前 言
本文章旨在使讀者理解經(jīng)濟(jì)模型化思想以及如何運(yùn)用數(shù)學(xué)模型化的方法和技巧，解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。 數(shù)學(xué)模型化（Mathematical Modelling）是指提出、設(shè)計(jì)、建立、求解、論證及使用數(shù)學(xué)模型的整個(gè)過(guò)程。其目的在于研究開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中分析問(wèn)題、邏輯思維和輔助決策的作用和功能?！?
本書(shū)共由四個(gè)模塊構(gòu)成:
第一模塊為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型化過(guò)程的基礎(chǔ)理論部分，主要包括數(shù)學(xué)模型基本理論、數(shù)學(xué)模型化一般程序、以及為實(shí)現(xiàn)模型化必須進(jìn)行的信息收集與評(píng)價(jià)等內(nèi)容。這部分由三章組成：第一章在給出各種簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，討論了數(shù)學(xué)模型的基本概念和性質(zhì)，闡明了模型與原型及其邏輯關(guān)系。第二章在明確信息的數(shù)量化是建造模型的前提下，討論了數(shù)量化與量綱的問(wèn)題，然后對(duì)數(shù)學(xué)模型的特性、應(yīng)用條件及應(yīng)用的評(píng)判準(zhǔn)則進(jìn)行了說(shuō)明，最后詳細(xì)論述了模型化過(guò)程的問(wèn)題。第三章介紹了模型化信息的收集方法和模型化信息的處理方法?！?
第二模塊為微觀經(jīng)濟(jì)數(shù)量決策分析模型的討論與研究，主要內(nèi)容包括運(yùn)籌學(xué)模型化過(guò)程中如何表述目標(biāo)，確定環(huán)境因素，選擇標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型，最優(yōu)性條件的確定及最優(yōu)解（或滿意解）的求出。這部分內(nèi)容由第四章、第五章組成：第四章論述了銷(xiāo)售機(jī)理模型化過(guò)程，主要由銷(xiāo)售機(jī)理分析、成本機(jī)理分析、風(fēng)險(xiǎn)機(jī)理分析、時(shí)間機(jī)理分析、約束問(wèn)題分析等部分構(gòu)成；第五章在第四章銷(xiāo)售機(jī)理模型化過(guò)程的基礎(chǔ)上，給出了多目標(biāo)多指標(biāo)模型的一般形式。并對(duì)單目標(biāo)最優(yōu)解的性質(zhì)進(jìn)行了分析。指出了各種經(jīng)濟(jì)量對(duì)數(shù)量決策的影響。此外研究了非線性共軛對(duì)偶理論的應(yīng)用?！?
第三模塊內(nèi)容由兩部分構(gòu)成：第一部分介紹了系統(tǒng)論的思想與方法，第二部分為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型化過(guò)程。
本模型塊由第六章、第七章組成：
第六章主要討論經(jīng)濟(jì)控制論模型，首先闡述了系統(tǒng)論的方法和規(guī)律，最后給出了一個(gè)具體宏觀經(jīng)濟(jì)控制模型。
第七章為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型分析，計(jì)量模型的特點(diǎn)在于首先提出經(jīng)濟(jì)假說(shuō)，然后確立變量之間的因果關(guān)系，在收集統(tǒng)計(jì)資料的基礎(chǔ)上，估計(jì)模型參數(shù)，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。最后運(yùn)用模型估計(jì)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和政策評(píng)價(jià)。本章包括計(jì)量模型分析的基礎(chǔ)和建立計(jì)量模型的一些基本方法。首先討論構(gòu)成計(jì)量分析基礎(chǔ)的最小二乘法，然后指出在實(shí)證分析中運(yùn)用計(jì)量模型應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題，最后探討計(jì)量分析的一些新發(fā)展?！?
第四模塊為本書(shū)的最后一章，作為經(jīng)濟(jì)模型化過(guò)程的應(yīng)用實(shí)例，在本章中給出了幾個(gè)案例，主要涉及到宏觀經(jīng)濟(jì)周期變化、投資模型的最優(yōu)條件、宏觀經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型以及經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用等問(wèn)題。
第八章主要內(nèi)容如下：
首先討論卡萊斯基商業(yè)循環(huán)模型和最優(yōu)外資規(guī)模的決定模型，然后對(duì)馬克思的擴(kuò)大再生產(chǎn)圖式與哈羅多―多馬模型進(jìn)行比較，最后討論市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中消費(fèi)者經(jīng)濟(jì)行為的數(shù)學(xué)模型描述以及企業(yè)的行為表征?！?
本書(shū)作者之一楊健博士自1986年在中國(guó)人民大學(xué)開(kāi)設(shè)全校研究生選修課程"經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型化"。此后，龔德恩教授、任朝佐教授、嚴(yán)守權(quán)副教授、趙國(guó)慶副教授等都曾講授此課程，他們的貢獻(xiàn)推動(dòng)了經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型化的研究。十年后的今天此書(shū)終于在同行們的關(guān)心下問(wèn)世?！?
此外，中國(guó)人民大學(xué)的魏權(quán)齡教授、英國(guó)蘭卡斯特大學(xué)的Graham K.Rand教授、日本國(guó)京都大學(xué)的森棟公夫教授，都曾對(duì)本書(shū)提出許多非常有益的建議，在此一并向他們表示衷心的謝意?！?
特別要提到的是王戈、周?chē)?guó)棟、崔惠軍、尹明玉，他們?cè)诒緯?shū)的打印輸入及校對(duì)公式中付出了艱辛的勞動(dòng)。中國(guó)人民大學(xué)出版社潘旭燕女士作為本書(shū)的責(zé)任編輯付出了辛勤勞動(dòng)，在此謹(jǐn)表謝意。
本書(shū)中的一些研究成果為國(guó)家"211"工程項(xiàng)目 "中國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行模擬和分析系統(tǒng)" 的一部分，本書(shū)的部分章節(jié)構(gòu)成北京市普通高等學(xué)校教育教學(xué)改革試點(diǎn)立項(xiàng)研究的基礎(chǔ)。
本書(shū)作為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型化過(guò)程分析的一個(gè)嘗試還存在著不少不足之處，懇切希望廣大讀者指正。
著 者
1998年8月
第一章 數(shù)學(xué)模型概論
§1.1 引言
任何模型都是原型的一種表現(xiàn)形式，而原型則指我們所研究的對(duì)象。我們所討論的模型是依據(jù)原型，由人來(lái)構(gòu)造的模型，它是人對(duì)客觀世界的一種理解。廣義而言，由于世間的事物皆有同一性，故任何事物都可能成為另一事物的模型；但對(duì)千差萬(wàn)別的具體事物而言，模型又是有條件的。
構(gòu)造模型是研究和解釋客觀世界的一種手段。它使人們?cè)诒仍同F(xiàn)存條件更為有利的條件下研究原型。模型可以是實(shí)體，也可以是理論；既可以定性，也可以定量；可以具體，亦可抽象。借助模型，人們可以從不同的側(cè)面、不同的層次，去認(rèn)識(shí)原型。尤其是在現(xiàn)實(shí)世界里，有一些研究工作無(wú)法在原型上直接進(jìn)行，因此人們需要構(gòu)造模型來(lái)解決理論和實(shí)踐中的問(wèn)題。模型是對(duì)原型的一種近似，它們之間存在著某種因果關(guān)系。抽象地說(shuō)，模型是原型的映象。
模型的性質(zhì)
作為一個(gè)模型，應(yīng)具備以下三個(gè)性質(zhì)：
1.近似性：模型是原型若干特征或內(nèi)在聯(lián)系的模仿或近似。
2.主觀性：模型基于構(gòu)模者對(duì)原型以及"模型空間"的理解。
3.能動(dòng)性：模型可以能動(dòng)地反映原型，乃至在時(shí)空上超越原型的現(xiàn)狀。
正是模型的這些性質(zhì)，使得人們愈來(lái)愈多地利用模型，重視模型，并開(kāi)始探索建模的方法。建立模型不僅需要對(duì)原型的深刻理解，而且需要一定的技巧、抽象和想象力。模型化方法是學(xué)習(xí)建模的基礎(chǔ)，抽象與想象則需在實(shí)踐中培養(yǎng)。就如作畫(huà)需要對(duì)景物的敏銳觀察，訓(xùn)練有素的技巧和藝術(shù)的抽象與想象。當(dāng)然，不斷地鉆研、探索、創(chuàng)新，是步入科學(xué)殿堂的必由之路?！?br> 對(duì)于同一原型，可以有不同的模型。如何評(píng)價(jià)模型的優(yōu)劣是模型化關(guān)心的問(wèn)題之一。模型的價(jià)值應(yīng)取決于模型化的目的。換言之，模型的優(yōu)劣應(yīng)由其解決問(wèn)題的優(yōu)劣而定。如果一個(gè)模型突出了原型的主要矛盾和主要特征，從而有助于我們分析和解決問(wèn)題，它就是一個(gè)好模型。
模型的種類(lèi)甚多。依據(jù)不同的準(zhǔn)則，有以下幾類(lèi)主要的模型：
1.按照相似程度劃分：
有同構(gòu)模型(Isomorphic Model)和同態(tài)模型(Homomorphic Model)。前者與其原型之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即同構(gòu)關(guān)系；后者與其原型的部分相對(duì)應(yīng)，依其相似程度可細(xì)分為精確的(Acurate)、適度的(Adequate)、和粗略的(Coarse)三種同態(tài)模型。
2.按照結(jié)構(gòu)性態(tài)劃分：
有形象模型(Iconic Model)和抽象模型(Abstract Model)之分。前者是由改變現(xiàn)實(shí)原型的度量、尺度或維數(shù)而得到的，其構(gòu)造多為依據(jù)P定理（見(jiàn)第二章）和相似性原理，故又稱(chēng)比例模型(Scale Model)；后者是用抽象的符號(hào)、圖表、語(yǔ)辭等表述的模型。抽象模型又可細(xì)分為3類(lèi)：
1）比擬模型(Analog Model)：它建立在不同的事物之間，模型與原型存在著同構(gòu) 或同態(tài)的關(guān)系。例如用一組可控的條件來(lái)表征真實(shí)原型，通過(guò)模擬性實(shí)驗(yàn)研究原型的 變化規(guī)律，這組可控條件就是比擬模型。
2）概念模型(Concept Model)：它是憑借現(xiàn)有的知識(shí)，提出的關(guān)于原型的結(jié)構(gòu)與特 性的表述。概念模型往往是抽象的、原始的。
3）數(shù)學(xué)模型(Mothematical Model)：它是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)原型結(jié)構(gòu)、特征、及內(nèi)在 聯(lián)系的模型。例如，用字母、數(shù)字或其它有特別含意的數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式、不 等式、圖象、以及框圖等，都是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，當(dāng)它們表征一個(gè)特定原型時(shí)，就是數(shù)學(xué) 模型。
3.按照對(duì)原型的了解程度劃分：
有白箱模型(White Box Model)、黑箱模型(Black Box Model)和灰箱模型(Grey Box Model)三種。構(gòu)模者對(duì)原型內(nèi)部的結(jié)構(gòu)與特性的了解程度分別是完全了解、完全不了解和部分了解。
關(guān)于模型的劃分，不同的準(zhǔn)則劃分的類(lèi)型也不同。例如有人認(rèn)為能真正劃分的模型只有兩類(lèi)：實(shí)物模型(Physical or Material Model)和符號(hào)模型(Symbolic or Formal Model)。實(shí)物模型是有形的、可觸知的、實(shí)體的模型化表達(dá)，模型的元素由物質(zhì)或硬件構(gòu)成。如形象模型、硬件比例模型、和比擬計(jì)算機(jī)模型等。符號(hào)模型是理論的、符號(hào)的、抽象的模型化表達(dá)，模型元素由原型的特定結(jié)構(gòu)或行為的若干方面的符號(hào)表述。如圖樣、語(yǔ)詞表達(dá)、邏輯模型、數(shù)學(xué)模型以及計(jì)算機(jī)程序等等。關(guān)于模型的性質(zhì)及其分類(lèi)將在第二章進(jìn)行詳細(xì)地討論?！?br> 在一切模型之中，數(shù)學(xué)模型是用途最廣泛的一種。多少世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)以其高深玄妙而被譽(yù)為自然科學(xué)的"皇后"。然而在科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)的今天，多學(xué)科相互交融，邊緣學(xué)科不斷涌現(xiàn)。"皇后"屈尊降為各學(xué)科的"侍女"，應(yīng)運(yùn)而生的交叉學(xué)科舉不勝舉。如生物數(shù)學(xué)、數(shù)理醫(yī)藥學(xué)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)量地理學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)等等，猶如群芳爭(zhēng)春，競(jìng)相綻放。雖然新學(xué)科各有異彩，人們注意到一個(gè)事實(shí)：它們的共同之處就是都借助數(shù)學(xué)模型研究各自的原型世界！這些新興學(xué)科的成功無(wú)一不是得益于數(shù)學(xué)模型的利用。尤其是在這個(gè)計(jì)算機(jī)時(shí)代，往日只有數(shù)學(xué)家才能完成的計(jì)算工作，如今一般人也能完成，這一切使得數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用成為可能，因此，模型化工作日益受到人們的重視。
應(yīng)當(dāng)看到，即使在今天，人們對(duì)數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)仍有許多誤解。例如有人認(rèn)為數(shù)學(xué)模型是一種語(yǔ)言，很容易予以文字解釋。這恰恰與實(shí)際情況相左，數(shù)學(xué)模型的一般性常常使人不知所云。還有人認(rèn)為數(shù)學(xué)模型及其結(jié)果總是正確的，科學(xué)的，這也是荒謬的。雖然基于一組自封閉的公理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)本身，在前提正確和推理無(wú)誤的條件下，結(jié)果必然正確。但是數(shù)學(xué)模型畢竟不是數(shù)學(xué)理論，它基于關(guān)于原型的假說(shuō)，因此數(shù)學(xué)推證充其量是一個(gè)佐證。假說(shuō)必須用事實(shí)驗(yàn)證，換言之，不論是前提還是結(jié)果都必須以事實(shí)為依據(jù)。最后需要指出的錯(cuò)誤觀點(diǎn)是認(rèn)為數(shù)學(xué)模型沒(méi)有用處。我們且不贅舉數(shù)學(xué)模型的輝煌成就，僅以質(zhì)與量是構(gòu)成事物屬性的兩個(gè)方面，缺少量的刻劃則無(wú)法全面地認(rèn)識(shí)事物，就足以反駁這種觀點(diǎn)?！?br> 本書(shū)著重探討經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型化方法以及模型化理論與程序。在經(jīng)濟(jì)工作中利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)、研究和決策，往往可以增加收益，降低消耗、減免風(fēng)險(xiǎn)、縮短時(shí)間、合理地利用有限的資源以獲得最佳的效益。隨著計(jì)算機(jī)的普及和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域?qū)⒂懈鼜V泛的應(yīng)用。
§1.2 數(shù)學(xué)模型基本概念
數(shù)學(xué)模型是相對(duì)于一定的概念、系統(tǒng)、或過(guò)程而存在的。E.A.本德[5]在他的《數(shù)學(xué)模型引論》中這樣寫(xiě)道："數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的而作的一個(gè)抽象的、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。"具體地講，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就是由若干字母、數(shù)字、及含有特定意義的符號(hào)建立起的等式、不等式、序關(guān)系、邏輯式、圖表、圖象和框圖。數(shù)學(xué)模型和原型是一對(duì)范疇，相互依存、相互對(duì)立。孤立的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不是嚴(yán)格意義下的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型化的概念與數(shù)學(xué)模型不同，它是指建立數(shù)學(xué)模型和利用數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程?？梢詳嘌?，從研究數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)到研究數(shù)學(xué)模型化是一個(gè)必然的趨勢(shì)。模型化研究具有廣闊前景。
在此我們介紹幾個(gè)簡(jiǎn)單的模型，使我們形成對(duì)數(shù)學(xué)模型的直觀認(rèn)識(shí)。
【例1.2.1】資源的配置
資源短缺是全世界共同面臨的問(wèn)題。如何有效地利用現(xiàn)有的資源，使經(jīng)濟(jì)單位自身的經(jīng)濟(jì)效益最大，乃是許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究的課題。雖然原型的差異甚多，我們?nèi)钥沙橄蟮丶僭O(shè)原型問(wèn)題是利用m種有限資源生產(chǎn)n種商品的最佳決策。如果已知第i種商品的單位創(chuàng)利額是ci,(i=1,…,n）；生產(chǎn)單位商品i需消耗aij單位的資源j,(i=1,…,n j=1,…,m)；現(xiàn)有資源j的總量為bj，(j=1,…,m)；待決策的商品i的數(shù)量為xi，(i=1,…,n)。則可得出決策的選擇范圍是滿足下列約束條件的x=(x1,…xn)T
j=1,…,m
xi 3 0
判別決策優(yōu)劣的目標(biāo)是創(chuàng)利額
我們記x=(x1,…xn)
A=(aij)n′m
C=(c1,…cn)T
b=(b1,…bn)T
就得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型
max cTx (1-2-1)
s.t. Ax￡ b
x3 0
這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)稱(chēng)為線性規(guī)劃，與其相應(yīng)的有完整的理論與算法。
【例1.2.2】 人口的預(yù)測(cè)
人口問(wèn)題困擾著許多發(fā)展中國(guó)家，經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)人口預(yù)測(cè)作過(guò)許多嘗試。我們考慮一種最簡(jiǎn)單的情況。假設(shè)某個(gè)國(guó)家在時(shí)刻t=t0年的人口數(shù)目x(t0)=x0，由歷年統(tǒng)計(jì)加權(quán)得到平均出生率h，平均死亡率d，于是對(duì)t 3 t0可以得到一個(gè)粗糙的模型
或
其中，r = h－d是凈生殖率，由初始條件解出
利用這個(gè)模型我們可以預(yù)測(cè)這個(gè)國(guó)家未來(lái)的人口。這個(gè)簡(jiǎn)單模型說(shuō)明在外界條件不變的情況下，人中將呈指數(shù)增長(zhǎng)。
【例1.2.3】 馬克思的生產(chǎn)模型
馬克思認(rèn)為，在一定時(shí)期內(nèi)社會(huì)總產(chǎn)品的價(jià)值是由三部分構(gòu)成的：1）在此期間消耗的生產(chǎn)資料價(jià)值，即不變資本c；2）在此期間內(nèi)用于生產(chǎn)過(guò)程的勞動(dòng)力價(jià)值，即可變資本v；3）被資本家剝削的剩余價(jià)值m。依據(jù)生產(chǎn)資料的性質(zhì)，馬克思把國(guó)民經(jīng)濟(jì)分為兩大部類(lèi)，即生產(chǎn)生產(chǎn)資料的第一部類(lèi)和生產(chǎn)消費(fèi)資料的第二部類(lèi)。由定義，兩部類(lèi)的總價(jià)值分別為
I=c1＋v1＋m1
II=c2＋v2＋m2
總價(jià)值
TV=I＋I(xiàn)I
馬克思指出：如果要維持簡(jiǎn)單再生產(chǎn)，則國(guó)民經(jīng)濟(jì)總處于同一水平。這時(shí)，生產(chǎn)資料的總需要應(yīng)和第一部類(lèi)的總價(jià)值相等；消費(fèi)資料的需要應(yīng)和第二部類(lèi)的總價(jià)值相等。于是，我們得到
c1＋c2 =I
v1＋m1＋v2＋m2 =II
我們注意到從前式可以推出后式，反之亦然。而且，都與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)
v1＋m1 =c2
等價(jià)。即第一部類(lèi)的可變資本和剩余價(jià)值等于第二部類(lèi)的不變資本。值得指出的是：雖然兩個(gè)數(shù)學(xué)模型不同，但可能在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上"等價(jià)"。
【例1.2.4】常勝的賭徒
賭場(chǎng)如戰(zhàn)場(chǎng)，有勝亦有敗。但如果在自由下注的賭場(chǎng)，則有常勝的可能性。假如某位不貪心的賭者依據(jù)下列決策賭搏：
1.每次上賭場(chǎng)的目標(biāo)是贏一元錢(qián)
2.一旦贏錢(qián)立刻停賭
那么他第k次的賭注為2k-1
,總賭注: Bk = 1＋2＋22＋…＋2k-1
=2k－1
假如每次贏的概率為p，則輸?shù)母怕蕿閝=1-p。顯然，連輸k次的概率是qk。因此k次賭搏之中至少有一次贏的概率為1－qk，不論"常勝"意味勝的概率P0有多大，只要p0且P0
換言之，如果賭徒籌措到足夠多的本錢(qián)n，則可望百戰(zhàn)百勝。模型為
n (1-2-2)
s.t. 1－qk > P0，
2k－1 ￡ n，k為正整數(shù)
不難解出
當(dāng)然，這是個(gè)數(shù)學(xué)游戲，因?yàn)檩敼忸^的概率畢竟存在！
現(xiàn)在我們考慮數(shù)學(xué)模型的基本概念與性質(zhì)。首先給出如下定義：如果相應(yīng)于某種體系的相依關(guān)系或邏輯關(guān)系，用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地表述成為一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)為該體系的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，記作M，稱(chēng)該體系為M的原型，記作P。
由定義不難得出，以下結(jié)論：一個(gè)原型可以有不同的數(shù)學(xué)模型，模型不唯一；而一個(gè)模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)則有可能是不同原型的模型，即有多個(gè)原型相對(duì)應(yīng)，因此反之是有條件的。一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)自身必須在數(shù)學(xué)意義下協(xié)調(diào)，不能相悖，但是對(duì)刻劃同一體系的模型而言，由于假說(shuō)與解釋的方式不同，我們將允許相悖。正如物理學(xué)中描述物體運(yùn)動(dòng)的牛頓模型
和愛(ài)因斯坦模型
在數(shù)學(xué)意義下相悖。但都成功地刻劃了物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。
我們把欲模型化的現(xiàn)象、問(wèn)題、過(guò)程、體系，乃至用某種語(yǔ)言表示的系統(tǒng)，統(tǒng)稱(chēng)為原型，并記之為P。雖然原型應(yīng)相對(duì)于模型而存在，我們隱含假設(shè)任何事物都存在著數(shù)學(xué)模型，只是不一定令人滿意罷了。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一個(gè)有機(jī)的整體，可分性概念是有益的。如果數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)MS可以分解為若干子結(jié)構(gòu)MSa，a?L，其中L是非單點(diǎn)指標(biāo)集，則稱(chēng)該數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是可分的。并記 。
下面我們舉例說(shuō)明可分性。
【例1.2.5】依據(jù)凱恩斯的經(jīng)濟(jì)理論，針對(duì)封閉的宏觀經(jīng)濟(jì)體系，可建立如下模型，
M：
其中主要變量有內(nèi)生變量：Y（國(guó)民收入），C（消費(fèi)），I（投資）和R（利率）；外生變量：G（政府開(kāi)支）和M（貨幣供給）以及前定變量：P（價(jià)格水平）。四個(gè)方程式分別是國(guó)民收入定義式、消費(fèi)需求方程式、投資需求方程式和貨幣需求方程式。其中a，b，t，e，d，k，h則為參數(shù)。不考慮派生結(jié)構(gòu)。
模型M可以分解成若干種互不相同的分結(jié)構(gòu)。例如可分成
M1：
M2：
連同假設(shè)一起考慮，M1中有4個(gè)內(nèi)生變量和一個(gè)外生變量，故知其不唯一地確定變量的值。同理M2亦然。這些分結(jié)構(gòu)可能沒(méi)有合適的經(jīng)濟(jì)背景，所以稱(chēng)不上模型。對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分解時(shí)，必須考慮假設(shè)的相應(yīng)變化及經(jīng)濟(jì)解釋。經(jīng)濟(jì)學(xué)家常把模型M置放在（Y，R）空間，從而得到十分重要的IS曲線和LM曲線，并成功地利用它們說(shuō)明了許多經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。其分解如下：
IS：
LM：M=(kY－h(huán)R)P
IS曲線表示出滿足國(guó)民收入定義式，消費(fèi)需求和投資需求的利率R與國(guó)民收入Y的組合形式；LM曲線表示貨幣供給等于貨幣需求時(shí)國(guó)民收入Y和利率R的變動(dòng)軌跡。IS曲線和LM曲線的交點(diǎn)恰為數(shù)學(xué)模型M的唯一解。利用恰當(dāng)?shù)姆纸猓軌虻玫皆S多意想不到的信息。如本例中，分解M=M1∩M2似乎難有合理的經(jīng)濟(jì)解釋?zhuān)纸釳=IS∩LM則是最出色的分解。然而若不分解M，則只能得到唯一的解(Y*，C*，R*)T，失去了研究各種經(jīng)濟(jì)力量如何影響均衡的機(jī)會(huì)。綜上所述，我們看到分解就是將數(shù)學(xué)模型的若干部分孤立起來(lái)，撇開(kāi)廣泛的、總的聯(lián)系。同時(shí)，想到原結(jié)構(gòu)是一個(gè)整體結(jié)構(gòu)，要考察子結(jié)構(gòu)之間是如何發(fā)生聯(lián)系的。
為了便于討論，我們引入模型元的概念，如果數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)MSa是MS的一個(gè)結(jié)構(gòu)元或模型元，細(xì)心的讀者可能注意到我們有時(shí)并沒(méi)有嚴(yán)格地區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。我們約定今后將在承認(rèn)差異下一視同仁。
模型元并不一定是最基本的構(gòu)模元素，只是具有相對(duì)獨(dú)立性的"小"模型罷了?；镜臉?gòu)模元素有以下五種：
1. 數(shù)據(jù)：與原型有關(guān)的數(shù)字、圖形、以及可定量化的其他信息。
2. 變量：假定屬于已知值域的任何值。變量有獨(dú)立與相關(guān)、內(nèi)生與外生、先決與滯后等區(qū)別。
3. 參數(shù)：在特定的模型中只能假定取一固定數(shù)值的量。有固定與可變、可調(diào)與不可調(diào)之分。
4. 數(shù)學(xué)式：用以聯(lián)系變量、參量的相依序關(guān)系的符號(hào)，如"="、"
5. 邏輯表述：關(guān)于模型結(jié)構(gòu)，因果關(guān)系的表述，如"?"、"ì"、"T"，等等。
依照上述分析方式，可以定義原型的可分性，從而引出子原型，原型元等概念。勿需諱言，可分與否是相對(duì)的，有主觀性。一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)原型或子原型的內(nèi)涵與外延已十分清楚時(shí)，可以認(rèn)為其已不可分了。
利用一個(gè)基本的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，通過(guò)改變假設(shè)條件或數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得出新的數(shù)學(xué)模型。有時(shí)新結(jié)構(gòu)之間并不矛盾，有時(shí)卻相悖。我們?cè)嚳匆焕?br> 【例1.2.6】套匯均衡
眾所周知，在國(guó)際金融市場(chǎng)上匯率是瞬息萬(wàn)變的。如果以有n國(guó)貨幣的金融市場(chǎng)為原型，則匯率有 種。然而若將貨幣間的相互影響和單向匯率考慮在內(nèi)，則問(wèn)題將變得十分復(fù)雜。我們把多國(guó)間的問(wèn)題分解成兩國(guó)間的問(wèn)題，則大大地簡(jiǎn)化了問(wèn)題。關(guān)于匯率變化的機(jī)理，經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為套匯者的推波助瀾是關(guān)鍵的。我們假設(shè)：A國(guó)和B國(guó)的利率分別為rA和rB，現(xiàn)期匯率為St（A幣/B幣），期貨匯率為FT，（Tt）。套匯者對(duì)其行為有一定的估價(jià)，先從A國(guó)貸款a（單位A幣），并按St換成B國(guó)貨幣存入B國(guó)銀行。到T時(shí)刻連本帶利一起取出，按約定的匯率FT兌成A國(guó)貨幣，那么以A幣為標(biāo)準(zhǔn)單位的凈收益
M1：
如果p
M2：
其中b是向B國(guó)銀行所貸的款額，這時(shí)必有p0。假設(shè)M1所給的凈收益是正的，則有一等價(jià)模型
M3：
在此模型成立的情況下，套匯者一定有利可圖。當(dāng)眾多的套匯者都這樣干時(shí)，會(huì)引起rA上升和rB以及FT的下降，綜合結(jié)果是使p趨于零。于是，我們得到均衡模型
M4：
M4說(shuō)明了匯率變化的中心趨勢(shì)，F(xiàn)T實(shí)際上是ST的預(yù)測(cè)值。值得注意的是M3是由M1引出的，M4亦然，但M3和M4不能同時(shí)成立，它們不相容的原因是加了不同的假設(shè)條件。
我們定義兩個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是不相容的，如果在數(shù)學(xué)意義下兩個(gè)結(jié)構(gòu)不能同時(shí)成立。例如由于不存在這樣的ST，F(xiàn)T，rA和rB使M3和M4同時(shí)成立，故稱(chēng)M3和M4不相容。我們記之為M3∩M4=?。
由于模型間有一定的邏輯關(guān)系，我們引進(jìn)序的概念：如果由一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)MS￠可以得出另一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)MS＂，則稱(chēng)M＇和M＂之間存在著序，記作MS＇f MS＂（讀作MS＇導(dǎo)MS＂）。所謂序"得出"包括適當(dāng)?shù)卦黾蛹僭O(shè)條件和純形式的推導(dǎo)。如果依據(jù)純粹的數(shù)學(xué)理論及方法，從MS＇推導(dǎo)MS＂，則稱(chēng)MS＇和MS＂之間存在真序，記作MS＇ffMS＂（讀作MS＇真導(dǎo)MS＂）。根據(jù)模型化的觀點(diǎn)，不是同一原型的模型之間無(wú)所謂序關(guān)系。今后談到模型間的序關(guān)系時(shí)，均指同原模型。由定義我們不難證明兩個(gè)命題：
命題①若M＇f M＂，則必有M＇∩M＂≠?
命題②若M＇ff M＂，則必有M＇∩M＂≠?
這些證明留給讀者。
既然有序的概念，很自然地引出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的等價(jià)關(guān)系。如果兩個(gè)數(shù)學(xué)模型M＇和M＂滿足序關(guān)系，且M＇f M＂，M＂fM＇則稱(chēng)M＇和M＂是等類(lèi)的，記作M＇∽M＂。如果M＇ff M＂且M＂ff M＇，則稱(chēng)M＇和M＂等價(jià)。記作Ｍ＇∽ Ｍ＂。顯然，等價(jià)必等類(lèi)，反之不然。關(guān)于導(dǎo)序的性質(zhì)，不難由定義推出。
1. 對(duì)稱(chēng)性：若M＇f M＂，則M＂p M＇；
2. 傳遞性：若M＇f M＂，M＂fM＂＇，則必有M＇fM＂＇；
3. 反身性：若M＇f M＂，M＂p M＇，則必有M＇∽ M＂。
一般來(lái)說(shuō)，導(dǎo)序具有的性質(zhì)，真導(dǎo)序也具有，反之則不一定。前面提到通過(guò)增減條件或推導(dǎo)可以得到不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，但并不一定稱(chēng)得上新的數(shù)學(xué)模型。抽象地看，從舊的數(shù)學(xué)模型到新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一過(guò)程，經(jīng)過(guò)了一個(gè)映射。正如我們可以把從原型r到模型M的過(guò)程看成一種映射一樣。對(duì)于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)而言，封閉是一個(gè)嚴(yán)格的概念；但對(duì)數(shù)學(xué)模型而言并不十分嚴(yán)謹(jǐn)。我們姑且這樣定義：如果模型M在一映射Γ下所得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)仍是一個(gè)同原模型，則稱(chēng)該模型對(duì)映射P是封閉的?！纠?.2.7】可以部分地說(shuō)明封閉這個(gè)概念。
【例1.2.7】財(cái)務(wù)分析
假設(shè)某公司經(jīng)銷(xiāo)一種商品的數(shù)量為x，單位售價(jià)p元，經(jīng)估算固定成本為FC元，單位可變動(dòng)成本為UVC。于是，由定義有
M1： SR=px
M2： C=FC＋UVC·x
M1表示銷(xiāo)售收入，M2表示總成本。對(duì)C微分得到邊際成本模型，
M3： MC=UVC
將M1和M2視為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，則利潤(rùn)I的模型為
M4： I=（P－UVC）·x－FC
可以看成M1和M2經(jīng)過(guò)減運(yùn)算得到的。利潤(rùn)率IR則是由M4和M2的商運(yùn)算得到的，
M5：
根據(jù)模型化原理，我們可以這樣認(rèn)為：M2對(duì)一階微分是封閉的，但對(duì)二階微分不封閉；數(shù)學(xué)模型M1∩M2對(duì)特定的商運(yùn)算也是封閉的。
迄今為止，我們只是討論了模型的一些基本概念和性質(zhì)，對(duì)于這些概念的系統(tǒng)討論和研究將在第二章中進(jìn)
第二章 數(shù)學(xué)模型化
從第一章的討論我們知道，數(shù)學(xué)模型是反映原型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而本章討論的數(shù)學(xué)模型化則指提出、設(shè)計(jì)、建立、求解、論證及使用數(shù)學(xué)模型的整個(gè)過(guò)程。本章主要論述與模型化有關(guān)的數(shù)量化度量、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)、模型和模型化應(yīng)用的條件和范圍、模型和模型化選擇的標(biāo)準(zhǔn)等問(wèn)題，最后對(duì)模型化過(guò)程進(jìn)行設(shè)計(jì)與討論。
§2.1 數(shù)量化和量綱分析
§2.1.1 數(shù)量化的度量問(wèn)題
經(jīng)濟(jì)信息數(shù)量化是構(gòu)造模型的前提，經(jīng)濟(jì)原型總是具有質(zhì)與量?jī)煞矫娴男畔?，模型所需的信息是二者的結(jié)合，即信息不僅包含經(jīng)濟(jì)概念而且有一種數(shù)量的度量。度量是定性與定量結(jié)合的過(guò)程。量綱是帶有質(zhì)的規(guī)定性的數(shù)量度量，因此，在模型化過(guò)程中是值得重視的。從理論上看，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的各種量是沒(méi)有量綱的，但作為一個(gè)經(jīng)濟(jì)模型，模型的輸入和輸出的信息有量綱的問(wèn)題，這是客觀存在。事實(shí)上，沒(méi)有量綱這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，則使各經(jīng)濟(jì)變量之間失去可比性。在商品經(jīng)濟(jì)存在的條件下，各種實(shí)物往往需要用貨幣量綱來(lái)反映價(jià)值，生產(chǎn)、流通、消費(fèi)和分配等因素的聯(lián)系需用貨幣量綱來(lái)體現(xiàn)，因此，在討論問(wèn)題時(shí)，往往把量綱統(tǒng)一于某種貨幣單位，從而，使不同質(zhì)的量得到統(tǒng)一的度量。但實(shí)際中遇到的原型不盡相同，而且并不是什么都可以用貨幣度量的。因此，在數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造和推導(dǎo)過(guò)程中要注意量綱是否合理，否則可能失去原型背景，即不再是同原模型。
不論是構(gòu)造什么樣的模型，總是要選擇一些基本量綱或原始量綱，經(jīng)過(guò)模型構(gòu)造和求解后，往往生出一些新的量綱，我們稱(chēng)之為導(dǎo)出量綱。例如，在描述一段時(shí)期內(nèi)的平均收入時(shí)，我們把單位時(shí)間和單位貨幣稱(chēng)為基本量綱，而把（單位貨幣/單位時(shí)間）稱(chēng)為導(dǎo)出量綱。我們定義一個(gè)量綱是獨(dú)立量綱，如果它不能由其它量所導(dǎo)出，如經(jīng)濟(jì)上常用的貨幣單位、實(shí)物單位、和計(jì)量單位等等。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，以什么作為量綱并不重要，關(guān)鍵是在構(gòu)造過(guò)程中量綱必須始終是諧調(diào)的、規(guī)范的。只有這樣才能保證所得的模型與結(jié)果不僅有數(shù)學(xué)意義，而且有經(jīng)濟(jì)解釋?！?br> 無(wú)量綱的經(jīng)濟(jì)量（指標(biāo)）在經(jīng)濟(jì)是經(jīng)常遇到。諸如比例數(shù)、比率和指數(shù)等相對(duì)量，就可能是無(wú)量綱的。另一種較特殊的量是只起記錄功能或排序功能的"數(shù)量"，例如，把盈利記為1，虧本記為-1，盈虧平衡記為0。這種量與有量綱的經(jīng)濟(jì)量有質(zhì)的區(qū)別，應(yīng)注意其數(shù)學(xué)處理的條件和應(yīng)用范圍。
模型化過(guò)程中常需直接利用已有的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，這時(shí)更需注意量綱問(wèn)題。按我國(guó)的慣例統(tǒng)計(jì)指標(biāo)分為數(shù)量指標(biāo)和質(zhì)量指標(biāo)。數(shù)量指標(biāo)反映企業(yè)、部門(mén)或整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)工作的直接結(jié)果，它是刻劃經(jīng)濟(jì)規(guī)模的計(jì)劃指標(biāo)。質(zhì)量指標(biāo)反映生產(chǎn)資源和生產(chǎn)因素的利用效果，它是描述經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的統(tǒng)計(jì)性指標(biāo)。質(zhì)量指標(biāo)分技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)和經(jīng)濟(jì)質(zhì)量指標(biāo)，前者表示固定資產(chǎn)和流動(dòng)資產(chǎn)的利用效果，產(chǎn)品質(zhì)量及各產(chǎn)品生產(chǎn)間的比例關(guān)系，它是編制計(jì)劃的依據(jù)，后者反映經(jīng)濟(jì)工作的質(zhì)量與管理水平。與指標(biāo)密切相關(guān)的因素是統(tǒng)計(jì)方式，這些都是收集信息時(shí)應(yīng)當(dāng)注意的。鑒于我國(guó)的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)體系與西方不盡一致，在考慮借鑒西方模型時(shí)尤應(yīng)慎重?！?br> §2.1.2 量綱分析
前一節(jié)中已經(jīng)提到過(guò)量綱等概念，我們將進(jìn)一步深化它們。模型化常會(huì)涉及到可度量的信息，如經(jīng)濟(jì)中的國(guó)民收入、產(chǎn)出、消費(fèi)額等，既是經(jīng)濟(jì)概念，又是可度量的。度量單位是帶有質(zhì)的規(guī)定性的標(biāo)準(zhǔn)。在這種標(biāo)準(zhǔn)下，信息傳遞被簡(jiǎn)化了。例如兩個(gè)量不經(jīng)實(shí)際比較，就知道孰多孰寡。物理學(xué)之所以成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，得益于數(shù)學(xué)模型的利用。物理學(xué)的典型方法是把物理原型用數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)對(duì)輸入和輸出的量的量綱比較，說(shuō)明了物理學(xué)規(guī)律。量綱分析（Dimensional Analysis）就是物理學(xué)中一項(xiàng)模型化技術(shù)。（我們將沿用物理學(xué)中的名稱(chēng)予以介紹）
眾所周知，一切物理量可以由若干基本單位推導(dǎo)出來(lái)。基本單位的體系在物理上稱(chēng)為單位制。例如力學(xué)單位制可由長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間為基本單位的絕對(duì)單位制(System of Absolute Units）推導(dǎo)出來(lái)。除基本單位之外，任何其他物理單位均稱(chēng)導(dǎo)出單位（Derived Unit）。如果q，j，y，…為基本單位，a為導(dǎo)出單位，根據(jù)定義或定律導(dǎo)出單位a可以表示成
a = c q jm yn…
的形式，其中c， ，m，n，…是常數(shù)。則稱(chēng)指數(shù) ，m，n，…為a的量綱，量綱公式記作
[a ]=[q jm yn …]
其中"[ ]"讀作"…的量綱"。對(duì)于一般的模型化問(wèn)題，無(wú)法建立適用于一切原型的單位制，但是對(duì)具體的模型化問(wèn)題，的確可以提供一個(gè)"單位制"。我們?nèi)苑Q(chēng)被推導(dǎo)出的單位為導(dǎo)出單位，沿用一切物理學(xué)的名稱(chēng)。
量綱分析方法可以從單一的前提條件，對(duì)某一現(xiàn)象推斷得出有價(jià)值的信息，而該現(xiàn)象可以由某些變量中的一個(gè)有量綱的、恰當(dāng)?shù)姆匠虂?lái)描述。量綱分析可用于設(shè)計(jì)比例模型，處理如何按比例調(diào)節(jié)系統(tǒng)的參數(shù)，使之能根據(jù)模型預(yù)測(cè)未來(lái)。量綱分析還可以使變量按有意義的方式進(jìn)行組合，從而減少變量的數(shù)目對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)的需求。量綱分析的主要依據(jù)是白金漢(Buckingham)的P定理以及相似定律（Law of Similitude）。我們首先介紹P定理。
P定理：假設(shè)有n個(gè)物理量a1，a2，…，an和m個(gè)基本量的量綱單位b1，b2，…，bm，如果關(guān)系式
f(a1，…，an) = 0
的成立與基本量的單位無(wú)關(guān)，則總可以轉(zhuǎn)化成為
F(P1，…，Pn－m) = 0
其中P1，…，Pn－m是無(wú)量綱量群，形式為
這里F為某一函數(shù)。
我們回想一下代數(shù)學(xué)中的結(jié)論：線性空間中的一組基可以將任一向量線性表出；任一組向量亦可選出基向量。P定理的使用方法與基的擴(kuò)充方法相似，首先從導(dǎo)出量a1，…，an中選擇能包含全部基本量綱的m個(gè)導(dǎo)出量。不妨設(shè)a1，…，am的量綱中含有b1，…，bm，則可用剩下的n－m個(gè)導(dǎo)出量構(gòu)造無(wú)量綱量群。我們?cè)O(shè)
，i=1,…n-m
其中hij是待定參數(shù)i=1,…n-m，j=1,…,m。由于a1，…，an的量綱單位是從b1，…，bm導(dǎo)出，故有
，j=1,…,n
其ajk是aj的量綱，k=1,…,m。利用前式可得
因Pi是無(wú)量綱的，故令
，k=1,…,m
如此得到的m(n-m)個(gè)方程恰好確定所有的待定系數(shù)hij，i=1,…n-m，j=1,…,m。這個(gè)方法不僅給出了擴(kuò)充的步驟，而且給出了一個(gè)構(gòu)造性證明。
【例2.2.1】萬(wàn)有引力模型
牛頓的萬(wàn)有引力定律告訴我們：兩個(gè)物體之間的引力與它們的質(zhì)量成正比，與它們之間的距離成反比。模型為
式中F是萬(wàn)有引力，G是萬(wàn)有引力常數(shù)，m1和m2分別是兩物體的質(zhì)量，r是兩物體間的距離。假設(shè)基本的物理量是質(zhì)量M，長(zhǎng)度L和時(shí)間T，我們來(lái)分析一下萬(wàn)有引力模型的量綱。顯然，
[F]=MLT-2
[m1]=[m2]=M
[r]=L
[G]=M-1 L3 T-2
設(shè)a1 =F，a2 =m1，a3 =m2，a4 =r，a5 =G則系數(shù)矩陣為
選擇a1，a2，a4為基，則
于是我們得到
h11＋h12＋1=0
h11 ＋h13 =0
－2 h11 =0
和
h21＋h22－1=0
h21＋h23＋3=0
?。? h21－2=0
從中解出
無(wú)量綱量群
由P定理可知，必可轉(zhuǎn)化為
F(P1，P2)=0
事實(shí)上，稍加觀察就有
P1 P2 －1=0
這是萬(wàn)有引力模型。請(qǐng)注意，如果我們考慮的體系中有這五個(gè)物理量，則可以純形式地導(dǎo)出萬(wàn)有引力模型。當(dāng)然，難點(diǎn)在于把G考慮在內(nèi)的物理直覺(jué)。
【例2.2.2】流體實(shí)驗(yàn)
我們這次從經(jīng)典的實(shí)例出發(fā)，討論量綱分析的應(yīng)用。原型問(wèn)題是幾何形狀相似的物體在不可壓縮粘性流體中的阻力問(wèn)題。這種阻力是由于流體沿物體表面流動(dòng)而產(chǎn)生的。我們記f為阻力，物體相對(duì)流體的速度為V，流體的密度為r，特征長(zhǎng)度為ｌ，粘滯系數(shù)為m（注：m是粘滯摩擦阻力和該物體的速度梯度之比例系數(shù)）。仍以絕對(duì)單位制為基本單位制，則五個(gè)物理量，量綱單位分別是MLT-2，LT-1，ML-3，L和ML-1T-1。與例2.2.1相仿，可以得到
考察其物理意義可知：P1表示粘滯力與慣性力之比；P2表示阻力對(duì)流體在該物體正面投影面積上的作用力之比。 稱(chēng)為雷諾數(shù)（Reynolds Number），層流時(shí)其值較小，湍流時(shí)其值較大。如果我們的原型是湍流中的阻力，則應(yīng)對(duì)R足夠大的情況設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)和分析。這樣一來(lái)試驗(yàn)變得更為合理和有效了。
【例2.2.2】中 就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型！我們希望了解阻力如何因速度變化而變化時(shí)，注意到另外三個(gè)物理量如何變化，則需要相應(yīng)地做許多次實(shí)驗(yàn)。量綱分析法使我們科學(xué)地減少了實(shí)驗(yàn)次數(shù)和測(cè)量數(shù)。但是，量綱分析并不是一種機(jī)械的方法，變量的選擇依賴(lài)于洞察力和判斷力，因?yàn)橐坏┌瑹o(wú)關(guān)的量或多刪了必需的量就會(huì)導(dǎo)致謬誤。
綜上所述，與其說(shuō)量綱分析是一種工具，不如說(shuō)是一個(gè)過(guò)程。首先要對(duì)原型中有關(guān)變量和常數(shù)進(jìn)行識(shí)別，選擇系統(tǒng)的主要候選變量及其量綱；其次是運(yùn)用某些方法，如擴(kuò)充法、P定理等解出無(wú)量綱量群；再次是對(duì)無(wú)量綱量群及其乘積和比率進(jìn)行原型背景的識(shí)別與推斷；最后建立成數(shù)學(xué)模型以擬合原型，達(dá)到對(duì)原型體系的認(rèn)識(shí)，簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，數(shù)據(jù)收集和數(shù)值計(jì)算的目的。
相似定律是許多物理實(shí)驗(yàn)的依據(jù)。該定律認(rèn)為：兩個(gè)同類(lèi)的物理系統(tǒng)的Pi值如果相同，則它們的物理狀態(tài)亦相似。因此Pi值相同的模型實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可以用來(lái)推測(cè)原型。由于物理量成立的關(guān)系式是對(duì)基本（運(yùn)動(dòng)）方程進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算得到的，所以關(guān)系式中出現(xiàn)的數(shù)值系數(shù)的數(shù)量級(jí)多為1。因此，相反地，在幾個(gè)量間進(jìn)行量綱分析時(shí)，如果根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果所決定的系數(shù)值不是過(guò)大或過(guò)小，則可斷定在這幾個(gè)量之間可能存在相關(guān)性。
最后強(qiáng)調(diào)幾點(diǎn)：
1. 量綱分析的基本方法沒(méi)有固定的形式與結(jié)構(gòu)；
2. 變量和常數(shù)的正確選擇常常依賴(lài)于建模者良好的直覺(jué)；
3. 假說(shuō)是十分必要的，不可太機(jī)械地利用量綱分析法；
4. P定理有雙重含義：其一是存在一組無(wú)量綱量群，其二是如果主要變量或量綱數(shù)為m，導(dǎo)出變量數(shù)為n，則其必要的獨(dú)立無(wú)量綱量群的數(shù)目為n-m；
5. 量綱和單位之間有差別，我們要保持單位的相容性和量綱的一致性；
6. 無(wú)量綱量群是組建模型的磚石。
§2.2 數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)應(yīng)用條件及評(píng)價(jià)準(zhǔn)則
數(shù)學(xué)模型是抽象模型中應(yīng)用最為廣泛的一類(lèi)，它除具有一般模型的性能外，還有其獨(dú)特的性質(zhì)與功能，這就是數(shù)學(xué)模型日益滲透各個(gè)領(lǐng)域的原因。數(shù)學(xué)模型是借助抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述、分析和研究原型的數(shù)量的關(guān)系及量變規(guī)律的。由于數(shù)學(xué)本身的高度抽象性使數(shù)學(xué)模型不可避免地具有一定的抽象性，數(shù)學(xué)模型可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的問(wèn)題，提取關(guān)鍵的性質(zhì)，使人們看到原型的本質(zhì)，另一方面，數(shù)學(xué)模型有其具體的、確定的客觀原型，它是原型的反映，故數(shù)學(xué)模型又有一定的現(xiàn)實(shí)性，這兩重性使數(shù)學(xué)模型得以廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)。眾所周知，數(shù)學(xué)是一個(gè)自封閉的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬒到y(tǒng)，因此受制約的數(shù)學(xué)模型必然具有嚴(yán)格的邏輯關(guān)系。如果數(shù)學(xué)模型是正確的，那么，由其推導(dǎo)出的結(jié)果也必然是正確的，這是其它模型所不能比擬的。
數(shù)學(xué)模型與其它模型的不同之處還在于它有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)和有效的實(shí)現(xiàn)手段，理論基礎(chǔ)是指數(shù)學(xué)理論的支持，從最基本的概念、定義或公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推理建立起來(lái)的數(shù)學(xué)公理化理論系統(tǒng)，有許多可利用的定理、方法和結(jié)論。實(shí)現(xiàn)手段是指計(jì)算機(jī)的普及為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用奠定的物質(zhì)基礎(chǔ)。如果說(shuō)，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型是一種科學(xué)成功的標(biāo)志，那么，這種科學(xué)的完善的方式就是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型?！?br> 由于現(xiàn)實(shí)世界的任何事物都具有一定的數(shù)量關(guān)系和空間形式，因此，原則上說(shuō)，數(shù)學(xué)模型可以研究任何原型。當(dāng)然，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，也受一定條件的制約，有其應(yīng)用的范圍。Rosenblueth和Wiene (1945)曾對(duì)物理模型的實(shí)用性給出充分必要條件：
1. 在不熟悉或不太熟悉的領(lǐng)域（原型"空間"）里的一個(gè)現(xiàn)象必須被（更）熟悉的領(lǐng)域（模型"空間"）里的一個(gè)現(xiàn)象所代替。
2. 模型化實(shí)驗(yàn)必須在比原型實(shí)驗(yàn)更有利的條件（包括費(fèi)用、時(shí)間等）下進(jìn)行。
這兩個(gè)條件對(duì)于數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用也是有啟發(fā)的。
數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用是很廣的，從應(yīng)用的目的歸納大致包括四個(gè)方面：
1. 觀察和預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)事物的機(jī)理變化和發(fā)展趨勢(shì)；
2. 規(guī)劃和設(shè)計(jì)經(jīng)濟(jì)的現(xiàn)實(shí)與未來(lái)；
3. 分析和控制經(jīng)濟(jì)的運(yùn)動(dòng)與規(guī)模；
4. 研究和解釋經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象及規(guī)律。
具體地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型是為了增加經(jīng)濟(jì)效益，降低經(jīng)濟(jì)消耗，合理地利用現(xiàn)有的資源等等。經(jīng)濟(jì)上需用模型的原因還在于人們往往不能或無(wú)法直接駕馭經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)，所以借助數(shù)學(xué)模型是必然的。
數(shù)學(xué)模型可以用于研究許多經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，但這并不意味數(shù)學(xué)模型可無(wú)條件地應(yīng)用，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的必要條件是：
?。?）經(jīng)濟(jì)原形(EP)可以映射到數(shù)學(xué)"空間"
此條件包括：EP的有關(guān)概念定義明確；EP的經(jīng)濟(jì)假說(shuō)具有一定的科學(xué)性；在數(shù)學(xué)"空間"里存在著與假說(shuō)的數(shù)量關(guān)系、邏輯關(guān)系或混合關(guān)系"同構(gòu)"的數(shù)學(xué)關(guān)系式；可以通過(guò)必要的推導(dǎo)或證明得出有意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；所需要的EP信息必須能夠收悉，并可處理和轉(zhuǎn)化成為模型的參數(shù)。
?。?）數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)"空間"中可以研究
此條件包括：研究數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)理論與方法是完備的；數(shù)學(xué)模型必須滿足一定的數(shù)學(xué)性質(zhì)（如可解性、穩(wěn)定性、可計(jì)算性等等）；結(jié)果必須能從數(shù)學(xué)上驗(yàn)證其正確與否。必要時(shí)，可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。
?。?）數(shù)學(xué)模型及其結(jié)果可以映射回經(jīng)濟(jì)"空間"
此條件包括：數(shù)學(xué)模型及其結(jié)果有一定的經(jīng)濟(jì)解釋?zhuān)梢则?yàn)證經(jīng)濟(jì)假說(shuō)或可以用經(jīng)濟(jì)實(shí)踐檢驗(yàn)。即數(shù)學(xué)模型及其結(jié)果可以用于指導(dǎo)經(jīng)濟(jì)工作。
如果上述三個(gè)條件不能滿足時(shí)，不宜使用數(shù)學(xué)模型。
對(duì)經(jīng)濟(jì)原型的多種的希望使評(píng)價(jià)模型的準(zhǔn)則也是多種多樣的，人們總是希望在眾多的"可行的"模型之中尋找一個(gè)最佳的模型，一般說(shuō)來(lái)，合格的數(shù)學(xué)模型應(yīng)當(dāng)具有下列性質(zhì)：
?。?）真實(shí)性或現(xiàn)實(shí)性：如果一個(gè)模型客觀地反映了原型或子原型的量與量的關(guān)系，則稱(chēng)此模型具有真實(shí)性或現(xiàn)實(shí)性。
?。?）一般性或普遍性：如果模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)能夠用于許多其它原型，則稱(chēng)此模型為異原模型，具有一般性或普遍性。
?。?）簡(jiǎn)潔性：如果模型能突出原型的主要矛盾和特征，而且忽略、舍棄次要的矛盾和特征，則稱(chēng)模型具有簡(jiǎn)潔性。
?。?）精確性：如果模型能夠在一定程度上，比較準(zhǔn)確地刻劃原型數(shù)量方面的特征，則稱(chēng)模型具有精確性。
?。?）有效性：如果模型可以多方面地從不同的角度刻劃經(jīng)濟(jì)原型或可以派生出較多的信息，而且具有多種功能，則稱(chēng)模型具有有效性。
這些準(zhǔn)則并非一定之規(guī)，使用時(shí)可以權(quán)衡利弊，有所取舍。
模型化與模型是密切聯(lián)系的，除模型化所得到的模型有上述性質(zhì)外，模型化本身應(yīng)滿足以下的要求：
1. 可行性：可行性包括：信息可采集、可轉(zhuǎn)化、模型可構(gòu)造、算法可實(shí)現(xiàn)、假說(shuō)可驗(yàn)證、結(jié)果可解釋等等。
2. 經(jīng)濟(jì)性：模型化的過(guò)程中有一定的消耗，其中包括調(diào)查情況、收集資料、處理信息、構(gòu)造模型、計(jì)算、分析、驗(yàn)證等等過(guò)程中的費(fèi)用。模型化的收益與費(fèi)用應(yīng)當(dāng)相稱(chēng)，經(jīng)濟(jì)性要求對(duì)模型化的規(guī)模和復(fù)雜程度加以控制。
3. 實(shí)用性：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型化貴在有實(shí)用價(jià)值，這里包括模型化過(guò)程所需的時(shí)間短、經(jīng)濟(jì)實(shí)踐中使用方便、可靠。
值得指出，模型化的要求對(duì)模型的選取也有一定的參考價(jià)值。
§2.3 數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)
下面討論一下數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)問(wèn)題，這對(duì)于正確地構(gòu)造模型和使用模型都是有益的。下面敘述幾種分類(lèi)方式。
?。ㄒ唬┌茨Ｐ偷臄?shù)學(xué)性質(zhì)分類(lèi)
按數(shù)學(xué)模型的性狀大致可分為三類(lèi)。其一為確定性模型，其原型具有相對(duì)地確定性或必然性，原型的各種關(guān)系相對(duì)穩(wěn)定明確，模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)多為各種方程式，點(diǎn)集映射關(guān)系式和圖式。其二為隨機(jī)性模型，其原型具有隨機(jī)性或偶然性，原型的某些關(guān)系是波動(dòng)的和不肯定的。模型的數(shù)學(xué)背景理論是概率論、隨機(jī)過(guò)程、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、多元分析、和鞅論等等。其三是模糊性模型，其原型及其關(guān)系具有模糊性或不分明，其處理方式是Fuzzy子集理論、信度理論、證據(jù)理論和Fuzzy邏輯等等。
按數(shù)學(xué)模型的各種變量、參量和函數(shù)結(jié)構(gòu)的變動(dòng)情況，可以把模型分為連續(xù)型模型，非連續(xù)性模型和離散性模型。連續(xù)性模型對(duì)于任何量或關(guān)系的微小攝動(dòng)是相對(duì)穩(wěn)定的；非連續(xù)性模型對(duì)某些量或關(guān)系的變化是間斷的，有跳躍的；離散性模型則多指其變量是可列點(diǎn)列構(gòu)成的。
根據(jù)模型的參量可以分為固定參數(shù)(fixed-parameter)模型和自適應(yīng)參數(shù)(adaptive-parameter)模型，前者在模型化過(guò)程中所涉及的參數(shù)只需給定一次，而后者則隨著原型的變化而進(jìn)行必要的調(diào)整，這時(shí)參數(shù)往往屬于一個(gè)參數(shù)集合或空間。
（二）按模型與時(shí)間的關(guān)系分類(lèi)：
亦可分為三類(lèi)。首先，若模型的行為隨時(shí)間而變化而且時(shí)間是獨(dú)立的變量，則稱(chēng)為動(dòng)態(tài)模型，其原型和時(shí)間關(guān)系密切（有時(shí)也稱(chēng)隨階段變化的模型為動(dòng)態(tài)模型）。其次，若模型的行為不隨時(shí)間而變化（時(shí)間可以是參量），則稱(chēng)之為穩(wěn)態(tài)模型。其原型對(duì)時(shí)間的變化相對(duì)穩(wěn)定。另外，若一非穩(wěn)態(tài)的原型用一系列靜態(tài)模型來(lái)表示，則稱(chēng)此系列模型為擬穩(wěn)態(tài)模型。其原型是動(dòng)態(tài)的，而這一系列模型中每一個(gè)模型是穩(wěn)態(tài)的。如果細(xì)分，動(dòng)態(tài)模型還可分瞬時(shí)模型(instantaneous)和記憶模型(memory)。前者在任意給定的瞬刻的行為只取決于此刻的環(huán)境或因素；而后者在任意給定的瞬刻的性態(tài)可能依賴(lài)此刻之前的一段時(shí)間的歷史環(huán)境或因素。記憶模型還可以分為兩種：其一，獨(dú)立于此刻自身的行為而此刻之前的一段固定的有限時(shí)間稱(chēng)為定時(shí)距(time invariant)模型，其二，在現(xiàn)在任一瞬間的記憶范圍，直到過(guò)去的一個(gè)固定的瞬間稱(chēng)為變時(shí)距模型，這引出所謂因果性分類(lèi)，即若模型在一瞬間的行為取決于過(guò)去和現(xiàn)在，則為因果模型，若其還取決于未來(lái)則為非因果模型。此外，動(dòng)態(tài)模型還可分為周期性模型和非周期性模型，隨時(shí)間總是作為節(jié)奏有規(guī)律的變化的模型稱(chēng)為周期性模型，否則稱(chēng)為非周期性模型。應(yīng)當(dāng)指出，按步驟、階段而變化（與時(shí)間長(zhǎng)度無(wú)關(guān)）的模型有時(shí)也稱(chēng)為動(dòng)態(tài)模型。在經(jīng)濟(jì)中動(dòng)態(tài)模型是一類(lèi)應(yīng)用廣泛的模型，尤其在宏觀方面。
?。ㄈ┌茨Ｐ偷慕?jīng)濟(jì)背景分類(lèi)
按原型背景分類(lèi)，可以分為宇觀經(jīng)濟(jì)模型、宏觀經(jīng)濟(jì)模型、中觀經(jīng)濟(jì)模型和微觀經(jīng)濟(jì)模型。它們的原型背景分別是世界、國(guó)家、地區(qū)和企業(yè)（這種分類(lèi)尚有異議）。
按學(xué)科分類(lèi)大致有運(yùn)籌學(xué)模型、經(jīng)濟(jì)控制論模型、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型和數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)模型。這模型都有其獨(dú)特的數(shù)學(xué)理論和方法，而且可以再細(xì)分。
按模型化問(wèn)題的類(lèi)型分類(lèi)，可以分為模擬模型、統(tǒng)計(jì)模型、優(yōu)化模型和結(jié)構(gòu)模型。模擬模型和統(tǒng)計(jì)模型重在科學(xué)地觀察、預(yù)測(cè)；優(yōu)化模型重在配置、統(tǒng)籌和最佳控制；結(jié)構(gòu)模型重在對(duì)原型的邏輯化、分析、推理和解釋假說(shuō)。
?。ㄋ模┌茨Ｐ偷臄?shù)學(xué)機(jī)理分類(lèi)
大致可分為：
?、贁?shù)學(xué)規(guī)劃類(lèi)模型：包括線性規(guī)劃模型、非線性規(guī)劃模型和動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型等等；
?、诮y(tǒng)計(jì)回歸類(lèi)模型：包括時(shí)間序列模型、多元分析模型等等；
?。ㄎ澹┌茨Ｐ突康姆诸?lèi)
大致可分為：觀察和解釋模型、計(jì)劃和設(shè)計(jì)模型、計(jì)劃和設(shè)計(jì)的優(yōu)化模型、機(jī)理過(guò)程分析模型、控制模型和研究模型。
此外，還有一些其它的分類(lèi)方式，而且分類(lèi)不是絕對(duì)的。但是，識(shí)別模型的類(lèi)別無(wú)論對(duì)構(gòu)造模型還是使用模型都是十分必要的。
§2.4 模型化過(guò)程
許多人曾給出過(guò)數(shù)學(xué)模型化的步驟，但很少有人詳細(xì)地說(shuō)明這個(gè)過(guò)程。本節(jié)試圖詳盡地闡述模型化程序，給讀者一個(gè)較清楚的輪廓。我們首先給出模型化流程圖。
模型化流程圖 圖2.1
§2.4.1 模型化方向的表述和經(jīng)濟(jì)原型的機(jī)理分析
一、模型化方向的表述
模型化過(guò)程始于對(duì)模型化方向的表述，當(dāng)你懷著通過(guò)模型化研究原型的愿望，進(jìn)入模型化過(guò)程，起初的模型化設(shè)想可能是模糊的，不完整的，隨著模型化的深入和反復(fù)，不斷地修正、調(diào)整，模型化的方向就會(huì)逐漸明確。在此階段，應(yīng)盡可能地表述整個(gè)模型化過(guò)程和注意模型化的可行性、經(jīng)濟(jì)性和實(shí)用性?？伤膫€(gè)方面來(lái)表述：
?。?）表述模型化的目的
包括模型化的動(dòng)機(jī)和模型的用途等等，不同的目的決定著模型化不同的方向，如用于理論研究和實(shí)際應(yīng)用的模型化會(huì)有很大的區(qū)別，由此引出模型的性質(zhì)、類(lèi)型、評(píng)價(jià)準(zhǔn)則等一系列的區(qū)別，它是模型化沿正確方向進(jìn)行的必要條件。
?。?）表述對(duì)模型的期望
表述包括對(duì)模型解決問(wèn)題的程度、范圍以及模型性質(zhì)的表述，它是模型化目的的深化。
?。?）表述經(jīng)濟(jì)原型的輪廓
表述包括原型的橫向與縱向，原型的內(nèi)涵與外延，原型的內(nèi)部、邊界和外界等主面的表述，它是進(jìn)一步明確原型定義的前題。
?。?）表述可行的模型"空間"
表述主要指建模型者所熟悉的模型的類(lèi)型，雖然我們尚不知確定何種模型，但通過(guò)掌握已知的條件成為可行的模型類(lèi)型，這時(shí)類(lèi)比分析和考慮異原同模往往是有益的。當(dāng)然將來(lái)構(gòu)造出的模型可能并不在第一次列出的候選之列，模型化過(guò)程是一個(gè)反饋型的創(chuàng)造性過(guò)程?！?br> 上述四方面的表述不是一次完成的，在模型化過(guò)程中，可以修正、補(bǔ)充或簡(jiǎn)化，它們是調(diào)查和分析原型的前題。
二、經(jīng)濟(jì)原型的機(jī)理分析
經(jīng)濟(jì)活動(dòng)通過(guò)抽象和提煉而形成了經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，它和客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象有所不同。如果我們以一個(gè)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題為原型，那么其經(jīng)濟(jì)背景就是原型的原型。具體原型具體分析是模型化的靈魂，對(duì)原型的機(jī)理分析的方式可以是多種多樣的，我們?cè)诖藦?qiáng)調(diào)的是以定性為主，定量為輔的原則，采用將對(duì)象化整為零、把復(fù)雜事物分解為若干要素，對(duì)局部或要素進(jìn)行研究和認(rèn)識(shí)的一種手段，一般說(shuō)來(lái)，原型機(jī)理分析包括以下三個(gè)步驟：
（1）分析原型的外部及邊界的機(jī)理
其中包括分析原型外部和邊界的狀況，它們中哪些因素對(duì)原型的存在和發(fā)展的影響較大，它們是怎樣發(fā)生作用的等等。
?。?）分析原型的內(nèi)部機(jī)理
其中包括分析原型的可分性，子原型的結(jié)構(gòu)和相互依存關(guān)系，原型元的特性、作用、存在和變異的條件等等。
?。?）綜合分析
綜合分析包括對(duì)原型的內(nèi)部、外部和邊界的相依關(guān)系，原型存在和消亡的條件、發(fā)展和變化的形式和趨勢(shì)，以及原型的本質(zhì)與特征和遵從的規(guī)律等方向的分析，它是我們進(jìn)行簡(jiǎn)化和抽象的關(guān)鍵。
分析使經(jīng)濟(jì)原型的各種屬性和本質(zhì)清晰地呈現(xiàn)在我們的面前，而綜合則把經(jīng)濟(jì)原型的各個(gè)部分、側(cè)面、因素統(tǒng)一起來(lái)加以考慮。
綜合是建立于分析的基礎(chǔ)之上，運(yùn)用正確的社會(huì)經(jīng)濟(jì)科學(xué)理論和概念，對(duì)原型的各個(gè)子原型和各種要素的理解統(tǒng)一為對(duì)原型的整體認(rèn)識(shí)。這種認(rèn)識(shí)將引導(dǎo)人們對(duì)原型進(jìn)行合理的抽象和作出科學(xué)的假說(shuō)。
§2.4.2 模型化假說(shuō)和模型的構(gòu)造
一、模型化假說(shuō)
假說(shuō)是自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)發(fā)展的描述形式，是通向客觀真理的必由之路，它在模型化過(guò)程中也是最為關(guān)鍵的一步。嚴(yán)格地說(shuō)，模型化假說(shuō)是由經(jīng)濟(jì)假說(shuō)到數(shù)學(xué)假設(shè)的過(guò)程。
所謂經(jīng)濟(jì)假說(shuō)指依據(jù)客觀經(jīng)濟(jì)事實(shí)和普遍規(guī)律，結(jié)合一定的經(jīng)濟(jì)概念、原理和科學(xué)知識(shí)，對(duì)于經(jīng)濟(jì)原型及其本質(zhì)和規(guī)律所作的推斷或解釋?zhuān)捎谏鐣?huì)經(jīng)濟(jì)的機(jī)制復(fù)雜，因果關(guān)系不甚分明，假說(shuō)是經(jīng)濟(jì)研究中常用的方式，如西方的各種經(jīng)濟(jì)學(xué)流派的理論實(shí)為不同的假說(shuō)，經(jīng)實(shí)踐檢驗(yàn)是正確的假說(shuō)，就形成了理論，作為經(jīng)濟(jì)假說(shuō)往往有三個(gè)性質(zhì)：
一、似然性。人們常常感到假說(shuō)與人們的直觀的想象差異不大，但都不能斷定其真?zhèn)危?二、推斷性。由于造成一個(gè)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象產(chǎn)生的原因很多，假說(shuō)往往是憑著構(gòu)模者的推測(cè)或判斷，找出在冥冥中牽引的魁首；
三、簡(jiǎn)明性。假說(shuō)不再是原型本身，它簡(jiǎn)化了原型的復(fù)雜程度，抽象出最本質(zhì)的東西，對(duì)原型的結(jié)構(gòu)，趨勢(shì)和規(guī)律做出了較明確的規(guī)定。
關(guān)于經(jīng)濟(jì)假說(shuō)的范圍大致應(yīng)有兩方面：
?。?）對(duì)原型有關(guān)的經(jīng)濟(jì)概念的假說(shuō)，一般說(shuō)來(lái)，一個(gè)經(jīng)濟(jì)概念往往有多種解釋?zhuān)@與模型化不利，因此，在假說(shuō)中應(yīng)明確一切有關(guān)的經(jīng)濟(jì)概念前后一致，以統(tǒng)一口徑。此外，假說(shuō)時(shí)，要注意盡量使用量綱或可定量化的經(jīng)濟(jì)概念。
?。?）對(duì)原型的經(jīng)濟(jì)規(guī)律的假說(shuō)，由于原型及原型中子原型和原型元的邏輯關(guān)系和變異形式可能很繁瑣，所以必須選擇其關(guān)鍵的邏輯關(guān)系，普遍性的變異形式加以假說(shuō)，排除一切不明確的或小概率的情況，假說(shuō)原型在一定的條件下，遵從某種規(guī)律。
在經(jīng)濟(jì)假說(shuō)中應(yīng)注意承上啟下，考慮經(jīng)濟(jì)假說(shuō)的合理性。所謂合理性包括：假說(shuō)中有關(guān)的信息是否可以獲得，是否可靠，能否定量化；經(jīng)濟(jì)假說(shuō)是否有適當(dāng)?shù)囊罁?jù)，能否檢驗(yàn)，是否符合原型的客觀背景，經(jīng)濟(jì)假說(shuō)是否為數(shù)學(xué)假設(shè)奠定了足夠堅(jiān)實(shí)的研究基礎(chǔ)，等等。在運(yùn)用經(jīng)濟(jì)假說(shuō)時(shí)，要充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，依據(jù)科學(xué)原理而不拘泥其間，勇于提出自己的假說(shuō)；根據(jù)客觀事實(shí)，利用創(chuàng)造性思維，對(duì)未知的事物進(jìn)行推斷；正視現(xiàn)實(shí)，以無(wú)私的態(tài)度接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，不斷地修正或放棄經(jīng)濟(jì)假說(shuō)中的不妥之處。
數(shù)學(xué)假設(shè)是經(jīng)濟(jì)假說(shuō)的精確化。它是用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)考慮前述一切過(guò)程。 對(duì)經(jīng)濟(jì)假說(shuō)中所使用的基本經(jīng)濟(jì)概念或經(jīng)濟(jì)量作出數(shù)學(xué)假設(shè)。一般將要研究的量設(shè)為變量，將影響模型但非我們所要研究的量設(shè)為參量。此外，根據(jù)具體原型及經(jīng)濟(jì)假說(shuō)，對(duì)變量和參量的數(shù)學(xué)性質(zhì)，定義域以及變量間的相互關(guān)系等等，給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義。在數(shù)學(xué)假設(shè)中，既要盡力與經(jīng)濟(jì)原型吻合，又要有所創(chuàng)造和抽象，即要滿足經(jīng)濟(jì)假說(shuō)的描述，又要兼顧模型的可構(gòu)造性。因此，數(shù)學(xué)假設(shè)是十分關(guān)鍵。最后，假設(shè)中還要考慮如何將實(shí)際的經(jīng)濟(jì)信息轉(zhuǎn)化成模型的參數(shù)問(wèn)題，關(guān)于這一點(diǎn)本文下面還要論述?！?br> 二、數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造與推導(dǎo)
構(gòu)造數(shù)學(xué)模型就是針對(duì)關(guān)于原型的特征規(guī)律和基本量的模型化假說(shuō)，結(jié)合數(shù)學(xué)概念與方法，建立各經(jīng)濟(jì)因素之間的描述關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是一種創(chuàng)造性的活動(dòng)，沒(méi)有固定模式，構(gòu)模的思維方法一般有四類(lèi)：
?。?）直接分析。當(dāng)模型化假說(shuō)十分清楚，各因素間的數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系比較簡(jiǎn)單，可以直接地進(jìn)行推理分析，構(gòu)造模型或使用標(biāo)準(zhǔn)模型。
?。?）比擬思考。當(dāng)問(wèn)題的機(jī)理和假說(shuō)不甚分明時(shí)，類(lèi)比具有共性的事物；思考它們的構(gòu)模方式，運(yùn)用直覺(jué)、想象和靈感，在不同形式的事物間建立起同構(gòu)或同態(tài)關(guān)系。
?。?）啟發(fā)性思考。啟發(fā)性思考是從一般到特殊的思維方式。它運(yùn)用已有的理論和原型方面的知識(shí)，探討應(yīng)用于構(gòu)模的可能性。理論聯(lián)系實(shí)際是其特征。
（4）理想實(shí)驗(yàn)法。當(dāng)模型化假說(shuō)較為復(fù)雜時(shí)，這是一種假想實(shí)驗(yàn)，此過(guò)程往往和模型化假說(shuō)關(guān)系密切，是運(yùn)用邏輯思維時(shí)設(shè)想的情況進(jìn)行分析，和運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行理論上的推導(dǎo)地過(guò)程。
構(gòu)造模型是一個(gè)創(chuàng)造性的過(guò)程，因此沒(méi)有固定的模式，下面就構(gòu)模方法作一簡(jiǎn)單的綜述：
（1）數(shù)據(jù)分析法
對(duì)結(jié)構(gòu)尚不清楚或結(jié)構(gòu)已定但參數(shù)未定的模型，可采用此法。其特征是利用數(shù)據(jù)作多元分析。如相關(guān)分析、聚類(lèi)分析或回歸分析等，最后推斷出數(shù)量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。
?。?）量綱分析法(dimensional analysis)
此法原于物理學(xué)。它的理論依據(jù)是P定理(P-theorem)和相似定理(Law of similitude)其大意為物理量都帶有量綱，當(dāng)度量基本單位改變時(shí)，物理定律仍然不變。我們把它平移到經(jīng)濟(jì)學(xué)中，有量綱的經(jīng)濟(jì)量之間的數(shù)量規(guī)律不隨量綱的變化而變化。
（3）幾何直觀法
這是經(jīng)濟(jì)中最常用的方法之一。圖形傳遞的信息以描述為主。根據(jù)幾何直觀構(gòu)造相應(yīng)的或推廣的模型，以及其應(yīng)有的性狀是有效的。
?。?）標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題法
由于客觀事物的同一性，許多不同的原型可以抽象為標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題，這些標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題與確定的模型相對(duì)應(yīng)。找到原型的標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題也就是找到了模型。
?。?）數(shù)學(xué)分析法
利用特定的數(shù)學(xué)理論和方法（如數(shù)學(xué)分析、代數(shù)、拓樸概率、統(tǒng)計(jì)、微分方程等）構(gòu)造相應(yīng)的模型，這種方法要求構(gòu)模對(duì)該數(shù)學(xué)分支的分析方法和理論有一定的了解。
?。?）計(jì)算機(jī)模擬法
根據(jù)原型分析，設(shè)計(jì)出結(jié)構(gòu)邏輯圖，然后利用某種計(jì)算機(jī)模擬語(yǔ)言，進(jìn)行模型設(shè)計(jì)。
至于模型的推導(dǎo)過(guò)程則主要是依據(jù)數(shù)學(xué)理論和方法進(jìn)行的，以運(yùn)用數(shù)學(xué)技巧為主。
§2.4.3 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)性質(zhì)和經(jīng)濟(jì)背景研究
利用數(shù)學(xué)理論和方法研究已構(gòu)造好的數(shù)學(xué)模型，是模型化中必不可少的。由于數(shù)學(xué)理論的抽象性可能會(huì)得出一些意想不到的結(jié)論，對(duì)這些結(jié)論應(yīng)與適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)背景分析和研究，下面我們就經(jīng)濟(jì)中四類(lèi)常見(jiàn)的模式指出它們各自主要研究的方面?！?br> 一、概念性模式
基本概念模式是最簡(jiǎn)單的研究模式，對(duì)于數(shù)學(xué)模型中的基本量以研究其單調(diào)性、凸凹性、連續(xù)性、可微性、周期性或運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性等數(shù)學(xué)性質(zhì)為主，同時(shí)研究這些數(shù)學(xué)性質(zhì)的經(jīng)濟(jì)背景。例如導(dǎo)數(shù)可能和邊際、變動(dòng)率、彈性等概念有關(guān)；凸性可能與下降且遞增或上升且遞減等概念有關(guān)，而周期性則可能與季節(jié)性波動(dòng)或經(jīng)濟(jì)循環(huán)等概念有關(guān)。另外，對(duì)基本概念模型引出的特殊的數(shù)學(xué)性質(zhì)，應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)上去接受檢驗(yàn)?！?br> 二、指標(biāo)性模式
指標(biāo)模式是經(jīng)濟(jì)中應(yīng)有最廣泛的模式。對(duì)數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)有關(guān)指標(biāo)并進(jìn)行指標(biāo)驗(yàn)證是研究數(shù)學(xué)模型的背景的手段。由于經(jīng)濟(jì)指標(biāo)應(yīng)具有的特點(diǎn)是不僅具有一定的經(jīng)濟(jì)解釋?zhuān)遗c一定的運(yùn)算規(guī)則相聯(lián)系，例如率、比、指數(shù)常和商的運(yùn)算有關(guān)；累計(jì)、總和常與求和或積分運(yùn)算有關(guān)。指標(biāo)的經(jīng)濟(jì)解釋一般是清楚的，只是對(duì)構(gòu)成指標(biāo)的諸因素的作用和影響應(yīng)予以研究。分析各因素對(duì)指標(biāo)的影響可以更科學(xué)地設(shè)計(jì)和控制指標(biāo)，避免盲目依賴(lài)指標(biāo)而導(dǎo)致謬誤。
三、方程類(lèi)模式
這類(lèi)模型本質(zhì)是可以利用其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)去尋找滿足某些性質(zhì)的數(shù)值解或函數(shù)解。方程本身則表示某種經(jīng)濟(jì)行為，一般說(shuō)來(lái)，需要研究的數(shù)學(xué)性質(zhì)有模型對(duì)參數(shù)穩(wěn)定性，解的存在性、唯一性，可構(gòu)造性或可計(jì)算性，以及解的穩(wěn)定性等等。此外，對(duì)上述性質(zhì)成立或不成立的條件，也應(yīng)予以數(shù)學(xué)證明及經(jīng)濟(jì)解釋。
四、最優(yōu)化類(lèi)模式
優(yōu)化類(lèi)模式與方程類(lèi)相似，除上述內(nèi)容外，值得注意的是最優(yōu)化模型一般存在著對(duì)偶模型，其原型與原問(wèn)題的原型相對(duì)偶，研究模型的對(duì)偶性質(zhì)對(duì)深化原型的研究也是必要的。
§2.4.4 解模算法的研制及公式化
概念模型和指標(biāo)模型的算法一般是不難的，方程類(lèi)和優(yōu)化類(lèi)模型則以求解為算法的重點(diǎn)。解模算法就是根據(jù)已有的數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)模型，計(jì)算或解出未知或待定的數(shù)值解或函數(shù)解的方法，公式化則指把算法的具體步驟用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、?biāo)準(zhǔn)的、可直接計(jì)算的數(shù)學(xué)公式表示出來(lái)，研制解模算法大致分以下幾步：
（1）研究考查數(shù)學(xué)模型及相關(guān)的算法
一般說(shuō)來(lái)，一類(lèi)數(shù)學(xué)模型總有與之相應(yīng)的一類(lèi)算法，考查數(shù)學(xué)模型的類(lèi)型和結(jié)構(gòu)，選擇和利用已知算法，可以避免重復(fù)勞動(dòng)，處理大規(guī)模問(wèn)題時(shí)，可以結(jié)合計(jì)算機(jī)程序化分析和選擇算法，先把整個(gè)計(jì)算或求解過(guò)程分解成若干子塊，把具有共性的子塊放在一起統(tǒng)一考慮相應(yīng)的算法。
?。?）具體研制算法
完全套用已有算法的情況是不多見(jiàn)的，具體研制算法過(guò)程中，大致包括有關(guān)數(shù)學(xué)模型的條件修正，數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)的變換或近似，舊算法的改進(jìn)、移植、新算法的研制；符號(hào)的諧調(diào)一致以及子算法的邏輯關(guān)系的統(tǒng)一。
?。?）算法的估價(jià)
估價(jià)算法大致有以下幾個(gè)方面，算法的復(fù)雜性、收斂性和程序化的水平；精確度或誤差量的可控性水平；簡(jiǎn)易性和實(shí)用性水平；以及解決同類(lèi)問(wèn)題的能力和擴(kuò)展的潛力等等。
一般說(shuō)來(lái)，選擇算法的標(biāo)準(zhǔn)是計(jì)算誤差小、方法簡(jiǎn)單、計(jì)算時(shí)間短和經(jīng)濟(jì)耗費(fèi)低。應(yīng)當(dāng)指出算法的估價(jià)標(biāo)準(zhǔn)也是選擇算法的標(biāo)準(zhǔn)，只不過(guò)我們事先不知道罷了。至于公式化則主要是為程序化作準(zhǔn)備的，相當(dāng)于把模型和算法用基本的、初等的數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以描述，它是算法實(shí)現(xiàn)的一部分。
§2.4.5 程序設(shè)計(jì)和支持系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)
計(jì)算機(jī)是人腦和手的延拓，它使數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用成為可能，如果數(shù)學(xué)模型的規(guī)模較大，復(fù)雜程度較高，使用率也高，或要求迅速得出結(jié)果，則可考慮使用計(jì)算機(jī)，大致需要經(jīng)過(guò)以下過(guò)程：
（1）公式化數(shù)學(xué)模型和所選用的算法
由于計(jì)算機(jī)畢竟只能按人們事先約定的方式進(jìn)行演算，許多數(shù)學(xué)符號(hào)不能直接輸入，因此必須把所有需要計(jì)算機(jī)處理的內(nèi)容進(jìn)行公式化。
?。?）構(gòu)造一整套程序框架
計(jì)算機(jī)程序往往是牽一發(fā)而動(dòng)全身，故構(gòu)造框架時(shí)力求嚴(yán)謹(jǐn)、精細(xì)和完整、子框架之間的接口要邏輯分明，設(shè)計(jì)一個(gè)好的框架是成功的關(guān)鍵。
?。?）根據(jù)具體情況，選擇計(jì)算機(jī)的類(lèi)型、編程序的語(yǔ)言，以及適應(yīng)的操作系統(tǒng)。
?。?）設(shè)計(jì)較細(xì)致的框圖，編制程序和部分調(diào)試。
?。?）設(shè)計(jì)信息處理支持系統(tǒng)
其中包括：多種信息輸入形式，統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法支持系統(tǒng)，文件支持系統(tǒng)，關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)支持系統(tǒng)，以及信息直接轉(zhuǎn)化模型參數(shù)系統(tǒng)等等。
?。?）程序的輸入調(diào)試與檢測(cè)
調(diào)試方法有：將大程序分為子塊調(diào)試，最后再聯(lián)接的分塊調(diào)試法；有加入顯示程序尾隨運(yùn)算過(guò)程的跟蹤法，有虛擬數(shù)據(jù)的逆向調(diào)試法等等。經(jīng)常有這樣的情況，程序已可以使用，但仍有錯(cuò)誤。
?。?）程序的維護(hù)和功能的完善化
第三章 經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)模型
模型化過(guò)程的第一步是收集原型的有關(guān)信息，而信息的收集涉及到抽樣調(diào)查的指標(biāo)設(shè)計(jì)和信息的分類(lèi)處理問(wèn)題。本章主要討論模型化信息的收集與統(tǒng)計(jì)處理方法。
§3.1 模型化信息的收集方法
信息是表現(xiàn)事物運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及和其他事物相互作用的一種形式。收集有關(guān)原型的信息則是模型化中必不可少的一環(huán)。收集信息是為了實(shí)現(xiàn)模型化目的，是一種有意識(shí)的活動(dòng)。一般來(lái)說(shuō)，模型化信息有五類(lèi)：
?。?）先決信息：即有關(guān)模型化所需的準(zhǔn)備性信息。如模型化的簡(jiǎn)單設(shè)想，原始概念、框架、草圖、有關(guān)的經(jīng)濟(jì)理論、事實(shí)、和一般規(guī)律，以及必要的數(shù)學(xué)知識(shí)等方面的信息。
?。?）外界環(huán)境信息：即有關(guān)原型外延的信息。其中包括定義明確的原型界限，原型外部對(duì)原型的影響、作用，以及它們之間的相互作用。
?。?）內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息：即原型體系內(nèi)部的結(jié)構(gòu)信息。其包括原型的組成方式，原型元和子原型存在的形式、功能及相依關(guān)系等等。
?。?）原型性狀信息：即原型作為一個(gè)整體的性態(tài)狀況方面的信息。其包括原型存在的目的、形式、行為、性狀、特征以及發(fā)展趨勢(shì)和變異、消亡的條件等。
?。?）數(shù)量信息：即已數(shù)量化或可數(shù)量化的信息。其包括現(xiàn)在的、歷史的、不同空間的原型及模型化的數(shù)據(jù)資料、圖表、以及原型的量變規(guī)律，乃至數(shù)量化及收集方式等等。
以上信息不是互斥的，而且有些信息正是需要通過(guò)模型化得到的。Samuel L.S.Jacoby (1980)曾就模型化目的與原型信息給出一張關(guān)系表（見(jiàn)表3.1），我們稱(chēng)此表為雅可比表。并利用它做為收集信息的指南。
3.1 雅可比表：
原型 模型化目的
信息 觀察解釋 計(jì)劃設(shè)計(jì) 最優(yōu)化規(guī)劃 運(yùn)行機(jī)理分析 運(yùn)籌控制 研究
初等的概念、設(shè)計(jì)或計(jì)劃 A A A A A A
定義完備的系統(tǒng)、事物或過(guò)程 R A&R A&R A A R
元素、輪廓和固定參量 R A&R A&R A A R
可調(diào)節(jié)參量 R A&R R A R R
外圍、環(huán)境、運(yùn)行條件 A A A A A A
目的、使用、外貌、行為、表現(xiàn) A&R A A R A A
說(shuō)明* A：可獲信息 R：結(jié)論性信息
不同類(lèi)型的模型對(duì)信息的要求也不一樣，請(qǐng)讀者自己設(shè)計(jì)一張關(guān)系表做為練習(xí)。
收集信息的方式很多，我們重點(diǎn)介紹經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)方法。眾所周知，統(tǒng)計(jì)方法指搜集、整理、表現(xiàn)和分析數(shù)據(jù)資料，并根據(jù)分析結(jié)果導(dǎo)出經(jīng)濟(jì)結(jié)論，乃至作出合理決策的科學(xué)方法。但我們只關(guān)心前幾步。社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象多具有群體性，統(tǒng)計(jì)信息就是經(jīng)調(diào)查而得到的有關(guān)原型的總體性數(shù)據(jù)。依統(tǒng)計(jì)學(xué)慣例，我們將數(shù)據(jù)分為原始數(shù)據(jù)與次級(jí)數(shù)據(jù)，或靜態(tài)數(shù)據(jù)與動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)。原始數(shù)據(jù)指為了模型化目的，經(jīng)過(guò)實(shí)地調(diào)查或直接從其他機(jī)構(gòu)收集來(lái)的尚未經(jīng)過(guò)任何簡(jiǎn)化與整理的數(shù)據(jù)資料；次級(jí)資料則指通過(guò)整理、簡(jiǎn)化等處理后的，可供模型化直接利用的數(shù)據(jù)；靜態(tài)數(shù)據(jù)指某時(shí)刻的靜止?fàn)顟B(tài)的數(shù)據(jù)；動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)則指特定時(shí)期內(nèi)繼續(xù)發(fā)生的演變過(guò)程的數(shù)據(jù)。統(tǒng)計(jì)資料的共性是數(shù)字性，總體性和客觀性，構(gòu)成統(tǒng)計(jì)量的三要素是時(shí)間、空間和屬性，這些都需要在模型化中加以說(shuō)明和注意。
?。ㄒ唬┦占y(tǒng)計(jì)信息的方式大致有四類(lèi)：
1.調(diào)查
以方式劃分：親自調(diào)查、委托調(diào)查和通訊調(diào)查；以范圍劃分有普查和抽樣調(diào)查。
2.登記
3.實(shí)驗(yàn)
4.次級(jí)數(shù)據(jù)的搜集
在模型化工作中，這四類(lèi)方式都會(huì)遇到，我們僅介紹普查與抽樣調(diào)查。
所謂普查是指將需要研究的某種社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的全體進(jìn)行逐一調(diào)查，以期獲得完整、詳細(xì)、可靠的總體數(shù)據(jù)。普查注重時(shí)間上的一致性，空間上的普遍性和方法上的統(tǒng)一性。普查的問(wèn)項(xiàng)簡(jiǎn)易，組織龐大，精度較高，但耗資較大，一般是在政府支持下完成。抽樣調(diào)查是在欲研究的總體中選取一部分加以調(diào)查。目的是在省時(shí)、省事、省錢(qián)的原則下，以最小的代價(jià)獲得較精確的信息，利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)推斷總體特征。其在時(shí)空上限制較少，方法綜合靈活。抽樣調(diào)查的問(wèn)項(xiàng)細(xì)致深入，組織規(guī)模較小，費(fèi)用低廉，精度雖稍差，但可以調(diào)整控制。常用的抽樣方法有以下幾種：
?。?）立意抽樣：依據(jù)某種準(zhǔn)則，將總體中某些具有代表性的個(gè)體抽出來(lái)組成樣本，這種方法稱(chēng)為立意抽樣。
?。?）隨機(jī)抽樣：在不受任何人為因素影響的條件下，等概隨機(jī)地從總體中抽出若干個(gè)體以組成樣本，謂之隨機(jī)抽樣。
（3）分層抽樣：依照某種準(zhǔn)則將總體分成若干層次(Stratum)，盡量使得層內(nèi)的抽樣單位同質(zhì)，而不同層次的抽樣單位異質(zhì)，再由各層中抽出適當(dāng)?shù)膯挝唤M成樣本。這種方法叫作分層抽樣法。
（4）集團(tuán)抽樣：將總體分成若干集團(tuán)(Cluster)，并盡量使集團(tuán)內(nèi)的抽樣單位異質(zhì)，而集團(tuán)間的抽樣單位同質(zhì)。把這些集團(tuán)視為抽出單位，依單純?nèi)纬榉绞匠槌銎渲腥舾杉瘓F(tuán)，再在抽出的若干集團(tuán)內(nèi)進(jìn)行調(diào)查。此法稱(chēng)為集團(tuán)抽樣?！?br> 抽樣的方法很多，例如多段抽樣法、系統(tǒng)抽樣法、弗曼抽樣法，兩段抽樣法等等?？梢曅枨髶駜?yōu)用之。
§3.2 模型化信息的統(tǒng)計(jì)處理方法
我們對(duì)已收集到的數(shù)據(jù)的整理可分為三步：
1.分類(lèi)：依互斥性與周延性原則，將特性相仿的數(shù)據(jù)分為一類(lèi)。
2.歸類(lèi)：把數(shù)據(jù)分別歸入應(yīng)屬類(lèi)別，方法有劃記法、卡片法和電腦錄入法。
3.列表：將次級(jí)資料按照模型化研究目的，做成數(shù)據(jù)表和統(tǒng)計(jì)圖。
次數(shù)分配表是統(tǒng)計(jì)表中最重要的一類(lèi)。屬于同一變量的一組數(shù)據(jù)或分組后屬于同一組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)稱(chēng)為次數(shù)。將各組次數(shù)依序排列稱(chēng)為次分配。其目的是將數(shù)據(jù)資料凝聚成更簡(jiǎn)明的形式，使數(shù)據(jù)便于模型化的利用。而且次數(shù)分配作成的次數(shù)直方圖及次數(shù)曲線圖等與數(shù)學(xué)上的函數(shù)概念相吻合。我們首先介紹幾個(gè)常見(jiàn)的概念：
?、俜纸M數(shù)據(jù)：以次數(shù)分配的形式所表示的數(shù)據(jù)。
?、诮M限：各組的兩端數(shù)值，其中最大者稱(chēng)為上限，最小者稱(chēng)為下限。
③組距：在分組次表中，線一組數(shù)據(jù)所包括的范圍，即上限與下限的距離。
④組寬：組距上下限之差。
?、萁M中點(diǎn)：每組上下限的中點(diǎn)，亦稱(chēng)組代表值。
?、奕啵簲?shù)據(jù)中最大數(shù)與最小數(shù)之差。
編制次數(shù)分配表的步驟如下：
1.求全距：即計(jì)算出最大的和最小的數(shù)值之差。
2.分組：即參照全距將數(shù)據(jù)分成若干組或決定出每組組距的大小。一般來(lái)說(shuō)，8≤組數(shù)≤30，組距盡量相等。
3.定組限：選組限應(yīng)使各組的上限、下限和組中點(diǎn)為整數(shù)或其他簡(jiǎn)單的數(shù)字。出限次數(shù)多的數(shù)不宜定為組限。
4.歸類(lèi)：即將數(shù)據(jù)歸入應(yīng)屬的組內(nèi)，記下次數(shù)。
5.計(jì)算次數(shù)：統(tǒng)計(jì)各組的次數(shù)。
6.列次數(shù)分配表：表中有分組（組中點(diǎn)、組界、組限）、次數(shù)、以上累加次數(shù)、以下累加次數(shù)、相對(duì)次數(shù)、累加相對(duì)次數(shù)或百分比次數(shù)等欄目。
【例2.3.1】（取自高東正《統(tǒng)計(jì)學(xué)概要》）某工廠的50位職工的年齡資料如下：
20 26 28 21 25 32 34 37 15 46
26 23 21 22 17 28 33 38 38 36
40 18 29 23 21 27 25 26 51 48
19 25 26 31 32 28 20 33 28 24
42 24 16 21 26 24 32 31 35 18
我們編制次數(shù)分配表并繪出直方圖和累積次數(shù)曲線。
①以5為組距編制次數(shù)分配表：
年齡組別 次數(shù)（|） 相對(duì)次數(shù)(F) 以上累加數(shù) 以下累加數(shù)
15～19 6 0.12 50 6
20～24 12 0.24 44 18
25～29 14 0.28 32 32
30～34 8 0.16 18 40
35～39 5 0.1 10 45
40～44 2 0.04 5 47
45～49 2 0.04 3 49
50～54 1 0.02 1 50
合計(jì) 50 1
?、诶L直方圖和次數(shù)多邊圖
圖3.1
?、劾L制累積曲線：
圖3.2
可以看出，我們得到了比原數(shù)據(jù)濃縮的數(shù)量信息。如果以組中點(diǎn)和組次數(shù)相對(duì)應(yīng)，并把A和|連續(xù)化，可以得到光滑的曲線。
統(tǒng)計(jì)圖在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中經(jīng)常使用。它利用點(diǎn)的多少，線的長(zhǎng)短，面積的大小，顏色的濃淡，線條的疏密或曲線的變化，來(lái)表示數(shù)據(jù)的大小程度、變動(dòng)情況、分布狀態(tài)和相依關(guān)系。統(tǒng)計(jì)圖的類(lèi)型繁多，以繪圖目的為標(biāo)準(zhǔn)，可分為說(shuō)明圖、計(jì)算圖和科；以應(yīng)用環(huán)境為標(biāo)準(zhǔn)，可分為掛圖、桌圖和書(shū)圖；以所用尺度為標(biāo)準(zhǔn)，可分為算術(shù)尺度圖、單對(duì)數(shù)尺度圖和雙對(duì)數(shù)尺度圖；以形狀為標(biāo)準(zhǔn)，可分為線圖、長(zhǎng)條圖、時(shí)間數(shù)列曲線圖、面積圖、洛倫茲曲線圖，立體圖、統(tǒng)計(jì)地圖、象形圖、以及組織圖、工作程序圖和工作進(jìn)度圖；以統(tǒng)計(jì)數(shù)列為標(biāo)準(zhǔn)，可分為時(shí)間數(shù)列圖、地理數(shù)列圖、屬性數(shù)列圖和變量數(shù)列圖等等。
在經(jīng)濟(jì)研究中統(tǒng)計(jì)圖是極重要的"數(shù)學(xué)模型"，利用它可以顯示數(shù)量間的相互關(guān)系，便于進(jìn)行多種復(fù)雜現(xiàn)象的比較，以供研究者分析和說(shuō)明。尤其讓使用
者在甚短的時(shí)間內(nèi)，就能得到對(duì)經(jīng)濟(jì)原型某一事實(shí)的明確具體的概念，減少了冗長(zhǎng)的文字或數(shù)字的說(shuō)明，引起對(duì)該事實(shí)的興趣。
制圖程序可由下面的框圖說(shuō)明：
圖3.3
除圖形以外，完整的統(tǒng)計(jì)圖還包括以下細(xì)節(jié)：
1. 標(biāo)題：有簡(jiǎn)潔的文字寫(xiě)在圖的上方。
2. 原文注釋?zhuān)簩?xiě)在標(biāo)題下方，較小或不顯著的位置。
3. 注腳：寫(xiě)在圖的下方，以對(duì)段首目欄予以必要的說(shuō)明。
4. 資料來(lái)源：常寫(xiě)在注釋下方，以表明所搜集的資料的名稱(chēng)、頁(yè)數(shù)等。
5. 約略數(shù)字：當(dāng)數(shù)字有約略時(shí)，應(yīng)在注釋段首、或目欄開(kāi)頭說(shuō)明其效果。
6. 比值：必須說(shuō)明比值的意義。例如是"總數(shù)的百分比"還是"增減的百分比"，而不要以"百分比"代之。
7. 數(shù)：欲強(qiáng)調(diào)的數(shù)應(yīng)寫(xiě)在上端或左方，否則可寫(xiě)在下端或右方。
8. 單位：行或列的數(shù)字單位必須特別指明，如標(biāo)上"￥"或"＄"。
我們經(jīng)過(guò)搜集、分類(lèi)、歸類(lèi)、列圖表等程序后得到的統(tǒng)計(jì)資料，在形式上已比較整潔。訓(xùn)練有素的經(jīng)濟(jì)學(xué)家能夠直接從統(tǒng)計(jì)資料中窺出其蘊(yùn)藏的問(wèn)題。但畢竟仍嫌雜亂繁瑣，尤其是資料種類(lèi)及數(shù)量較多時(shí)不便利用。就數(shù)據(jù)性質(zhì)可歸兩類(lèi)：一是中央趨勢(shì)量，二是差異分散量。我們羅列如下：
一、中央趨勢(shì)量
在有序的數(shù)據(jù)集合中，表示其中心的量稱(chēng)為中央趨勢(shì)量。在經(jīng)濟(jì)中常用的有：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、四分位數(shù)和百分位數(shù)。假設(shè)數(shù)組為x1，x2，…xn，分成K組后的組中點(diǎn)為 ,組頻數(shù)為|j，其中j=1,…,k，則
（1）平均數(shù)
a）算術(shù)平均數(shù)
(未分組)
(分 組)
數(shù)據(jù)不多時(shí)可用前式，否則用后式。利用公式的性質(zhì)可得簡(jiǎn)捷算法：
此外，算術(shù)平均數(shù)有以下性質(zhì)：
?、?br> ?、?（可擴(kuò)充性）
?、?（最佳性）
b）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)
設(shè)數(shù)組x1，x2，…，xn的重要性程度由要系數(shù)w1，w2 …，wn表征，則
c）幾何平均數(shù)
?。ㄎ捶纸M）
?。ǚ纸M）
它多用于比率平均及測(cè)定動(dòng)態(tài)變化量。計(jì)算方法是利用對(duì)數(shù)性質(zhì)：
(d)調(diào)和平均數(shù)
(未分組)
(分組)
其多用于有兩個(gè)計(jì)算單位時(shí)，如平均速度、平均物價(jià)等等。
?。?）中位數(shù)
中位數(shù)指一有序數(shù)組中位居中間的數(shù)值，記作Me。中位數(shù)所在的數(shù)組稱(chēng)為中位數(shù)組。假設(shè)樣本數(shù)n，中位數(shù)組組下限Lme，中位數(shù)組組上限Ume，低于Lme的所有項(xiàng)數(shù)之和為FLme，低于Ume的所有項(xiàng)數(shù)之和是FUme，中位數(shù)組的次數(shù)是|me，中位數(shù)組組距為hme，則
未分組時(shí)，
分組時(shí)，
?。?）眾數(shù)
在一數(shù)組中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，稱(chēng)為眾數(shù)，記作M0，確定眾數(shù)的方法有三種：
a）金氏法：
其中Lmo是眾數(shù)所在組的下限，|-1是眾數(shù)組的前一組的次數(shù)，|+1是眾數(shù)組后一組的次數(shù)，hmo是眾數(shù)組的組距。
b）比例法
其中f0是眾數(shù)所在組的次數(shù)，其余同上。
c）皮爾生經(jīng)驗(yàn)法
4）分位數(shù)
a）四分位數(shù)
如果將一有序數(shù)組分割成四個(gè)部分，其三個(gè)分割點(diǎn)就稱(chēng)為四分位點(diǎn)。從最小數(shù)值點(diǎn)算起，依次稱(chēng)作第一、第二、第三分位數(shù)，記作Qk，k=1,2,3，且
k=1,2,3，
式中 表示第k個(gè)四分位數(shù)所在給的組下限，fk表示小于 的各組次數(shù)之和， 表示第k四分位數(shù)所在組的組距，n表示總次數(shù)。
b）百分位數(shù)
設(shè)Pk為第k百分位數(shù)，則
k=1,...,99
其中 是第k百分位數(shù)所在組的組下限，fk是小于 的各組次數(shù)之和， 是第k百分位數(shù)所在組組距，n是總次數(shù)。
中央趨勢(shì)量在社會(huì)經(jīng)濟(jì)中占有十分重要的地位，群體往往有向中心均衡集中的傾向，故利用它可以反映群體。作為一個(gè)優(yōu)良的中央趨勢(shì)量應(yīng)具有六條性質(zhì)：①簡(jiǎn)單明確；②感應(yīng)靈敏；③定式嚴(yán)謹(jǐn)；④計(jì)算簡(jiǎn)易；⑤代數(shù)公式化；⑥抽樣穩(wěn)定性好。
二、差異量數(shù)
群體中各個(gè)個(gè)體之間存在著差異，表示變異狀態(tài)的數(shù)量稱(chēng)為差異量數(shù)。經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中常見(jiàn)的差異量數(shù)有離中差，離均差和非離均差。它們的公式如下：
（1）離中差
離中差是以Me為中心的差異量數(shù)，它包括平均差和分位差。
a）平均差
其中Me是中位數(shù)，目前多采用 代替Me。
b）分位差
?、偎姆治徊?br> Q.D=1/2[Q3-Q1]
?、诎俜治徊?br> ?。?）離均差
離均差是以 為的差異量數(shù)。如標(biāo)準(zhǔn)差等
①標(biāo)準(zhǔn)差
簡(jiǎn)捷算法公式為：
?、赑范數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差
（未分組）
（分組）
?。?）非離均差
非離均差有兩極差、均互差等。
a）兩極差（全距）
其中Uu是最大組的上限，Le是最小組的下限。
b）均互差
?、傥捶纸M
②分組
若組距相等，則有
式中h是組距，Cj是以下累加次數(shù)。
與中央趨勢(shì)量相仿，對(duì)差異量數(shù)的要求也是易于計(jì)算和理解，確定方式嚴(yán)密，感應(yīng)靈敏，適于代數(shù)處理，以及受抽樣變化的影響小。除中央趨勢(shì)量和差異量數(shù)外，變異系數(shù)也是經(jīng)濟(jì)中常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量，如
?。?）標(biāo)準(zhǔn)差異系數(shù)
?。?）平均差異系數(shù)
?。?）四分位差異系數(shù)
（4）均互差異系數(shù)
?。?）均互差中位差異系數(shù)
=g/Me×100%
第四章 銷(xiāo)售機(jī)理模型化過(guò)程
本章通過(guò)銷(xiāo)售機(jī)理分析，提出用主觀概率預(yù)測(cè)模式代替簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)外推預(yù)測(cè)，從而改進(jìn)了銷(xiāo)售預(yù)測(cè)的方法。通過(guò)對(duì)成本機(jī)理的分析，構(gòu)造了一組適用于一般情況的成本模型，在經(jīng)濟(jì)收益分析中，研究了盈利能力的度量模型，進(jìn)而提出了廣義利潤(rùn)、廣義創(chuàng)利額等概念和模型。 在風(fēng)險(xiǎn)機(jī)理的分析中，采用變異系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)、峰態(tài)系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差共同度量決策的不確定性；用熵值變量決策的不肯定性以及用實(shí)現(xiàn)目標(biāo)值的可能性度量決策的成功與失敗。在時(shí)間機(jī)理分析中提出了貼標(biāo)準(zhǔn)值法，并討論了系列收入或支出的近似模式。
§4.1 銷(xiāo)售機(jī)理分析與基本模型
在一定時(shí)期內(nèi)一定數(shù)量的某種商品，所能從生產(chǎn)領(lǐng)域經(jīng)流通領(lǐng)域，最終進(jìn)入消費(fèi)領(lǐng)域的其客觀基礎(chǔ)是什么呢？首先，是在于該種商品有用性，"物的有用性使物成為使用價(jià)值"。[30] 就是消費(fèi)者對(duì)該商品有客觀上的需求。其次，在按勞分配原則和物質(zhì)利益原則下，消費(fèi)者手中的貨幣應(yīng)標(biāo)志著其付出的勞動(dòng)或社會(huì)分配。如果需求者認(rèn)為商品的使用價(jià)值和價(jià)值大體上與其需求程度和價(jià)格相當(dāng)，則有購(gòu)買(mǎi)的可能性。顯然，如果消費(fèi)者愿意支付的數(shù)量小于供給量，則商品不能實(shí)現(xiàn)或完全實(shí)現(xiàn)其使用價(jià)值和價(jià)值。但如果降低價(jià)格則有可能實(shí)現(xiàn)。因此，合理的價(jià)格是商品順利地進(jìn)入消費(fèi)領(lǐng)域的必要條件。
我們定義能銷(xiāo)售量這個(gè)經(jīng)濟(jì)概念為：在一定的市場(chǎng)環(huán)境和一定的行銷(xiāo)規(guī)劃下，消費(fèi)者可能愿意并能夠支付的需求量。所謂市場(chǎng)環(huán)境是指一定的地理區(qū)域和期間內(nèi)的人口、經(jīng)濟(jì)、政治、文化和科技等的狀況和水平。行銷(xiāo)規(guī)劃是指企業(yè)對(duì)銷(xiāo)售價(jià)格、推銷(xiāo)途徑和行銷(xiāo)努力等方面的計(jì)劃和安排。顯然，影響能銷(xiāo)量的隨機(jī)因素很多，而且與決策者的預(yù)測(cè)有關(guān)。因此我們視之為主觀隨機(jī)變量。為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們?cè)O(shè)能銷(xiāo)售量是只和價(jià)格有關(guān)的隨機(jī)變量。
現(xiàn)在，我們分析在一定時(shí)期內(nèi)未能銷(xiāo)售掉的商品。首先，商品作為使用價(jià)值存在有一定的時(shí)間限制，"如果商品沒(méi)有按照它們的用途，在一定時(shí)期內(nèi)進(jìn)入生產(chǎn)消費(fèi)或個(gè)人消費(fèi)，換句話說(shuō)，如果它們沒(méi)有在一定時(shí)期內(nèi)賣(mài)掉，它們就會(huì)變壞。并且在喪失它們的使用價(jià)值的同時(shí)，也就喪失作為交換價(jià)值承擔(dān)者的屬性?quot;[31] 因此，逾期未能售出的商品應(yīng)當(dāng)降價(jià)銷(xiāo)售。否則，對(duì)經(jīng)營(yíng)者來(lái)說(shuō)，拖延銷(xiāo)售時(shí)間只會(huì)增加流通費(fèi)用，影響資金周轉(zhuǎn)，得不償失。于是，我們可以做出經(jīng)濟(jì)假說(shuō)，凡逾期未能售出的商品均應(yīng)及時(shí)處理掉，而且每單位商品可以收回的殘值約等于處理價(jià)格。這里的處理價(jià)格是指可以及時(shí)處理掉所有剩余商品的最合理的價(jià)格。一般說(shuō)來(lái)，殘值總是低于處理價(jià)格。
假設(shè)現(xiàn)有n種待決策的商品，根據(jù)上述經(jīng)濟(jì)分析和假說(shuō)，對(duì)有關(guān)經(jīng)濟(jì)量作以下數(shù)學(xué)假設(shè)：設(shè)生產(chǎn)量（或采購(gòu)量）記為 x=(x1,x2,…xn)T，其滿足x30。設(shè)能銷(xiāo)售量是隨機(jī)向量，記為：x=(x1,x2,…xn)T，其中xk(k=1,2, …,n)的期望Exk和方差Dxk都存在，且Exk是關(guān)于價(jià)格Pk單調(diào)下降的凸函數(shù)。設(shè)價(jià)格向量為P=(P1,P2…Pn)T,且P??。其中?是價(jià)格的約束集合，特別是?= 。設(shè)處理價(jià)格為DP=(DP1,DP2,…DPn)T這是一個(gè)給定的常向量。
我們開(kāi)始構(gòu)造銷(xiāo)售額模型。所謂銷(xiāo)售額(Sales Revenue)指在一定時(shí)期內(nèi)的銷(xiāo)售收入。如果商品k的生產(chǎn)量或采購(gòu)量Xk小于或等于能銷(xiāo)售量xk，則商品都可以以?xún)r(jià)格Pk售出。但如果供給量Xk大于能銷(xiāo)售量xk，則只有數(shù)量為xk的商品k以?xún)r(jià)格Pk售出。根據(jù)假說(shuō)，剩下的數(shù)量為Xk－xk的商品必須以處理價(jià)格DPk及時(shí)處理掉。因此，我們得到：
銷(xiāo)售額模型
總銷(xiāo)售額
其中隨機(jī)指標(biāo)集合
J1（X，x）={k?Xk￡xk，1￡ k ￡ n}
J2（X，x）={k?Xkxk，1￡ k ￡ n}
J1（X，x）∩J2（X，x）=?且J1（X，x）∪J2（X，x）
={1，…，n}
我們下面給出過(guò)剩損失模型，所謂過(guò)剩損失是指由逾期未能售出商品所造成的損失。由假設(shè)DPk等于殘值SVk。當(dāng)Xk￡xk時(shí)剩余量為零，當(dāng)Xkxk時(shí)，剩余量為Xk－xk。每剩余一個(gè)單位的商品，則損失（Pk－DPk），因此
過(guò)剩損失：
總過(guò)剩損失：
我們對(duì)銷(xiāo)售額模型稍作變形，則有
因此，我們有：
SRk(Xk,xk)=PkXk－ELk(Xk,xk)
其中PkXk是順利情況下商品K的銷(xiāo)售額。
類(lèi)似地，我們有
即隨機(jī)的銷(xiāo)售收入等于正常的銷(xiāo)售收入減去隨機(jī)的過(guò)剩損失。
§4.2 成本機(jī)理分析和基本模型
經(jīng)營(yíng)者在從事一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，總是要有一定的人力、物力和財(cái)力的消耗。商品成本是以貨幣形式表現(xiàn)的企業(yè)為生產(chǎn)和銷(xiāo)售商品而消耗的生產(chǎn)資料價(jià)值和支出的勞動(dòng)報(bào)酬。一個(gè)較一般的成本概念是"成本是為了達(dá)到一個(gè)特定目的而已經(jīng)發(fā)生或可能發(fā)生的，以貨幣計(jì)量的犧?quot;。[33]模型中提到的成本指已統(tǒng)一量綱為貨幣單位的成本。
我國(guó)對(duì)成本的一般分類(lèi)準(zhǔn)則有按經(jīng)濟(jì)性質(zhì)劃分的要素分類(lèi)；有按用途和計(jì)入成本的方法劃分的項(xiàng)目分類(lèi)等。由于經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)的復(fù)雜性、成本的概念、歸類(lèi)方式及統(tǒng)計(jì)方法都不太統(tǒng)一，嚴(yán)格地說(shuō)來(lái)，財(cái)會(huì)的成本資料不能直接用于決策分析，因?yàn)槲覀冸y以把各種成本都?xì)w入模型。因此必須尋找有實(shí)用價(jià)值的成本概念和新的思想，做為我們模型的依據(jù)。
管理會(huì)計(jì)學(xué)為我們提供了一些極有價(jià)值的新概念和新思想。雖然有些概念從數(shù)學(xué)上看是簡(jiǎn)單的，但對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)上卻曾意味著突破。現(xiàn)在我們就與決策有關(guān)的概念加以分析。對(duì)于企業(yè)的一項(xiàng)決策而言，并非所有的成本都與決策有關(guān)，故可將成本分為相關(guān)成本(relevant cost)和無(wú)關(guān)成本(irrelevant cost)。顯然，無(wú)關(guān)和相關(guān)是相對(duì)的，需因情況而異。選擇模型所需成本信息時(shí)，首先應(yīng)做分類(lèi)工作。
根據(jù)決策者所處的管理層次，可以將成本分為可控成本(controllable cost)和不可控成本(uncontrollable cost)。決策者訂出歸自己控制的成本范圍后，可有效地利用成本信息。
一般地說(shuō)，成本的性質(zhì)雖然各有不同，但就其與生產(chǎn)數(shù)量的關(guān)系而論，可分為固定成本(fixed cost)和變動(dòng)成本(variable cost)。前者指在一定時(shí)期內(nèi)，一定的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)規(guī)模下，不隨產(chǎn)量而變動(dòng)的費(fèi)用支出；后者指隨產(chǎn)量做正比例變動(dòng)的費(fèi)用支出。應(yīng)當(dāng)指出，還有一種半固定成本(Semifixed cost),它隨著產(chǎn)量的增長(zhǎng)呈階梯形上升。為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們假設(shè)已將此成本分別歸入固定成本和變動(dòng)成本，并且假設(shè)單位變動(dòng)成本是常量。其實(shí)，變動(dòng)成本不一定是線性的，但當(dāng)企業(yè)的生產(chǎn)規(guī)模不變時(shí)，它很接近線性。對(duì)企業(yè)而言，變動(dòng)成本主要是指直接原材料、直接人工等費(fèi)用，對(duì)商業(yè)企業(yè)而言，變動(dòng)成本主要是指進(jìn)購(gòu)原價(jià)、小包裝費(fèi)、運(yùn)輸費(fèi)和傭金等。固定成本主要是管理費(fèi)、折舊費(fèi)等。
在很多經(jīng)濟(jì)文獻(xiàn)中常把相關(guān)的固定成本處理成常量，但管理會(huì)計(jì)學(xué)根據(jù)固定成本涉及的范圍將它劃分為專(zhuān)屬固定成本(Special cost)和聯(lián)合固定成本(joint cost)。前者指專(zhuān)門(mén)由于某種經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的存在而發(fā)生的固定成本；后者指由于若干經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的存在而發(fā)生的固定成本。在這里我們假設(shè)，第k項(xiàng)數(shù)量決策Xk0，則其專(zhuān)屬固定成本一定發(fā)生，否則不發(fā)生其專(zhuān)屬固定成本。當(dāng)n32時(shí)，聯(lián)合固定成本存在，且其為零的充要條件是所有的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)都不發(fā)生。
在多品種的情況下，如何合理地把固定成本分?jǐn)偟礁黜?xiàng)商品的成本之中是很重要的。一般的分?jǐn)偡椒ㄓ邪垂潭ㄙY本占有分?jǐn)偅翠N(xiāo)售額分?jǐn)偦虬醋儎?dòng)成本分?jǐn)偟确绞?。我們假設(shè)，固定成本分?jǐn)傁禂?shù)是已知的，現(xiàn)在我們討論一種特殊的成本或損失，即所謂機(jī)會(huì)成本(Opportunity cost or alternative)。機(jī)會(huì)成本并非通常所謂的成本，而是指在投資方案的選擇中，如果選擇了一個(gè)投資方案，則必須放棄投資于其他途徑的機(jī)會(huì)，其他途徑中最好的一種投資的收益，就稱(chēng)為這項(xiàng)投資方案的機(jī)會(huì)成本。機(jī)會(huì)成本與實(shí)支成本(Outlay cost)是相對(duì)應(yīng)的。在我們研究的問(wèn)題中，缺貨成本(Shortage cost)就是一項(xiàng)機(jī)會(huì)成本。即在企業(yè)確有剩余生產(chǎn)能力或購(gòu)銷(xiāo)能力的情況下，因決策時(shí)優(yōu)柔寡斷或判斷失誤，沒(méi)有能夠及時(shí)地適量地向市場(chǎng)提供商品而損失的潛在收益。一般說(shuō)來(lái)，商品k的機(jī)會(huì)損失應(yīng)小于單位創(chuàng)利額。但應(yīng)指出缺貨成本不僅是含有一定的主觀因素，而且也包含客觀上可能發(fā)生的成本。生產(chǎn)企業(yè)的缺貨成本中可能包括生產(chǎn)能力閑置損失，加急訂原材料費(fèi)以及追加生產(chǎn)費(fèi)用等；商業(yè)企業(yè)的缺貨成本中可能包括行銷(xiāo)能力閑置損失、加急進(jìn)貨費(fèi)用、相關(guān)商品的銷(xiāo)貨損失以及商譽(yù)損失等。
鑒于這些情況，我們認(rèn)為缺貨的可能性很小或根本不承認(rèn)缺貨成本?？梢粤钇錇榱悖蝗绻辉试S缺貨，則缺貨成本為無(wú)窮大；這時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存量控制問(wèn)題。在我們的模型中不嚴(yán)格地區(qū)分缺貨成本和機(jī)會(huì)成本，而籠統(tǒng)地稱(chēng)計(jì)入缺貨成本或機(jī)會(huì)成本的成本為廣義成本。
至此，我們分析了有關(guān)的一些成本概念并做了適當(dāng)?shù)募僭O(shè)。在這里我們只是從理論上討論了這些經(jīng)濟(jì)量。關(guān)于如何定量這些信息。可以在管理會(huì)計(jì)方面的文獻(xiàn)中找到。
我們現(xiàn)在假設(shè)，不可控制成本為常量NC。若從事商品k的生產(chǎn)（購(gòu)銷(xiāo)）活動(dòng)存在（Xk0），則專(zhuān)屬固定成本為常量SFCk。否則（Xk=0），專(zhuān)屬固定成本為零。若n=1，則無(wú)聯(lián)合固定成本。若n32,則聯(lián)合固定成本為零的充要條件是X=(X1，X2，…，Xn )T=0。若X10，則聯(lián)合固定成本為常量JFC。這n種產(chǎn)品（商品）的聯(lián)合固定成本和不可控成本的分?jǐn)倷?quán)系數(shù)為l1，l2,…，ln ,且滿足： 。單位變動(dòng)成本為常量UVCk，單位缺貨成本為常量USCk。下面我們將基于上述假設(shè)來(lái)構(gòu)造模型。由于假設(shè)非常清楚，故僅將構(gòu)造的模型羅列于下：
?。?）固定成本方面
商品k的固定成本FCk（X）：
商品k的單位固定成本UFCk(Xk)：
UFCk(Xk)=[lk(NC+JFC)+SFCk]/Xk
總固定成本FC(X)：
（2）變動(dòng)成本方面
商品k的變動(dòng)成本VCk(Xk)：
VCk(Xk)=UVCk·Xk
總變動(dòng)成本VC(X)：
?。?）成本方面
商品k的成本Ck(X)：
Ck(X)=FCk(X)＋VCk(X)
=lk[NC＋JFC·Sign(XTX)]＋SFCkSign(Xk)＋UVCk·Xk
單位成本UCk(Xk)：
UCk(Xk)=UFCk(Xk)＋UVCk
=[lk(NC＋JFC)＋SFCk]/Xk＋UVCk
總成本C(X)：
?。?）缺貨成本方面
缺貨成本SCk(Xk，xk)：
總?cè)必洺杀維C(X,x)：
其中隨機(jī)指標(biāo)集合J1 (X,x)={k|Xk￡xk，1￡k￡n}
?。?）廣義成本方面
廣義成本GCk(X, xk)：
其中隨機(jī)指標(biāo)集合：
J1 (X,x)={k|Xk ￡ xk,1￡ k ￡n}
至此我們構(gòu)造完了主要的成本模型。
§4.3 經(jīng)濟(jì)收益與基本模型
衡量經(jīng)濟(jì)收益的指標(biāo)很多，為了在量綱方面有統(tǒng)一的準(zhǔn)繩，我們只考慮與貨幣有關(guān)的指標(biāo)。下面我們就最重要的收益概念進(jìn)行分析和構(gòu)模。
我們進(jìn)行模型化分析的目的是為了實(shí)現(xiàn)企業(yè)的最終目的。企業(yè)的最終目的是利潤(rùn)，離開(kāi)了利潤(rùn)，企業(yè)就失去了生存和發(fā)展的條件。所以在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，企業(yè)無(wú)一不是以利潤(rùn)作為行動(dòng)的根本準(zhǔn)則。一般認(rèn)為，能提供最高利潤(rùn)的方案無(wú)疑被認(rèn)為是最優(yōu)方案。
利潤(rùn)指銷(xiāo)售收入減去全部成本后得到的收益，利潤(rùn)率則指利潤(rùn)和全部成本之比。這里所說(shuō)的利潤(rùn)是指凈利潤(rùn)。凈利潤(rùn)中再扣除稅賦則為稅后凈利潤(rùn)或稅后利潤(rùn)。我們知道，如果需考慮稅的因素時(shí)一般只須在利潤(rùn)上乘一個(gè)（1－稅率）或扣除產(chǎn)品稅（=產(chǎn)量×單位稅金）即可。為了簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，我們暫不考慮稅的因素。下面給出利潤(rùn)的基本模型：
利潤(rùn)：
NIk(X,xk)=SRk(Xk,xk)－Ck(X)
總利潤(rùn)：
NI(X,x)=SR(X,x)－C(X)
如果考慮機(jī)會(huì)成本，則得出廣義利潤(rùn)的模型：
廣義利潤(rùn)：
GNIk(X,xk)=SRk(Xk,xk)－GCk(X,xk)
總廣義利潤(rùn)：
GNI(X,x)=SR(X,x)－GC(X,x)
我們應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)機(jī)會(huì)成本為零時(shí)，利潤(rùn)和廣義利潤(rùn)相等。為了避免比率模型中出現(xiàn)兩個(gè)隨機(jī)變量之比，我們假設(shè)一切比率模型都是分子的期望和分母的期望之比。例如廣義利潤(rùn)率等于廣義利潤(rùn)的期望和廣義成本的期望之比。我們下面討論一個(gè)與盈利能力有關(guān)的經(jīng)濟(jì)概念。
一種令人困惑的說(shuō)法是："當(dāng)賣(mài)價(jià)低于全部成本很多時(shí)，廠商可以從事一定程度的經(jīng)營(yíng)而受益"。這個(gè)似非而是的說(shuō)法突破了傳統(tǒng)的觀念。我們依據(jù)前面的成本分析，單位成本是由單位固定成本和單位變動(dòng)成本構(gòu)成的，前者隨經(jīng)營(yíng)量而下降，后者相對(duì)穩(wěn)定。因此，既使單位價(jià)格低于單位成本也不一定經(jīng)營(yíng)的業(yè)務(wù)量愈大，賠的愈多。使人困惑的原因是人們習(xí)慣于以單位利潤(rùn)為每一單位產(chǎn)品（商品）的盈利能力。目前，國(guó)外愈來(lái)愈多的企業(yè)改用創(chuàng)利額來(lái)刻劃盈利能力。所謂創(chuàng)利額(邊際貢獻(xiàn))它等于銷(xiāo)售收入扣除變動(dòng)成本。上述問(wèn)題中，只要單位創(chuàng)利額(Pk－UVCk)0，當(dāng)XkFCk/(Pk－UVCk)時(shí)，即可扭虧為盈。因此從數(shù)學(xué)的角度看企業(yè)采用創(chuàng)利額作為盈利能力的度量是有一定道理的。利用創(chuàng)利額代替利潤(rùn)的另一優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)固定成本不變時(shí)，創(chuàng)利額和凈利潤(rùn)的極大值點(diǎn)是一致的，因此不必收集和處理固定成本方面的信息，從而提高了決策的效率。此外，創(chuàng)利額在預(yù)測(cè)、決策、彈性預(yù)算、控制和考核分析中均具有非常重要的作用。由經(jīng)濟(jì)定義，創(chuàng)利率(marginal income ratio)為創(chuàng)利額和銷(xiāo)售額之比。根據(jù)前設(shè)，我們令創(chuàng)利額模型為創(chuàng)利額的期望和銷(xiāo)售額的期望之比。
創(chuàng)利額：
MCk(Xk,xk)=SRk(Xk,xk)－VCk(Xk)
總創(chuàng)利額：
MC(X,x)=SR(X,x)－VC(X)
如果我們把機(jī)會(huì)成本也看成變動(dòng)成本，則得到廣義的變動(dòng)成本。我們稱(chēng)銷(xiāo)售收入扣除廣義變動(dòng)成本為廣義創(chuàng)利額，則
廣義創(chuàng)利額：
GMCk(Xk,xk)=SRk(Xk,xk)－VCk(Xk)－SCk(Xk,xk)
總廣義創(chuàng)利額：
GMC(X,x)=SR(X,x)－VC(X)－SC(X,x)
與上相同，廣義創(chuàng)利額模型為廣義創(chuàng)利額的期望和銷(xiāo)售額的期望之比。
§4.4 風(fēng)險(xiǎn)機(jī)理分析與基本模型
風(fēng)險(xiǎn)一般是指得與失的機(jī)會(huì)或可能性，廣義的風(fēng)險(xiǎn)可以是經(jīng)濟(jì)上的，政治上的，法律上的，或物質(zhì)上的。我們這里所討論的風(fēng)險(xiǎn)是指經(jīng)濟(jì)方面的。
風(fēng)險(xiǎn)不同于危險(xiǎn)。前者既有壞的可能性，也有好的可能性；而后者僅有壞的可能性。按決策進(jìn)行經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的結(jié)果總會(huì)與期望有一定的偏離，因此不確性是與風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)的概念，企業(yè)常常在不確定或不完全確定的情況下作出決策。所以，為了將決策分析工作建立在科學(xué)的基礎(chǔ)上，通常把不確定性作為風(fēng)險(xiǎn)加以計(jì)量，從而便于進(jìn)行定量分析。我們下面對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)量及模型化進(jìn)行探討。
一、風(fēng)險(xiǎn)的一般度量
風(fēng)險(xiǎn)是指得失的機(jī)會(huì)或可能性，因而風(fēng)險(xiǎn)的度量與數(shù)學(xué)上的隨機(jī)變量的度量很接近。一般對(duì)風(fēng)險(xiǎn)通用的變量是標(biāo)準(zhǔn)離差(Stardard deviation)，風(fēng)險(xiǎn)愈大，標(biāo)準(zhǔn)離差也愈大。應(yīng)該注意的是，標(biāo)準(zhǔn)離差是絕對(duì)量。由于絕對(duì)量缺乏可比性，因而標(biāo)準(zhǔn)離差不能很好地反映出風(fēng)險(xiǎn)的全貌。例如，銷(xiāo)量龐大的商品和銷(xiāo)量較小的商品相比。當(dāng)前者的標(biāo)準(zhǔn)離差大于后者時(shí)，無(wú)法準(zhǔn)確斷定前者的不確定性大于后者。為了較全面地刻劃風(fēng)險(xiǎn)，在此再給出一個(gè)相對(duì)性指標(biāo)一一變異系數(shù)，它等于標(biāo)準(zhǔn)差和期望之比。變異系數(shù)是反映標(biāo)準(zhǔn)離差在期望附近攝動(dòng)水平的指標(biāo)，從而有利于客觀地說(shuō)明不確定性。另外，還可以用偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)等數(shù)學(xué)概念來(lái)共同度量風(fēng)險(xiǎn)。
二、風(fēng)險(xiǎn)的新度量一一熵
風(fēng)險(xiǎn)與不確定性的關(guān)系十分密切。目前國(guó)外對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和不確定性這兩個(gè)概念沒(méi)有明確區(qū)分。但風(fēng)險(xiǎn)還有另外一層含意，即風(fēng)險(xiǎn)指人們?cè)跊Q策實(shí)施之前不能肯定地知道究竟結(jié)果如何，亦即在有風(fēng)險(xiǎn)的情況下，決策的結(jié)果具有不肯定性。即使在同一情況下，不同決策的結(jié)果的不肯定性也會(huì)有差異。因而應(yīng)當(dāng)找到一個(gè)模型從數(shù)值上度量決策的不肯定性。下面我們來(lái)討論適宜度不肯定性的標(biāo)準(zhǔn)。
假設(shè)一項(xiàng)決策只有有限個(gè)彼此不相容的結(jié)果A1，…，An，它們相應(yīng)的可能性（先驗(yàn)概率或主觀概率）是P(A1)，…，P(An)，設(shè)這個(gè)度量不肯性的量為H。首先，希望這個(gè)量相對(duì)于P(A1)，…，P(An)是穩(wěn)定的，即當(dāng)P(A1)，…，P(An)有微小攝動(dòng)時(shí)，它不會(huì)有顯著的變化。因此，這個(gè)量應(yīng)該是關(guān)于P(A1)，…，P(An)的連續(xù)函數(shù)；其次，在一般情況下，可能性的結(jié)果會(huì)愈多，則不肯定性愈大。因而，至少對(duì)決策的幾個(gè)等概結(jié)果而言，這個(gè)函數(shù)是關(guān)于n單調(diào)上升的；最后，我們希望若干次結(jié)果較少的決策經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蜻\(yùn)用到結(jié)果較多的決策上。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言講，這個(gè)量H應(yīng)滿足以下三個(gè)條件：
（i）H是P(A1)，…，P(An)的連續(xù)函數(shù)；
?。╥i）對(duì)n個(gè)等概結(jié)果的試驗(yàn)，H是n的單調(diào)上升函數(shù)；
（iii）一個(gè)試驗(yàn)分成相繼的兩個(gè)試驗(yàn)時(shí)，未分之前的H即為分后的H的加權(quán)和。
唯一能夠滿足上述三個(gè)條件的函數(shù)就是由申農(nóng)(Shannon)找到的熵函數(shù)。從物理學(xué)角度看，熵是系統(tǒng)內(nèi)部無(wú)序程度的度量，這從另一方面說(shuō)明。用熵來(lái)度量決策后果的不肯定性是合理的。由于模型中采用主觀概率預(yù)測(cè)，所以應(yīng)該認(rèn)為此時(shí)熵值不僅反映了決策后果的不肯定性，而且反映了決策者對(duì)決策事件的不肯定程度。本文定義風(fēng)險(xiǎn)熵的概念為：若h是和得與失有關(guān)的隨機(jī)變量，則稱(chēng)h的熵值為其風(fēng)險(xiǎn)熵。若h遵從離散分布，則其熵值為：
其中P(Ai)是事件Ai發(fā)生的概率，K是正常數(shù)。若h服從連續(xù)型分布，則其熵值為：
其中P(t)是h的概率密度函數(shù)。當(dāng)對(duì)數(shù)以2，e和10為底時(shí)，熵的單位分別為比特(bit)，迪西特(decit)和奈特(nat)，不論單位如何，熵值愈大，說(shuō)明決策后果的不肯定性也愈大。對(duì)于與決策有關(guān)的隨機(jī)模型來(lái)考慮每個(gè)經(jīng)濟(jì)模型的熵值可以有利于正確地進(jìn)行決策。
三、廣義盈虧平衡分析及安全邊際
不得不失是風(fēng)險(xiǎn)中的一種極端的狀態(tài)，在經(jīng)濟(jì)中稱(chēng)為盈虧平衡，即利潤(rùn)為零。對(duì)這種臨界狀態(tài)下各種經(jīng)濟(jì)量及其關(guān)系的分析稱(chēng)為盈虧平衡分析（或稱(chēng)損益分界分析，保本分析等）。一般定義為：盈虧平衡分析是研究固定成本、變動(dòng)成本和利潤(rùn)三者關(guān)系的分析技術(shù)，其模型為：
銷(xiāo)量×（價(jià)格－單位變動(dòng)成本）=固定成本
銷(xiāo)量=產(chǎn)量（隱含假設(shè)）
盈虧平衡點(diǎn)=固定成本/單位創(chuàng)利額
其中單位創(chuàng)利額=價(jià)格－單位變動(dòng)成本。與盈虧平衡關(guān)系密切的經(jīng)濟(jì)概念有安全邊際(margin of Safety)和安全邊際率，其模型是：
安全邊際=計(jì)劃業(yè)務(wù)量（或?qū)嶋H業(yè)務(wù)量）－盈虧平衡點(diǎn)業(yè)務(wù)量
安全邊際率=安全邊際/計(jì)劃業(yè)務(wù)量（或?qū)嶋H業(yè)務(wù)量）
在上述條件下盈虧平衡點(diǎn)所提供的創(chuàng)利額恰好彌補(bǔ)固定成本，所以安全邊際所提供的創(chuàng)利額就是利潤(rùn)。從另一角度看，盈虧平衡點(diǎn)業(yè)務(wù)量所獲得的銷(xiāo)售額正好彌補(bǔ)了全部成本。因此安全邊際和安全邊際率越大越能經(jīng)受市場(chǎng)的沖擊，企業(yè)的經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)也越小。
從上述模型中，可以看出幾個(gè)問(wèn)題：
（1）銷(xiāo)量（業(yè)務(wù)量）等于產(chǎn)量（計(jì)劃量）的隱含假設(shè)只適用于供不應(yīng)求的情況。
?。?）當(dāng)計(jì)劃量不等于實(shí)際業(yè)務(wù)量時(shí)，安全邊際和安全邊際率不能度量未來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。因?yàn)檫@樣會(huì)得出計(jì)劃量愈大，則安全邊際和安全邊際率愈大、決策愈安全的結(jié)論。
?。?）模型沒(méi)有考慮決策對(duì)安全的影響，而且只適合于單品種，價(jià)格不變。無(wú)機(jī)會(huì)損失等比較確定的情況。
為了解決上述問(wèn)題，可以利用廣義利潤(rùn)的期望來(lái)代替一般的利潤(rùn)，從而得出以下模型：
廣義盈虧平衡模型：
E{GNIk(X,xk)}=0
插圖5.1
廣義盈虧平衡點(diǎn)：
GBEPk={Xk|E[BNIk(X,xk)]=0}
廣義總盈虧平衡模型：
E{GNI(X,x)}=0
插圖5.2
廣義總盈虧平衡超曲面：
GBEP={X|E{GNI(X,x)}=0, X? }
應(yīng)當(dāng)說(shuō)明，當(dāng)缺貨損失為零時(shí)，產(chǎn)量等于銷(xiāo)量，并且處理價(jià)格等于原價(jià)格，則單品種的廣義盈虧模型與盈虧模型完全一致。
對(duì)于安全邊際方面，給出一般的模型：
安全邊際：
MSk=yk－GBEPk
安全邊際率：
M/Sk=MSk/yk
其中yk需根據(jù)實(shí)際情況來(lái)選取，yk的選取原則是：
（1）若商品k供不應(yīng)求，則考慮生產(chǎn)能力或行銷(xiāo)能力的上限為yk。
?。?）若商品k供大于求，則考慮取能銷(xiāo)售量的期望為yk。
?。?）若商品k供求差異不太大，則考慮取使利潤(rùn)的（或廣義利潤(rùn)的）期望值達(dá)到最大的生產(chǎn)量或采購(gòu)量為yk。
將上述三條原則用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為：
其中 是生產(chǎn)量或行銷(xiāo)量的上限。 是最佳生產(chǎn)量或采購(gòu)量，
對(duì)于多品種的情況，可以根據(jù)幾何直觀構(gòu)造出安全邊際的一個(gè)模型：
它的幾何解釋是使廣義利潤(rùn)的期望最大的決策點(diǎn)到盈虧平衡超曲面的距離。顯然，最優(yōu)解點(diǎn) 離盈虧平衡超曲面愈遠(yuǎn)，則經(jīng)營(yíng)的風(fēng)險(xiǎn)愈小，與之相應(yīng)的安全邊際率模型是：
一般情況下，還可以用更簡(jiǎn)便的模型代替上述多品種的安全邊際和安全邊際率模型。設(shè) 0，則
其中，
四、成敗風(fēng)險(xiǎn)
評(píng)價(jià)一項(xiàng)決策的成功與失敗總是有一定準(zhǔn)則的。我們采用能否實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的可能性作為成功或失敗的風(fēng)險(xiǎn)的定義，進(jìn)而可以給出度量成敗風(fēng)險(xiǎn)的模型：
P{h
其中h是隨機(jī)變量，可以和決策X有關(guān)。G是決策者給出的目標(biāo)值。我們可以提出一系列目標(biāo)如目標(biāo)利潤(rùn)、目標(biāo)銷(xiāo)售量、及目標(biāo)成本等，都可通過(guò)這個(gè)模型來(lái)度量成敗的可能性。
§4.5 時(shí)間機(jī)理分析與基本模型
經(jīng)濟(jì)活動(dòng)無(wú)一例外地在一定時(shí)間與空間中進(jìn)行。在經(jīng)濟(jì)實(shí)踐中，對(duì)于同一數(shù)額的貨幣，總是現(xiàn)在收入優(yōu)于將來(lái)收入。而現(xiàn)在支出劣于將來(lái)支出。所以時(shí)間因素對(duì)經(jīng)濟(jì)收益的評(píng)價(jià)是有影響的。對(duì)于我們所討論的原型，從開(kāi)始實(shí)施決策到?jīng)Q策完成大致分成四期：生產(chǎn)預(yù)備期、生產(chǎn)期、銷(xiāo)售期和處理期。由于各種成本和銷(xiāo)售收入是在不同時(shí)期發(fā)生的，不考慮時(shí)間因素就難以評(píng)價(jià)決策的優(yōu)劣。另外，由于與時(shí)間有關(guān)的成本多為固定成本，故時(shí)間因素與品種選擇的關(guān)系密切?！?br> 西方經(jīng)濟(jì)實(shí)踐中常用所謂時(shí)間價(jià)值(time Value)來(lái)調(diào)整不同時(shí)刻的收入或支出的價(jià)值。關(guān)于時(shí)間價(jià)值這個(gè)概念在西方也莫衷一是。例如管理會(huì)計(jì)學(xué)中認(rèn)為：投資者進(jìn)行投資就必須推遲消費(fèi)，其耐心的報(bào)酬與推遲消費(fèi)的時(shí)間成正比，單位時(shí)間（一般指一年）的這種報(bào)酬的投資的百分率稱(chēng)為時(shí)間價(jià)值。而凱恩斯等西方著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為：時(shí)間價(jià)值的量很大程度上取決于流動(dòng)偏好(Liquidity Prenference)，消費(fèi)傾向(Propensity to Consume)等心理因素。還有人認(rèn)為：時(shí)間價(jià)值是由物價(jià)上漲、風(fēng)險(xiǎn)和盈利能力等因素所形成的，彌補(bǔ)付款與收款的時(shí)間差的價(jià)值。馬克思雖然沒(méi)有定義時(shí)間價(jià)值，卻精辟地指出所謂"耐心的報(bào)酬"就是剩余價(jià)值，而利潤(rùn)則是剩余價(jià)值的轉(zhuǎn)化形態(tài)。馬克思還科學(xué)地指出：在利潤(rùn)不斷資本化條件下，資本積累應(yīng)按復(fù)利方法計(jì)算。據(jù)此，有學(xué)者認(rèn)為資本主義的時(shí)間價(jià)值是沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)和通貨膨脹條件下的社會(huì)平均資本利潤(rùn)率。[33]
時(shí)間價(jià)值是按復(fù)利方式計(jì)算的，所謂復(fù)利(Compound interest)方式指本金加上以前未支付的利息的計(jì)算方式。假設(shè)ｌ為計(jì)息年數(shù)；i為時(shí)間價(jià)值（年率），F(xiàn)V是終值(futune Value)，PV是現(xiàn)值(Present Value)，則有以下公式：
本利和模型：
FV=PV(1＋i)
貼現(xiàn)模型：
PV=FV/(1＋i)
本利和模型表示如果現(xiàn)值為PV，時(shí)間價(jià)值為i，則ｌ年后可以收到終值FV。貼現(xiàn)模型表示如果在ｌ年后收到終值FV，則可折合成現(xiàn)值PV。由于以上兩個(gè)模型在實(shí)際應(yīng)用中不方便，財(cái)會(huì)上一般使用復(fù)利系數(shù)表 )和貼現(xiàn)系數(shù)表 。
由于我們需要考慮任意時(shí)點(diǎn)的收入與支出的貼現(xiàn)問(wèn)題，所以財(cái)會(huì)模型不能勝任，為此引入瞬時(shí)時(shí)間價(jià)值：
d= (1+i）
于是對(duì)任意時(shí)刻t30時(shí)，若終值為FV(t) ,則現(xiàn)值為：
同理，若現(xiàn)值為PV，則終值
我們沿用財(cái)會(huì)的習(xí)慣，稱(chēng) 和 分別為t時(shí)刻的貼現(xiàn)因子和復(fù)利因子。若收款或付款序列為：FV(tk), tk30,k=1,… ，則對(duì)任意的t30，折成t時(shí)刻的價(jià)值：
特別地：
V(0) =PV, V(t )=FV
如果支出或收入可以近似為連續(xù)流FV(t)，0￡T1￡t￡T2，則可得
類(lèi)似地，如果我們以時(shí)刻ST為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)刻則有
有了這些基本模型可以把成本和銷(xiāo)售收入等各項(xiàng)收支用統(tǒng)一的時(shí)刻來(lái)討論，一般說(shuō)來(lái)，均勻連續(xù)流的處理比求和方便些，例如：若在（T1，T2）內(nèi)的總銷(xiāo)售額為SR，則其標(biāo)準(zhǔn)值模型為：
在上述模型中應(yīng)注意時(shí)間量綱，例如當(dāng)時(shí)間價(jià)值以年為單位時(shí)間時(shí)，可取1/365，1/12，1/4為轉(zhuǎn)換因子則可把天、月、季度折成年，利用上述模型可以把不同時(shí)刻發(fā)生的收入和支出統(tǒng)一到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)刻上來(lái)。
時(shí)間價(jià)值是客觀存在的經(jīng)濟(jì)范疇，因此應(yīng)當(dāng)予以重視。我們認(rèn)為可以考慮經(jīng)濟(jì)發(fā)展的速度(GDP增長(zhǎng)率），結(jié)合銀行信貸利率和本企業(yè)的盈利水平來(lái)確定時(shí)間價(jià)值。
§4.6 約束問(wèn)題與基本模型
從事經(jīng)濟(jì)活動(dòng)總會(huì)受到一定的限制。所謂尋找最佳的決策也是指在一定的客觀條件下，在可行解中尋找最佳。一般約束主要有生產(chǎn)能量約束、購(gòu)銷(xiāo)能量約束等，我們?cè)诖私o出最簡(jiǎn)單的模式。
在我們的模型里生產(chǎn)能量約束是指在正常條件下，可以投入或產(chǎn)出的數(shù)量。產(chǎn)出量指在一定的時(shí)間內(nèi)，生產(chǎn)企業(yè)所能生產(chǎn)出的產(chǎn)品數(shù)量；投入量指在一定的時(shí)間內(nèi)企業(yè)所能使用的直接勞動(dòng)小時(shí)和投入原材料的數(shù)量。我們生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品K需要耗用數(shù)量為a ik的某種資源i（aik可以是負(fù)數(shù)，這時(shí)表示生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品k會(huì)有副產(chǎn)品aik），若資源i的生產(chǎn)能量為bi,則約束模型為：
ai1X1＋ai2X2＋…＋ainXn￡bi
購(gòu)銷(xiāo)能量約束則指在一定的市場(chǎng)環(huán)境下，一定的時(shí)期里，一定的行銷(xiāo)努力下，可以購(gòu)入和售出的能量。其中包括訂貨能量、包裝能量、運(yùn)輸能量、存儲(chǔ)能量、服務(wù)能量等等，與上相仿，假設(shè)約束仍是線性的。我們?cè)O(shè)約束集合為：
R={X|AX￡b, X30}
其中Amxn是技術(shù)經(jīng)濟(jì)系數(shù)矩陣，bmx1是資源限。應(yīng)當(dāng)指出其它類(lèi)型的線性約束也可以化成上面的形式。例如，把國(guó)家的指導(dǎo)性計(jì)劃作成約束模型，則可能是上限約束，下限約束或二者皆有的線性模型。這時(shí)經(jīng)濟(jì)解釋有區(qū)別?！?
§4.7 導(dǎo)出模型及模型的派生方式
導(dǎo)出模型是根據(jù)基本模型經(jīng)過(guò)推導(dǎo)或證明得出數(shù)學(xué)模型。雖然導(dǎo)出模型的經(jīng)濟(jì)解釋不如基本模型那樣直觀淺顯，但理論層次和實(shí)用性方面都高于基本模型。我們假設(shè)：能銷(xiāo)售量x1，…，xn是相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，其邊緣密度和邊緣分布分別為fk(·, Pk)和Fk(·,Pk)，且Exk和Dxk均存在。在此假設(shè)下，經(jīng)過(guò)頗為復(fù)雜的推導(dǎo)及證明，我們可以得到下列模型：
?。?）銷(xiāo)售額的期望：
（2）銷(xiāo)售額的方差：
?。?）銷(xiāo)售額的變異系數(shù)：
（4）銷(xiāo)售額的熵值：
?。?）實(shí)現(xiàn)目標(biāo)銷(xiāo)售額G1的可能性：
?。?）過(guò)剩損失的期望：
（7）過(guò)剩損失的方差：
?。?）過(guò)剩損失的變異系數(shù)：
?。?）過(guò)剩損失的熵值：
?。?0）過(guò)剩損失不超過(guò)目標(biāo)G2的可能性：
?。?1）缺貨成本的期望：
?。?2）缺貨成本的方差： （13）缺貨成本的變異系數(shù)：
?。?4）缺貨成本的熵值：
?。?5）缺貨成本不超過(guò)G3的可能性：
?。?6）廣義變動(dòng)成本的期望：
?。?7）廣義變動(dòng)成本的方差：
?。?8）廣義變動(dòng)成本的變異系數(shù)：
?。?9）廣義變動(dòng)成本的熵值：
（20）廣義變動(dòng)成本不超過(guò)目標(biāo)G4的可能性：
?。?1）創(chuàng)利額的期望：
?。?2）創(chuàng)利額的方差：
（23）創(chuàng)利額的變異系數(shù)：
?。?4）創(chuàng)利額的熵值：
（25）創(chuàng)現(xiàn)目標(biāo)創(chuàng)利額G5的可能性：
?。?6）期望創(chuàng)利率：
（27）廣義創(chuàng)利率的期望：
?。?8）廣義創(chuàng)利額的方差：
?。?9）廣義創(chuàng)利額的變異系數(shù)：
（30）廣義創(chuàng)利額的熵值：
?。?1）實(shí)現(xiàn)廣義目標(biāo)創(chuàng)利額G6的可能性：
（32）廣義創(chuàng)利率：
?。?3）廣義成本的期望：
（34）廣義成本的方差：
?。?5）廣義成本的變異系數(shù)：
（36）廣義成本的熵值：
?。?7）廣義成本不超過(guò)目標(biāo)G7的可能性：
?。?8）利潤(rùn)的期望：
?。?9）利潤(rùn)的方差：
?。?0）利潤(rùn)的變異系數(shù)：
?。?1）利潤(rùn)的熵值：
（42）實(shí)現(xiàn)目標(biāo)利潤(rùn)G8的可能性：
?。?3）期望利潤(rùn)率：
?。?4）廣義利潤(rùn)的期望：
?。?5）廣義利潤(rùn)的方差：
?。?6）廣義利潤(rùn)的變異系數(shù)：
?。?7）廣義利潤(rùn)的熵值：
?。?8）實(shí)現(xiàn)目標(biāo)廣義利潤(rùn)額G9的可能性：
（49）廣義利潤(rùn)率：
上述模型中，期望模型表示在決策Xk下該經(jīng)濟(jì)量的最合理的平均值；方差模型表示在決策Xk下該經(jīng)濟(jì)理的不確定性；變異系數(shù)表示在決策Xk下該經(jīng)濟(jì)量在期望附近攝 動(dòng)的水平；熵值模型表示在決策Xk下該經(jīng)濟(jì)量的不肯定性；可能性模型則表示在決策Xk下該經(jīng)濟(jì)量實(shí)現(xiàn)或不超過(guò)目標(biāo)的概率，由上述期望模型和Xk之比，可以得到平均（單位）經(jīng)濟(jì)量的模型。由上述期望模型的導(dǎo)數(shù)可以得到Xk點(diǎn)的邊際經(jīng)濟(jì)量的模型。此外，還可以由廣義利潤(rùn)的期望得出廣義盈虧平衡點(diǎn)，并由致得出廣義安全邊際和廣義安全邊際率。與管理會(huì)計(jì)不同的是盈虧平衡點(diǎn)可能不唯一。
讀者可能已注意到模型還沒(méi)有考慮時(shí)間價(jià)值和稅賦，我們現(xiàn)在給出考慮這兩個(gè)因素的方式。對(duì)于前者，我們要求在收集成本信息時(shí)已將NC，JFC，SFCk，UVk等成本信息進(jìn)行時(shí)間價(jià)值處理了。若銷(xiāo)售期望初為BTk，銷(xiāo)售期末為CTk，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)刻為ST，則貼標(biāo)準(zhǔn)時(shí)的價(jià)格為 貼標(biāo)準(zhǔn)時(shí)的處理價(jià)格為 。對(duì)于后者，可先將稅金分為兩類(lèi)：其一為固定稅FTAXk，另一類(lèi)為變動(dòng)稅VTAXk，把稅看成是成本，則可完全套用上述模型。
至于多品種情況的模型，由概率論的知識(shí)可知：隨機(jī)變量和的期望等于期望的和。故易得期望模型；隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)，隨機(jī)變量和的方差等于方差的和，故易得方差模型；利用隨機(jī)變量和的分布函數(shù)公式，可以得出可能性模型；利用隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)，聯(lián)合密度等于邊緣密度之積及對(duì)數(shù)的性質(zhì)，易證隨機(jī)變量和的熵等于熵的和，故易得熵的模型。鑒于多品種模型不難由單品種模型中導(dǎo)出，在此恕不贅述?！?
第五章 運(yùn)籌學(xué)模型
在第四章銷(xiāo)售機(jī)理模型化過(guò)程的基礎(chǔ)上，給出了多目標(biāo)多指標(biāo)模型的一般形式，并對(duì)單目標(biāo)最優(yōu)解的性質(zhì)進(jìn)行了分析，指出了各種經(jīng)濟(jì)量對(duì)數(shù)量決策的影響，此外研究了非線性共軛對(duì)偶理論的應(yīng)用，并討論了廣義創(chuàng)利額的期望最優(yōu)化模型?！?
§5.1 多目標(biāo)一多指標(biāo)模型及單目標(biāo)最優(yōu)解的性質(zhì)
多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型是經(jīng)濟(jì)分析中常用的一種模型，使用這種模型時(shí)，可以根據(jù)使用者的偏好在導(dǎo)出模型中選取目標(biāo)函數(shù)。作者認(rèn)為由于在多目標(biāo)模型中目標(biāo)數(shù)目愈多，計(jì)算愈復(fù)雜，因此應(yīng)該精選較少的經(jīng)濟(jì)量來(lái)作為目標(biāo)，把其余的經(jīng)濟(jì)量列為指標(biāo)。這樣既可以滿足決策者多方面的愿望，又可以減小實(shí)現(xiàn)模型的難度。
多目標(biāo)一多指標(biāo)模型的一般形式為：
其中f(x)=(f1(x),…fp(x))T是目標(biāo)向量函數(shù)，I(x)=(I1(x),…Iq(x))T是指標(biāo)向量函數(shù)，R是變量約束集合。應(yīng)當(dāng)指出I(x)不參加優(yōu)化，即調(diào)整權(quán)系數(shù)時(shí)對(duì)指標(biāo)沒(méi)有影響，但此時(shí)應(yīng)參考指標(biāo)來(lái)調(diào)整權(quán)系數(shù)。
下面我們考慮利用單目標(biāo)模型來(lái)討論最優(yōu)解的經(jīng)濟(jì)解釋。假設(shè)規(guī)劃模型的形式為：
其中，
由Kuhn-Tucker定理，（GMC）有最優(yōu)解的充分且必要的條件是存在 滿足：
其中，
當(dāng)A=0時(shí)，K-T條件變?yōu)椋?br> 顯然，如果 是有限最優(yōu)解，則對(duì)任一 有兩種情況：
?。?） =0
這時(shí)，必有Pk-UVCk+USCk￡0，其經(jīng)濟(jì)解釋是單位變動(dòng)成本高于單位價(jià)格加單位缺貨損失。則以不生產(chǎn)為佳。
?。?） 0
這時(shí)，必有 。由于分布函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以當(dāng)右端大于零且小于1時(shí)，反函數(shù)是存在的。而右端的經(jīng)濟(jì)解釋是，當(dāng)
Von Neumann(1947)將對(duì)偶概念引入線性規(guī)劃后，由Gale Kuhn Tucker等精確和推廣了對(duì)偶概念的表達(dá)形式。人們發(fā)現(xiàn)對(duì)偶理論不僅在數(shù)學(xué)上是完整的，而且有著深刻的經(jīng)濟(jì)背景。這一切激勵(lì)著人們探索非線性規(guī)劃的對(duì)偶理論，但直到六十年代后期凸規(guī)劃的對(duì)偶理論才逐步形成，這方面的理論正日益受到人們的重視。
一般說(shuō)來(lái)，非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)性質(zhì)與線性規(guī)劃的性質(zhì)相仿，而且線性規(guī)劃的結(jié)果只是非線性規(guī)劃的推論。下面按照所謂現(xiàn)代的方式，把非線性規(guī)劃和其參數(shù)的微小攝 動(dòng)相聯(lián)系，用共軛映射誘導(dǎo)模型的對(duì)偶問(wèn)題。這種方式既適于可行解和最優(yōu)解的存在性和特征的研究，也適于研究最優(yōu)解對(duì)于參數(shù)攝動(dòng)的靈敏度。限于篇幅，我們只討論在優(yōu)化創(chuàng)利額中對(duì)偶理論的應(yīng)用。
假設(shè)規(guī)劃問(wèn)題(GMC)：
max E{GMC(X,ξ)}
(GMC) s.t. AX￡b,X30
其中，目標(biāo)函數(shù)為：
不難證明E{GMC(X,ξ)}是一個(gè)可微的凹函數(shù)?？尚薪饧希?br> R={X|AC￡b,C30}
我們將E{GMC(X,ξ)}拓廣到En，得到新的凹函數(shù)：
我們?cè)诩s束條件中引入攝動(dòng)變量w、g，得到函數(shù)：
其中，w和g分別是m維和n維的向量。不難驗(yàn)證，規(guī)劃問(wèn)題(GMC)和下面的無(wú)約束規(guī)劃問(wèn)題等價(jià)，
?。≒4） max ?(x,0,0)
x?En
我們考慮?(C,w,g)的共軛函數(shù)?*（m,l,b)，它的變量與?的變量完全不同，即?*是另一空間（對(duì)偶空間）里的函數(shù)，其定義為：
其中m,l和b分別是n維，m維和n維的向量，由上式可得，
*(u,l,b)+?(x,w,g)￡uTx+lTw+bTg
取m=0,w=0和g=0，則有
(x,0,0)￡-?*(0,lb)
我們定義（P?）的對(duì)偶規(guī)劃為：
可以證明以下結(jié)論：
?。?）（P?）是求極大的凹規(guī)劃。（D*?）是求極小的凸規(guī)劃；（D*?）中沒(méi)有（P?）的變量，反之亦然；（D*?）的對(duì)偶規(guī)劃是（P?）。
（2）（P?）的目標(biāo)值永遠(yuǎn)小或等于（D*?）的目標(biāo)值；若（P4）的最優(yōu)解存在，則（D*?）的最優(yōu)解也存在，反之亦然；而且可以由對(duì)方的攝動(dòng)函數(shù)的次梯度得出。如果其一的有限最優(yōu)值存在，則另一個(gè)的最優(yōu)值與之相等。
我們把具體的目標(biāo)函數(shù)和約束代入共軛函數(shù)，就得到
我們以供不應(yīng)求的情況為例，推導(dǎo)（GMC）的對(duì)偶規(guī)劃。因?yàn)榘l(fā)生過(guò)剩概率為零，所以
E{GMC(x,ξ)}=(P-UVC)TX
其中，P=(P1,P2,…,Pn)T,UVC=(UVC1,UVC2,…,UVCn)T。代入上式，
于是，我們得到對(duì)偶規(guī)劃
min-lTb
s.t. -ATl+b=P-UVC
l￡0
b￡0
取y=-l,則得到(GMC)的顯式的對(duì)偶：
(DGMC) min yTb
s.t. ATy3P-UVC
y30
(GMC)的經(jīng)濟(jì)原型是如何最優(yōu)地配置資源使企業(yè)獲得最大的創(chuàng)利額，(DGMC)的原型是如何恰如份地評(píng)價(jià)資源使資源能充分利用。顯然，這兩個(gè)原型也是"對(duì)偶的"。我們知道，約束矩陣A的元素aij是技術(shù)經(jīng)濟(jì)系數(shù)，aij表示產(chǎn)出一個(gè)單位的商品j，需要耗用資源i的數(shù)量。因此，矩陣A的第j列表示產(chǎn)出一個(gè)單位的商品j所需要的各種資源的數(shù)量。于是，對(duì)偶規(guī)劃（DGMC）中的約束：
ATy3P-UVC, y30, y=(y1,y2,…,ym)T
中的y可以視為m種資源的"價(jià)格"，對(duì)企業(yè)而言，每生產(chǎn)一個(gè)單位的商品j需付出"成本"：
不言而喻，這種所謂的"價(jià)格"和"成本"不是真實(shí)的市場(chǎng)價(jià)格和生產(chǎn)成本，國(guó)外一般稱(chēng)這種價(jià)格為影子價(jià)格(Shadow Price)，其有兩層含意：一是在確定的資源配置下的機(jī)會(huì)成本。即影子價(jià)格是資源對(duì)經(jīng)濟(jì)收益的潛在貢獻(xiàn)。二是為了優(yōu)化產(chǎn)出的價(jià)值而對(duì)每一種生產(chǎn)能量所分配的價(jià)值。即在一種特殊情況下，賦予稀缺資源的單位經(jīng)濟(jì)價(jià)值。利用影子價(jià)格y計(jì)算出的商品j的單位成本稱(chēng)為隱含成本(imputed cost)。隱含成本也是一種機(jī)會(huì)成本。
從數(shù)學(xué)的角度看，如果(GMC)的某個(gè)資源約束是松的，則其相應(yīng)的影子價(jià)格為零；即使此資源約束是緊的，其影子價(jià)格也會(huì)受其它約束的制約。更重要的是影子價(jià)格反映的是在約束向量b點(diǎn)的局部性質(zhì)，因此，把(GMC)的對(duì)偶最優(yōu)解 視為價(jià)格或成本時(shí)，應(yīng)當(dāng)慎重。例如，某種資源的價(jià)值不低，但由于企業(yè)的儲(chǔ)備量比較充裕，則會(huì)把它的價(jià)值估得很低，甚至認(rèn)為其價(jià)值為零，這顯然是不合理的。此外，只用m種資源的利用情況估算產(chǎn)品的成本也是不夠全面的。
對(duì)偶最優(yōu)解y的經(jīng)濟(jì)解釋還可以從數(shù)學(xué)推導(dǎo)中得到啟發(fā)。如果我們把(GMC)的第i個(gè)資源量bi改為bi+1（其余不變），則得到一個(gè)新的規(guī)劃(GMC')，后者的最優(yōu)值和前者的最優(yōu)值之差恰好是(DGMC)的最優(yōu)解 的第i個(gè)分量 i。這個(gè)有趣的事實(shí)可以解釋為：在資源約束AX￡b和單位獲利能力(P-UVC)之下，如果增加一個(gè)單位的資源i，則會(huì)獲得數(shù)量為 i的創(chuàng)利額。根據(jù)這種觀點(diǎn)，(GMC)的對(duì)偶最優(yōu)解 就是資源的邊際貢獻(xiàn)。雖然人們看待對(duì)偶最優(yōu)解的方式可能不同，但在分析是否應(yīng)當(dāng)供應(yīng)或減少某種資源時(shí)，考慮它還是有益處的。
非線性的經(jīng)濟(jì)解釋與線性的有相仿之處。區(qū)別在于有關(guān)理論的層次高于線性規(guī)劃。為了能稍深入地討論問(wèn)題，我們引入攝動(dòng)函數(shù)的概念和穩(wěn)定的概念，假設(shè)
原有攝動(dòng)函數(shù)：
對(duì)偶攝動(dòng)函數(shù)：
可以證明，F(xiàn)是正常凹函數(shù)。我們稱(chēng)(GMC)是穩(wěn)定的。如果次梯度合理JF(0,0)是非空集合。穩(wěn)定的含意是 有限且攝動(dòng)函數(shù)F(w,g)在零點(diǎn)不會(huì)無(wú)限地增大，或(GMC)的最優(yōu)值是-￥。由非線性規(guī)劃的對(duì)偶理論有以下結(jié)論[2]:
（1）?*(0,l,b)=F*(l,b)
?。?）設(shè)F(0,0)有限，則規(guī)劃 有最優(yōu)解 ，且
的充要條件是(P?)是穩(wěn)定的。此外， 是攝動(dòng)函數(shù) 在零點(diǎn)的次梯度的充要條件是上式成立。
（3）若 是閉正常凹函數(shù)，則
?。?）若?是閉正常凹函數(shù)，且設(shè)j（0）有限，則規(guī)劃（P?）有最優(yōu)解 ，且
?。?）若?是閉正常凹函數(shù)，則（P?）是穩(wěn)定的且有最優(yōu)解 的充要條件為 是穩(wěn)定的且有最優(yōu)解 。
根據(jù)上述結(jié)論和前面對(duì)于對(duì)偶最優(yōu)解的經(jīng)濟(jì)討論，我們引入一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念一一擬對(duì)偶最優(yōu)解，其定義為：
yi(di)=[M(b+di×ei)-M(b)]/di
其中di是一正數(shù)，ei是m維向量，其第i個(gè)分量是1，其余為0。M(·)是一極值映射，定義為：M(b)=sup{E{GMC(x,ξ)}|Ax￡b,x30}。一般說(shuō)來(lái)di愈小,yi(di)就愈接近對(duì)偶最優(yōu)解。顯然，擬對(duì)偶最優(yōu)解表示創(chuàng)利額關(guān)于資源的變動(dòng)率。由此看出，對(duì)偶最優(yōu)解 和bi的乘積恰好是在決策為 時(shí)創(chuàng)利額在資源b點(diǎn)關(guān)于bi的彈性。至此，我們運(yùn)用共軛對(duì)偶理論分析了創(chuàng)利額的經(jīng)濟(jì)模型，并給出了一些經(jīng)濟(jì)解釋。
勿須諱言，非線性規(guī)劃理論在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用是有限的，其原因之一是太數(shù)學(xué)化。我們引入擬對(duì)偶解的目的在于增加對(duì)偶理論的實(shí)用性。需要指出，拉格朗日乘子常和對(duì)偶最優(yōu)解是一致的。因此，可以通過(guò)Kuhn-Tucker條件去求對(duì)偶最優(yōu)解。不過(guò)這經(jīng)常是困難的。
第六章 經(jīng)濟(jì)控制論模型
§6.1 系統(tǒng)論方法
一、基本思想
十九世紀(jì)的科學(xué)發(fā)展的突出特點(diǎn)是摒棄了目的范疇；致力于把數(shù)學(xué)方法與實(shí)驗(yàn)方法結(jié)合起來(lái)；并以還原論作為方法論。雖然近代科學(xué)在研究簡(jiǎn)單系統(tǒng)的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)方面取得了成功，但是面對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)提出的諸多問(wèn)題仍然束手無(wú)策。一般系統(tǒng)論的創(chuàng)立，正是在這種背景下應(yīng)運(yùn)而生的。系統(tǒng)論的特點(diǎn)在于用系統(tǒng)的觀點(diǎn)去看待世界，其研究對(duì)象是復(fù)雜系統(tǒng)。
系統(tǒng)論和物理主義的區(qū)別是什么呢？從方法論的角度看有三個(gè)重要不同點(diǎn)：
1）思辯原則代替實(shí)驗(yàn)原則
物理主義認(rèn)為，自然科學(xué)可以分成經(jīng)驗(yàn)（實(shí)驗(yàn)）和理論（數(shù)學(xué)）兩個(gè)部分，但系統(tǒng)論卻使之徹底改觀。今天，在分析和研究復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)，實(shí)驗(yàn)員被在計(jì)算機(jī)上模擬系統(tǒng)的數(shù)學(xué)家代替，理論家則被精通被研究對(duì)象并能解釋計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的經(jīng)驗(yàn)家代替。我們需要這類(lèi)思辯實(shí)驗(yàn)并非由于實(shí)驗(yàn)設(shè)備不完善，而是由于被研究對(duì)象是復(fù)雜系統(tǒng)。對(duì)整個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行經(jīng)典意義下的實(shí)驗(yàn)，無(wú)疑是荒誕的。例如，社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在時(shí)空上不斷變化，結(jié)構(gòu)又極其錯(cuò)綜松散，因此難以進(jìn)行全面的模擬。
2）整體論代替還原論
物理主義的基本原則之一是還原論。即在研究整體時(shí)先將整體分解成若干部分，然后研究諸部分的性質(zhì)，再?gòu)闹锌梢源_定整體的性質(zhì)。然而復(fù)雜系統(tǒng)與簡(jiǎn)單系統(tǒng)的一個(gè)重要的區(qū)別就在于，它不遵從還原論。例如，即使我們熟知每個(gè)社會(huì)基本單位一一家庭的結(jié)構(gòu)，也不能解釋社會(huì)行為和倫理?！?br> 3）目的論代替因果論
物理主義建立在自然定律的基礎(chǔ)上。其因果定律源于對(duì)簡(jiǎn)單系統(tǒng)的大量實(shí)驗(yàn)，并通常珍述成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式。因而欲推翻某一定律，只須做出一個(gè)不符合該定律的實(shí)驗(yàn)即可。但是復(fù)雜系統(tǒng)卻不一樣，它的許多特性是相互關(guān)聯(lián)的，因而反映系統(tǒng)個(gè)別特性的模型可能與系統(tǒng)本身不相容。
那么，什么是系統(tǒng)的定律呢？目的論的答案只有在對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)有關(guān)目的性的行為作出假定后，才有可能對(duì)其特性進(jìn)行簡(jiǎn)單的解釋?zhuān)酥恋玫接脭?shù)學(xué)形式表達(dá)的定律。
二、基本概念
下面我們對(duì)系統(tǒng)論的基本概念作一個(gè)描述性的說(shuō)明。在"系統(tǒng)"一詞被通俗化的今天，尤其有這個(gè)必要。需要說(shuō)明的是，我們與其說(shuō)是在形式化的定義，還不如說(shuō)是解釋性的定義。
首先，系統(tǒng)指的是由相互作用的和相互依賴(lài)的若干組成部分結(jié)合而成的具有特定功能的有機(jī)整體。由于客觀世界的層次結(jié)構(gòu)，某個(gè)系統(tǒng)本身是它所從屬的一個(gè)更大的系統(tǒng)的組成部分，同時(shí)，該系統(tǒng)本身又具有自己的諸要素的體系。系統(tǒng)是由結(jié)構(gòu)和行為來(lái)決定的。對(duì)系統(tǒng)學(xué)來(lái)說(shuō)，結(jié)構(gòu)和行為就象物理學(xué)中的空間和時(shí)間一樣，是一種極為基礎(chǔ)的概念。在系統(tǒng)論里，系統(tǒng)的行為理解為系統(tǒng)隨時(shí)間的動(dòng)作，而系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)則理解為對(duì)系統(tǒng)要素間的聯(lián)系在時(shí)間上不變的規(guī)定。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隨時(shí)間的變化可看作是系統(tǒng)的演化。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可劃分成兩種：形式結(jié)構(gòu)和非形式結(jié)構(gòu)。形式結(jié)構(gòu)指的是直接把位于下一層次水平上的系統(tǒng)看作不可分割的要素。非形式結(jié)構(gòu)指的則是?quot;原始"要素作為系統(tǒng)的要素。顯然，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是一個(gè)相對(duì)性的概念。因此，在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)概念基礎(chǔ)上定義"復(fù)雜系統(tǒng)"是非常困難的，有時(shí)甚至是不可能的。由于這個(gè)緣故，有時(shí)盡力避開(kāi)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)這個(gè)概念，而利用系統(tǒng)行為這個(gè)概念。憑直覺(jué)可以看出，系統(tǒng)行為的復(fù)雜性的增加（至少要到個(gè)體這個(gè)水平）是與系統(tǒng)非形式結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的增加聯(lián)系在一起的。因此我們可以用系統(tǒng)行為的復(fù)雜性來(lái)確定系統(tǒng)的復(fù)雜性?！?br> 為了闡明"復(fù)雜系統(tǒng)"這個(gè)概念，我們先定義"決策行動(dòng)"。決策行動(dòng)指的是選擇備選方案，其中也包括利用隨機(jī)機(jī)制進(jìn)行選擇（就是說(shuō)，這時(shí)完全不必是理智選擇）。當(dāng)系統(tǒng)的行為本來(lái)就是決策行動(dòng)時(shí)，這樣的系統(tǒng)就叫做決策系統(tǒng)。如果系統(tǒng)中至少有一個(gè)決策系統(tǒng)作為子系統(tǒng)，則該系統(tǒng)就稱(chēng)為復(fù)雜系統(tǒng)。不具備決策行動(dòng)的系統(tǒng)，就稱(chēng)為簡(jiǎn)單系統(tǒng)。特別地，決策系統(tǒng)本身就是復(fù)雜系統(tǒng)。我們隱含地認(rèn)為：一切系統(tǒng)力圖達(dá)到對(duì)它來(lái)說(shuō)的最佳狀態(tài)。這就稱(chēng)為系統(tǒng)的趨的行動(dòng)，并稱(chēng)這個(gè)狀態(tài)為系統(tǒng)的目的。而只有復(fù)雜系統(tǒng)才具有目的。
其次，我們結(jié)合系統(tǒng)論對(duì)模型作一個(gè)回顧。按系統(tǒng)屬性，系統(tǒng)可劃分成物質(zhì)系統(tǒng)和符號(hào)系統(tǒng)。符號(hào)系統(tǒng)在某種程度上能夠反映物質(zhì)系統(tǒng)。符號(hào)系統(tǒng)可稱(chēng)為系統(tǒng)的符號(hào)模型。非符號(hào)模型（物質(zhì)系統(tǒng)在同一物質(zhì)系統(tǒng)中的反映）叫做類(lèi)比模型。由于在系統(tǒng)學(xué)中往往只討論符號(hào)模型，因此就把符號(hào)模型簡(jiǎn)稱(chēng)為模型。系統(tǒng)學(xué)不僅研究現(xiàn)有物質(zhì)系統(tǒng)的模型，還研究現(xiàn)實(shí)物理世界中可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的模型（可實(shí)現(xiàn)模型）。此外，為了解釋和（或）預(yù)測(cè)復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和（或）行為，在觀測(cè)誤差的范圍內(nèi)往往可能建立起來(lái)幾個(gè)模型?！?br> 再次，對(duì)于許多類(lèi)型的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，關(guān)于規(guī)律或多或少具有普遍性這個(gè)觀點(diǎn)是與其適用的范圍聯(lián)系在一起的。物理主義發(fā)現(xiàn)的還只是自然界中簡(jiǎn)單的普遍自然定律，其原因就在于，它所研究的簡(jiǎn)單系統(tǒng)的諸性質(zhì)在實(shí)際上是相互獨(dú)立的。因此，簡(jiǎn)單系統(tǒng)的這些單獨(dú)性質(zhì)的仿真模型與簡(jiǎn)單系統(tǒng)本身是完全相符的。
復(fù)雜系統(tǒng)與簡(jiǎn)單系統(tǒng)不一樣，它具有本質(zhì)上聯(lián)系的眾多性質(zhì)。所以，復(fù)雜系統(tǒng)單個(gè)性質(zhì)的仿真模型與復(fù)雜系統(tǒng)是不完全相符的。復(fù)雜系統(tǒng)的眾多性質(zhì)的仿真模型是非常復(fù)雜的，而且缺乏一般性。
那么，怎樣理解復(fù)雜系統(tǒng)的規(guī)律呢？這里，我們需要討論一下解釋和預(yù)測(cè)這兩個(gè)概念以及它們與理論和實(shí)驗(yàn)的關(guān)系，在系統(tǒng)學(xué)里，這是需要予以重新陳述的。這是因?yàn)?，如果?fù)雜系統(tǒng)與它的仿真模型相符合的程度越高，即模型的復(fù)雜程度越接近原型，則對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性越高，而解釋的質(zhì)量卻越低。在許多情況下，解釋的概念在系統(tǒng)學(xué)中與在物理主義中不同，有著另外的含義。事實(shí)上，物理主義遵循還原論，它是依據(jù)盡可能低的系統(tǒng)水平（直到原子、粒子）上的現(xiàn)象來(lái)解釋某個(gè)系統(tǒng)水平上的現(xiàn)象。與此不同，系統(tǒng)學(xué)解釋現(xiàn)象的基本原則是下面將要闡述的一步遞推原則。
物理主義賦于預(yù)測(cè)以傳統(tǒng)的含義，就是由物理定律來(lái)預(yù)先確定系統(tǒng)的未來(lái)行為或某未來(lái)行為發(fā)生的概率。系統(tǒng)學(xué)里則是利用計(jì)算機(jī)仿真來(lái)實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)就是在比現(xiàn)實(shí)世界中快得多的機(jī)器時(shí)間的進(jìn)程中進(jìn)行各種狀態(tài)?quot;抽簽"。為了預(yù)測(cè)復(fù)雜系統(tǒng)的行為，在計(jì)算機(jī)仿真的同時(shí)還利用半直覺(jué)的專(zhuān)家方法（人一機(jī)對(duì)話），這就在某種程度上復(fù)活了古代特爾斐預(yù)言家的實(shí)踐活動(dòng)。
三、系統(tǒng)學(xué)的若干基本原則
1、層次組織原則
我們所知道的這部分世界里存在著逐漸產(chǎn)生并相互作用著的三個(gè)層次，這就是自然產(chǎn)生的物理生物層次、社會(huì)層次以及人工產(chǎn)生的技術(shù)層次。無(wú)論是自然系統(tǒng)還是人工系統(tǒng)，層次組織原則均能使它們處于隸屬的地位。例如對(duì)物理生物層次來(lái)說(shuō)，其層次水平大致是：原子一分子一細(xì)胞一個(gè)體一群體一種群一生物群落一生物圈。每當(dāng)上升到高一極的層次水平時(shí)，位于下一極水平上的系統(tǒng)就成為上一級(jí)水平系統(tǒng)的要素。層次組織原則在系統(tǒng)學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用?！?br> 2、系統(tǒng)行為復(fù)雜化原則
系統(tǒng)行為復(fù)雜化原則中目前從經(jīng)驗(yàn)上已發(fā)現(xiàn)的一些原則如下：
?。?）物質(zhì)能量平衡原則（基于守恒定律）；
?。?）穩(wěn)態(tài)原則（基于反饋概念）；
?。?）決策選擇原則（基于歸納行為）；
（4）前景積極性原則或未來(lái)需要原則（預(yù)適應(yīng)，超前反應(yīng)）；
?。?）反射原則（超前反映）。
必須指出的是，在某個(gè)水平的系統(tǒng)中首先發(fā)現(xiàn)的行為原則，對(duì)更高復(fù)雜性水平的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)都是成立的。但是，對(duì)于某一個(gè)水平系統(tǒng)的行為原則而言，其中起決定作用的仍然應(yīng)該是在這個(gè)水平系統(tǒng)中首先發(fā)現(xiàn)的原則。例如，最低水平的系統(tǒng)所固有的物質(zhì)能量平衡原則對(duì)所有系統(tǒng)直到高度復(fù)雜的系統(tǒng)都是成立的。但是，這個(gè)原則僅只對(duì)最簡(jiǎn)單的系統(tǒng)才是決定性的。
3、反直覺(jué)行為原則
有不少學(xué)者注意到這個(gè)原則，它可以陳述如下：僅僅根據(jù)固有經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)來(lái)給出相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)行為的滿意預(yù)測(cè)實(shí)際上是不可能的。我們的直覺(jué)是在與簡(jiǎn)單系統(tǒng)打交道的過(guò)程中培養(yǎng)起來(lái)的，而簡(jiǎn)單系統(tǒng)中各要素的聯(lián)系總是能夠弄清楚的。復(fù)雜系統(tǒng)行為的反直覺(jué)性就在于，它對(duì)作用的反應(yīng)同我們直覺(jué)上期待的結(jié)果比較起來(lái)完全是另外一回事。
4、極小極大建模原則
對(duì)于復(fù)雜性不斷增加的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其理論仍然應(yīng)該由最簡(jiǎn)單的模型來(lái)構(gòu)成。最簡(jiǎn)單模型中的每一個(gè)模型哪怕是在極小程度上（極?。┒紤?yīng)該反映出復(fù)雜性水平不斷增加的（極大）系統(tǒng)行為。換句話說(shuō)，模型的形式上的復(fù)雜性（例如，描述模型的方程數(shù)目）不應(yīng)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的非形式上的復(fù)雜性（系統(tǒng)行為的復(fù)雜性）。
由這條原則可以得到一個(gè)推論：較復(fù)雜系統(tǒng)的粗糙模型與較簡(jiǎn)單系統(tǒng)的較精確模型比較起來(lái)可能還要簡(jiǎn)單些。這在系統(tǒng)學(xué)中引起樂(lè)觀。
因此，為了建立系統(tǒng)（其中包括復(fù)雜系統(tǒng)）的理論模型，就需要前述的系統(tǒng)行為復(fù)雜化原則的知識(shí)。
必須指出的是，這條原則僅提出了要求，除了要援引系統(tǒng)行為復(fù)雜化原則作為建立理論的簡(jiǎn)單模型之外，并沒(méi)有任何具體的構(gòu)造性建議。
5、不相容原則
根據(jù)近代科學(xué)中養(yǎng)成的習(xí)慣，對(duì)現(xiàn)象的理解與對(duì)現(xiàn)象作定量分析的可能性是等價(jià)的。對(duì)于這種可能性，不相容原則增添了限制：對(duì)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)分析得越深入，那么關(guān)于系統(tǒng)行為的判斷就確定得越少。
6、定律形成原則
與物理主義不同，系統(tǒng)學(xué)完全是在另外的一種邏輯基礎(chǔ)上建立復(fù)雜系統(tǒng)的定律的：先假定可實(shí)現(xiàn)模型，從其中用定理的形式引出復(fù)雜系統(tǒng)定律。
推論6-1 定律涉及現(xiàn)有的或未來(lái)的自然系統(tǒng)和人工系統(tǒng)。定律能夠解釋自然系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和行為，并指導(dǎo)建立人工系統(tǒng)。
推論6-2 任何現(xiàn)象都不能推翻或者證實(shí)具有演繹性質(zhì)的系統(tǒng)學(xué)定律。
這個(gè)斷言應(yīng)該這樣來(lái)理解。對(duì)現(xiàn)實(shí)復(fù)雜系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)與定律之間不一致，僅僅說(shuō)明現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)與用來(lái)導(dǎo)出定律的那個(gè)模型類(lèi)別不一致，并不是說(shuō)定律被駁倒。另一方面，即使實(shí)驗(yàn)與定律一致，也無(wú)論如何不能把它與定律的證實(shí)聯(lián)系在一起。這種一致只說(shuō)明，關(guān)于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)與用來(lái)導(dǎo)出定律的那個(gè)模型類(lèi)別相一性的假定沒(méi)有被推翻，可以繼續(xù)用作假定。
根據(jù)這條原則，理論是由用數(shù)學(xué)模型的形式表述的假說(shuō)構(gòu)成的。由這種數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出的理論（定律），應(yīng)有可能將其中的部分結(jié)果與所研究原型的某些宜于試驗(yàn)的特性加以對(duì)比。另一部分結(jié)果可用來(lái)對(duì)原型的相應(yīng)特性進(jìn)行理論預(yù)測(cè)。對(duì)于獨(dú)一無(wú)二的復(fù)雜系統(tǒng)，只有它們的非整體特性才能與理論進(jìn)行對(duì)比。預(yù)測(cè)的可信程度取決于理論與容許試驗(yàn)確定的特性之間相符合的程度。
§6.2 一個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最優(yōu)控制模型
經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象或經(jīng)濟(jì)過(guò)程都可以看作由若干相互作用相互依賴(lài)的經(jīng)濟(jì)要素組合而成的復(fù)雜系統(tǒng)。這里要介紹的就是一個(gè)運(yùn)用系統(tǒng)論和控制論研究宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的案例。美國(guó)人平代克(R.S. Pindyck)在對(duì)美國(guó)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上，于1971年構(gòu)造并提出了一個(gè)小型美國(guó)的宏觀經(jīng)濟(jì)模型，在模型上成功的進(jìn)行了最優(yōu)穩(wěn)定政策控制實(shí)驗(yàn)，具體研究了財(cái)政政策、貨幣政策對(duì)美國(guó)經(jīng)濟(jì)的影響和作用。
一、 建模構(gòu)想和模型結(jié)構(gòu)
為了使仿真模型能夠較好地?cái)M合現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)又便于進(jìn)行政策"試驗(yàn)"，平代克構(gòu)模時(shí)的原則是：
1.在系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上合理地確定宏觀經(jīng)濟(jì)變量數(shù)量并認(rèn)真篩選基本宏觀經(jīng)濟(jì)變量，掌握好模型的變量與規(guī)模。
2.采用通行的經(jīng)濟(jì)理論為指導(dǎo)，使結(jié)構(gòu)更為合理，減少爭(zhēng)議。
3.對(duì)于經(jīng)濟(jì)變量之間的非線性關(guān)系和時(shí)滯問(wèn)題進(jìn)行必要調(diào)整或技術(shù)處理，使模型最終化為完全線性化的動(dòng)態(tài)差分方程。
4.充分利用已有歷史數(shù)據(jù)和先進(jìn)的統(tǒng)計(jì)計(jì)量方法，使模型參數(shù)與歷史值盡可能地?cái)M合。
平代克模型最終形式是一個(gè)季度經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型，模型選用10個(gè)基本經(jīng)濟(jì)變量作為內(nèi)生變量和系統(tǒng)的狀態(tài)變量，并以凱恩斯經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)構(gòu)造各經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系和模型結(jié)構(gòu)，模型的參數(shù)設(shè)定采用了美國(guó)1955到1968年"現(xiàn)代商業(yè)資料"提供數(shù)據(jù)和自回歸變換協(xié)同最小二乘法。
設(shè)狀態(tài)變量
x1(k)=C(k) 個(gè)人消費(fèi) 單位：10億美元
x2(k)=INR(k) 非住宅投資 單位：10億美元
x3(k)=IR(k) 住宅投資 單位：10億美元
x4(k)=IIN(k) 商業(yè)庫(kù)存變動(dòng) 單位：10億美元
x5(k)=R(k) 短期利率 單位：百分?jǐn)?shù)
x6(k)=RL(k) 長(zhǎng)期利率 單位：百分?jǐn)?shù)
x7(k)=P(k) 物價(jià)水平 單位：1958年水平=100
x8(k)= UR(k) 失業(yè)率 單位：百分?jǐn)?shù)
x9(k)=W(k) 小時(shí)工資 單位：美元
x10(k)=YD(k) 納稅后的可支配收入 單位：10億美元
政策-控制(外生)變量
u1(k)=TO(k) 附加稅 單位：10億美元
u2(k)=G(k) 政府支出 單位：10億美元
u3(k)=DM(k) 在一個(gè)季度貨幣供應(yīng)的變化 單位：10億美元
其他外生變量
z1(k)=1.0 對(duì)所有K均為常數(shù)
z2(k)=YDP 潛在國(guó)民收入
平代克經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型可表為：
x1(k)=-2.368x7 (k)+0.415x10 (k)+0.7596x1 (k-1)+2.368x7(k-1)+8.174x9(k-1)
-0.282x10(k-1)+5.299z1(k-1)
x2(k)=0.157x10(k)+1.336x2(k-1)-0.157x10(k-1)-0.344x2(k-2)-1.356x6(k-5)
+1.356x6(k-6)+0.044x10(k-3)-0.044x10(k-4)
x3(k)=0.0127x10(k)+0.603x3(k-1)-0.55x5(k-2)-0.55x5(k-3)-0.465x10(k-5)+6.65-
2.462z1(k-1)
x4(k)=-0.60x1(k)+0.4763x10(k)+0.422x4(k-1)+0.60x1(k-1)-0.465x10(k-5)-
2.462z1(k-1)
x5(k)=0.479x7(k)+0.0415x10(k)+0.375x5(k-1)-0.479x7(k-1)-0.0344x10(k-1)-
0.165u3(k-1)-0.1473z1(k)
x6(k)=0.06x5(k)+0.0055x10(k)+0.871x6(k-1)-0.0055x10(k-4)+0.313z1(k-1)
x7(k)=-0.0156x10(k)+0.804x7(k-1)+6.28x9(k-1)+0.0195x10(k-1)-0.033x4(k-2)
+14.55z1(k-1)-0.0195z2(k-1)
x8(k)=-0.00043x10(k)+0.805x8(k-1)+0.0024x9(k-1)-0.00003x10(k-1)
+0.00032x10(k-5)+0.0065z1(k-1)+0.00014z2(k-1)
x9(k)=0.0012x10(k)+0.627x9(k-1)-0.0001x10(k-1)+0.011x7(k-3)-0.828x8(k-4)
x10(k)=0.85x1(k)+0.85x2(k)+0.85x3(k)+0.85x4(k)-u1(k-1)+0.85u2(k-1)
將模型在計(jì)算機(jī)上對(duì)1955年第一季度到1969年第四季度期間美國(guó)經(jīng)濟(jì)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，這時(shí)政策變量中政府費(fèi)用和貨幣供應(yīng)均取歷史值，附加稅收取零。結(jié)果表明：消費(fèi)、價(jià)格水平、工資率、變動(dòng)曲線與歷史曲線十分?jǐn)M合，非住宅投資、短、長(zhǎng)期利率軌線也與實(shí)際擬合較好，住宅投資、庫(kù)存投資和失業(yè)率則擬合較差，問(wèn)題主要是在設(shè)定庫(kù)存投資方程時(shí)，為了穩(wěn)定模型，采用了YD和C兩個(gè)季度差分，需要加以改進(jìn)。
二、 模型的最優(yōu)穩(wěn)定政策試驗(yàn)
1. 最優(yōu)控制模型
為了使最優(yōu)穩(wěn)定政策試驗(yàn)時(shí)能直接應(yīng)用最優(yōu)控制理論的有關(guān)結(jié)果，需要對(duì)模型作進(jìn)一步的調(diào)整：
引入新的狀態(tài)變量即附加變量來(lái)替代時(shí)滯超過(guò)一個(gè)周期的變量，將動(dòng)態(tài)方程化為狀態(tài)空間形式：
X(k+1)=AX(k)+BU(k)+CZ(k)
其中X(k)為28維狀態(tài)向量，前10個(gè)分量為已定義的基本經(jīng)濟(jì)變量，其余均為附加變量。U(k)為3維控制向量即政策向量，Z(k)為2維外生變量，分別為YDP（潛在可支配收入）和常數(shù)1。A、B、C分別為28′28，28′3，28′2的矩陣，均可以在方程整理過(guò)程中推出。
進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，確定價(jià)值函數(shù)的形式：
其中 （t=0，1，…，N）表示第t季度的狀態(tài)向量實(shí)際值
?。╰=0，1，…，N）表示第t季度的狀態(tài)向量的標(biāo)準(zhǔn)值，即理想值
q 為28′28的半正定對(duì)角矩陣，其對(duì)角線元素為對(duì)應(yīng)各經(jīng)濟(jì)分量偏離標(biāo)準(zhǔn)軌 線的罰數(shù)，也稱(chēng)價(jià)值參數(shù)，其值大小也體現(xiàn)了政策試驗(yàn)的目標(biāo)，附加向量對(duì)應(yīng)位置取零
R 為3′3的正定對(duì)角矩陣，其對(duì)角線元素為各控制變量偏離標(biāo)準(zhǔn)軌線的罰數(shù)，也稱(chēng)為價(jià)值參數(shù)，其值大小也表明試驗(yàn)采用了什么政策手段
確定模型的初值x0和各標(biāo)準(zhǔn)值（標(biāo)準(zhǔn)軌線）。本例中，初值被定為美國(guó)1957年第一季度各經(jīng)濟(jì)量的歷史值，狀態(tài)變量和政策變量的標(biāo)準(zhǔn)軌線分別由表1和表2給出。外生變量中，將潛在可支配收入的趨向界限定為可能的國(guó)民生產(chǎn)總值GDP的85%，另一外生變量為常數(shù)1。
表1
狀態(tài)變量 標(biāo)準(zhǔn)值取值
從初值起每年增長(zhǎng)4%從初值起每年增長(zhǎng)6%從初值起每年增長(zhǎng)6%從初值起每年增長(zhǎng)4%取初值3.1%取初值3.3%從初值起每年增長(zhǎng)2%取常數(shù)2%從初值起每年增長(zhǎng)6%從初值起每年增長(zhǎng)4%
表2
政策變量 標(biāo)準(zhǔn)值取值
0從1956年第四季度實(shí)際值開(kāi)始每年增長(zhǎng)4%從初值開(kāi)始每季增加＄14億，而每年增長(zhǎng)4%
最優(yōu)控制問(wèn)題最終可表述為：
在狀態(tài)方程
X(k+1)=AX(k)+BU(k)+CZ(k)
及初始值條件x(0)=x0的約束下，求解最優(yōu)控制序列
使目標(biāo)函數(shù)
取最小值。
由于目標(biāo)函數(shù)為二次的，該最優(yōu)控制模型也稱(chēng)為線性二次型問(wèn)題，簡(jiǎn)稱(chēng)LQ(Linenr-Quadratic)問(wèn)題。最優(yōu)控制序列可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解，并在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，結(jié)果將是狀態(tài)的線性反饋形式。
2. 最優(yōu)穩(wěn)定政策試驗(yàn)
下面將進(jìn)行多種形式的最優(yōu)穩(wěn)定政策試驗(yàn)。每次試驗(yàn)方案都是通過(guò)對(duì)價(jià)值函數(shù)中矩陣q和R的對(duì)角線元素的設(shè)定中體現(xiàn)出來(lái)。
試驗(yàn)1 價(jià)值函數(shù)定義如下：
C INR IR IIN R RL P UR W YD
q 1 6 15 0 0 0 6 4′106 0 0
TO G DM
R 6 3 300
定義表明：試驗(yàn)主要通過(guò)財(cái)政政策手段G討論對(duì)YD，W，IIN等各種經(jīng)濟(jì)變量作用與影響。
結(jié)果顯示：消費(fèi)、非住宅投資、住宅投資和可支配國(guó)民收入全部運(yùn)行結(jié)果比標(biāo)準(zhǔn)軌線升高。 失業(yè)率下降大約3%，表明使失業(yè)率下降的唯一途徑是增加GNP。而且高消費(fèi)、高投資與低失業(yè)率一致。與此同時(shí)，約有5%的通貨膨脹率，工資增長(zhǎng)率達(dá)8-12%之間。迅速上升的GNP促使貨幣需求上升，從而導(dǎo)致利率上升，由模型得到最優(yōu)政策也主要體現(xiàn)在財(cái)政手段上，政府費(fèi)用平均高于標(biāo)準(zhǔn)值60億美元上下，貨幣供應(yīng)略有上升，變化幅度在15億美元左右。
試驗(yàn)2 價(jià)值函數(shù)定義如下：
C INR IR IIN R RL P UR W YD
q 1 6 15 0 0 0 0 4′106 0 0
TO G DM
R 60 3 15
定義表明：試驗(yàn)將貨幣政策作為達(dá)到上次試驗(yàn)相同目標(biāo)的手段，與附加稅對(duì)應(yīng)的價(jià)值參數(shù)增加了10倍。
結(jié)果顯示：可支配國(guó)民收入再次上升超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)線，失業(yè)率也下降大約3%，價(jià)格以每年5%的通貨膨脹率迅速上升。這次運(yùn)行與上次試驗(yàn)區(qū)別在于在政府費(fèi)用大小與前期相當(dāng)、附加稅為負(fù)的情況下，最優(yōu)政策可認(rèn)為是貨幣供應(yīng)有意義的擴(kuò)充，幅度達(dá)到20億美元/季，利率上升幅度不大。
試驗(yàn)3 價(jià)值函數(shù)定義為
C INR IR IIN R RL P UR W YD
q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1000
TO G DM
R 10000 3 30000
定義表明：試驗(yàn)用一個(gè)控制變量來(lái)迫使一個(gè)內(nèi)生變量保持在標(biāo)準(zhǔn)軌線的情況。
結(jié)果顯示：可支配國(guó)民收入幾乎正好確定在標(biāo)準(zhǔn)軌線上，此時(shí)政府費(fèi)用在計(jì)劃期大多時(shí)間里只略高于標(biāo)準(zhǔn)軌線，說(shuō)明要達(dá)到目的并不需要采用極度的財(cái)政政策。當(dāng)政府費(fèi)用和可支配收入標(biāo)準(zhǔn)軌線建立在每年4%的增加率的基礎(chǔ)上時(shí)與實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)相符，這時(shí)失業(yè)率大多數(shù)情況下保持在4.5%的水平。同時(shí)經(jīng)濟(jì)將經(jīng)歷4-4.5%通貨膨脹率。
試驗(yàn)4 價(jià)格函數(shù)定義為
C INR IR IIN R RL P UR W YD
q 0 0 0 0 0 0 120 4′106 0 0
TO G DM
R 10000 3 300
定義表明：試驗(yàn)企圖同時(shí)用財(cái)政和貨幣政策了解適當(dāng)?shù)耐ㄘ浥蛎浡屎洼^低失業(yè)率之間轉(zhuǎn)換關(guān)系。其中附加稅收參數(shù)設(shè)置取很高的值，目的是將其分解出來(lái)，將政府費(fèi)用作為單一的財(cái)政政策手段。
結(jié)果顯示：可支配國(guó)民收入呈著上升達(dá)每年6%。失業(yè)率下降，在計(jì)劃期最后一年達(dá)到2%。價(jià)格水平增長(zhǎng)很快，通貨膨脹率達(dá)5.5%，盡管此時(shí)貨幣供應(yīng)增長(zhǎng)比標(biāo)準(zhǔn)情況要高，但可支配國(guó)內(nèi)收入增加主要是政府費(fèi)用增加的結(jié)果。
此次試驗(yàn)中價(jià)值函數(shù)中通貨膨脹價(jià)值參數(shù)2倍于高失業(yè)率的價(jià)值參數(shù)，但結(jié)果仍是低失業(yè)率。高通貨膨脹的價(jià)格水平的增長(zhǎng)率是由于初始的GNP和工資率觸發(fā)的，要使通貨膨脹率回降，應(yīng)采用更為激烈的財(cái)政政策，致使相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間里產(chǎn)生高失業(yè)率。模型試驗(yàn)表明要在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間周期里達(dá)到低失業(yè)率要比達(dá)到較低通貨膨脹率更容易。
類(lèi)似地利用最優(yōu)控制模型還可做更多的政策試驗(yàn)，盡管該模型是一個(gè)容量很小而且大大簡(jiǎn)化的宏觀經(jīng)濟(jì)模型，但仍然可以幫助我們了解到一個(gè)極為復(fù)雜的宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中的動(dòng)態(tài)行為特征，并提供了有關(guān)穩(wěn)定政策的許多有益的啟示。
第七章 計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型分析
本章主要闡述計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的整個(gè)建模過(guò)程，計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的特點(diǎn)在于首先提出經(jīng)濟(jì)假說(shuō)，然后確立變量之間的因果關(guān)系，最后收集統(tǒng)計(jì)資料的基礎(chǔ)上，估計(jì)模型參數(shù)，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。本章包括計(jì)量模型分析的基礎(chǔ)和建立計(jì)量模型的一些基本方法。首先討論構(gòu)成計(jì)量分析基礎(chǔ)的最小二乘法(OLS ：Ordinary Least Squares)，然后指出在實(shí)證分析中運(yùn)用OLS估計(jì)時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題，最后探討計(jì)量分析的一些新發(fā)展。
§7.1 經(jīng)濟(jì)模型的最小二乘估計(jì)
一﹑OLS估計(jì)及其性質(zhì)
經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系通過(guò)數(shù)學(xué)化的函數(shù)來(lái)表示，就形成了經(jīng)濟(jì)模型。根據(jù)觀察到的數(shù)據(jù)對(duì)給出的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法稱(chēng)為回歸分析。假設(shè)根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，變量Yt依賴(lài)于k個(gè)變量Xit (i =1,2,…k),且Yt和Xit 之間有如下的線性關(guān)系成立
Yt =b1X1t ＋b2X2t ＋…＋bkXkt ＋ut t=1,2,…,n (1)
例如上述模型中Yt 可以看成貨幣需求而把Xit 看成GNP、利率、匯率、通貨膨脹率。模型中Yt、Xit 分別稱(chēng)為被解釋變量和解釋變量。另外模型（1）中包含隨機(jī)誤差項(xiàng)ut，簡(jiǎn)而言之,ut被認(rèn)為對(duì)于Yt的變化Xit不能解釋的微小變動(dòng)的全部，或者說(shuō)沒(méi)有在模型中明確表示的所有影響Yt因素的總和。如果ut=0，Yt成為Xit的線性函數(shù)，但是Yt一般同隨機(jī)誤差項(xiàng)ut有關(guān)，由于ut是未知回歸平面同觀測(cè)值Yt的差，實(shí)際上我們無(wú)法得到ut的真正數(shù)據(jù)，即使這樣它在模型中起的作用是任何其它變量所不能替代的，可以說(shuō)隨機(jī)誤差項(xiàng)的引進(jìn)才使得經(jīng)濟(jì)模型的識(shí)別成為了可能。回歸分析是指根據(jù)觀察數(shù)據(jù)，求得模型中參數(shù)bi的估計(jì)值，同時(shí)檢驗(yàn)Yt和Xit的關(guān)系是否的確如（1）所假設(shè)線性關(guān)系的整個(gè)過(guò)程。
考慮未知參數(shù)的函數(shù)
求出參數(shù)(b1,b2…bk)的估計(jì)量(b1,b2…bk)使上述函數(shù)|(b1,b2…bk)達(dá)到最小值的方法稱(chēng)為最小二乘方法。本章中設(shè)X1t =1,主要是為了考慮包括常數(shù)項(xiàng)的模型。如果引進(jìn)向量和矩陣符號(hào)可以把（1）寫(xiě)成矩陣表達(dá)形式。
Y=Xb＋U (3)
其中Y=(Y1,Y2,…Yn)T
b=(b1,b2,…bk)T
U=(u1,u2,…un)T
平方和的函數(shù)形式（2）變成向量的內(nèi)積形式
|(b)=(Y－Xb)T(Y－Xb) (4)
根據(jù)矩陣函數(shù)的求導(dǎo)法則和微分學(xué)中求極值的方法可知，要使（4）達(dá)到極小值，參數(shù)的估計(jì)量應(yīng)滿足條件：
即
XTXb=XTY
容易得到
b=(XTX)-1XTY
b稱(chēng)為b的最小二乘估計(jì)， =Xb稱(chēng)為估計(jì)回歸平面，注意到為求出OLS估計(jì)用到了(XTX)-1存在的條件。為了使OLS估計(jì)b具有統(tǒng)計(jì)上一些重要的性質(zhì)，對(duì)于模型（3）有必要做出如下的假定：
1）誤差項(xiàng)ut的期望為0，即E(ut)=0 (t=1,2,…n)
2）不同時(shí)點(diǎn)的誤差項(xiàng)之間不相關(guān)，即E(utus)=0 (t1s,t,s=1,2, …n)
3）ut的方差和t無(wú)關(guān)，即Var(ut)=s2 (t=1,2,…n)
4）Xit為確定性變量，即E(Xitut)=0
5）由X的列向量構(gòu)成的向量組線性無(wú)關(guān)，即r(X)=k
6）ut服從正態(tài)分布，即ut∽N(0,s2) (t=1,2,…n)
由于b－b = (XTX)-1XTY－b
= (XTX)-1XT(Xb＋U)－b
= (XTX)-1XTU
在上述條件成立的前提下，容易求出b的期望為
E(b)=b
b的協(xié)方差矩陣為
Var(b)=E[(b－b)(b-b)T]
=(XTX)-1XTE(UUT)X(XTX)-1
=(XTX)-1s2
同時(shí)最小二乘估計(jì)量給出參數(shù)的最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)(best linear unbiased estmators:略為blue)，即在所有可能的線性無(wú)偏估計(jì)的集合之中b具有最小協(xié)方差矩陣（半正定的意義上）。在這里需要讀者留意的是在證明b的blue性質(zhì)時(shí)，并不需要ut關(guān)于正態(tài)分布的假定6），只有在對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，才用到此條假設(shè)。關(guān)于OLS估計(jì)的最小方差性的證明，可以查閱參考文獻(xiàn)[41]。我們稱(chēng)滿足假定1）－5）條件的模型為"標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型"，加上假定6）時(shí)將回歸模型稱(chēng)為"標(biāo)準(zhǔn)線性正態(tài)回歸模型"。
OLS估計(jì)的殘差向量定義為：
=Y-Xb = e =(e1, e2,…, en )T
其中 et = (t=1,2,…,n)， 為Yt的估計(jì)值。從殘差的定義可知它不同于誤差。二者區(qū)別在于前者是估計(jì)回歸平面同觀察值高度的差，而后者是未知回歸平面同觀察值高度的差。由于
e=Y－Xb=Y－X(XTX)-1XTY=[I－X(XTX)-1XT]Y
=[I－X(XTX)-1XT](Xb＋U)
=[I－X(XTX)-1XT]U=MU
殘差在形式上可以理解為誤差項(xiàng)ut的一種估計(jì)。利用公式
E(UTAU)=s2tr(A)
其中tr表示矩陣的跡，A為n×n矩陣，U為模型（3）中的誤差向量。有
E(eTe)=E(UTMU)=s2(n－k)
故ut的方差s2的無(wú)偏估計(jì)由殘差平方和除以它的自由度給出，即 。其平方根S稱(chēng)為回歸模型的標(biāo)準(zhǔn)差。利用殘差向量和估計(jì)回歸平面垂直的性質(zhì)可以把總離差平方和 (total sum of squares:TSS)分解為可解釋平方和 (explaned sum of squares:ESS)，殘差平方和eTe (residual sum of squares:RSS)兩部分。即
eTe (5)
亦可以寫(xiě)成TSS=ESS＋RSS。（5）中 為Y的平均值，即 ， 為Yt的估計(jì)值。（5）的分解只對(duì)于包含常數(shù)項(xiàng)的回歸模型成立。
作為說(shuō)明線性回歸模型解釋能力大小的一個(gè)指標(biāo)量決定系數(shù)(coeffcient of determination)定義為：
(6)
R2表示被解釋變量觀察值的總變動(dòng)之中解釋變量所能解釋部分的百分比，顯然有0￡R2￡1，如果R2=0表明模型的解釋能力為0，如果R2=1表明模型的解釋能力為100%。當(dāng)解釋變量只有一個(gè)X時(shí)（模型中包含常數(shù)項(xiàng)），決定系數(shù)R2和Y與X的樣本相關(guān)系數(shù)的平方相等。由（6）定義的R2可以看出隨著解釋變量個(gè)數(shù)的追加，其值增大，即使追加的解釋變量對(duì)于模型沒(méi)有太大的解釋能力，最終仍能使R2變成1。為了對(duì)這一點(diǎn)進(jìn)行修正，在實(shí)證分析中經(jīng)常使用自由度調(diào)整后的決定系數(shù)；其定義為
(7)
其中(n-k)是殘差平方和RSS的自由度，(n-1)為Yt樣本方差的自由度，比較R2和 ，前者當(dāng)模型中追加新的解釋變量時(shí)，由于RSS不會(huì)增加（一般情況下RSS變小），故前者決不會(huì)減少，而后者當(dāng)解釋變量的個(gè)數(shù)增加時(shí)有減少的可能。 和R2的關(guān)系由下面的（8）式給出：
(8)
通常有(n-k)
二﹑OLS估計(jì)的分布性質(zhì)
由于
b-b=(XTX)-1XTU
即b為U的線性函數(shù)，在U服從多元正態(tài)分布的假定下，由正態(tài)分布的性質(zhì)，b亦為正態(tài)分布，即
b～N(b,(XTX)-1s2)，
顯然有bi～N(bi,aiis2)，其中aii為(XTX)-1中主對(duì)角線上第i個(gè)元素。由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)可以證明統(tǒng)計(jì)量 在假設(shè)H0：bi=0的前提下，服從自由度為(n-k)的t分布。這里 。bi=0假設(shè)含義是模型中解釋變量Xi對(duì)于Yt的解釋能力為0，如果"bi=0"被拒絕的話，則可以得出Xi是決定Yt的主要因素之一這一積極的結(jié)論。實(shí)證分析中經(jīng)常運(yùn)用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量除去對(duì)單個(gè)系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量之外，還有對(duì)系數(shù)總體進(jìn)行檢驗(yàn)的F統(tǒng)計(jì)量。其定義如下：
(9)
上述統(tǒng)計(jì)量在假設(shè)H0：b2=b3=…=bk=0的前提下服從自由度為(k-1,n-k)的F分布，此假設(shè)的含義是：模型中除常數(shù)項(xiàng)外所有解釋變量Xi對(duì)于Yt沒(méi)有任何影響。
如果把決定系數(shù)
代入F，可以得到F的另一個(gè)表現(xiàn)形式
(10)
我們知道R2是判斷模型擬合程度的一個(gè)尺度，而F統(tǒng)計(jì)量是在統(tǒng)計(jì)上評(píng)價(jià)給出模型的合理性重要的統(tǒng)計(jì)量之一。
三﹑OLS估計(jì)的應(yīng)用
我們考慮以下的宏觀消費(fèi)函數(shù)（中國(guó)城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)函數(shù)）
Ct = b1+b2(Y/CP)t + ut t = 1,2,……,n (11)
其中， C：城市家庭商品性支出（不變價(jià)）；
Y：城市家庭可支配收入（現(xiàn)價(jià)）；
CP：城鎮(zhèn)居民消費(fèi)物價(jià)指數(shù)（1990年=100）
消費(fèi)函數(shù)(11)主要考慮實(shí)際可支配收入Y/CP決定實(shí)際消費(fèi)支出C。模型(11)稱(chēng)為絕對(duì)收入學(xué)說(shuō)下的消費(fèi)函數(shù)。表7.1是城市家庭商品性支出、城市家庭可支配收入、城鎮(zhèn)居民消費(fèi)物價(jià)指數(shù)的年度數(shù)據(jù)。
表7.1 城市家庭商品性支出、可支配收入、消費(fèi)物價(jià)指數(shù)年度數(shù)據(jù)
年度 C Y CP
1978 1479.91 705.31 45.05
1979 1624.62 801.63 45.90
1980 1804.14 945.56 49.32
1981 1925.80 1009.36 50.54
1982 2020.96 1149.87 51.53
1983 2128.78 1276.03 52.57
1984 2386.22 1585.41 54.01
1985 2758.48 1879.34 60.45
1986 3038.03 2399.20 64.68
1987 3313.10 2801.16 70.36
1988 3721.47 3416.74 84.91
1989 3649.69 4099.59 98.74
1990 3984.10 4597.46 100.00
1991 4449.61 5232.32 105.09
1992 5158.75 6576.47 114.14
1993 5897.37 8615.10 132.52
1994 6481.59 12013.27 165.68
1995 7325.36 15082.93 193.51
1996 7744.04 17416.98 210.54
1997 7894.81 19086.32 220.54
資料來(lái)源：國(guó)家信息中心預(yù)測(cè)部
消費(fèi)函數(shù)（11）的估計(jì)結(jié)果由下面的（12）式給出：
C=-113.5 + 0.9252Y/CP (12)
(-1.47) (58.8)
R2=0.995 S=157 F(1,18)=3459 DW=1.25
括號(hào)中的數(shù)字為t估計(jì)值。Brown考慮過(guò)去收入對(duì)本期消費(fèi)的影響后，提出如下形式的消費(fèi)模型：
Ct = a+b0Yt+b1Yt-1+b2Yt-2+ …… (13)
其中，C：消費(fèi)支出
Y：可支配收入
過(guò)去收入對(duì)消費(fèi)的影響程度可以假定為隨著時(shí)間的推移，以幾何級(jí)數(shù)形式減少，即
bi = b(1-l)li， 0
顯然有b0 b1b2 ……，這表明距離現(xiàn)在越近，影響也就越大。把bi代入(13)式，得出
Ct =a+b(1-l) Yt+b(1-l)l Yt-1+b(1-l)l2 Yt-2+ …… (14)
用l乘次Ct-1可得
l Ct-1=la + b(1-l)l Yt-1+b(1-l)l2 Yt-2+ …… (15)
(14)-(15)給出
Ct -l Ct-1 = a (1-l)+b(1-l) Yt (16)
即
Ct=a (1-l)+b(1-l) Yt+l Ct-1 (17)
Brown消費(fèi)函數(shù)本質(zhì)上是考慮了消費(fèi)習(xí)慣影響到本期的消費(fèi)，從模型中可以看出，短期MPC（邊際消費(fèi)傾向）為b(1-l)，長(zhǎng)期MPC為b。
利用表9.1的數(shù)據(jù)，Brown消費(fèi)函數(shù)的估計(jì)結(jié)果由下面的(18)式給出
C=-74.38+0.6095Y/CP+0.3706C(-1) (18)
(-1.02) (5.44) (2.88)
R2=0.997 S=131 F(2,16)=2291 DW=1.78
如果考慮在Brown消費(fèi)模型的基礎(chǔ)上在增加一個(gè)解釋變量實(shí)際儲(chǔ)蓄存款利率（一年期利率），我們得到以下結(jié)果：
C=-8.894+0.4839Y/CP+0.5064C(-1) - 9.683R - 295.4D1 (19)
(-0.125) (4.29) (3.95) (-1.73) (-2.18)
R2=0.997 S=118 F(4,14)=1427 DW=1.76
(19) 式中的變量D1稱(chēng)為虛擬變量，它刻畫(huà)了1989年物價(jià)的急劇波動(dòng)。
從上面3種不同形式的消費(fèi)函數(shù)的估計(jì)結(jié)果來(lái)看，回歸模型中參數(shù)的符號(hào)及大小不僅和經(jīng)濟(jì)理論相吻合，而且參數(shù)的估計(jì)值在統(tǒng)計(jì)上有意義。3種模型中的長(zhǎng)期MPC分別為0.93、0.97、0.98，在數(shù)值上沒(méi)有發(fā)生明顯的變化。這種高M(jìn)PC反映了中國(guó)城市居民在此期間的消費(fèi)特點(diǎn)，我們注意到1965年-1985年間的美國(guó)、德國(guó)（西德）、法國(guó)的宏觀消費(fèi)函數(shù)中的MPC都在0.9以上?？紤]到MPC和投資乘數(shù)的關(guān)系，從投資乘數(shù)M=1/(1-MPC),可以得到在高M(jìn)PC的情況下，投資乘數(shù)的效果增加。但是，應(yīng)該注意的是，隨著近年我國(guó)居民收入結(jié)構(gòu)的改變和各種金融證券市場(chǎng)的日趨繁榮，消費(fèi)函數(shù)中應(yīng)考慮加入金融資產(chǎn)和隱性收入等變量，這樣更能夠說(shuō)明城市居民的消費(fèi)狀況。
§7.2 計(jì)量模型分析中的諸問(wèn)題
在第1節(jié)中看到模型中誤差項(xiàng)ut的諸假設(shè)對(duì)于OLS估計(jì)具有blue性質(zhì)至關(guān)重要，特別是如果ut關(guān)于方差一定和不相關(guān)的假定不成立時(shí)，OLS估計(jì)不再是有效的（即OLS估計(jì)的方差不再是最小的）。本節(jié)主要討論這些假定不成立時(shí)，如何采取適當(dāng)?shù)膶?duì)策或者如何對(duì)估計(jì)方法進(jìn)行修正。
一﹑序列相關(guān)(autocorrelation)
對(duì)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)量分析時(shí)，經(jīng)常發(fā)生的問(wèn)題是ut不滿足E(utus)=0 (t1s, t,s=1,2,…,n)的假定條件，即誤差項(xiàng)之間存在著序列相關(guān)性。產(chǎn)生這種相關(guān)的原因一般有以下兩個(gè)方面：
1）模型設(shè)定的偏誤。例如模型中丟掉了某個(gè)重要的解釋變量。
2）經(jīng)濟(jì)行為的慣性。例如考慮消費(fèi)函數(shù)模型Yt=a＋bXt＋ut，其中Xt為收入，Yt為消費(fèi)，ut為除去收入之外影響消費(fèi)的所有因素之和。如果收入之外的要素發(fā)生變化時(shí)，顯然通過(guò)ut會(huì)對(duì)t期的消費(fèi)Yt產(chǎn)生影響，通常這種影響要延續(xù)到下一期或者下幾期的消費(fèi)，這是因?yàn)榻?jīng)濟(jì)活動(dòng)尤其是消費(fèi)行為并不一定是本期內(nèi)完結(jié)的，在這種情況下，產(chǎn)生正的序列相關(guān)是顯然的。經(jīng)濟(jì)變量一個(gè)顯著特點(diǎn)是大多數(shù)都具有慣性或滯后性，尤其在經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的分析中，這種特點(diǎn)更加明顯進(jìn)而產(chǎn)生了序列相關(guān)性。
對(duì)于模型估計(jì)，序列相關(guān)存在的主要后果是：雖然OLS估計(jì)具有線性無(wú)偏性，但失去最小方差性，而且序列正相關(guān)時(shí)，參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)于實(shí)際的估計(jì)值過(guò)小估計(jì)，導(dǎo)致t值過(guò)大，容易造成拒絕H0過(guò)度頻繁出現(xiàn)，假回歸的危險(xiǎn)性增大進(jìn)而產(chǎn)生使人們對(duì)模型的參數(shù)估計(jì)值過(guò)度信賴(lài)的假象。
眾所周知，計(jì)量模型中誤差項(xiàng)的相關(guān)模式絕大部分遇到的是具有以下的一階自相關(guān)形式：
ut=rut-1＋et (20)
其中et滿足模型（3）中假設(shè)的1）、2）、3）和6），這種形式的模型稱(chēng)為一階自回歸模型(first-order autoregressive)記為AR(1)。模型（20）是一種在經(jīng)濟(jì)分析中非常重要的自相關(guān)模型，理由在于首先這種自相關(guān)模型代表了實(shí)證分析中大多數(shù)誤差項(xiàng)自相關(guān)的形式，并且由于它的特殊性，簡(jiǎn)單性和實(shí)用性，一般情況下在實(shí)證分析中不考慮誤差項(xiàng)之間存在的高階相關(guān)的情況，主要是處理起來(lái)比較困難的原因。
通過(guò)模型（20）可知，如果r10表示ut之間存在自相關(guān)，r=0表示ut之間不存在自相關(guān)。作為檢驗(yàn)序列相關(guān)是否存在的方法，可以考慮以下的假設(shè)檢驗(yàn)。
H0：r=0
由于殘差表現(xiàn)了誤差項(xiàng)的行為，考慮下式給出的r的估計(jì)
(21)
可以看成et和et-1 之間的相關(guān)系數(shù)，實(shí)際為et對(duì)et-1作回歸的系數(shù)估計(jì)。當(dāng)ê ú的值較大時(shí)，可認(rèn)為誤差序列中存在一階自相關(guān)性。
Durbin,J和Waston,G.S (DW)基于et和et-1之間的相關(guān)系數(shù) 提出了檢驗(yàn)r的d統(tǒng)計(jì)量
(22)
通過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)有下面的近似關(guān)系成立：
d"2(1－ ) (23)
考慮到r的取值范圍，可以得到如下的結(jié)果
(24)
表明d的值約等于2時(shí)，誤差序列不相關(guān)，d接近于4時(shí)，序列呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，d接近于0時(shí)，序列呈正相關(guān)關(guān)系。一般利用 構(gòu)成的d取值范圍在0～4之間，從d的定義看到它依存殘差向量e，而e=MU，雖然E(e)=0，但是E(eeT)=E(MUUTM)=Ms2,一般情況下e的分布依賴(lài)于X，這導(dǎo)致d的分布亦依賴(lài)于X，使得直接利用d的分布進(jìn)行檢驗(yàn)變得非常困難（雖然給定解釋變量X后求d的分布也不是一件容易的事）。為了回避上述難題，DW考慮了不依賴(lài)于解釋變量取值的d統(tǒng)計(jì)量的上界(du)和下界(dl)。為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停?0）中
"H0：r=0 對(duì)立H1：r0"
DW對(duì)顯著水平0.05，0.01和不同的樣本容量及解釋變量個(gè)數(shù)，給出了統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)表（可查閱參考文獻(xiàn)Johnston[15],Maddala[18]).
如果d
如果ddu，接受H0；
如果dl￡d￡du，不能確定。
對(duì)于"H0：r=0 對(duì)立H1：r
4－d=2(1＋ )=2(1－(- ))
故只須作變換（4－d），檢驗(yàn)步驟同樣，即
如果4－d
如果4－ddu，接受H0；
如果dl￡4－d￡du，不能確定。
雖然d統(tǒng)計(jì)量經(jīng)常被用于檢驗(yàn)誤差序列的自相關(guān)性，但使用時(shí)，要留意以下3點(diǎn)：
1）d只適合于1階自相關(guān)的檢驗(yàn)；
2）回歸模型中必須含有常數(shù)項(xiàng)；
3）當(dāng)模型中含有被解釋變量的滯后項(xiàng)時(shí)，此檢驗(yàn)產(chǎn)生偏誤，即d常取值在2左右，造成模型中不存在自相關(guān)的假象。
用d統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)出誤差項(xiàng)為一階自相關(guān)后，對(duì)模型可采用下面的估計(jì)方法。設(shè)考慮模型為
Yt=XtTb＋ut t=1,2,…,n (25)
ut=rut-1＋et (26)
Xt=(1,X2t,…Xkt)T b=(b1,b2,…bk)T
其中et同模型（20）的假設(shè)，顯然（25）為（1）的向量表達(dá)形式。用r乘以Yt-1得到
rYt-1=rXTt-1b＋rut-1 (27)
?。?5）－（27）給出
Yt－rYt-1=(Xt－rXt-1)Tb＋et (28)
當(dāng)r已知時(shí)可作變換（或稱(chēng)為廣義差分）
t=2,3,….,n (29)
得到模型：Yt*=Xt*Tβ＋et (30)
(30)中的誤差項(xiàng)et滿足OLS所有假設(shè)，對(duì)(30)運(yùn)用OLS可得到滿足blue性質(zhì)的估計(jì)量。雖然上述方法簡(jiǎn)單可行，但實(shí)際工作中假設(shè)r已知是不現(xiàn)實(shí)的，r未知時(shí)首先必須對(duì)r進(jìn)行估計(jì)，具體步驟如下：
第一步：對(duì)（25）直接運(yùn)用OLS，利用得到的殘差et對(duì)et-1作回歸，求出r的估計(jì)值
(31)
第二步：用 代替（30）中r后，再運(yùn)用OLS方法，求出b的估計(jì)值。
上述方法稱(chēng)為CO法(Cochrane,D.和Orcutt,G.H)?？紤]到r的估計(jì) 的精度問(wèn)題，可重復(fù)上述步驟，直到 收斂為止。上述方法已在計(jì)量分析用軟件中程序化（例如TSP，RATS等），故經(jīng)常被應(yīng)用于實(shí)證分析，注意到CO法中，由于取廣義差分變換的原故，估計(jì)利用可能的樣本容量從n減少為(n-1)帶來(lái)了信息的損失。關(guān)于這一點(diǎn)的修正方法，已經(jīng)提出各種各樣的改進(jìn)方案，在機(jī)理上和CO方法沒(méi)有太大的差別，有興趣的讀者可查閱參考文獻(xiàn)，Harvey[12],Maddala[18]。
應(yīng)用實(shí)例：
如果我們用CO方法對(duì)消費(fèi)函數(shù)(11)進(jìn)行估計(jì)則得到如下結(jié)果：
C=-150.3+0.9305Y/CP (32)
(-1.25) (40.7)
R2=0.990 S=147 F(1,18)=1657 DW=2.08 =0.3522(1.68)
上式的估計(jì)結(jié)果和(12)式進(jìn)行比較我們看到DW值明顯變好，長(zhǎng)期MPC幾乎沒(méi)有發(fā)生改變，但是估計(jì)值的t值急劇變小，使用CO法一般伴隨此種傾向。
二、異方差性(Heteroscedasticity)
在OLS的基本假定中，假定5）不成立，即E(ut2)=st2 t=1,2,…n 其它假定不變的情形稱(chēng)為異方差性。這也是經(jīng)濟(jì)分析中經(jīng)常遇到的問(wèn)題之一。例如利用橫截面數(shù)據(jù)研究消費(fèi)和收入之間的關(guān)系時(shí)，收入較少的家庭用在購(gòu)買(mǎi)生活必需品上的比例較大，誤差項(xiàng)的變化幅度不大。收入較多的家庭有更多可自由支配的收入，使得這些家庭的消費(fèi)有更大的選擇范圍，由于個(gè)性、愛(ài)好、習(xí)慣等不同造成的差異，使誤差項(xiàng)變化幅度增大，或者說(shuō)低收入家庭消費(fèi)的分散度（方差）和高收入家庭消費(fèi)的分散度相比較，可以認(rèn)為前者小于后者。下面考慮一種最重要的異方差模型?！?br> Yt =b1＋b2X2t＋ut t=1,2,…n (33)
式中ut除Var(ut)=st2=s2X2t2之外，滿足標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的其它基本假設(shè)，這里假設(shè)ut的方差為解釋變量X2t的函數(shù)（有時(shí)也假設(shè)st2=s2X2t）。這是一種在實(shí)證分析中經(jīng)常使用的手法。例如對(duì)截面數(shù)據(jù)的消費(fèi)和收入分析時(shí)，就常常假設(shè)此種類(lèi)型。亦可以說(shuō)是一種經(jīng)驗(yàn)手法。對(duì)上述模型估計(jì)的具體步驟如下：
（33）式的兩邊同乘以 后得到
= (34)
上述模型中 ，可知變換后的誤差項(xiàng)滿足回歸模型基本假設(shè)，對(duì)（34）式作回歸得到滿足blue性質(zhì)的OLS估計(jì)量。注意到（34）式的 對(duì) 作回歸等價(jià)于求
(35)
的最小值問(wèn)題。這種方法又稱(chēng)為加權(quán)最小二乘法(weighted least squares)。
與序列相關(guān)一樣重要的是：我們?cè)鯓硬胖喇惙讲畲嬖?？?duì)于異方差的檢驗(yàn)來(lái)說(shuō)沒(méi)有像檢驗(yàn)序列相關(guān)時(shí)d統(tǒng)計(jì)量那樣方便可行的方法，這里可以考慮以下實(shí)用的手法。
1）圖示法
首先按不存在異方差性的假設(shè)，對(duì)模型進(jìn)行OLS估計(jì)，由于殘差可以看成是誤差項(xiàng)的一種估計(jì)，作出解釋變量與殘差平方的散點(diǎn)圖，根據(jù)圖形的類(lèi)型來(lái)判斷異方差存在與否。
2）根據(jù)研究問(wèn)題的性質(zhì)
例如研究?jī)?chǔ)蓄和收入的關(guān)系時(shí)，可以認(rèn)為收入高的家庭儲(chǔ)蓄的方差高于收入低的家庭，同樣研究企業(yè)的投資行為時(shí)，大企業(yè)投資支出的方差很可能比小企業(yè)的方差大，即把大中小規(guī)模的企業(yè)放在一起作抽樣調(diào)查，模型中異方差性存在的可能性較大。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，使用橫截面數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)量分析與使用時(shí)間序列數(shù)據(jù)相比較，前者存在異方差的可能性要大于后者。
當(dāng)異方差存在時(shí)，模型的估計(jì)方法除了可以采用上面敘述的加權(quán)最小二乘法外，還可以采取對(duì)所研究的對(duì)象取對(duì)數(shù)后，再進(jìn)行回歸分析的方法，實(shí)踐證明亦是回避異方差存在的一個(gè)可行的方法。
應(yīng)用實(shí)例
表7.2 日本國(guó)各地區(qū)儲(chǔ)蓄和收入數(shù)據(jù) 單位（千日元）
地區(qū) Y(儲(chǔ)蓄) X(收入) 地區(qū) Y(儲(chǔ)蓄) X(收入)
北海 4349 2376 滋賀 5901 2914
青森 3499 2032 京都 7070 2690
巖手 3851 2096 大阪 8341 3179
宮城 4130 2442 兵庫(kù) 6158 2701
秋田 3611 2098 奈良 5630 2174
山形 4192 2152 和歌山 6750 2108
福島 4206 2386 鳥(niǎo)取 4847 2177
茨城 4872 2638 島根 4589 2142
木 5292 2780 岡山 5584 2556
群馬 5732 2684 廣島 5839 2662
玉 4471 2858 山口 5144 2302
千葉 4494 2801 德島 5870 2275
東京 16242 4258 香川 7098 2508
神奈川 4753 3007 愛(ài)媛 5782 2162
新瀉 5017 2377 高知 5360 2001
富山 6585 2592 福岡 4632 2526
石川 5865 2582 佐賀 4550 2153
福井 6527 2400 長(zhǎng)崎 3950 2648
山梨 5898 2585 熊本 3886 2269
長(zhǎng)野 6925 2612 大分 4220 2289
岐阜 6454 2495 宮崎 3492 2055
靜岡 5833 2899 鹿兒島 3700 1985
愛(ài)知 6595 3002 沖繩 3082 1892
三重 5863 2587
資料來(lái)源：山本 拓（日）計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，新世社,1995
利用表7.2的數(shù)據(jù)，得到如下回歸方程式：
Y=-3866.05+3.756X (36)
(-3.46) (8.45)
R2=0.614 S=1240 F(1,45)=71.5 DW=1.97
根據(jù)上面對(duì)異方差性的分析我們懷疑上述模型的誤差項(xiàng)之間可能存在著異方差，為此我們考慮殘差平方 對(duì)Xi的回歸得到：
(37)
(-4.45) (5.23)
R2=0.388 S=2313430 F(1,45)=27 DW=1.11
從上述的回歸結(jié)果可知，誤差項(xiàng)之間存在著異方差性。下面我們利用本節(jié)中給出的異方差性存在時(shí)的修正方法進(jìn)行估計(jì)給出以下結(jié)果：
Y= -2042.86+3.014X (38)
(-1.85) (6.54)
R2=0.071 S=0.445 F(1,45)=3.41 DW=1.62
三、多重共線性(multicollinearity)
標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型中假定（5）為r(X)=k,從此假定可知由解釋變量矩陣X的每一列構(gòu)成的向量組是線性無(wú)關(guān)的，它保證了(XTX)-1的存在性，顯然這條假定不成立時(shí)，向量組線性相關(guān)，不能求出OLS估計(jì)量。這種情況稱(chēng)在解釋變量之間存在著完全的多重共線關(guān)系。經(jīng)濟(jì)分析中經(jīng)常遇到的不是這種極端的情形，常常是解釋變量的一部分或者全部存在著高度但不是完全的共線關(guān)系的情形。例如：為考慮消費(fèi)者的行動(dòng)對(duì)消費(fèi)函數(shù)進(jìn)行計(jì)量分析時(shí)，設(shè)被解釋變量為消費(fèi)，解釋變量為實(shí)際可支配收入和儲(chǔ)蓄，顯然我們不能排除收入和儲(chǔ)蓄之間存在著相關(guān)關(guān)系，由于多數(shù)的經(jīng)濟(jì)變量具有同一方向變動(dòng)的傾向，這也造成了在經(jīng)濟(jì)模型中常常出現(xiàn)多重共線的現(xiàn)象?！?br> 多重共線性存在對(duì)模型估計(jì)的影響主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：
1）估計(jì)值可能有很大的方差，使得估計(jì)的可信度低下。
2）估計(jì)值缺少穩(wěn)定性，即對(duì)數(shù)據(jù)的極小變化和解釋變量的增減，估計(jì)值都有很大變化。
3）雖然有較高的決定系數(shù)，但是估計(jì)系數(shù)的t值在統(tǒng)計(jì)上很少顯著。
和其它不滿足基本假設(shè)的情況一樣，我們主要關(guān)心的是如何判斷多重共線性的存在與否。在各種計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的專(zhuān)著和論文中，人們已經(jīng)給出了多種的判斷多重共線性存在的方法，但是應(yīng)當(dāng)指出的是很難找到一個(gè)統(tǒng)一的嚴(yán)格的判斷準(zhǔn)則。這里只給出一個(gè)用解釋變量之間的決定系數(shù)判斷多重共線性的尺度，定義如下：
(39)
其中 為第i個(gè)解釋變量關(guān)于其余的解釋變量作回歸的決定系數(shù)，VIF(bi)稱(chēng)之為bi的方差擴(kuò)大因子(variance-inflation factor:VIF)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)通常當(dāng)VIF(bi)10（ 0.9）時(shí)，認(rèn)為Xi和其余的解釋變量之間存在著共線關(guān)系。
多重共線關(guān)系存在時(shí)，找到一個(gè)確切的處理方法是困難的，這里只介紹一些簡(jiǎn)單實(shí)用的方法。
1）增加樣本的信息
例如對(duì)消費(fèi)函數(shù)的分析，選擇年度數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸利用上面的判斷尺度，發(fā)現(xiàn)了多重共線性，此時(shí)可以把年度數(shù)據(jù)換成季度數(shù)據(jù)再進(jìn)行回歸，通常會(huì)減少解釋變量之間的相關(guān)關(guān)系。
2）對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行變換
例如對(duì)變量取對(duì)數(shù)后，再做回歸通常會(huì)減少變量間的共線性，并增加參數(shù)估計(jì)的穩(wěn)定性。也可以采用對(duì)模型中的變量一階差分后，再進(jìn)行回歸的方法。
3）對(duì)模型不做任何調(diào)整
對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)后，發(fā)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)值的符號(hào)大小都不和經(jīng)濟(jì)理論矛盾，其對(duì)應(yīng)的t值在統(tǒng)計(jì)上顯著，決定系數(shù)也很高，在這種情況下即使VIF很大，也沒(méi)有必要對(duì)模型采取任何修正措施。對(duì)于多重共線性的處理對(duì)策，還存在其它一些方法，已超出本書(shū)的范圍，故給予省略。由于不存在根本的解決方法，所以說(shuō)即使是現(xiàn)在，多重共線性也是多元回歸分析中使人感到最困難的問(wèn)題之一。
應(yīng)用實(shí)例
對(duì)于回歸估計(jì)（19）式
C=-8.894+0.4839Y/CP+0.5064C(-1) - 9.683R - 295.4D1
我們計(jì)算上式中系數(shù)所對(duì)應(yīng)的VIF得到
VIF(b2)=81.9, VIF(b3) =83.9, VIF(b4)=1.28
根據(jù)多重共線性判斷尺度，可以認(rèn)為解釋變量之間存在著高度的共線關(guān)系。但是，注意到模型中各參數(shù)符號(hào)及大小和經(jīng)濟(jì)理論相一致，同時(shí)參數(shù)估計(jì)的t值在統(tǒng)計(jì)上有意義，R2很高。在這種情況下，不用過(guò)多考慮多重共線性的存在，我們對(duì)方程可以不做任何修改。
§7.3 回歸分析的一些新發(fā)展
近年非平穩(wěn)時(shí)間序列的估計(jì)方法、模型選擇理論、長(zhǎng)期均衡關(guān)系的分析方法都取得了飛速的發(fā)展。這些方法被應(yīng)用于消費(fèi)理論景氣循環(huán)理論貨幣需求等領(lǐng)域，成為宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)分析研究中不可缺少的手法。下面簡(jiǎn)單介紹一下主要的結(jié)果。
一、非平穩(wěn)時(shí)間序列和假回歸現(xiàn)象
考慮回歸模型
Yt=jYt-1＋ut (40)
式中ut滿足模型（3）中假設(shè)的1）、2）、3）和6）。當(dāng)j
E(Yt)=0
當(dāng)j=1時(shí)，Yt稱(chēng)為"醉步模型(random walk model)"，是非平穩(wěn)時(shí)間序列中最有代表性的一種，亦稱(chēng)Yt存在著單位根(unit root)，記為Yt∽I(1)，這時(shí)Yt的期望方差分別為：
E(Yt)=0 Var(Yt)=ts2
從上述結(jié)果可知，Yt的方差隨時(shí)間t增大而發(fā)散。這種非平穩(wěn)模型被應(yīng)用于效率市場(chǎng)的假說(shuō)下的股票價(jià)格變動(dòng)，恒常收入學(xué)說(shuō)(permanent income hypothesis)下的消費(fèi)函數(shù)等的分析。關(guān)于非平穩(wěn)時(shí)間序列研究的主要結(jié)果可以簡(jiǎn)述如下：用時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行OLS估計(jì)時(shí)，有必要首先檢驗(yàn)所使用變量的平穩(wěn)性，這是因?yàn)閮蓚€(gè)不相關(guān)的非平穩(wěn)時(shí)間序列Yt和Xt作回歸，會(huì)帶來(lái)假回歸的問(wèn)題，即雖然Yt和Xt獨(dú)立不相關(guān)，但回歸中的t值在統(tǒng)計(jì)上顯著導(dǎo)致好像Yt和Xt之間存在有意義的相關(guān)關(guān)系的結(jié)論。
單位根的檢驗(yàn)方法：
到目前為止對(duì)于單位根問(wèn)題的研究論文可以說(shuō)舉不勝舉，但實(shí)證分析中經(jīng)常被應(yīng)用的是Dickey-Fuller檢驗(yàn)（略為DF）。這里準(zhǔn)備用以下最簡(jiǎn)單的模型形式，介紹一下DF檢驗(yàn)的使用方法。
設(shè) DYt=aYt-1＋et (41)
其中DYt=Yt－Yt-1 a=j-1
如果H0：a=0（即j=1，單位根存在）的假設(shè)沒(méi)有被拒絕，認(rèn)為Yt存在單位根。模型（41）可以擴(kuò)展到包含常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間變化趨勢(shì)(time trend)等一般的情形，我們這里不準(zhǔn)備再進(jìn)一步討論，有興趣的讀者可以參閱參考文獻(xiàn) Banerjee et al [3]，Dickey and Fuller[7]，在這里只準(zhǔn)備強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，對(duì)a=0作檢驗(yàn)時(shí)，t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量已經(jīng)不服從通常的t分布，必須利用DF給出的修正分布表，不然會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。
二、協(xié)整關(guān)系(cointegration)
宏觀經(jīng)濟(jì)變量的大多數(shù)，單個(gè)來(lái)觀察的話，隨著時(shí)間的推移它們呈現(xiàn)一種"醉步"（非平穩(wěn)）的走勢(shì)。如果把幾個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的走勢(shì)圖形放在一起觀察的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的運(yùn)動(dòng)具有某種相似性（例如，消費(fèi)和收入，進(jìn)口和出口等）。這種現(xiàn)象的產(chǎn)生，引起了人們的興趣，這種經(jīng)濟(jì)變量運(yùn)動(dòng)的相似性構(gòu)成了協(xié)整概念的基礎(chǔ)，下面給出協(xié)整的定義。
設(shè)Yt∽I(1)，xt∽I(1)。如果存在常數(shù)b（b10），使得Yt－bXt為I(0)（平穩(wěn)時(shí)間序列）時(shí)，稱(chēng)Yt和Xt之間存在協(xié)整關(guān)系。上面提到當(dāng)Yt和Xt均為非平穩(wěn)時(shí)間序列Yt和Xt作回歸時(shí)，要注意假相關(guān)問(wèn)題的出現(xiàn)，但是當(dāng)Yt和Xt之間存在協(xié)整關(guān)系時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生這樣的問(wèn)題。關(guān)于協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)，這里只簡(jiǎn)單介紹一下利用回歸殘差進(jìn)行檢驗(yàn)的Engle-Granger方法(Engle and Granger[8])具體步驟如下：
第一步：設(shè)Yt和Xt之間存在以下的關(guān)系
Yt=m+bXt＋ut (42)
用OLS對(duì)（42）式作回歸得到殘差et。
第二步：對(duì)殘差et運(yùn)用DF的單位根檢驗(yàn)方法來(lái)判斷ut的平穩(wěn)性，如果得出ut∽I(0)的結(jié)論，則稱(chēng)Yt和Xt之間存在協(xié)整關(guān)系，此外對(duì)于協(xié)整的檢驗(yàn)還有Johansen的最大似然估計(jì)檢驗(yàn)，此方法的解釋超出這本書(shū)范圍，故不再說(shuō)明，讀者可以參閱參考文獻(xiàn)Johansen[14],或者Banerjee et al [3]。
三、非平穩(wěn)經(jīng)濟(jì)模型的應(yīng)用
在這一節(jié)我們將通過(guò)對(duì)日本貨幣需求函數(shù)作分析的實(shí)例，來(lái)說(shuō)明如何利用前面討論的非平穩(wěn)模型的的方法，對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)進(jìn)行定量研究。近年來(lái)，對(duì)于貨幣需求的研究所采用的模型多為Hendry流ECM（error correction model)形式，它不同于過(guò)去的傳統(tǒng)貨幣需求方程的模式，關(guān)于ECM模型的特點(diǎn)我們將在下面的具體模型中簡(jiǎn)單地給予說(shuō)明。（對(duì)ECM的詳細(xì)解說(shuō)可查閱Banerjee et al [3],Hendry and Ericssion [13])
估計(jì)中使用的數(shù)據(jù)來(lái)源于OECD統(tǒng)計(jì)年鑒(Organization for Economic Cooperation and Development)區(qū)間為1960年1季度至1990年4季度，變量的定義如下：實(shí)際貨幣供應(yīng)量（M2，1985年價(jià)格單位為10億日元，季節(jié)調(diào)整完成），實(shí)際GNP（1985年價(jià)格單位為10億日元，季節(jié)調(diào)整完成），美元對(duì)日元匯率（注：模型估計(jì)時(shí)以上三個(gè)變量分別取對(duì)數(shù)）、通貨膨脹率（GNP沖減指數(shù)[deflator]的上升率）、利率。下面分別用M、Y、EX、I、R來(lái)表示上述變量，貨幣需求函數(shù)的估計(jì)回歸式由下面的（43）式給出。
DMt =-0.030+0.67DMt-1+0.22DYt-0.81It+0.26DIt-1-0.0022DRt+0.019D-0.064EXt-1 (43)
(-3.3) (10) (3.3) (-10) (3.6) (-2.5) (4.1) (-4.6)
R2=0.74 S=0.0077 F(7,113)=47 DW=1.8
其中Et-1=Mt-1－1.2Yt-1＋0.26EXt-1意味著M、Y、EX之間存在著協(xié)整關(guān)系（關(guān)于協(xié)整關(guān)系的計(jì)算可以用TSP等軟件包），它給出了M、Y、EX之間的長(zhǎng)期均衡關(guān)系，DXt表示變量的一階差分，即DXt=Xt－Xt-1，注意到方程式既包含水平變量又包含差分變量，這表明ECM模型充分利用了來(lái)自"靜態(tài)"和"動(dòng)態(tài)"的兩部分信息。如果模型中僅包含差分變量的話就失去了來(lái)自水平變量的信息。模型中的D為虛擬變量(dummy variable)，理由在于1974年石油危機(jī)的爆發(fā)，使得日本經(jīng)濟(jì)的結(jié)構(gòu)發(fā)生了很大變化，D：73、74年的八個(gè)季度取值為1，其余為0，括號(hào)內(nèi)的數(shù)字是t估計(jì)值，從這些結(jié)果可知，所有系數(shù)的估計(jì)都是顯著的（顯著水平為0.01），下面討論（43）中解釋變量符號(hào)的合理性。
由于我們對(duì)GNP取了對(duì)數(shù)，所以有
同理
即DYt，DMt實(shí)際可以看成GNP，貨幣供應(yīng)量的增長(zhǎng)率。DYt系數(shù)符號(hào)為正表示GNP的增長(zhǎng)對(duì)于貨幣供應(yīng)量的增長(zhǎng)具有正的影響，符合貨幣供給和GNP之間存在安定的關(guān)系的學(xué)說(shuō)。通貨膨脹率It的符號(hào)為負(fù)，因?yàn)镮t對(duì)貨幣持有者來(lái)說(shuō)表示貨幣持有的費(fèi)用，當(dāng)通貨膨脹率上升時(shí)，貨幣持有者會(huì)減少其持幣的數(shù)量，It的一階差分的系數(shù)符號(hào)為正，這意味著通貨膨脹率實(shí)際上發(fā)生改變時(shí)，水平變量It的作用（-0.81）會(huì)受到來(lái)自差分變量DIt的反面影響（+0.26）。利率的系數(shù)為負(fù)號(hào)，可以理解為：利率對(duì)貨幣持有者來(lái)說(shuō)可以看成貨幣持有的機(jī)會(huì)消費(fèi)，其符號(hào)為負(fù)表示作為對(duì)利率上升的反應(yīng)，貨幣持有者會(huì)減少對(duì)貨幣的需求，換句話說(shuō)這也意味著貨幣持有機(jī)會(huì)費(fèi)用的增加。Et-1的系數(shù)符號(hào)為負(fù)，表明為達(dá)到均衡狀態(tài)必要的調(diào)整過(guò)程是不可缺少的。Et-1的系數(shù)我們稱(chēng)做為達(dá)到均衡狀態(tài)作調(diào)整的速度。
在這一節(jié)中我們用回歸分析的方法對(duì)日本的貨幣需求函數(shù)進(jìn)行了定量分析，無(wú)論在經(jīng)濟(jì)理論上，還是在統(tǒng)計(jì)上都得到了比較滿意的結(jié)果，對(duì)上述貨幣需求函數(shù)的更深入的研究結(jié)果請(qǐng)查閱參考文獻(xiàn)Morimune and Zhao[20]。這里需要指出的是：在用計(jì)量方法對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題作分析時(shí)，首先必須考慮給出的模型在經(jīng)濟(jì)理論上的合理性。換句話說(shuō)，模型中參數(shù)的估計(jì)和其它診斷檢驗(yàn)量即使在統(tǒng)計(jì)上很有意義，如果經(jīng)濟(jì)理論不具有合理性的話，其模型對(duì)于經(jīng)濟(jì)的分析是沒(méi)有任何意義的。
第八章 模型在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用
作為經(jīng)濟(jì)模型化過(guò)程的應(yīng)用實(shí)例，在本章中給出了幾個(gè)案例，主要涉及到宏觀經(jīng)濟(jì)周期變化、投資模型的最優(yōu)條件、宏觀經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型以及經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用等問(wèn)題。本章主要內(nèi)容如下：首先討論卡萊斯基商業(yè)循環(huán)模型和最優(yōu)外資規(guī)模的決定模型，然后對(duì)馬克思的擴(kuò)大再生產(chǎn)圖式與哈羅多―多馬模型進(jìn)行比較，最后討論市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中消費(fèi)者經(jīng)濟(jì)行為的數(shù)學(xué)模型描述以及企業(yè)的行為表征。
§8.1 卡萊斯基商業(yè)循環(huán)模型
卡萊斯基(M.Kalecki)模型自1935年問(wèn)世以來(lái)就引起了許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家的興趣。特別是20世紀(jì)70年代后，隨著周期性因素再次宣告西方經(jīng)濟(jì)第二次大戰(zhàn)后長(zhǎng)達(dá)20年繁榮時(shí)代的徹底結(jié)束，又喚起了人們對(duì)它重新認(rèn)識(shí)的極大熱情。在近半個(gè)世紀(jì)的研究中，關(guān)于該模型運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性方面的問(wèn)題更是不乏探討和論證。在這當(dāng)中，有些可以說(shuō)是天才的猜測(cè)，有些則是部分的證明。迄今為止，尚未見(jiàn)到關(guān)于卡萊斯基模型的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的完整成果。本節(jié)在參照前面章節(jié)建模步驟的基礎(chǔ)上試圖解決卡萊斯基早期及后期模型的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題，并據(jù)此提出若干經(jīng)濟(jì)猜想和可供參考的經(jīng)濟(jì)結(jié)論。
一、卡萊斯基的商業(yè)循環(huán)理論與模型
早期模型：卡萊斯基早在1935年就提出了關(guān)于資本主義經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的動(dòng)態(tài)模型。根據(jù)他的理論，在資本主義經(jīng)濟(jì)中，投資機(jī)制由企業(yè)（資本家）操縱的。企業(yè)在時(shí)刻t計(jì)劃的投資決策B(t)，經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的時(shí)間間隔（時(shí)滯）q，資本設(shè)備方可交貨，而支付行為應(yīng)當(dāng)分布于整個(gè)設(shè)備生產(chǎn)及裝置期間。假設(shè)凈投資I(t)為超過(guò)重置部分的凈支出，K(t)為資本設(shè)備存量，則有模型如下：
(1)
(2)
假設(shè)整個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的總收入Y(t)，由總消費(fèi)C(t)，總投資I(t)和自主性支出A所構(gòu)成，而且總消費(fèi)C(t)線性地依賴(lài)總收入Y(t)，c表示邊際消費(fèi)傾向，則有
(3)
(4)
關(guān)于核心變量B(t)，卡萊斯基認(rèn)為其受儲(chǔ)蓄S(t)正向的影響和資本物存量K(t)反向的影響。因此當(dāng)這種關(guān)系為比例關(guān)系并且沒(méi)有時(shí)滯時(shí)，加速形式由模型(5)、(6)決定
S(t) = Y(t)-C(t) (5)
B(t) = aS(t)-bK(t)+e (6)
式中：a,b是正數(shù)，e是趨勢(shì)項(xiàng)。從長(zhǎng)期觀點(diǎn)看，雖然e隨時(shí)間的變動(dòng)而變動(dòng)，但在此仍視為常數(shù)項(xiàng)。結(jié)合(5)、(4)和(6)，就得到
B(t) = a(1-c)Y(t)-bK(t)+e (7)
這是一個(gè)關(guān)鍵方程，它說(shuō)明卡萊斯基的投資決策的加速機(jī)制，不象一般的加速因子那樣取決于dY/dt（或DY），而是決定于Y的水準(zhǔn)。
不難證明，變量Y(t),C(t),I(t),B(t)和K(t)，滿足同一類(lèi)似的方程式，其數(shù)學(xué)形式是混合式的差分--微分方程。因此，整個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性可由以上任一變量表征。如選擇K(t)，則有
d k(t+q)/dt=(a/q)K(t+q)-(b+a/q)K(t)+aA+e (8)
其均衡水準(zhǔn)Ke = (aA+e)/b，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性等價(jià)形式為
(9)
方程(9)表示的 實(shí)為對(duì)均衡水準(zhǔn)Ke的離差。在運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性意義下，(8)和(9)式是完全等價(jià)的。
后期模型：
卡萊斯基的后期模型（1943,1954），在簡(jiǎn)單乘數(shù)關(guān)系上仍與早期模型(3)、(4)相同，但是對(duì)影響投資決策B(t)的因素，以及其后的投資支出和資本設(shè)備的產(chǎn)出，均有新的考慮和修改。
在后期模型中，卡萊斯基將投資I(t)分成兩類(lèi)，固定資本及材料Ik(t)和在制品及制成品的盤(pán)存Is(t)。各種盤(pán)存的投資支出Is(t)決定產(chǎn)出的變動(dòng)，時(shí)滯 ；固定資本的投資支出Ik(s)與設(shè)備的裝置同時(shí)發(fā)生（即到貨時(shí)支付），但是比其相應(yīng)的投資決策落后時(shí)滯 。因此，有模型
I(t) = Ik(t)+Is(t) (10)
Is(t) = n1dY(t- )/dt (11)
Ik(t) = dK(t)/dt = B(t- ) (12)
式中：n1是正數(shù)，K(t)、B(t)意義同前。卡萊斯基認(rèn)為這時(shí)B(t)受儲(chǔ)蓄S(t)和產(chǎn)出率(d/dt)Y(t)的正向影響，受資本存量變動(dòng)(d/dt)K(t)的反向影響。因而，得到模型(13)
B(t) = aS(t)+n2dY(t)/dt-bdK(t)/dt+e (13)
式中：a，n2，b為正數(shù)，e為趨勢(shì)項(xiàng)。由(4)、(5)和(12)可知，(13)的變形為
Ik(t+ ) = a(1-c)Y(t)+n2dY(t)/dt-bIk(t)+e (14)
我們定義平均時(shí)滯q滿足
(1+b)-1[Ik(t+ )+bIk(t)] = Ik(t+q) (15)
并假設(shè) = q，則不難得出（推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)本章附錄1）
其均衡水準(zhǔn)Ie = (aA+e)/(1+b-a)
若表示對(duì)此均衡水準(zhǔn)的離差，則(16)式與下列方程式的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性等價(jià)
(17)
方程式(17)和(9)是決定后期模型和早期模型運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵。在后期模型中,Y(t)，C(t)和I(t)滿足類(lèi)似的混合型的差分-微分方程，因此，只須討論(17)式中 的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性?！?br> 二、卡萊斯基模型的穩(wěn)定性
有關(guān)卡萊斯基模型運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性方面的研究工作集中在早期模型上，最典型的手法是令時(shí)滯q = 1(取單位時(shí)間）。然而，即使這樣也沒(méi)有人完整地研究了參數(shù)不同的取值，會(huì)對(duì)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性產(chǎn)生什么影響。而且，對(duì)"選擇時(shí)間單位使q = 1，不失一般性"的說(shuō)法，經(jīng)濟(jì)學(xué)者是持謹(jǐn)慎態(tài)度的。數(shù)學(xué)者持這種說(shuō)法，是出于簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)上的復(fù)雜性，并且在不考慮參數(shù)之間存在相依關(guān)系的前提下成立的。數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)家 Allen[1]曾警告說(shuō)：有一點(diǎn)須加注意，即在所有卡萊斯基模型中，各常數(shù)的時(shí)間長(zhǎng)度必須小心確定。這說(shuō)明q = 1的假設(shè)是不科學(xué)的，容易引出謬誤。
由于早期模型和后期模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)有所不同，我們將分別研究和討論。對(duì)方程(9)引入顯易解K(t) = K0elt，可以得到其對(duì)應(yīng)的特征方程
qleql-aeql+a-bq = 0 (18)
同理，對(duì)方程(17)引入顯易解I(t) = I0est，就得到相應(yīng)的特征方程
(19)
方程(18)和(19)又稱(chēng)為超越方程，滿足這兩個(gè)方程的解l和s分別稱(chēng)為(18)和(19)式的特征根。研究模型穩(wěn)定性，就是研究在什么條件下，特征根的實(shí)部Re(l)
① q(a-1)
?、?br> 這里，j0是方程
jctgj = a-r/q (20)
在0
命題2：后期模型(17)對(duì)應(yīng)的特征根s的實(shí)部均小于或等于實(shí)數(shù)r/q的充分必要條件是①和②中，至少其一不成立。
?、?；
②
這里，j0是方程
jctgj = qa(1-c)/[V1(1+b)+V2]-r/q (21)
在0
顯然，在命題1和命題2中r = 0，則得到關(guān)于模型穩(wěn)定性的有關(guān)條件，這里恕不贅述。如果我們?cè)O(shè)l=a1+ib1，s = a2+ib2分別是(9)和(17)的特征根，那么早期模型的振幅以 加速，經(jīng)濟(jì)周期為2p¤b1；后期模型的振幅則以 加速，經(jīng)濟(jì)周期為2p¤b2。我們下面給出關(guān)于參數(shù)域與穩(wěn)定性的兩個(gè)命題。
命題3：早期模型的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，取決于參數(shù)a、b、q，并由表1給出：
表1 早期模型穩(wěn)定性條件與結(jié)論
參數(shù)域 I Ⅱ Ⅲ Ⅳ
條件 a1+a1 ￡ 0a1 -1 0 或a1 -1 30} < 0a1 -1
結(jié)論 減幅(穩(wěn)定)無(wú)振蕩 增幅(不穩(wěn)定)無(wú)振蕩 減幅(穩(wěn)定)振蕩 增幅(不穩(wěn)定)振蕩
表1中，a1 = a，a2 = bq-a，j0滿足方程jctgj = a，(0
命題4：后期模型的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性取決于參數(shù)a、b、V1、V2、 、 和q，并由表2給出：
表2 后期模型穩(wěn)定性條件與結(jié)論
參數(shù)域 I Ⅱ Ⅲ Ⅳ
條件 a1+a2￡0a1 -1 0 且{a1+a2 0 或a1 -1 0或
結(jié)論 減幅(穩(wěn)定)非振蕩 增幅(不穩(wěn)定)非振蕩 增幅(不穩(wěn)定)振蕩 減幅(穩(wěn)定)振蕩
表2中，a1 = qa(1-c)/[V1 (1+b)+V2]，a2 = - q(1-c)/[V1+V2/(1+b)]，j0滿足方程
jctgj = qa(1-c)/[V1(1+b)+V2] (0
-a2
p/2 IV I
1 Ⅲ 450
e-1 II
0 1 a1
圖8.2
-a2
p/2
1 IV
?、?br> e-1 I II
45°
0 1 a1
圖8.1
圖-1和圖-2分別表示命題3和命題4中的參數(shù)區(qū)域。應(yīng)當(dāng)指出，兩圖的符號(hào)雖有類(lèi)同，經(jīng)濟(jì)意義卻截然不同。（請(qǐng)讀者參閱§1）
下面，我們將從數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)及經(jīng)濟(jì)分析引出若干經(jīng)濟(jì)結(jié)論和觀點(diǎn)。經(jīng)濟(jì)學(xué)家可以用直覺(jué)對(duì)其加以評(píng)判。
三、主要結(jié)論
很早以前，經(jīng)濟(jì)學(xué)家就在研究資本主義經(jīng)濟(jì)的商業(yè)循環(huán)。他們企圖通過(guò)準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，使資本主義企業(yè)可以根據(jù)這些預(yù)告及時(shí)地適應(yīng)周期性波動(dòng)。一些具有控制論思想的經(jīng)濟(jì)學(xué)家甚至期望通過(guò)對(duì)商情的發(fā)展施加影響，實(shí)現(xiàn)排除或緩和經(jīng)濟(jì)危機(jī)。然而，資本主義經(jīng)濟(jì)學(xué)家的這些愿望能否實(shí)現(xiàn)，社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下又是否存在著周期現(xiàn)象和避免周期發(fā)生的機(jī)制上的保證，我們希望從模型和現(xiàn)實(shí)中得出以下結(jié)論可以部分地回答上述問(wèn)題?！?br> 1. 資本主義經(jīng)濟(jì)的無(wú)休止的周期性波動(dòng)，是由其基本矛盾造成的。在這一基本矛盾支配下的企業(yè)行為，是在私有制使企業(yè)追逐自身最佳利益的同時(shí)，缺乏對(duì)整個(gè)經(jīng)濟(jì)的責(zé)任感。這種行為可分別由方程(6)和(13)描述出來(lái)。因此，資本主義經(jīng)濟(jì)面臨的抉擇只有兩種選擇：要么經(jīng)濟(jì)繁榮發(fā)展必然伴隨著經(jīng)濟(jì)波動(dòng)；要么經(jīng)濟(jì)緩慢發(fā)展（甚至衰退）換來(lái)經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。命題3和命題4就是說(shuō)明了資本主義基本矛盾必然導(dǎo)致資本主義經(jīng)濟(jì)"永恒的波動(dòng)"。
2. 從理論上說(shuō)，如果政府能夠?qū)ζ髽I(yè)的投資決策B(t)施加影響，并對(duì)時(shí)滯q進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)，則可以把較大的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)分解成若干次較小的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)；如果能完全操縱投資決策B(t)，則能夠及時(shí)剎住過(guò)于繁榮的經(jīng)濟(jì)，又不至于滑入災(zāi)難性的衰退之中。
3. 即使政府能夠成功地進(jìn)行2中的誘導(dǎo)，也必須是在政府所能承擔(dān)的政策代價(jià)的限度之內(nèi)加以推行。從第二次世界大戰(zhàn)以來(lái)的歷史看，盡管西方國(guó)家運(yùn)用需求管理的政策調(diào)整弱化和分散了周期波動(dòng)，但是，也不斷遇到了政策目標(biāo)相互沖突的長(zhǎng)期困擾。這里既有傳統(tǒng)的菲利浦斯的失業(yè)和通貨膨脹的相互替代；也有停滯和膨脹的同時(shí)發(fā)生；更有內(nèi)部均衡和外部均衡的不統(tǒng)一，所有這些都極大地降低了政府政策誘導(dǎo)的效應(yīng)和成功的可能性。
4. 在計(jì)劃經(jīng)濟(jì)體制下，國(guó)家身兼投資秩序的維護(hù)者和投資行為的承擔(dān)者的雙重職責(zé)。這種情況，既為計(jì)劃經(jīng)濟(jì)能夠避免西方那樣災(zāi)難性的危機(jī)創(chuàng)造了條件，但也帶來(lái)了以宏觀管理失誤為特征的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的極大可能。從中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的歷史來(lái)看，就先后發(fā)生過(guò)若干次周期性波動(dòng)，幾乎每一次都是以投資膨脹為先導(dǎo)，繼而又不得不以大規(guī)模的結(jié)構(gòu)調(diào)整作為結(jié)束?？梢?jiàn)，卡萊斯基提出的投資決策B(t)誘發(fā)經(jīng)濟(jì)周期性波動(dòng)的思想，對(duì)社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)也同樣具有借鑒的意義?！?
§8.2 最優(yōu)外資規(guī)模的決定條件
一國(guó)利用外資的規(guī)模總要受到一定的限制。外資"過(guò)少"意味著經(jīng)濟(jì)中仍有處于"閑置"狀態(tài)的投資機(jī)會(huì)；外資"過(guò)多"則可能超過(guò)一國(guó)所能承受的能力。因此，一旦由經(jīng)濟(jì)本身規(guī)定的約束條件已經(jīng)給定，"合理"的外資規(guī)模只能是特定意義下的，唯一的最優(yōu)規(guī)模。然而，在我國(guó)目前的體制下，這一最優(yōu)規(guī)模的決定機(jī)制以及經(jīng)濟(jì)變量對(duì)這一過(guò)程的參與程度與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)有較大的不同。因此，簡(jiǎn)單地把適用于市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的一般規(guī)律套用于我國(guó)是不恰當(dāng)?shù)摹?
在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，投資行為是由以利潤(rùn)最大化為其經(jīng)營(yíng)目標(biāo)的經(jīng)濟(jì)實(shí)體來(lái)承擔(dān)的，投資決策取決于這些經(jīng)濟(jì)實(shí)體對(duì)未來(lái)的收益水平的預(yù)期。因此，一般認(rèn)為，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下，經(jīng)濟(jì)變量直接參與了對(duì)吸引外資流入量的調(diào)節(jié)，同時(shí)，也規(guī)定了最優(yōu)外資流入量的均衡條件。在投資收益遞減規(guī)律普遍作用的情況下，這一均衡條件表現(xiàn)為外資在受資國(guó)的邊際收益等于借入外資的邊際成本。這時(shí)所實(shí)現(xiàn)的利用外資規(guī)模優(yōu)化，不僅意味著受資國(guó)在現(xiàn)行借債成本的基礎(chǔ)上，一切有利可圖的投資機(jī)會(huì)已開(kāi)發(fā)殆盡，從而外資的流入不再繼續(xù)；而且，還意味著受資國(guó)（外資）的投資收益在償付了必要的利息之后，還將給受資國(guó)帶來(lái)一定的凈收益。在市場(chǎng)機(jī)制充分活躍的情況下，一方面，凡是影響投資收益的經(jīng)濟(jì)變量都直接參與了對(duì)資本流入規(guī)模的限制，另一方面，經(jīng)濟(jì)實(shí)體的行為方式則構(gòu)成了市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下約束外資規(guī)模并使其優(yōu)化的"自發(fā)"機(jī)制。應(yīng)當(dāng)看到，外資投資的凈收益往往是按一定的份額由出資國(guó)和受資國(guó)共享，因此極大化受資國(guó)的凈收益是外資投資的共同目標(biāo)?？紤]到人們對(duì)未來(lái)匯率的期望也直接影響投資規(guī)模，我們有必要建立一個(gè)確定最佳外資投資規(guī)模的模式，以描述市場(chǎng)機(jī)制下這一最優(yōu)規(guī)模的決定過(guò)程和經(jīng)濟(jì)變量對(duì)這一過(guò)程的參與程度。我們假設(shè)：
I=以受資國(guó)貨幣表示的該國(guó)投資總規(guī)模；
I*=以出資國(guó)貨幣表示的投到受資國(guó)的投資規(guī)模；
I0=資本流入前受資國(guó)經(jīng)濟(jì)處于均衡狀態(tài)下的投資水平；
e=資本流入時(shí)受資國(guó)匯率；
=出資國(guó)投資者對(duì)未來(lái)投資收益時(shí)的預(yù)期匯率；
i=受資國(guó)的投資收益率，且i=f(I)，f￠ 0或受資國(guó)的借債成本；
i*=出資國(guó)的投資收益率或受資國(guó)的借債成本；
π(I* )=以出資國(guó)貨幣表示的投資收益；
I0*=以出資國(guó)貨幣計(jì)量的最優(yōu)外資投資規(guī)模。
顯然，外資投資I*相當(dāng)于受資國(guó)貨幣計(jì)量的投資eI*=I-I0，而且，在不考慮匯率變化的情況下，最優(yōu)的外資投資規(guī)模I0*一定在區(qū)間 內(nèi)形成，其中I滿足f(I)=i*。這是因?yàn)楫?dāng)I* 時(shí)，在受資國(guó)投資的報(bào)酬率將低于出資國(guó)的投資收益率。在這種情況下，受資國(guó)即使把全部?jī)羰找孓D(zhuǎn)讓給出資國(guó)，也無(wú)法吸引出資國(guó)投資。如圖所示：
插圖8.3
I-I0為受資國(guó)引入外資的最大規(guī)模，陰影部分表示外資投資的總收益；其中，矩形部分為在匯率保持不變的條件下受資國(guó)的付息總額，擬三角形為受資國(guó)的外資投資凈收益。鑒于π(I* )往往是由受資國(guó)和出資國(guó)分享的，故不論份額如何，投資規(guī)模的最優(yōu)化對(duì)雙方都有利。于是，以出資國(guó)貨幣計(jì)算的，計(jì)入預(yù)期匯率的凈收益成為外資投資決策的主要依據(jù)。那么，處于均衡狀態(tài)下的最優(yōu)外資引入規(guī)模就可由下面的數(shù)學(xué)形式求出：
其中I*(1+i*)表示期末受資國(guó)償還外資的本利和； 表示外資I*在期末的投資收入。分別對(duì)π(I* )求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，得到
(22)
(23)
由f`￠
(24)
其中f-1[·]是投資收益率（單調(diào)遞減函數(shù)）i=f(I)的反函數(shù)形式。由(24)的數(shù)學(xué)性質(zhì)可以推出，如果 e，即預(yù)期匯率貶值，則最優(yōu)的外資引入規(guī)模下降；如果匯率不發(fā)生變化，則 ，即受資國(guó)的外資投資報(bào)酬率和出資國(guó)的投資收益率一致，此時(shí)最佳的投資規(guī)模達(dá)到一般的上限；但是如果
許多人誤認(rèn)為宏觀增長(zhǎng)理論始于后凱恩斯主義的哈羅德一多馬模型。但如果我們把馬克思的勞動(dòng)價(jià)值理論和擴(kuò)大再生產(chǎn)圖式作為總量分析的基礎(chǔ)，對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)的平衡增長(zhǎng)深入細(xì)致地研究的話，發(fā)現(xiàn)馬克思理論的模型與哈羅德一多馬模型有驚人的相似之處，這說(shuō)明馬克思的經(jīng)濟(jì)理論對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)的貢獻(xiàn)是無(wú)與倫比的。
首先，我們用模型化假說(shuō)表述馬克思的擴(kuò)大再生產(chǎn)圖式：(1)整個(gè)經(jīng)濟(jì)分為兩大部門(mén)：生產(chǎn)資料生產(chǎn)部門(mén)(第I部類(lèi))和消費(fèi)資料生產(chǎn)部門(mén)(第II部類(lèi))；(2)沒(méi)有技術(shù)進(jìn)步，故經(jīng)濟(jì)中的生產(chǎn)函數(shù)保持不變，且資本-勞動(dòng)比率也不變；(3)勞動(dòng)和生產(chǎn)資料的所有生產(chǎn)要素的投入，在每一周轉(zhuǎn)期內(nèi)都完全地移轉(zhuǎn)到商品中去了。于是，整個(gè)生產(chǎn)過(guò)程用價(jià)值形式表示成：
I： c1+v1+m1=w1
II： c2+v2+m2=w2
I+II：c+v+m=w
式中c，v，m，w分別表示不變資本，可變資本，剩余價(jià)值和價(jià)值，下標(biāo)表示相應(yīng)的部類(lèi)。
馬克思認(rèn)為每一部類(lèi)有三個(gè)比率：
（1）剩余價(jià)值率：
mi = mi /vi
?。?）利潤(rùn)率：
gi = mi /ci+vi
（3）資本的有機(jī)構(gòu)成：
qi= ci /vi
馬克思確信資本主義的競(jìng)爭(zhēng)會(huì)使各部門(mén)的剩余價(jià)值率均等化，從而平衡時(shí)，
m=m1=m2
同樣，利潤(rùn)率也趨于均等，
g = g1 =g2
在馬克思的模式中，資本的有機(jī)構(gòu)成反映技術(shù)的進(jìn)步，而且q1≠q2。如果真是這樣，則可推導(dǎo)出，
c1 /c2 =m1 /m2
或
m1 /c1 = m2 / c2
顯然，均衡的條件偏多。
經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)在于積累，假設(shè)mi中積累了aci，追加雇用工人avi，被資本家消費(fèi)了ki，則
mi =ki + aci +avi
圖式改寫(xiě)成
I：c1+v1+k1+ac1+av1 =w1
II：c2+v2+k2+ac2+av2 =w2
I+II：c+v+k+c+v=w
為了使部類(lèi)之間能夠平衡，消費(fèi)品的需求總量必須等于消費(fèi)品的供給量，即
v1+k1+av1+v2+k2+av2 =w2
而且生產(chǎn)資料的需求量也必須等于生產(chǎn)資料的供給總量，即
c1+ac1+c2+ac2 =w1
從這兩個(gè)式子中都可以導(dǎo)出均衡式：
v1+av1+k1 =c2+ac2
反之亦然。馬克思設(shè)想先確定第I 部類(lèi)的積累率，然后相應(yīng)地調(diào)整第II部類(lèi)的積累率以達(dá)到均衡狀態(tài)。這里兩大部類(lèi)的積累率不相同。即
a1 / m1 ≠a2 /m2
ai表示部類(lèi)i的積累?；隈R克思的理論，鮑爾提出了他的模型(1913)。它可以輕易地轉(zhuǎn)變成哈羅德一多馬模型，因此，認(rèn)為馬克思是現(xiàn)代增長(zhǎng)理論的先驅(qū)決非過(guò)譽(yù)。
每個(gè)社會(huì)在人口增長(zhǎng)時(shí)，必須逐年擴(kuò)大其生產(chǎn)能力，以維持消費(fèi)水平。這就需要資本積累，而在資本主義條件下任何積累的來(lái)源是剩余價(jià)值，如果人口增長(zhǎng)率或相當(dāng)于它的勞動(dòng)力增長(zhǎng)率b不變，那么v亦不變。若m亦不變，則剩余價(jià)值
m=mv
也就不變，這時(shí)被積累的m=ac+av+k，當(dāng)用于不變資本的積累的比率a也是不變的，則
act =act
于是不變資本的增長(zhǎng)取決
ct =(1+a)ct-1
積累用作可變資本的比率應(yīng)是人口增長(zhǎng)的比率b，故
avt =bvt
于是
vt=(1+b)vt-1
剩余價(jià)值的增長(zhǎng)是
mt=mvt=m(1+b)vt-1
勞動(dòng)價(jià)值理論中新價(jià)值的增殖依靠活勞動(dòng)的支出，這與現(xiàn)代的"國(guó)民收入"的概念相近。國(guó)民收入是可變資本加上剩余價(jià)值。故
yt=vt+mt
=(1+b)vt-1+m(1+b)vt-1
=(1+m)(1+b)vt-1
=(1+b)yt-1
顯然，馬克思可以得出一切財(cái)富是勞動(dòng)創(chuàng)造的，當(dāng)然這時(shí)沒(méi)考慮技術(shù)進(jìn)步。稍加整理，我們有
ct = (1+a)t-1 c1
vt = (1+b)t-1 v1
mt = (1+b)t-1 m1 =m (1+b)t-1 v1
yt = (1+b)t-1 y1 = (1+m)(1+b)t-1 v1
類(lèi)似地，
act = a (1+a)t-1 c1
avt = b(1+b)t-1 v1
初始狀態(tài)
y1 =m1 +v1
在完全市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，資本的積累依賴(lài)于投資家?quot;任意"決定，而為了與人口增長(zhǎng)保持均衡，資本的積累必須有某種相應(yīng)的動(dòng)作。但是只有在政府部門(mén)宏觀指導(dǎo)下，才能使生產(chǎn)能力的增長(zhǎng)和消費(fèi)品的增加與人口增長(zhǎng)保持著同步。如果m不變,q1,q2上升，則a亦上升，因此馬克思認(rèn)為ab是可能的。它們之間的聯(lián)系是什么呢？我們注意到國(guó)民收入的增長(zhǎng)率
這說(shuō)明國(guó)民收入將與人口增長(zhǎng)同步，積累率
則表明ab使經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)不穩(wěn)定。依據(jù)勞動(dòng)價(jià)值理論（ab），計(jì)入不變資本的毛收入gG?a (t?￥)。而且在發(fā)展過(guò)程中，利潤(rùn)率由于有機(jī)構(gòu)成的提高而有所下降
0 （t?￥）
可以看出馬克思正是透過(guò)這種圖式，預(yù)見(jiàn)到資本主義初期發(fā)展的不穩(wěn)定性。從上述模型還可以看出資本家會(huì)自動(dòng)扼制資本有機(jī)構(gòu)成的提高，以維持較高的利潤(rùn)率。
如果將前述假設(shè)改成a=b，則資本主義經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中用于積累的剩余價(jià)值不會(huì)被耗盡，而且資本有機(jī)構(gòu)成和利潤(rùn)率將保持不變。我們考慮均衡增長(zhǎng)的情況下，馬克思的擴(kuò)大再生產(chǎn)模式是如何得到哈羅德模型的。哈羅德的均衡等式為
Dy/y=s
式中y是國(guó)民收入，s是平均（邊際）消費(fèi)傾向，
S=sy
s =Dy/DG
s是資本一產(chǎn)出率，S是儲(chǔ)蓄，G是資本存量其保證的增長(zhǎng)率
gw=ss
在均衡下，哈羅德要求實(shí)際增長(zhǎng)率gA等于保證的增長(zhǎng)率gw，而兩者都必將等于人口增長(zhǎng)率b，即
gA=gw=b=ssw
其中ssw是保證的資本產(chǎn)出率。于是
yt=(1+m)v1 (1+b)t-1
如果依據(jù)馬克思的理論：資本家儲(chǔ)蓄剩余價(jià)值m中沒(méi)有用于消費(fèi)的部分，整個(gè)經(jīng)濟(jì)中消費(fèi)掉的有v，av和k，因而
St=yt-(vt+avt+kt)
=(vt+mt)-(vt+avt+kt)
=act
即整個(gè)經(jīng)濟(jì)能夠儲(chǔ)蓄的數(shù)額S，恰好等于資本家愿意追加的不變資本的數(shù)額ac。這就是凱恩斯理論中的投資I=S的前身！因此
GA=Gw=ss=b
這說(shuō)明馬克思的模式能滿足哈羅德的平均增長(zhǎng)條件。請(qǐng)留意，馬克思的模式中s?￥,(t?￥)且s?0 (t?￥)；而哈羅德的模式中，s和s是不變的。當(dāng)a=b時(shí)，s與s不變，故馬克思的理論說(shuō)明資本主義經(jīng)濟(jì)中，隨著資本密集化資本一產(chǎn)出率持續(xù)下降，經(jīng)濟(jì)的持續(xù)增長(zhǎng)要求儲(chǔ)蓄傾向抵消資本一產(chǎn)出率的下跌。但資本家的消費(fèi)將在一定的時(shí)期后被耗盡。
kt=mt-(act+avt)
=v1(1+b)t-1 (m-b)－ac1 (1+a)t-1
這個(gè)就會(huì)使資本家盡力壓低勞動(dòng)力的追加工資，從而相對(duì)貧困在所難免。綜上所述，馬克思的擴(kuò)大再生產(chǎn)圖式是宏觀增長(zhǎng)理論的前身，而且遠(yuǎn)比哈羅德模型深刻。
如果將兩部類(lèi)聯(lián)合起來(lái)來(lái)考慮，有以下三個(gè)假設(shè)：
?。?）兩大部類(lèi)的積累率相同
a1 /m1 = a2 /m2 = a/m
?。?）部類(lèi)間的均衡條件
(1+m)vI =cI +ac
?。?）部類(lèi)間的不變資本積累和可變資本積累相同
問(wèn)題是1)由于轉(zhuǎn)移到第I部類(lèi)的剩余價(jià)值資金，在其生成的部類(lèi)尚未分成不變資本和可變資本，所以acII和avII就不能這樣被轉(zhuǎn)移。2)要求資本依其所生成的部類(lèi)的有機(jī)構(gòu)成來(lái)轉(zhuǎn)移，而不是按照受它的那個(gè)部類(lèi)的有機(jī)構(gòu)成來(lái)轉(zhuǎn)移，這也不太合理。但上述三個(gè)假設(shè)決定了兩部類(lèi)內(nèi)的轉(zhuǎn)移機(jī)制，正是以此為依據(jù)，部類(lèi)I增長(zhǎng)必須快于部類(lèi)II的增長(zhǎng)。這時(shí)，
顯然,cI, vI不斷增長(zhǎng), cII, vII趨于零。結(jié)果同說(shuō)明了這個(gè)體系是不穩(wěn)定的。原因仍是ab。所以只有a=b，才能使資本主義體制穩(wěn)定。
§8.4 效用函數(shù)與生產(chǎn)函數(shù)
在這一節(jié)里，我們要學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)家是如何利用數(shù)學(xué)模型描述他們心目中的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的。人們已經(jīng)注意到經(jīng)濟(jì)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言的困難在于經(jīng)濟(jì)學(xué)術(shù)語(yǔ)的多層次性。例如市場(chǎng)一詞在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有六個(gè)層次的含意：1）考慮一種商品時(shí)，市場(chǎng)是該商品的買(mǎi)方和賣(mài)方相互交易、進(jìn)行交換的地方；2）一組特殊的買(mǎi)方，如初級(jí)市場(chǎng)；3）一種已知商品的買(mǎi)方和賣(mài)方，如小麥?zhǔn)袌?chǎng)；4）商業(yè)區(qū)，如北京王府井；5）在馬歇爾經(jīng)濟(jì)學(xué)中，市場(chǎng)是理想的、在任何給定時(shí)刻的價(jià)格對(duì)一切買(mǎi)賣(mài)雙方是同樣的地方；6）口語(yǔ)中，市場(chǎng)有市場(chǎng)價(jià)值的意思。鑒于這種情況，我們不標(biāo)明經(jīng)濟(jì)學(xué)的觀點(diǎn)是否正確，立論是否嚴(yán)謹(jǐn)，而重點(diǎn)放在怎樣利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言?！?br> 在我們這個(gè)世界上，人類(lèi)在不停地忙碌著。他們不斷地給予和索取，為什么要取舍這些東西呢？一切經(jīng)濟(jì)單位也是這樣，什么動(dòng)機(jī)促成了它們的行為是這樣而不是那樣呢？偏好是其根源。人們?cè)谙硎芪锲坊騽趧?wù)中所得到的滿足叫作效用。偏好決定了人們?yōu)槭裁醋黾资露蛔鲆沂?。即甲f乙。"f"在數(shù)學(xué)里稱(chēng)為序。效用可以是不道德的，甚至是負(fù)效用。如果享用第i個(gè)單位的某物品或勞務(wù)的效用記作mui，則有
mu1 > mu2 …
這就是邊際效用遞減規(guī)律。假如市場(chǎng)上有n種商品，某代理人的效用值用函數(shù)表達(dá)成
u=u(x1,x2,…xn)
則應(yīng)有
若代理人的收入為I，市場(chǎng)價(jià)格p=(p1，p2，…，pn)T,則他一定追求效用最大。行為由模型
maxu(x1,x2,…xn)
s.t. pTx ￡ I
表示。方程pTx = I稱(chēng)為選擇預(yù)算線。如果代理人的錢(qián)財(cái)不是數(shù)不勝數(shù)，不等式約束等價(jià)于等式約束。假設(shè)上述模型的最優(yōu)解為
則得到n個(gè)需求函數(shù)
xi = xi (p1，…，pn,I)
如果固定pj, j1i, 1￡ j￡ n和I，就得到商品i的需求曲線
xi = xi (pi)
特定的 下， 稱(chēng)為價(jià)格水平，若新的價(jià)格為p*，且
p*T > pTx
則稱(chēng)發(fā)生了通貨膨脹。價(jià)格指數(shù) 和通貨膨脹率P分別為
這時(shí)，代理人的真實(shí)收入Ir變化了
Ir = I*/
其中I*是新收入。這時(shí)代理人的行為會(huì)發(fā)生變化，依據(jù)是
max u(x1,x2,…xn)
s.t. p*Tx ￡ I*
的最優(yōu)解x*變了。顯然，如果價(jià)格和收入同步增長(zhǎng)，則x*= 。假設(shè)相對(duì)價(jià)格或價(jià)格比率為
價(jià)格p變化到p*且收入不變。則經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為需求變化是兩種效應(yīng)共同作用的結(jié)果，它們是
1）收入效應(yīng)：由價(jià)格變化引起某商品i的供給者的真實(shí)收入下降，從而使需求發(fā)生的變化的效應(yīng)；
2）替代效應(yīng)：由于相對(duì)價(jià)格Pij的變化，引起需求變化的效應(yīng)。
Max u(x1,x2,…xn)
s.t. p*x ￡ I
x 3 0
的最優(yōu)解為 ，則 的變化表示替代效應(yīng)。若
max u(x1,x2,…xn)
s.t. p*Tx ￡ p*T ，x 3 0
的最優(yōu)解為 ，則 的變化表示收入效應(yīng)。但是經(jīng)濟(jì)學(xué)家們的觀點(diǎn)也不一致。?？怂梗℉icks,1946）則主張保持實(shí)際收入不變指的是新的預(yù)算超平面的法向量仍取p*，但與以前一樣的無(wú)差異曲面
u(x1,x2,…xn)=
相切。即模型
u(x)=p*
u(x)=u( )
p*x=u( )
的解為 ，則 表示替代效應(yīng)。 表示收入效應(yīng)。無(wú)論 如何變化到 ，價(jià)格起了核心作用。我們把 的差異留給讀者思考。
價(jià)格是市場(chǎng)上最積極的因素，它是如何確定的呢？按規(guī)范的經(jīng)濟(jì)學(xué)觀點(diǎn)，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中需求和供給確定相對(duì)價(jià)格；相對(duì)于物品流動(dòng)的貨幣量決定絕對(duì)價(jià)格。我們姑且承認(rèn)這些理論，從而面臨的任務(wù)是找出供給函數(shù)?！?br> 企業(yè)是經(jīng)濟(jì)中的供給單位，由于資本、勞力、技術(shù)、管理等因素的差異，企業(yè)的生產(chǎn)能力有所不同。假設(shè)某企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為
y=f(x1,x2,…xn)
其中y是產(chǎn)出，x=(x1，…，xn）是投入。生產(chǎn)函數(shù)一般是相對(duì)穩(wěn)定的，數(shù)學(xué)性質(zhì)多為一階正齊次函數(shù)。假如投入的價(jià)格分別為p1，…，pn，則成本函數(shù)為
c(x)= pTx
在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的條件下，企業(yè)追逐最大利潤(rùn)，在客觀上要求企業(yè)內(nèi)部對(duì)投入進(jìn)行最佳組合，即在費(fèi)用一定的情況下盡可能多生產(chǎn)出產(chǎn)品來(lái)。模型
max |(x)
s.t. pTx ￡ c
x 3 0
說(shuō)明了企業(yè)的行為，其中pTx￡c是成本預(yù)算約束，一般可改為等式。從優(yōu)化模型中解出的
x=x(p1,p2…,pn,c)
稱(chēng)為對(duì)投入的需求分配，將其代入生產(chǎn)函數(shù)后，得到
y=f[x(p1,p2,…pn,c)]
解其關(guān)于c的反函數(shù)，即生產(chǎn)成本函數(shù)，
c=c(p1,p2…,pn,y)
再固定投入價(jià)格p，就得到生產(chǎn)成本曲線
c=c(y)
在生產(chǎn)成本中，隨著產(chǎn)出量的變動(dòng)而變動(dòng)的部分叫做變動(dòng)成本，不隨著產(chǎn)出量的變動(dòng)而變動(dòng)的部分叫固定成本。它們分別是(或等于)c(0)和c(y)-c(0)。設(shè)產(chǎn)出的價(jià)格為p0，則利潤(rùn)為
P=p0y－c(y)
將P極大化解出最佳產(chǎn)出量 ，這時(shí)邊際收益MR等于邊際成本MC，即
解出
或反解成
y=y(p0)
這正是企業(yè)的供給曲線。換言之，邊際成本曲線就是供給曲線。產(chǎn)出y也是市場(chǎng)上的商品，那么我們對(duì)某種商品得出其需求曲線D=D(p0)和供給曲線S=S(p0)后，就可以由模型
確定該商品的均衡價(jià)格p0*和均衡量Q*=D*=S*。關(guān)于競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，需求方程和供給方程最重要的一點(diǎn)不是它們能確定相對(duì)價(jià)格和產(chǎn)出量，而是價(jià)格和產(chǎn)出被確定的方式。
企業(yè)對(duì)某種投入的需求也可以從模型中得到解釋?zhuān)a(chǎn)函數(shù)y=f(x1,x2,…xn)的偏導(dǎo)數(shù) 的經(jīng)濟(jì)含意是該投入的邊際產(chǎn)出率，那么如果
pi
則表示增加投入Dxi帶來(lái)的收益p0Dy大于費(fèi)用的增加piDxi，于是企業(yè)增加投入xi。因?yàn)檫呺H產(chǎn)出率遞減，所以當(dāng)
=pi
時(shí)，企業(yè)停止投入xi。
如果某市場(chǎng)上出現(xiàn)壟斷，這時(shí)產(chǎn)出仍由邊際收益和邊際成本的交點(diǎn)確定，但是價(jià)格由產(chǎn)出代入需求函數(shù)而定。即由
解出y*，再由
y*=y(p0)
解出p0*。
最后，對(duì)整個(gè)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體系而言，若其產(chǎn)出為x1，…，xn，由一切產(chǎn)出的可能組合應(yīng)構(gòu)成一個(gè)生產(chǎn)可能性集合R，全社會(huì)的福利由效用函數(shù)U(x1，…，xn)表示，則一般來(lái)說(shuō)，R是凸集，且U(x1，…，xn)是凹函數(shù)。R的外點(diǎn)構(gòu)成的曲面叫作生產(chǎn)轉(zhuǎn)換曲面。在最優(yōu)解點(diǎn)上，生產(chǎn)轉(zhuǎn)換曲面的梯度應(yīng)和全社會(huì)無(wú)差異曲面的梯度一致。而梯度的分量恰好是相對(duì)價(jià)格的負(fù)值。我們把這些模型留給讀者思考。 附錄1
(16.1)
將(4)代入(3)
將上式代入(16.1)
(16.2)
由于i￠=q，則由(1)
(16.3)
由(16.2)及(16.3)得
附錄2
我們首先介紹赫斯定理，它是研究一維系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的基礎(chǔ)。在此之前，我們引進(jìn)兩個(gè)引理[6]：
引理1 考慮方程
w=cew (1)
位于w的上半平面的根。
(i)當(dāng)c0，在每一帶形區(qū)域
2kp
內(nèi)，方程(1)都有一個(gè)根位于曲線
b=±(c2a2a-a2)1/2 (3)
與曲線
a=bctgb (4)
的對(duì)應(yīng)分支的唯一交點(diǎn)上。除此之外，當(dāng)0
(ii) 當(dāng)c
(2k+1) p
內(nèi)的曲線(3)與(4)的交點(diǎn)上。
(iii) 在這兩種情況都有對(duì)應(yīng)的方程(1)的根位于w的下半平面。
(iv) 方程(1)僅當(dāng)c=e-1才有實(shí)根，且w=1是方程(1)的重根。
(v) 當(dāng)0 < c < e-1時(shí)，方程(1)有兩個(gè)根位于實(shí)軸的正半軸與曲線(3)的交點(diǎn)上。
(vi) 當(dāng)c
引理2 方程w=cew的所有根位于直線Re(w)=r的右邊，當(dāng)且僅當(dāng) r < 1
及 re-r < c < e-r(f2+r2)1/2
這里對(duì)0 < f < p的f而言，f=f(r)是fctgf=r的唯一零點(diǎn)。
關(guān)于這兩個(gè)引理的證明是極其繁瑣的，請(qǐng)參閱有關(guān)專(zhuān)著[32]。
赫斯定理 方程wew-a1ew-a2=0的根均在Re(w)=r的左方的充要條件是a1-r
a1=a
a2=bq-a
w=qs
則可證明命題1。我們注意到如果取
a1=qa(1-c)/v1(1+b)+v2
a2=-q(1-c)/[v1+v2/(1+b)]
w=-qs
則可利用赫斯定理證明命題2，但這里用到引理1關(guān)于根的性質(zhì)。
我們考慮函數(shù)
f(w)=wew-aew-a2
它是下單峰函數(shù)，實(shí)數(shù)域上最小值點(diǎn)w=a1-1，唯一的拐點(diǎn)w=a1-2,左極限為-a2，右極限+￥。因此，方程
wew-a1ew-a2=0
有實(shí)根的充要條件是
f(w)￡0
于是，我們得到引理3。
引理3 方程
wew-a1ew-a2=0
的根均為實(shí)數(shù)的充要條件是
-ea-1-a2￡0
從引理3中可以得一個(gè)直接推論：方程(7)的根均為復(fù)根（虛部不為零）的充要條件是
ea-1-a2 > 0
我們進(jìn)一步考慮方程(7)的實(shí)根，顯然，其最大的實(shí)根位于零的左邊，必須是以下三條同時(shí)成立。
(1) f(w) ￡0
(2) f(0) > 0
(3) w < 0
反之亦然。結(jié)合赫斯定理，我們就證明了命題3。關(guān)于命題4的證明，與命題3類(lèi)似，這里恕不贅述。有興趣的讀者可參閱文獻(xiàn)[11]，[32]。
