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2014-11-23 imath

《幾何原本》問世至今已2000多年了。除了《圣經(jīng)》，再?zèng)]有任何一本書像它那樣擁有如此眾多的讀者、被譯成如此多種語言。從1482年拉丁文本首版到19世紀(jì)末，它的各種版本用各種語言出了1000版以上。

在這之前，它的手抄本統(tǒng)治幾何學(xué)也已達(dá)1800年之久。《幾何原本》為2000年來用公理法建立演繹的數(shù)學(xué)體系樹立了最早也是最光輝的典范。

“不懂幾何者不得入內(nèi)”

在歐、亞、非三大陸交界的地中海上有個(gè)美麗的半島——巴爾干半島，希臘就在它的最南端。這里向南可經(jīng)克里特島直抵埃及，往東由小亞細(xì)亞陸路可達(dá)巴比倫。古希臘人就生活在這個(gè)氣候宜人，交通便利的半島上。受到古埃及與古巴比倫文明的熏陶，古希臘成為歐洲文明的源頭。

公元前479年，以雅典為首的希臘同盟軍徹底擊潰了波斯軍隊(duì)，從此雅典城邦在經(jīng)濟(jì)和軍事實(shí)力方面迅速繁榮起來，成為一個(gè)氣勢(shì)恢宏的文化中心。許多優(yōu)秀學(xué)者紛紛云集雅典，一時(shí)學(xué)派林立，學(xué)術(shù)上百花齊放，一派興旺景象。柏拉圖是當(dāng)時(shí)最著名的希臘哲學(xué)家之一，為了傳播他的政治和哲學(xué)主張，他創(chuàng)辦了著名的柏拉圖學(xué)院。盡管他本人不是數(shù)學(xué)家，但對(duì)數(shù)學(xué)極為重視，在他的學(xué)院門口掛了一塊牌子：“不懂幾何者不得入內(nèi)”。難道幾何學(xué)對(duì)柏拉圖就那么重要嗎？事情還得追溯到泰勒斯。

古希臘的文明之花

古希臘第一個(gè)著名的數(shù)學(xué)家是泰勒斯。公元前6世紀(jì)初，他曾去巴比倫和埃及經(jīng)商，從那里學(xué)到了許多數(shù)學(xué)知識(shí)。據(jù)說在埃及，他的數(shù)學(xué)知識(shí)很快超過了當(dāng)?shù)氐募浪緜?，并為埃及人解決了一個(gè)令他們大傷腦筋的問題——測(cè)量金字塔的高度，從而博得國(guó)王阿梅西斯的賞識(shí)?；氐焦枢l(xiāng)后他創(chuàng)立了愛奧尼亞學(xué)派，傳播他從埃及帶回的數(shù)學(xué)知識(shí)。泰勒斯最重要的貢獻(xiàn)是開創(chuàng)了幾何命題的證明，雖然他證明的命題現(xiàn)在看來不足為奇，但為建立幾何的理論形式邁出了第一步，被公認(rèn)為希臘幾何學(xué)的鼻祖。

在泰勒斯之后，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)幾何學(xué)發(fā)展作出了開創(chuàng)性工作。畢達(dá)哥拉斯在青年時(shí)代曾當(dāng)過泰勒斯的學(xué)生，以后又到亞洲和埃及旅行，學(xué)到了許多數(shù)學(xué)知識(shí)。約在公元前530年他回到故鄉(xiāng)，創(chuàng)立了以他名字命名的學(xué)派。在數(shù)的研究中，他以形狀將數(shù)分為三角形數(shù)（如1，3，6，10，……）、正方形數(shù)（如1，4，9，16，……），還用幾何方法證明了一些有趣的定理。據(jù)說，這種研究是來自他們?cè)诤┥蠑[放小石子的結(jié)果。在幾何上，他們建立了所有直線形的理論，其中最大的貢獻(xiàn)是關(guān)于直角三角形的斜邊和直角邊關(guān)系定理，稱為畢達(dá)哥拉斯定理（中國(guó)稱勾股定理）。

值得一提的還有柏拉圖的學(xué)生亞里士多德，他在公元前367年來到柏拉圖學(xué)院求學(xué)，后在那兒任教20年之久。公元前343年他還當(dāng)過馬其頓國(guó)王子亞歷山大的老師。亞里士多德是古希臘最博學(xué)的哲學(xué)家，他的著作幾乎涉及各個(gè)學(xué)科，無所不包。他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了形式邏輯的演繹體系，為歐幾里得準(zhǔn)備了完整的理論框架。

可以說，到公元前300年，數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)已經(jīng)積累了充分的資料，數(shù)學(xué)理論體系的形成已“萬事俱備，只欠東風(fēng)”了，這“東風(fēng)”就是一個(gè)有準(zhǔn)備的頭腦，他就是歐幾里得。

歐幾里得的豐碩之果

公元前337年，馬其頓國(guó)王菲力二世用武力征服了希臘各城邦。次年亞歷山大即位，在很短的時(shí)間內(nèi)，他繼承父業(yè)，開創(chuàng)了一個(gè)橫跨歐、亞、非三大陸的馬其頓王國(guó)：在地中海沿岸的尼羅河三角洲上，亞歷山大建立了以他名字命名的城市——亞歷山大城，并把它作為這個(gè)龐大帝國(guó)的文化、商業(yè)和工業(yè)中心，同時(shí)也是科學(xué)思想的中心。這兒有稱譽(yù)世界擁有70萬卷藏書的圖書館，還有博物館、天文臺(tái)和聞名天下的博學(xué)園，成為當(dāng)時(shí)歐洲乃至世界數(shù)學(xué)的中心。歐幾里得就是被亞歷山大的后繼者——托勒密一世重金聘請(qǐng)到博學(xué)園的教師。

歐幾里得早年在雅典接受教育，曾就學(xué)、工作于柏拉圖學(xué)院，因此熟知希臘的數(shù)學(xué)知識(shí)。來到亞歷山大城以后，他以教書為業(yè)，是一個(gè)溫良敦厚的教育家。對(duì)有志數(shù)學(xué)之士，他總是循循善誘給予指導(dǎo)，而對(duì)學(xué)習(xí)上投機(jī)取巧、急功近利之輩他卻嗤之以鼻。在他的學(xué)生中有個(gè)年輕人，剛學(xué)完幾何學(xué)第一個(gè)命題就問：學(xué)了幾何學(xué)以后，可以得到些什么？歐幾里得十分生氣地對(duì)助手說：給他三個(gè)錢幣讓他走吧，因?yàn)樗幌朐趯W(xué)習(xí)中獲得實(shí)利。

作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，歐幾里得面對(duì)的是一大堆雜亂無章的前人留下來的數(shù)學(xué)知識(shí)，就像斷了線的珍珠撒落在地上，令人無從入手。歐幾里得深知，要使數(shù)學(xué)得以廣泛流傳，就必須將這些數(shù)學(xué)知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，成為一個(gè)完整的理論體系。然而要完成這項(xiàng)宏大的前無古人的工作又談何容易！為此，歐幾里得付出了極為艱巨的勞動(dòng)。

他做了三件大事：

首先，為數(shù)學(xué)體系尋找一個(gè)理論框架，這就是亞里士多德形式邏輯的演繹體系，它就相當(dāng)于穿珍珠的線，有了它，各種數(shù)學(xué)公式、定理之間的承接關(guān)系便一目了然，數(shù)學(xué)是“演繹的”這一邏輯特性也因此而確定了下來。

其次，為了演繹系統(tǒng)的需要，歐幾里得十分精細(xì)地對(duì)所有的數(shù)學(xué)命題加以分析，確定它們各自的位置，哪些可以放在最前面，其正確性不須證明，稱之為公理；哪些命題放在中間或后面，要依靠公理或前面已被證明的命題來證明其正確性，這些稱為定理。概念也須一一加以定義，在定義中出現(xiàn)的概念必須是已被定義過的。這樣一步步追溯上去，總有一些概念是處于這一“邏輯鏈”的最前頭，被稱為“原始概念”。完成這一工作需要清晰的頭腦、堅(jiān)強(qiáng)的毅力和有條不紊的工作，這也是歐幾里得數(shù)學(xué)才華的真正展現(xiàn)。

第三，歐幾里得在前人工作的基礎(chǔ)上，根據(jù)他所構(gòu)造的數(shù)學(xué)體系進(jìn)一步向前推演，得到了一批新的定理，充分顯示了他的創(chuàng)造性思維能力，經(jīng)數(shù)載辛勤勞動(dòng)，歐幾里得的鴻篇巨著——《幾何原本》終于在公元前300年問世了！

歐幾里得

《幾何原本》

托勒密王朝

　　

《幾何原本》全書13卷共467條定理，前4卷是講直線形和圓；第5、6卷用比例理論討論相似形；第7、8、9卷講整數(shù)與整數(shù)之比的性質(zhì)；第10卷關(guān)于無理量；最后3卷為立體幾何。

《幾何原本》問世至今已2000多年了。除了《圣經(jīng)》，再?zèng)]有任何一本書像它那樣擁有如此眾多的讀者、被譯成如此多種語言。從1482年拉丁文本首次在威尼斯印刷出版到19世紀(jì)末，它的各種版本用各種語言出了1000版以上。在這之前，它的手抄本統(tǒng)治幾何學(xué)也已達(dá)1800年之久。歐幾里得的影響如此深遠(yuǎn)，以致他的名字成了“幾何學(xué)”的同義語，這本西方最古老的數(shù)學(xué)著作，為2000年來用公理法建立演繹的數(shù)學(xué)體系樹立了最早也是最光輝的典范。

“幾何無王者之道”

相傳當(dāng)時(shí)托勒密國(guó)王對(duì)幾何也深感興趣，自認(rèn)為以他絕頂聰明的頭腦很容易學(xué)懂《幾何原本》?？墒屡c愿違，他看了《幾何原本》后感到難以理解，他想這條艱難的大道是專為凡夫俗子們攀登幾何高峰而設(shè)計(jì)的，對(duì)于他這個(gè)一國(guó)之王，必會(huì)另有捷徑。于是就問歐幾里得：“幾何中是否有讓我走的捷徑？”不料歐幾里得冷冷答道：“幾何學(xué)只有這一條大道，哪有專為你國(guó)王而單獨(dú)開辟的小路？”托勒密一世被當(dāng)頭潑了一瓢冷水，大為掃興。從此“幾何無王者之道”成了一句流傳千古的名言。

斗轉(zhuǎn)星移，日月如梭，自歐幾里得至今已過去了2300多年，數(shù)學(xué)這棵大樹蓬勃發(fā)展，枝葉繁茂，而當(dāng)年歐幾里得的工作，也已融入了每一個(gè)中小學(xué)生的課本之中，人們不僅從中獲得知識(shí)，更重要的是接受一種邏輯推理的陶冶，進(jìn)行嚴(yán)格的思維訓(xùn)練，培養(yǎng)慎密分析、言必有據(jù)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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