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定義

主成分分析又稱主分量分析或主軸分析，是將多個(gè)指標(biāo)化為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種多元統(tǒng)計(jì)分析方法．從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，這是一種降維處理技術(shù)。通常把轉(zhuǎn)化生成的綜合指標(biāo)稱之為主成分。

主成分分析基本思想

在實(shí)證數(shù)據(jù)分析研究中，人們?yōu)榱吮M可能完整地搜集信息，對(duì)于每個(gè)樣本往往要觀測(cè)它的很多指標(biāo)，少到四、五項(xiàng)，多則幾十項(xiàng)。例如：人口普查往往要調(diào)查每個(gè)人的姓名、年齡、性別、文化程度、職業(yè)、住房等幾十項(xiàng)指標(biāo)。從搜集資料的角度看，多記錄幾項(xiàng)可以避免重要信息的遺漏，但是由于這些指標(biāo)從統(tǒng)計(jì)角度來(lái)看相互之間有一定的依賴關(guān)系，因而使得所觀測(cè)的數(shù)據(jù)在一定程度上反映的信息有所重疊。因此，從統(tǒng)計(jì)分析或推斷的角度來(lái)說(shuō)，人們總是希望能把大量的原始指標(biāo)組合成較少的幾個(gè)綜合指標(biāo)，從而使分析簡(jiǎn)化。這些綜合指標(biāo)的變化要能大體上反映樣本全部指標(biāo)的變化，而不喪失或者只喪失很少一部分原始指標(biāo)所提供的信息。

例如：一個(gè)人的身材需要用好多項(xiàng)指標(biāo)才能完整地描述，諸如身高、臂長(zhǎng)、腿長(zhǎng)、肩寬、胸圍、腰圍、臀圍等等，但人們購(gòu)買(mǎi)衣服時(shí)一般只用長(zhǎng)度和肥瘦兩個(gè)指標(biāo)就夠了，這里長(zhǎng)度和肥瘦就是描述人體形狀的多項(xiàng)指標(biāo)組合而成的兩個(gè)綜合指標(biāo)。

主成分分析的一般數(shù)學(xué)模型

1、通常，一些變量具有不同的量綱，有的變量值數(shù)量級(jí)上也有很大差異，在應(yīng)用主成分分析研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不同的量綱和數(shù)量級(jí)會(huì)引出新的問(wèn)題；為了消除由于量綱的不同可能帶來(lái)的一些不合理的影響，在進(jìn)行主成分分析之前先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

2、為了方便，將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣仍用原來(lái)的x記，考慮它的線性變換——新的綜合變量由原來(lái)的變量x1，x2，…，xP線性表示，即：

由于可以任意地對(duì)原始變量進(jìn)行上述線性變換，由不同的線性變換得到的綜合變量y的統(tǒng)計(jì)特性也不盡相同。

假如我們希望用y1來(lái)代替原來(lái)的p個(gè)變量x1，x2，…，xP，這就要求y1盡可能多地反映原來(lái)p個(gè)變量的信息，即希望y1是x1，x2，…，xP的一切線性函數(shù)中方差最大的。

為什么要用方差的大小來(lái)尋找主成分

舉例說(shuō)：反映城鎮(zhèn)居民生活消費(fèi)狀況的指標(biāo)通常有8個(gè)（食品、衣著、日用品、…），我們希望由這8個(gè)指標(biāo)線性組合成一個(gè)新指標(biāo)，亦即一個(gè)可以幫助我們衡量各地城鎮(zhèn)居民總體生活消費(fèi)狀況的綜合性指標(biāo)，當(dāng)然也希望此指標(biāo)能真正顯出消費(fèi)程度的差異（富裕的、貧窮的），所以此指標(biāo)方差越大，便代表它對(duì)居民消費(fèi)程度差異擁有越大的反映及解釋能力。

因此，p個(gè)原始觀測(cè)變量的第一主成分就應(yīng)該是這p個(gè)原始觀測(cè)變量的所有線性組合中方差最大的那個(gè)綜合指標(biāo)，第二主成分就應(yīng)該是這p個(gè)原始觀測(cè)變量的所有線性組合中方差次大的那個(gè)綜合指標(biāo)，???，第p個(gè)主成分就應(yīng)該是這p個(gè)原始觀測(cè)變量的所有線性組合中方差第p大的那個(gè)綜合指標(biāo)。

如果第一主成分不足以代表原來(lái)p個(gè)變量的絕大部分信息，則往往還要計(jì)算p個(gè)原始指標(biāo)的第二主成分y2。為了有效地代表原變量的信息，第一主成分（y1）已反映（體現(xiàn)）的信息不希望在第二主成分（y2）中出現(xiàn)，用統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言來(lái)講，就是要求

  。

 于是求第二主成分（y2），就是在約束條件

和cov (y2,y1)=0下，求a2使Var(y2)達(dá)到最大，所求之y2稱為第二主成分。類(lèi)似地可求得第三主成分、第四主成分等等。   

綜上所述，我們將線性變換約束在下面的原則之下：

（1）

即

(2)yi與yj（i≠j；i，j=1，2，…，p)相互無(wú)關(guān)；

(3)y1是x1，x2，…，xp的一切滿足原則（1）的線性組合中方差最大者；y2是與y1不相關(guān)的  x1，x2，…，xp的所有線性組合中方差最大者；…；yp是與y1，y2，……yp-1都不相關(guān)的x1，x2，…，xp的所有線性組合中方差最大者。

基于以上三條原則決定的新（綜合）變量y1，y2，…，yp分別稱為原始變量x1，x2，…，xp的第一，第二，…，第p個(gè)主成分。其中，y1在總方差中占的比例最大，y2，y3，…，yp的方差依次遞減。

后記

在商務(wù)與經(jīng)濟(jì)中，常常需要將很復(fù)雜的數(shù)據(jù)集綜合成商業(yè)指數(shù)形式，也就是說(shuō)將p個(gè)指標(biāo)所構(gòu)成的p維系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一維系統(tǒng)，一些熟悉的例子如物價(jià)指數(shù)、生活費(fèi)用指數(shù)等，這些指數(shù)是由各種加權(quán)成分所組成的，在某種意義上，這些權(quán)數(shù)反映了各種成分相對(duì)重要性的數(shù)量，從主成分的觀點(diǎn)來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題，主成分分析所構(gòu)成的第一主成分正是這一問(wèn)題的答案，它提供了自身的權(quán)重系數(shù)。）

完

下節(jié)我們介紹主成分分析的幾個(gè)意義，敬請(qǐng)期待。