（系列文章之二）
永遠(yuǎn)的TKNN：動(dòng)量空間中的拓?fù)洳蛔兞?/strong>
戴希
上一篇文章介紹了在超導(dǎo)／超流薄膜中的拓?fù)湫驮ぐl(fā)－渦旋，以及渦旋激發(fā)導(dǎo)致的BKT相變。從中大家可以看到拓?fù)湫图ぐl(fā)的幾個(gè)特點(diǎn)，一是全局性，一個(gè)渦旋產(chǎn)生以后對(duì)距離很遠(yuǎn)的相位場(chǎng)都產(chǎn)生影響；二是對(duì)局部擾動(dòng)的穩(wěn)定性，局部擾動(dòng)只能移動(dòng)渦旋的空間位置而不能馬上消滅它。同時(shí)，產(chǎn)生這種拓?fù)浼ぐl(fā)的本質(zhì)原因也很清楚，就是相位空間是緊致的（compact），說(shuō)穿了就因?yàn)樗且粋€(gè)角度，只能在0到2π之間取值。類(lèi)似的拓?fù)湫图ぐl(fā)在各種不同的凝聚態(tài)系統(tǒng)中都存在，比如最近研究很熱的斯格明子，就是在鐵磁系統(tǒng)中出現(xiàn)的拓?fù)湫图ぐl(fā)。
上面介紹的都是實(shí)空間的拓?fù)錁?gòu)型，拓?fù)浼ぐl(fā)，如渦旋和斯格明子，無(wú)論是描寫(xiě)它們的數(shù)學(xué)方程，還是顯示其空間構(gòu)型的圖片，都非常美妙。但在凝聚態(tài)物理中，這只是剛剛開(kāi)始，更美妙的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)存在于動(dòng)量空間，也就是說(shuō)在看似復(fù)雜的電子態(tài)波函數(shù)背后居然隱藏著異常豐富和美妙的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，目前在這一領(lǐng)域進(jìn)展非常大，像拓?fù)浣^緣體、量子自旋霍爾效應(yīng)、量子反?；魻栃?yīng)、外爾半金屬等等新材料、新現(xiàn)象層出不窮，而這一重要領(lǐng)域的開(kāi)山之作，就是大名鼎鼎的TKNN，也是這次獲獎(jiǎng)的工作之一。這篇經(jīng)典文章由四位科學(xué)家聯(lián)合署名，其中T就是這次獲獎(jiǎng)的Thouless先生，我們上篇文章介紹的KT相變也是他的貢獻(xiàn)，從中可以看出Thouless對(duì)當(dāng)代凝聚態(tài)物理的巨大貢獻(xiàn)，這次獲獎(jiǎng)的確是實(shí)至名歸。今天聽(tīng)說(shuō)老人家已經(jīng)不幸罹患老年癡呆，不知道還能不能享受到獲獎(jiǎng)的愉悅，諾獎(jiǎng)委員會(huì)的確是動(dòng)作慢了一些，沒(méi)能讓諾獎(jiǎng)趕在老年癡呆之前，不能不說(shuō)是一個(gè)遺憾。TKNN里面的T還是KT相變的T，K卻不是KT相變的K，而是日本科學(xué)家Kohmoto先生，這是一位性格耿直，非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦舷壬?，本人曾有幸跟他同時(shí)在斯坦福大學(xué)訪問(wèn)，一起吃了好幾頓飯。Kohmoto先生很喜歡中國(guó)，關(guān)心中日關(guān)系，對(duì)中國(guó)出現(xiàn)的反日現(xiàn)象憂(yōu)心忡忡。這幾年我?guī)状稳|大，想找機(jī)會(huì)跟他敘敘舊，但都沒(méi)碰上，聽(tīng)同事說(shuō)他已經(jīng)退休，身體也不太好，衷心祝愿他能好起來(lái)。剩下兩位N，一位是M. P. Nightingale 另一位是 M. den Nijs，也都是凝聚態(tài)物理領(lǐng)域內(nèi)很有成就的科學(xué)家。
TKNN要研究的問(wèn)題，其實(shí)屬于電子態(tài)波函數(shù)的拓?fù)浞诸?lèi)，這是一個(gè)很大的領(lǐng)域，TKNN關(guān)注的是其中最簡(jiǎn)單的一類(lèi)。首先，這類(lèi)波函數(shù)是無(wú)相互作用的，可以由一個(gè)Slater行列式來(lái)描寫(xiě)；其次這類(lèi)波函數(shù)描述一個(gè)能帶絕緣體。由于無(wú)相互作用，多電子波函數(shù)可以由占據(jù)一批單電子波函數(shù)以形成Fock態(tài)來(lái)表示，又由于是能帶絕緣體，所有被占據(jù)的單電子態(tài)將鋪滿(mǎn)整個(gè)布里淵區(qū)。這樣對(duì)多電子態(tài)的分類(lèi)，可以簡(jiǎn)化為單電子波函數(shù)在整個(gè)布里淵區(qū)內(nèi)是否具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的問(wèn)題。目前研究正熱的拓?fù)浣^緣體、拓?fù)浒虢饘俚?，都是在針?duì)單電子態(tài)而言的，本質(zhì)上都是TKNN的工作在廣度和深度上的推廣。下面就具體介紹TKNN number。
我們來(lái)考慮一個(gè)二維無(wú)相互作用絕緣體的波函數(shù)，對(duì)布里淵區(qū)內(nèi)的每一個(gè)k點(diǎn)，被占據(jù)的單電子波函數(shù)構(gòu)成了一個(gè)希爾伯特空間，而這些單電子波函數(shù)連同承載它們的二維布里淵區(qū)就構(gòu)成了一個(gè)叫做纖維叢(fiber bundle)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。所謂的纖維叢，就是定義在一個(gè)幾何體（數(shù)學(xué)上叫底流形）的一堆函數(shù)（數(shù)學(xué)上叫纖維）。比如下圖的這把梳子，就可以看成是一個(gè)纖維叢，底流形是一個(gè)柱面，而纖維則是上面的一根根梳齒（線段）。
圖（一）生活中處處可見(jiàn)“纖維叢”
對(duì)于無(wú)相互作用絕緣體系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，底流形就是我們的二維布里淵區(qū)，（注意它是一個(gè)輪胎面或者說(shuō)是當(dāng)肯甜甜圈，這一點(diǎn)非常重要，后面會(huì)詳細(xì)闡述），而單電子波函數(shù)則是“長(zhǎng)”在上面的纖維。對(duì)于纖維叢的拓?fù)浞诸?lèi)問(wèn)題，數(shù)學(xué)大師陳省身先生曾做過(guò)系統(tǒng)的研究，按照陳大師的微分幾何理論，這樣的纖維叢可以分成不同的類(lèi)，每一個(gè)拓?fù)渖系葍r(jià)的類(lèi)都具有相同的“陳數(shù)”，TKNN在二維絕緣體系統(tǒng)中找到的不變量，正是數(shù)學(xué)上的“陳數(shù)”。
（a） （b）
圖（二）二維布里淵區(qū)示意圖
要從物理上理解“陳數(shù)”這個(gè)比較抽象的數(shù)學(xué)概念并不難，首先說(shuō)明一下為什么二維布里淵區(qū)是一個(gè)輪胎面，這是因?yàn)椴祭餃Y區(qū)內(nèi)的動(dòng)量, 跟上篇文章中的角度一樣，是定義在一個(gè)單值區(qū)間［－π,π］之內(nèi)的，換句話(huà)說(shuō)也是緊致的，因此在圖二（a）中布里淵區(qū)的上邊界跟下邊界，左邊界跟右邊界都是等價(jià)的，兩邊連起來(lái)一個(gè)平面就成了輪胎面，如圖二（b）所示。理解了底流形布里淵區(qū)的拓?fù)涮匦灾螅賮?lái)看定義在其上的“纖維“－波函數(shù)。固體中的電子態(tài)，學(xué)過(guò)一點(diǎn)固體物理的同學(xué)們都知道，就是一條條的能帶，如圖（三）就是一個(gè)典型的絕緣體的能帶色散關(guān)系圖，上面的空態(tài)是導(dǎo)帶，下面的占據(jù)態(tài)是價(jià)帶。在TKNN以前，人們只對(duì)電子態(tài)的本征能量或色散關(guān)系感興趣，因?yàn)樗梢詻Q定固體的許多性質(zhì)，而對(duì)具體波函數(shù)的性質(zhì)則不太關(guān)心。隨著TKNN的工作和對(duì)Berry相因子研究的進(jìn)一步深入，人們?cè)絹?lái)越認(rèn)識(shí)到波函數(shù)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的重要性。
圖（三）最簡(jiǎn)單的絕緣體能帶圖
其實(shí)，跟上篇文章介紹的渦旋激發(fā)類(lèi)似，動(dòng)量空間中波函數(shù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)還是隱藏在它的相位當(dāng)中。但是一個(gè)重要的不同點(diǎn)是，現(xiàn)在我們的體系具有U（1）規(guī)范不變性 ψ’k(r) = ψk(r) e^iθ(k)，也就是說(shuō)每個(gè)波函數(shù) ψk(r) 的相位是不定的，可以通過(guò)規(guī)范變換來(lái)進(jìn)行改變，而任何有意義的物理可觀測(cè)量都必須在這樣的變換下保持不變。因此，我們要解決的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為是否能在看似任意變化的波函數(shù)相位結(jié)構(gòu)中找出規(guī)范不變的量來(lái)，TKNN給出的答案就是陳數(shù)。
我們可以通過(guò)一個(gè)叫做“Wilson loop”的方法，很直觀地向大家介紹陳數(shù)這個(gè)看似深?yuàn)W的數(shù)學(xué)概念。首先，我們?cè)诳此齐S意的波函數(shù)相位中找一個(gè)規(guī)范不變的量，我們可以把二維布里淵區(qū)按照不同 ky 的切成一條條的橫線，如圖（二）所示，并且在每一條線上按照一定的間距分成N個(gè)點(diǎn)，于是把相鄰k點(diǎn)的占據(jù)態(tài)波函數(shù)求內(nèi)積再乘起來(lái)就是規(guī)范不變的，如下式，
很容易證明這個(gè)量在規(guī)范變換下是不變的，并且當(dāng)N趨于無(wú)窮大時(shí)，這個(gè)復(fù)數(shù)的模A趨于1，而只留下一個(gè)相位 θ(ky)，這個(gè)量是 ky 的函數(shù)，因?yàn)閷?duì)每一個(gè)固定 ky 的環(huán)我們都可以做同樣的計(jì)算。然后我們來(lái)看相位θ(ky)隨著ky是如何演化的。假設(shè)從－π變化到π，因?yàn)椋泻挺衅鋵?shí)是等價(jià)的，相位θ(ky)必須回到初始值或者變化2π的整數(shù)倍。
(a) （b）
圖（四）：陳數(shù)分別為零（a）和（b）時(shí)相位角的演化示意圖。
于是隨著變化一圈，相位角θ(ky)必須在布里淵區(qū)的輪胎面上繞整數(shù)C圈，如圖（四）所示，這個(gè)整數(shù)C就是TKNN發(fā)現(xiàn)的陳數(shù)！大家可以感受一下，絕緣體系統(tǒng)在k空間的相位結(jié)構(gòu)，居然跟一個(gè)渦旋系統(tǒng)有著如此的相似性，可見(jiàn)物理體系背后的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是多么的美妙。
更有意思的是，陳數(shù)并不單單只是數(shù)學(xué)游戲，對(duì)于二維絕緣體系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，它有明確的物理意義，就是霍爾電導(dǎo)的量子化，不同的陳數(shù)對(duì)應(yīng)于不同的量子霍爾效應(yīng)臺(tái)階。1988年本年度物理學(xué)獎(jiǎng)的另一位獲獎(jiǎng)?wù)逥. Haldane教授第一次提出，無(wú)需外磁場(chǎng)而依靠特殊的能帶波函數(shù)結(jié)構(gòu)也可以產(chǎn)生非平庸的陳數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)量子反?；魻栃?yīng)。2010年我和方忠、張首晟等人第一次提出在磁性摻雜的拓?fù)浣^緣體薄膜Bi2Se3/Bi2Te3中可能存在陳數(shù)為1的量子反?；魻栃?yīng)態(tài)，3年后薛其坤小組以無(wú)以倫比的實(shí)驗(yàn)技巧第一次在上述體系中觀測(cè)到了量子反?；魻栃?yīng)態(tài)，引起了很大的關(guān)注，這時(shí)離TKNN最初的文章已經(jīng)過(guò)去了31年，離D. Haldane88年的理論工作也過(guò)去了25年，可見(jiàn)幾位獲獎(jiǎng)前輩在科學(xué)上的超人遠(yuǎn)見(jiàn)。
作者簡(jiǎn)介
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