文：屠夫1868
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“有優(yōu)勢的下注叫投資，
沒優(yōu)勢的下注叫賭博。 ”
—— 約翰·凱利
這是屠夫的第 83 篇原創(chuàng)，全文 4450 字
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金錢永不眠，屠夫問候各位早安。
上周的《3%優(yōu)勢與算牌型投資者》反響不錯，大家對“如何通過算牌提高21點勝率”這個問題特別好奇。
這次屠夫嘗試把復(fù)雜的21點算牌法用最簡單的語言解析，確?！拘“滓材芸炊?。
21點算牌法源于“寬客之父”愛德華·索普（Edward O. Thorp）的著作《擊敗莊家》。他還有一本名為《戰(zhàn)勝一切市場的人》的傳記，由“黑天鵝之父”塔勒布親自作序。
愛德華·索普教授有以下身份：
全球第一個量化交易對沖基金創(chuàng)始人
“信息論之父”香農(nóng)教授的合作伙伴
數(shù)學(xué)系教授 + 賭博專家
他在60年代通過工作之余的艱苦演算（也借助了當(dāng)時的計算機），發(fā)明了21點游戲的算牌法，然后以此橫掃內(nèi)華達州各大賭場：數(shù)小時就可以贏走數(shù)以十萬計的賭金——拉斯維加斯自然也沒能幸免。
本文的核心思想和主要靈感來源于《擊敗莊家》和《決勝21點》。
屠夫希望借這樣一篇書籍+電影的衍生解析，化解一般人對數(shù)學(xué)的恐懼，幫大家更好地理解量化思維。
*篇幅有限，屠夫只挑核心部分講解，想深入了解請自己閱讀《擊敗莊家》哦
圖片來源：《擊敗莊家》封面
01：21點基本規(guī)則
每個賭場都有一套21點游戲規(guī)則，但總體而言大同小異。
自索普教授公開了算牌法之后，有不少賭場嘗試修改規(guī)則，但最終發(fā)現(xiàn)玩家流失太嚴重，只好改回來。
這里介紹的是結(jié)合電影《決勝21點》來看的典型規(guī)則。
玩家數(shù)量：1個莊家，1-7個玩家
紙牌數(shù)量：1副52張的紙牌（無大小王），但越來越多賭場使用2或4副
發(fā)牌規(guī)則：莊家給自己發(fā)2張牌，再給每個玩家發(fā)2張牌。莊家的牌一張朝上（明牌），一張朝下（暗牌）；玩家兩張牌都是明牌
點數(shù)計算：牌2-10的點數(shù)就是牌面數(shù)字；花牌（J/Q/K）的點數(shù)都是10；牌A可以算1點（硬牌）或11點（軟牌）
上述幾條都比較簡單，接下來的“要牌規(guī)則”才是游戲的核心。
玩家要牌規(guī)則只有一條：
【1】發(fā)牌過后，玩家可以選擇要牌（每次1張明牌）或者跳過（停止要牌）
莊家要牌規(guī)則稍復(fù)雜些：
【1】所有玩家要牌之后，莊家揭開暗牌
【2】莊家點數(shù)不超過16時必須繼續(xù)要牌，大于等于17時必須跳過
【3】如果莊家拿到A，且按11點計算會使總點數(shù)大于等于17，又不超過21點，那么莊家必須將該張A算作11點并停止要牌
最后，是獲勝規(guī)則：
【1】若一方總計點數(shù)超過21點，即為“爆牌”落敗
【2】玩家和莊家都沒有爆牌時，點數(shù)大者獲勝
【3】玩家和莊家都沒有爆牌而且點數(shù)相同，打平
有些賭局規(guī)則是平局算莊家贏，這會為莊家?guī)砜膳碌?%的優(yōu)勢——千萬不要參加這樣的游戲。
由于篇幅有限，本文跳過分牌/加倍/保險等規(guī)則，直擊核心原理。
加上這些規(guī)則后，算牌法【依然有效】，只是算牌者要記憶的內(nèi)容更多一些。
看完規(guī)則，感覺什么地方不對勁了嗎？
沒看出來也沒關(guān)系，接下來進入解謎階段啦。
02：撲克牌的記憶
學(xué)數(shù)學(xué)時，我們往往需要推導(dǎo)出一些定理，才能更方便地進行研究和探索。
玩21點之前，我們也要從規(guī)則推導(dǎo)出這個游戲的“定理”，以便更好地掌控這個游戲。
【定理1】撲克牌是有記憶的。
屠夫曾說過：21點和投資，都是連接過去與未來的游戲。
一輪發(fā)牌的結(jié)果會影響下一輪甚至下下一輪的結(jié)果，因為用的是同一副牌。
所以，21點游戲絕對不屬于“獨立隨機過程”。
舉例來說：游戲第一輪就出現(xiàn)了4張A，那么這輪結(jié)束之后，這些牌面朝上放入牌堆底部。
第二輪從剩余的牌里抽取，那么從第二輪開始就沒有A，這種情況會持續(xù)到一副牌用完或者重新洗牌
——在此之前，玩法跟“牌堆有A”完全不一樣。
這就像屠夫做資產(chǎn)配置時的相關(guān)性分析。
歷史上兩項資產(chǎn)相關(guān)性的高低，會影響我的配置判斷和選擇。
因為我相信“資產(chǎn)有記憶”，所以它們的歷史表現(xiàn)會影響未來。
有同學(xué)會問，莊家如果每局結(jié)束都洗牌或者換一副新牌，不就可以消除“記憶”了嗎？
你別說，賭場還真試過這招，后來主動放棄了。
因為每局洗牌耗時太長太拖沓，沒人愿意來玩，帶來的損失比有人算牌還高……
根據(jù)這條定理，我們得知：
根據(jù)已經(jīng)用過的牌，
可以推測即將出現(xiàn)的牌。
03：爆牌決勝負
【定理2】莊家比玩家更易爆牌。
所謂爆牌，就是手牌總點數(shù)超出21點，直接判負。
讓我們仔細對比一下玩家和莊家的要牌規(guī)則：
【玩家】可以選擇要牌（每次1張明牌）或者跳過（停止要牌）
【莊家】點數(shù)不超過16時必須繼續(xù)要牌，點數(shù)大于或等于17時必須跳過
相比起可以自由選擇要牌和跳過的玩家來說，莊家只要不超過16點就必須要牌。
這意味著：在這個游戲里，莊家比玩家更易爆牌！
沒反應(yīng)過來的同學(xué)，讓屠夫幫你理一下思路。
點數(shù)不超過11時，要牌是安全的。
因為紙牌最大點數(shù)只有10點（10/J/Q/K），A可以算1也可以算11，不會出現(xiàn)爆牌的情況。
點數(shù)到達12～16時，開始出現(xiàn)爆牌的風(fēng)險。
由于莊家必須要牌，一旦抽中10點牌，必爆無疑。
事實上，莊家點數(shù)13時抽中9也爆，14時抽中8也爆，15時抽中7也爆，16時抽中6也爆……
總體而言，高點數(shù)的牌越多，對莊家越不利。
一般人會把注意力集中在點數(shù)大小上，忽略了“爆牌”這一要素。
是不是很眼熟呀？
屠夫在《給我1枚硬幣》里，就是跳出常規(guī)的概率思維，使用“爆倉”讓984名賭徒出局。
這次不過是把“概率”換成了“點數(shù)大小”，“爆倉”換成“爆牌”而已。
第一條定理告訴我們，根據(jù)已用牌可以推算未來牌；
第二條定理告訴我們，高點數(shù)牌越多莊家越易爆牌。
兩者結(jié)合，就不難理解算牌法的思路了。
04：算10法
索普教授前后共提出多種算牌法，其中以算10法和完全計點法（又叫高低計點法）的效果最好。
算10法是第1版《擊敗莊家》的主力制勝策略。顧名思義，這個方法跟10點牌有關(guān)。
一副52張的紙牌，可以簡單劃分成兩類：
16張10點牌（四種花色的10/J/Q/K）
36張其他牌
完全未使用過的牌堆里，這兩者的比率是 36 / 16 = 2.25。
而每發(fā)一張牌，余牌堆自然少一張，那么分子或者分母就會減1，從而整個比率會發(fā)生變化。
根據(jù)定理2，高點數(shù)牌越多莊家越易爆牌，而10點牌顯然屬于高點數(shù)。
這個比率越低，證明余牌中的10點牌占比越大，玩家的優(yōu)勢越明顯。
索普教授在書中提供了不同比率里玩家的優(yōu)勢差異：
算10法中玩家的大致優(yōu)勢（來源：擊敗莊家）
實戰(zhàn)中，你還需要結(jié)合莊家明牌點數(shù)和自己的手牌，作出是否要牌、分牌、加倍等決策，從而提升自己在這一局里的勝率。
下圖就是算10法的完整策略表：
算10法完整策略表（來源：擊敗莊家）
為什么要計算這么一個比率呢？
道理很簡單——“少賠多賺”：
優(yōu)勢明顯才下重注，
沒有優(yōu)勢時少下注。
這個比率，就是“優(yōu)勢”的晴雨表。
當(dāng)比率低于2.25時，說明余牌中的10點牌較多，玩家優(yōu)勢變大，可以下重注；
當(dāng)比率高于2.25時，說明余牌中的10點牌較少，玩家優(yōu)勢減小，最好少下注。
05：完全計點法
完全計點法（又叫高低計點法）是與算10法完全不同的一套體系，電影《決勝21點》用的就是完全計點法。
與只考慮10點牌的算10法不同，完全計點系統(tǒng)將所有牌劃分成三種高低點數(shù)：+1、0、-1：
+1牌包括 2、3、4、5、6
0點牌包括7、8、9
-1牌包括10、J、Q、K、A
每見到一張牌就更新一次高低點數(shù)，比如見到如下幾張牌：
5（+1），5（+1），3（+1），8（0）
那么合計點數(shù)是+3。
《決勝21點》里特意用了幾分鐘的時間，借助男主第一次算牌來展現(xiàn)高低點數(shù)的計算，其實這只是完全計點法的冰山一角
——有了高低點數(shù)，還要算出高低索引值：
高低索引值 = 高低點數(shù) / 剩余牌數(shù) * 100
同時計算高低點數(shù)并追蹤剩余牌數(shù)，再實時地用除法求出索引值，并不是一件輕松的事，各位不妨拿起一副撲克牌自己試試。
接下來的事情就跟算10法很像了：結(jié)合莊家明牌點數(shù)和自己的手牌，作出是否要牌、分牌、加倍等決策。
下面兩張圖就是索普教授歸納的“完全計點法要牌策略表”：
?完全計點法要牌策略表：硬點數(shù)（來源：擊敗莊家）
完全計點法要牌策略表：軟點數(shù)（來源：擊敗莊家）
仔細對比會發(fā)現(xiàn)，完全計點法從本質(zhì)上和算10法十分相近。
兩者是共通的，都基于上述的兩條定理展開：
因為撲克牌有記憶，所以算10法跟蹤余牌里兩種牌的張數(shù)，完全計點法跟蹤高低點數(shù)和剩余牌數(shù)；
因為莊家更易爆牌，所以算10法的比率越低玩家越有利，完全計點法的索引值越高玩家越有利。
到這里，算牌法的原理已經(jīng)基本解釋完。你已經(jīng)可以憑借這套方法，跟朋友玩21點時大殺四方了……
等等，真實的21點里還涉及下注——該怎么下呢？
06：下注和分工
在算10法的介紹里，屠夫提過“有優(yōu)勢時下重注，無優(yōu)勢時下小注”這個基本原則。
事實上，《擊敗莊家》中沒有給出算10法的下注策略，只給出了完全計點法的下注建議：
下高低索引值一半基本單位的賭注。
也就是說，高低索引值是2或更低時，下1個單位賭注；高低索引值是4時，下2個單位；高低索引值是6時，下3個單位；以此類推。
索普教授還特意提醒：別下超過5倍的賭注，以免引起賭場懷疑。
那么，《決勝21點》里的算牌小組又是怎么一回事呢？
其實那部電影也是根據(jù)真實事件改編的。
自從索普教授出版《擊敗莊家》后，21點的系統(tǒng)玩家（掌握算牌法的人）越來越多，賭場的警惕性也越來越強，千方百計阻撓算牌甚至直接驅(qū)逐。
別說系統(tǒng)玩家，連索普教授自己，到后期也已經(jīng)難以施展算牌法了。
于是MIT（麻省理工）的學(xué)生們想到了團隊合作。
MIT算牌小組的成員分成兩類角色：
偵查員（Spotter）分散在不同賭桌上，總是下最低賭注。
他們的目的是在洗牌或使用新牌時就開始用算牌法對這張賭桌的牌進行追蹤，當(dāng)牌堆“變熱”（玩家優(yōu)勢大）時發(fā)出信號（比如雙手在背后交叉）。
（來源：決勝21點）
大贏家（Big Player）看到信號后，來到賭桌前下重注。
牌堆經(jīng)過偵查員追蹤，此時已經(jīng)是玩家優(yōu)勢較大的局面，但下重注的是剛進場的另一個人，就不容易引起懷疑。
MIT算牌小組發(fā)明了一套暗語，好讓大贏家進場時馬上知道這張賭桌的情況（比如“甜”表示“+16”）。
（來源：決勝21點）
隨后偵查員和大贏家一邊下注一邊繼續(xù)算牌，等到牌堆“冷下來”（玩家優(yōu)勢?。┑臅r候，大贏家離桌退場。
通過這套分工體系，MIT算牌小組規(guī)避了“一個人有時重注有時小注”的可疑行為，成功躲過賭場的重重監(jiān)視，一個周末卷走數(shù)十萬美金。
07：不平衡與可重復(fù)
介紹到這里，21點算牌法解析已經(jīng)講完了，不知大家看得是否過癮？
過癮歸過癮，可千萬要遠離賭博哦。
在《3%優(yōu)勢與算牌型投資者》屠夫曾說：
算牌大概能給玩家?guī)砻烤?%的優(yōu)勢。
恰恰是這不起眼的3%，打破了系統(tǒng)的平衡，讓玩家在一次又一次的重復(fù)中趨近于必勝。
認真分析并不能保證每一筆投資都賺錢，但可以提高每一筆投資的成功率。
就像那不起眼的3%，帶來了不平衡。
在優(yōu)勢情況下，我們還需要有充足的耐心，用一次又一次重復(fù)的賭局將我們領(lǐng)向最終的勝利。
不平衡+可重復(fù)。
這，就是賭場數(shù)學(xué)家的奧秘。
[ 作者簡介 ]
屠夫1868，一個秉持價值理念、專攻資產(chǎn)配置、追求財務(wù)自由的量化投基者。
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