實驗中不斷出現(xiàn)的各種相變，這個一級相變的概念也被延伸下去。如此便有了二級、三級……等等用熱力學(xué)量的N階導(dǎo)數(shù)來區(qū)分不同級別的相變。不過，級別高的相變并不多，暫且還沒有必要分得那么細致。因此，人們將除了一級相變之外的更高級相變，統(tǒng)稱為連續(xù)相變。
那么，如何來定義物理中的“相”呢？在各種具體情況下可以有不同的定義，就像上面所舉的雪花及碳的不同結(jié)晶“相”那樣，與本篇主題有關(guān)的主要是“貝里相位”。
物理學(xué)中通常用“相位”一詞來描述某種波動性質(zhì)，比如說交流電的相位、振動弦的相位、量子力學(xué)中波函數(shù)的相位等等。貝里相位是具體應(yīng)用到電磁現(xiàn)象中的產(chǎn)物。在經(jīng)典電磁學(xué)中，相位只有相對意義：兩個波的相位差會形成干涉條紋，但一束電磁波的絕對相位值，并不產(chǎn)生任何觀測效應(yīng)。在電磁的量子理論中，相位具有可觀測物理效應(yīng)，這便是貝里相位。
圖3：通電線圈引起的相位因子φ是貝里相位
考慮空間有一個通電螺線圈。假設(shè)線圈中有如圖3b所示方向的電流，則會在螺線圈的內(nèi)部產(chǎn)生向上的磁場。想象這個線圈繞得非常緊密，無限細又無限長的話，磁場只能被束縛在Y軸上，而整個空間的其余部分電場和磁場都為0。從經(jīng)典觀點看，如果有電子繞線圈一周后，沒有感受到電磁場，對它的狀態(tài)不會有任何影響，但實驗結(jié)果卻有影響。1984年，英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家邁克爾·貝里爵士（Sir Michael Berry，1941-）從量子的觀點引進“貝里相位”解釋了這個現(xiàn)象。貝里認為，一個量子體系回到原來狀態(tài)時，有可能會帶來一個額外的，因為空間的幾何性質(zhì)而產(chǎn)生的相位因子，稱之為幾何（貝里）相位【1】。如果電子路徑不包括線圈時，這個相位為0。但如果電子路徑包括線圈在內(nèi)，貝里相位便不為0，它具有可觀察的的物理意義。不可將其忽視，貝里風(fēng)趣地比喻說，就像不能將“小孩”與洗澡水一起倒掉一樣。貝里相位被量子力學(xué)和光學(xué)實驗的觀察所證實。
有趣的是，貝里除了因提出幾何相而出名之外，還因為與安德烈·海姆研究“磁懸浮青蛙”獲得2000年的搞笑諾貝爾物理獎（Ig Nobel Prize for Physics）【2】。海姆后來因為對石墨烯的開創(chuàng)性實驗研究而獲得2010年諾貝爾物理獎，貝里也曾得到過沃爾夫物理獎等多種獎項。由此可見，搞笑諾貝爾獎也不僅僅是一種戲謔調(diào)侃，可能更多的是體現(xiàn)了一種幽默，得獎?wù)咧幸膊环?chuàng)意之人，比如貝里就應(yīng)該可以算作一個。
1982年，早于貝里在研究量子混沌時提出的“貝里相位”，美國華盛頓大學(xué)物理學(xué)家索利斯等人，為了解釋整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，已經(jīng)將數(shù)學(xué)中的拓撲概念與電子波函數(shù)的“相位”聯(lián)系起來。兩組人馬從不同的課題來研究量子電磁現(xiàn)象，卻得到了類似的結(jié)論，大有異曲同工之妙。
索利斯與貝里的共同結(jié)論是：量子態(tài)與空間的整體拓撲性質(zhì)有關(guān)。
首先從圖3實驗中的貝里相位說起，電磁勢積分一圈后的額外相位因子φ的根源來自于細長的螺線線圈。雖然線圈在外面空間中產(chǎn)生的電場和磁場處處為0，但是在Y軸上的磁通量卻改變了空間的拓撲性質(zhì)。沒有這個磁場時，空間是平庸的、單連通的普通三維空間。而通電螺線管的存在相當于在電子運動的三維空間中挖了一個洞，使空間變成了非平庸的，具有了不同的拓撲性質(zhì)?；蛘呖梢宰魅缦骂惐龋簺]有通電螺線管的空間類似于球面拓撲空間，加了通電螺線管之后，有了一個洞，變成了面包圈面的拓撲空間。
霍爾效應(yīng)也有經(jīng)典與量子之分，量子霍爾效應(yīng)中又包括整數(shù)量子霍爾效應(yīng)和分數(shù)量子霍爾效應(yīng)。因此，量子霍爾效應(yīng)中涉及到不同的、離散的量子態(tài)，構(gòu)成不同的“相”，互相轉(zhuǎn)變則為“相變”。
在表征量子化霍爾效應(yīng)的參數(shù)中，有一個填充因子n，索利斯由n出發(fā)，引入了一個稱為TKNN的拓撲數(shù)，并由此而對電子波函數(shù)的拓撲性質(zhì)進行分類【3】，這是第一次將數(shù)學(xué)上的拓撲概念應(yīng)用于與“相”有關(guān)的凝聚態(tài)理論中，它是基于索利斯和2016年另一位物理獎得主科斯特利茲早期的工作【4】。
量子霍爾效應(yīng)，研究的是二維系統(tǒng)中電子在均勻磁場中的運動。如果將電子運動和磁場都進行量子化，得到的填充因子n，可以被理解為電子數(shù)N與磁通量子數(shù)Nφ的比值。
圖5：用電子和磁通量子表示量子霍爾效應(yīng)
可以通俗地用冰糖葫蘆的圖像【5】來比喻量子霍爾效應(yīng)中電子與磁通量子數(shù)目的分配關(guān)系。
如圖5圖（左）所示，將一個電子表示成一個山楂（圖中的綠色圓餅），穿過電子的磁通量子用一根竹簽表示（圖中的藍色箭頭）。從左圖可見，整數(shù)量子霍爾效應(yīng)中每個磁通量子所穿過的電子數(shù)，便等于填充因子n。
當n=1的時候，對應(yīng)于一個磁通量子穿過一個電子的情形。當n=2時，有兩個子能帶被填滿，因此，一個磁通量子穿過兩個電子。然后，可以以此類推下去。
圖5（中）是分數(shù)量子霍爾效應(yīng)的情況。對應(yīng)于竹簽太多，山楂不夠，即磁通量子數(shù)太多，電子數(shù)目不夠分配，因而出現(xiàn)幾個磁通量子共用一個電子的情形。如果兩個磁通量子共同穿過一個電子，n便成為了分數(shù)：n=1/2；如果三個磁通量子穿過一個電子，則n=1/3。還有更為復(fù)雜一些的情形，比如：如果是五個磁通量子穿過兩個電子，則有：n=2/5。
因此，填充因子n可以用作物態(tài)（相）的分類標簽，每一個不同的n都代表一種不同的量子態(tài)：n為整數(shù)時，對應(yīng)整數(shù)量子霍爾態(tài)；n為分數(shù)時，對應(yīng)量子流體分數(shù)霍爾態(tài)。
不同的n值代表的不同量子態(tài)，無論是分數(shù)還是整數(shù)，都需要由系統(tǒng)波函數(shù)內(nèi)在的拓撲性質(zhì)來描述。
例如，分數(shù)量子霍爾效應(yīng)之間的不同，可直觀地用這些基態(tài)簡并電子集體運動模式的不同來描述。好比是這些電子在跳著各種復(fù)雜的集體舞。每一種分數(shù)量子霍爾態(tài)對應(yīng)一種集體舞模式，每種模式可以用本文一開始介紹的拓撲中的虧格來表征，見圖6。
圖6：分數(shù)量子霍爾態(tài)對應(yīng)的不同拓撲
幾乎與索利斯解釋整數(shù)量子霍爾效應(yīng)同時，美國普林斯頓大學(xué)的物理學(xué)家霍爾丹將拓撲的概念用于一維自旋鏈【6】，霍爾丹之后對凝聚態(tài)物理作出一系列重大貢獻，包括分數(shù)量子霍爾效應(yīng)等。1988年，霍爾丹第一個預(yù)言了沒有磁場的（反常）量子霍爾效應(yīng)【7】。
讓我們再將拓撲的概念介紹得更深入一些。
貝里相位提供了一個具有拓撲結(jié)構(gòu)的最簡單物理系統(tǒng)的例子，但事實上物理中經(jīng)常說到的“空間”，遠不是三維空間。量子理論中一般用希爾伯特空間來描述量子態(tài)。如果考慮一個在真實的三維空間中運動的電子，對應(yīng)于電子軌跡的每個點，都存在一個與波函數(shù)相應(yīng)的無窮維的希爾伯特空間。由此我們可以建立一個數(shù)學(xué)模型，將電子真實運動的空間作為基空間，希爾伯特空間作為切空間，如此就構(gòu)成了一個數(shù)學(xué)家稱之為“纖維叢”的東西。如果來個通俗比喻的話，纖維叢可以直觀地理解為如圖7左圖所示的圖像：一根作為基底的鐵絲上纏繞著許多根纖維（毛線），或者是想象成凸凹不平的泥土地上長滿了長長短短的雜草。這樣一來，量子理論中談到的空間，指的是這個復(fù)雜的“纖維叢”空間，包含了基空間、纖維、還有纖維叢（乘積空間）三者的性質(zhì)：鐵絲彎曲成了什么形狀？泥土地是平面還是球面？毛線或雜草，是簡單而平庸的形態(tài)，還是某種卷曲、打結(jié)等古怪的樣子？還有纖維叢本身，也可能是整體非平庸的，像圖7右圖所示的莫比烏斯帶那種。有關(guān)纖維叢的更深入介紹，可見參考文獻【8】。
從纖維叢的觀點看，凝聚態(tài)物理中不同的量子態(tài)對應(yīng)的不同拓撲，可以用一個非0的、以數(shù)學(xué)家陳省身命名的不變量—“第一陳數(shù)”來表征。
圖7：纖維叢的直觀圖像
如前所述，拓撲不同于幾何：幾何考察局部形狀，拓撲研究整體性質(zhì)。然而，數(shù)學(xué)中有一個十分美妙的高斯-博內(nèi)定理，將這兩者關(guān)聯(lián)起來。高斯-博內(nèi)定理是平面幾何中“三角形三個內(nèi)角和等于180度”到一般二維曲面的推廣，華裔數(shù)學(xué)家陳省身又將曲面上的高斯-博內(nèi)定理推廣到高維流形上，證明了高斯-博內(nèi)-陳定理。
纖維叢是基空間和切空間（纖維）兩個拓撲空間的乘積，最簡單的纖維叢例子顯然是當基空間和切空間都是1維的情況。比如說，平面可看作X為基底Y為切空間的纖維叢；圓柱面可看成圓圈為基底、一維直線為切空間的纖維叢。平面和圓柱面都是平庸的纖維叢，平庸的意思是說兩個空間相乘的方法在基空間的每一點都是一樣的。如果不一樣的話，就可能是非平庸的纖維叢了，比如莫比烏斯帶就不平庸，見圖8。
圖8：纖維叢
圖8是“第一陳數(shù)”應(yīng)用的最簡單例子。陳數(shù)=0，描述拓撲平庸的圓柱面，陳數(shù)=1，描述莫比烏斯帶。陳數(shù)可直觀理解為基空間的點改變一圈時，纖維繞著基空間“扭”了多少圈。比如說，從圖8可見，相對于平直的圓柱面而言，當基空間參數(shù)變化一圈時，莫比烏斯帶上 “纖維”的方向，繞著基空間“扭”了一圈，因此陳數(shù)=1。扭得更多圈的莫比烏斯帶，對應(yīng)更大的“陳數(shù)”。
今年得諾貝爾物理獎的三位學(xué)者，是將拓撲應(yīng)用于凝聚態(tài)物理的鼻祖。之后幾十年，凝聚態(tài)物理無論在理論還是實驗方面，都取得了長足的進展，對將來的物理理論及工程應(yīng)用，有巨大的潛在意義。其中包括對各類拓撲絕緣體的研究、電子學(xué)材料、超導(dǎo)的應(yīng)用、量子計算、量子通信，以及基礎(chǔ)物理理論，都將受益不淺。
可喜的是，在凝聚態(tài)物理活躍的舞臺上，不乏華裔學(xué)者的身影。剛才談及的分數(shù)量子霍爾效應(yīng)，是在1982年被美國新澤西貝爾實驗室的幾位科學(xué)家發(fā)現(xiàn)的，其中之一是美籍華裔科學(xué)家崔琦。
崔琦（Daniel Chee Tsui）于1939年出生于中國河南，后來到香港讀書，再赴美國深造，移居美國。他和貝爾實驗室的同事史特莫（H. L. Stormer），及建立分數(shù)量子霍爾效應(yīng)理論解釋的勞夫林（R. B.Laughlin）三人一起，分享了1998年的諾貝爾物理獎。崔琦被中國媒體譽為“從貧窮鄉(xiāng)村走出來的諾貝爾獎得主”。
另兩位美國華裔物理學(xué)家，對凝聚態(tài)物理近二十來年的發(fā)展也做出了杰出的貢獻，那是大家熟知的斯坦福大學(xué)教授張首晟，以及麻省理工學(xué)院的文小剛。巧合的是，這兩位學(xué)者都是從高能物理開始再轉(zhuǎn)而研究凝聚態(tài)。張首晟不僅理論預(yù)言了二維量子自旋霍爾態(tài)的存在，并在2006年提出在HgTe/CdTe量子阱體系中，實現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng)的可能性，并很快被德國Molenkamp研究團隊的實驗所證實【9】。文小剛則建立了分數(shù)量子霍爾效應(yīng)的拓撲序理論和邊緣態(tài)理論，之后又進一步提出弦網(wǎng)凝聚理論，不僅揭示了拓撲序和量子序的本質(zhì)，而且又轉(zhuǎn)而返回到最基礎(chǔ)的物質(zhì)本源問題，構(gòu)造出了一個光和電子的統(tǒng)一理論【10】。
此外，清華大學(xué)教授、中國科學(xué)院院士薛其坤帶領(lǐng)的團隊，在拓撲絕緣體的研究中脫穎而出，2013年在世界上首次發(fā)現(xiàn)了量子反?；魻栃?yīng)，詳情請見參考文獻中的資料【11】。
（注：此文部分內(nèi)容，摘自筆者已出版的一本科普讀物【12】）
參考文獻
【1】M. V. Berry. 'Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes'. [C]. Proc. R. Soc. Lond. A 392 (1802): 45–57. 1984.
【2】搞笑諾貝爾獎，[OL]. http://en.wikipedia.org/wiki/Ig_Nobel_Prize
【3】D.J. Thouless, M. Kohmoto*, M. P. Nightingale, and M. den Nijs，Quantized Hall Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential，[J]. Phys. Rev. Lett. 49, 405–408. 1982。
【4】J. M. Kosterlitz & D. J. Thouless, 'Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems', Journal of Physics C: Solid State Physics, Vol. 6 pages 1181-1203 (1973)
【5】D. Yoshioka,The Quantum Hall Effect, [M]. Springer, Berlin. 2002.
【6】F.D.M. Haldane. Continuum dynamics of the 1-D Heisenberg antiferromagnet: Identification with the O(3) nonlinear sigma model. Physics Letters A, 93(9):464–468, 1983.
【7】F.D.M.Haldane，Model for a quantum Hall effect without Landau levels: Condensed-matter realization of the parity anomaly，[J]. Physical Review Letters, Volume 61, Issue 18, pp.2015-2018. October 31, 1988,
【8】Yvonne C.B.,Cecile D.M.,Margaret D.B., ”Analysis, Manifolds, and Physics”, [M]. North Holland Publishing Company, Amsterdam. 1977,
【9】B. Andrei Bernevig and Shou-Cheng Zhang. Quantum spin hall effect. Physical Review Letters,96(10):106802, March 2006.
【10】Xiao-Gang Wen, Quantum Field Theory of Many Body Systems - From the Origin of Sound to an Origin of Light and Electrons, [M]. Oxford Univ. Press, Oxford, 2004.
【11】Chang C Z, Zhang J, Feng X, et al. Experimental Observation of the Quantum Anomalous Hall Effect in a Magnetic Topological Insulator. [J]. Science, 2013.
【12】張?zhí)烊?電子，電子！誰來拯救摩爾定律？[M].北京:清華大學(xué)出版社，2015, pp. 140-220.
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