導(dǎo)讀
浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院蔡天新教授新近出版了《數(shù)學(xué)與藝術(shù)》（江蘇人民出版社，2021.7），此書入選了《光明日?qǐng)?bào)》“光明書榜”，《解放日?qǐng)?bào)》記者予以采訪報(bào)道，《中華讀書報(bào)》整版摘登，《中國科學(xué)報(bào)》也將推介……《賽先生》特邀作者從“希臘數(shù)學(xué)與希臘藝術(shù)”一章中摘錄一節(jié)，以饗讀者。本文略有修訂。
撰文 ｜ 蔡天新
亞里士多德的《詩學(xué)》和歐幾里得的《（幾何）原本》分別是古典時(shí)代文藝?yán)碚摵妥匀豢茖W(xué)的最高理論結(jié)晶，各自影響了后世2000多年。亞里士多德和歐幾里得都是柏拉圖學(xué)園的學(xué)生，雖然他們兩人并不認(rèn)識(shí)，甚至可能不屬于同一個(gè)時(shí)代。而從本質(zhì)上講，他們的著作都是對(duì)三維空間的模仿，只不過前者是對(duì)形象空間的模仿，后者是對(duì)抽象世界的模仿。
王若男繪
公元前500年，畢達(dá)哥拉斯在塔蘭托附近的梅塔蓬圖姆（Metapontum）遇害。第二年，世界歷史上第一次歐亞大陸之間的大規(guī)模戰(zhàn)爭——波希戰(zhàn)爭爆發(fā)了。這場戰(zhàn)爭的起因是，強(qiáng)大的波斯阿契美尼德王朝為擴(kuò)張版圖入侵希臘。不料戰(zhàn)爭持續(xù)了將近半個(gè)世紀(jì)。
結(jié)果恰好相反，在經(jīng)歷了馬拉松戰(zhàn)役、溫泉關(guān)戰(zhàn)役和薩拉米灣海戰(zhàn)之后，希臘城邦國家和制度得以幸存下來，而波斯帝國卻從此一蹶不振。這場戰(zhàn)爭是人類歷史上前所未有的文化大融合，其影響力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出波斯和希臘兩國，促進(jìn)了東西方文明的交流和發(fā)展，推動(dòng)了科學(xué)、藝術(shù)和人類社會(huì)的發(fā)展進(jìn)步。希臘文明得以保存并發(fā)揚(yáng)光大，成為日后西方文明的基礎(chǔ)。
波希戰(zhàn)爭結(jié)束那年，蘇格拉底（Socrates，前470-前399）剛年滿20歲，雅典正處于伯利克里（Pericles，前495-前429）的黃金時(shí)代。蘇格拉底出身貧寒，父親是雕刻師，母親是助產(chǎn)士，他自己也做過雕刻師和石匠，據(jù)說曾參與雅典衛(wèi)城的建造。蘇格拉底有著扁平的鼻子、厚厚的嘴唇，眼睛凸出，身材矮小。雖說容貌平凡，但他言語樸實(shí)，頭腦里有著神圣的思想。那會(huì)兒智者從全國各地云集雅典，給民主制度帶來許多新知和自由論辯的新風(fēng)尚，蘇格拉底向諸位智者學(xué)習(xí)，也受到奧爾菲秘教和畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的影響。
蘇格拉底青少年時(shí)代很好學(xué)，后來熟讀荷馬史詩，靠自學(xué)成為一名很有學(xué)問的人。他一生過著艱苦的生活，無論嚴(yán)寒酷暑，都穿一件普通的單衣，經(jīng)常不穿鞋，吃喝更不講究。蘇格拉底對(duì)學(xué)問專心致志，并以傳授知識(shí)為生，不設(shè)館也不取報(bào)酬，生平事例，思想成就，任由弟子記錄，其中最出色的兩位弟子是柏拉圖和色諾芬。蘇格拉底的學(xué)說帶有神秘主義，他反對(duì)研究自然界，認(rèn)為那是褻瀆神靈的。他喜歡提出異議，愛諷刺人，其主要武器是反駁論證，也叫反詰，借此指出別人觀點(diǎn)中潛在的混亂和荒謬，被后人稱為蘇格拉底方法。
公元前429年，伯利克里在再度當(dāng)選為首席將軍之后，被瘟疫奪去了生命，雅典盛極而衰。此時(shí)的蘇格拉底已成為遠(yuǎn)近聞名的人物，許多有錢人家和窮人家的孩子聚集在他周圍，向他討教。蘇格拉底卻常常說，“我只知道自己一無所知?！薄爸挥猩癫攀侵腔鄣??！彼宰约旱臒o知而自豪，并認(rèn)為人人都應(yīng)承認(rèn)自己的無知。然而，公元前399年，蘇格拉底卻被控犯有“瀆神”罪，被處以傳統(tǒng)的極刑——飲鴆。他的罪名是：腐蝕青年，藐視城邦崇拜的諸神以及從事稀奇古怪的宗教活動(dòng)。
由于蘇格拉底以不屑一顧的態(tài)度對(duì)待這種指控，同時(shí)又作了相當(dāng)于承認(rèn)確有其事的“辯護(hù)”，因此（或許是）以280票對(duì)220票被法庭判有罪。當(dāng)時(shí)如果蘇格拉底同意支付一筆數(shù)目不必太大的罰金，是可以不被判處死刑的。然后他卻采取強(qiáng)硬立場，說自己其實(shí)是社會(huì)的大恩人，應(yīng)該作為杰出人士享受國家供養(yǎng)的待遇。結(jié)果這個(gè)說法激怒了法庭，死刑判決被更多票數(shù)通過了。接下來的一個(gè)多月，每天有朋友來獄中看他，有的設(shè)法幫他越獄，但被他拒絕。最后他選擇飲下毒堇汁，緩慢而痛苦地死去。
蘇格拉底之死，尤其是臨死前表現(xiàn)出來的大無畏氣概，給予弟子柏拉圖深深的刺激。雖然他出身顯赫，卻放棄了從政的想法，終其一生投入哲學(xué)研究，他稱導(dǎo)師蘇格拉底是“所見到的最智慧、最公正、最杰出的人物”。蘇格拉底死后，而立之年的柏拉圖離開了雅典，開始了漫長的游歷，先后造訪了小亞細(xì)亞、埃及、昔蘭尼（今利比亞）、南意大利和西西里等地。大約在那個(gè)時(shí)候，柏拉圖開始寫作對(duì)話錄，多數(shù)以蘇格拉底為中心人物，其他人物也大多是真實(shí)存在的。但他的寫作究竟是在蘇格拉底去世之前還是之后開始的，已無法確定。
柏拉圖頭像，現(xiàn)藏于羅馬卡比托利尼博物館
正是在旅途中，柏拉圖接觸了多位數(shù)學(xué)家，包括西西里島上畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一位傳人，并親自鉆研了數(shù)學(xué)。返回雅典之后，柏拉圖與人合作，在城東北創(chuàng)辦了一所頗似現(xiàn)代私立大學(xué)的學(xué)園（Academy，這個(gè)詞是為紀(jì)念一位戰(zhàn)斗英雄，如今的意思是科學(xué)院或高等學(xué)府）。學(xué)園里有教室、飯廳、禮堂、花園和宿舍，柏拉圖自任園（校）長，他和他的助手們講授各門課程。除了兩次應(yīng)邀重返西西里講學(xué)以外，他在學(xué)園里度過了生命的后40年，而學(xué)園本身則奇跡般地存在了九百年，猶如傳說中的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。
作為哲學(xué)家，柏拉圖對(duì)歐洲的哲學(xué)乃至整個(gè)文化、社會(huì)的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響。他一生共撰寫了36本著作，大部分用對(duì)話的形式寫成。內(nèi)容主要關(guān)于政治和道德問題，也有的涉及形而上學(xué)和神學(xué)。例如，在《國家篇》里他提出，所有的人，不論男女，都應(yīng)該有機(jī)會(huì)展示才能，進(jìn)入管理機(jī)構(gòu)。在《會(huì)飲篇》里這位終生未娶的智者也談到了愛欲，“愛欲是從靈魂出發(fā)，達(dá)到渴求的善，對(duì)象是永恒的美?！庇米钔ㄋ椎脑捴v就是，愛一個(gè)美人，實(shí)際上是通過美人的身體和后嗣，求得生命的不朽。
雖然柏拉圖本人并沒有在數(shù)學(xué)研究方面作出特別突出的貢獻(xiàn)（有人將分析法①和歸謬法②歸功于他），但他的學(xué)園卻是那個(gè)時(shí)代希臘數(shù)學(xué)活動(dòng)的中心，大多數(shù)重要的數(shù)學(xué)成就均由他的弟子取得。例如，一般整數(shù)的平方根或高次方根的無理性研究（包括由無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生和解決），正八面體和正二十面體的構(gòu)造，圓錐曲線和窮竭法的發(fā)明（前者的發(fā)明是為了解決倍立方體問題③），等等。
對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)的探究，也起始于柏拉圖。在他看來，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象應(yīng)該是理念世界中永恒不變的關(guān)系，而不是感覺的物質(zhì)世界的變化無常。他不僅把數(shù)學(xué)概念和現(xiàn)實(shí)中相應(yīng)的實(shí)體區(qū)分開來，也把它和在討論中用以代表它們的幾何圖形嚴(yán)格區(qū)分。舉例來說，三角形的理念是惟一的，但存在許多三角形，也存在相應(yīng)于這些三角形的各種不完善的摹本，即具有各種三角形形狀的現(xiàn)實(shí)物體。這樣一來，就把起始于畢達(dá)哥拉斯的對(duì)數(shù)學(xué)概念的抽象化定義又向前推進(jìn)了一步。
在柏拉圖的所有著作中，最有影響的無疑要數(shù)《理想國》了。這部書由10篇對(duì)話組成，核心部分勾勒出形而上學(xué)和科學(xué)的哲學(xué)。其中第6篇談及數(shù)學(xué)假設(shè)和證明。他寫到，“研究幾何、算術(shù)這類學(xué)問的人，首先要假定奇數(shù)、偶數(shù)、三種類型的角以及諸如此類的東西是已知的。……從已知的假設(shè)出發(fā)，以前后一致的方式向下推，直至得到所要的結(jié)論?！庇纱丝梢姡堇[推理在學(xué)園里已經(jīng)盛行。柏拉圖還嚴(yán)格把數(shù)學(xué)作圖工具限制為直尺和圓規(guī)，這對(duì)于后來歐幾里得幾何公理體系的形成有著重要的促進(jìn)作用。
被稱為柏拉圖多面體的5種正多面體
談到幾何學(xué)，我們都知道那是柏拉圖極力推崇的學(xué)問，是他構(gòu)想的要花費(fèi)10年學(xué)習(xí)的精密科學(xué)的重要組成部分。柏拉圖認(rèn)為創(chuàng)造世界的上帝是一個(gè)“偉大的幾何學(xué)家”，他本人對(duì)（僅有的）五種正多面體的特征和作圖有過系統(tǒng)的闡述，以至于它們被后人稱為“柏拉圖體”（插圖）。從公元6世紀(jì)以來廣為流傳的一則故事說，在柏拉圖學(xué)園門口刻著，“不懂幾何學(xué)的人請(qǐng)勿入內(nèi)”。無論如何，柏拉圖充分意識(shí)到了數(shù)學(xué)對(duì)探求人類理想的重要性，在他的遺著《法律篇》中，他甚至把那些無視這種重要性的人形容為“豬一般”。
遺憾的是，柏拉圖一方面稱贊“上帝是位幾何學(xué)家”，另一方面又要把詩人逐出“理想國”。他曾歷數(shù)藝術(shù)家的兩大罪狀，“藝術(shù)不真實(shí)，不能給人真理；藝術(shù)傷風(fēng)敗俗，惑亂人心。”但柏拉圖并非反對(duì)詩歌，他在《國家篇》里寫道：“消遣的、悅耳的詩歌能夠證明它在一個(gè)管理良好的城邦里有存在的理由，那么我們非常樂意接納它，因?yàn)槲覀冏约阂材芨惺艿剿拿匀?。但是要背棄我們相信是真理的東西而去執(zhí)迷于詩歌，這總是不虔誠的，因?yàn)樵姼韬驮娙烁蓴_了我們寧靜的靈魂和對(duì)世界的理性判斷?！睋Q句話說，柏拉圖是從理性出發(fā)，站在政府的立場上。
柏拉圖學(xué)園培養(yǎng)了無數(shù)杰出的學(xué)生，包括全才的亞里士多德。而在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，就有立體幾何的創(chuàng)始人泰阿泰德（他也是柏拉圖學(xué)園的聯(lián)合創(chuàng)始人），比例理論的建立者歐多克索斯（他提出數(shù)和量是兩個(gè)不同的概念，前者僅限于有理數(shù)，他還最早建立了宇宙的幾何模型），圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)者美涅克漠（Menaechmus，歐多克索斯的學(xué)生）。甚至連大數(shù)學(xué)家歐幾里得早年也來阿卡德米攻讀，這一切使得柏拉圖及其學(xué)園贏得“數(shù)學(xué)家的締造者”美名。這里我想先介紹一下歐多克索斯。
古代雅典地圖，柏拉圖學(xué)園在北郊
歐多克索斯（Eudoxus，約前400-約前347）出生在小亞細(xì)亞的尼多斯（Cnidus），年輕時(shí)做過一位醫(yī)生的助理。公元前368年，歐多克索斯陪同醫(yī)生來到雅典，在那里學(xué)習(xí)了兩個(gè)月，他住在外港比雷埃夫斯，期間他幾乎每天都步行數(shù)十公里去雅典的柏拉圖學(xué)園聽課，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、天文學(xué)和哲學(xué)，同時(shí)與柏拉圖建立了私人友誼。多年以后，歐多克索斯在馬爾馬拉海南岸建立了自己的學(xué)園，最后率領(lǐng)部分學(xué)生搬遷到了雅典，很可能是加入了柏拉圖學(xué)園。
眾所周知，柏拉圖學(xué)園里最杰出的學(xué)生，并非上節(jié)最后提到了四位數(shù)學(xué)家，而是全才的亞里士多德（Aristotle，前384-前322）。亞里士多德出生在希臘北部哈爾基季基半島小城斯塔基拉（Stagira）。他的父親是馬其頓國王阿敏塔斯三世的御醫(yī)，阿敏塔斯三世是腓力二世的父親，亞歷山大大帝的祖父。作為醫(yī)生的兒子，亞里士多德幼時(shí)便接觸到“醫(yī)學(xué)之父”希波克拉底（Hippocrates，前460-前377）的著作《時(shí)疫》，使他懂得醫(yī)學(xué)和生物學(xué)的概念和實(shí)踐，以至于后來他的哲學(xué)思想里帶有明顯的生物學(xué)傾向。
亞里士多德頭像
亞里士多德年少時(shí)，父親便去世了，他被委托給一位親戚監(jiān)護(hù)。17歲那年，亞里士多德被送進(jìn)雅典的柏拉圖學(xué)園，在那里一待就是20年。他在柏拉圖和其他導(dǎo)師的教導(dǎo)下學(xué)習(xí)活力充足，思想活躍，對(duì)修辭和辯論頗有心得。公元前367年，柏拉圖在參加一次婚宴時(shí)忽感不適，隨后退到一個(gè)角落里，安靜地去世。學(xué)園由柏拉圖的侄子繼承，亞里士多德離開了雅典，像他的老師一樣開始了漫游。至于他離開的原因，或許是因?yàn)槲茨苷乒軐W(xué)園，與新任園長哲學(xué)觀念不同，也可能是因?yàn)樗鸟R其頓背景。
亞里士多德與他的同窗兼好友色諾克拉底結(jié)伴，他們先到小亞細(xì)亞西北岸的港市阿蘇斯（Assus），在那里開始研究解剖學(xué)，并著手《政治學(xué)》的撰寫。師兄弟倆的性格有別，亞里士多德生性活躍，色諾克拉底沉默寡言，為此當(dāng)年曾被老師柏拉圖比喻為“一個(gè)需要馬刺，另一個(gè)需要籠頭……”不過，當(dāng)他們?cè)诎⑻K斯的新學(xué)校共事時(shí)，兩人的不同個(gè)性卻成就了天作之合。贊助人是一位富有的軍人，他當(dāng)年參觀柏拉圖學(xué)園時(shí)便有志于在小亞細(xì)亞也創(chuàng)建一所，把希臘制度和希臘哲學(xué)擴(kuò)展到亞洲大地。
在阿蘇斯，亞里士多德娶了贊助人的侄女皮西亞斯，他們生了一個(gè)女兒?！墩螌W(xué)》是西方政治學(xué)研究的開山之作，依據(jù)他和學(xué)生對(duì)希臘諸城邦政治法律制度的調(diào)查寫成，其核心內(nèi)容是城邦問題，以“人是天生的政治動(dòng)物”為前提，分析了城邦的形成和基礎(chǔ)，以及公民的教育等，提出了理想城邦的設(shè)想。書中也描繪了他心目中的理想婚姻，丈夫37歲，妻子18歲。作者時(shí)年37歲，故而人們猜測皮西亞斯當(dāng)時(shí)是18歲。亞里士多德曾表示希望兩人死后合葬一處，可惜妻子去世太早，后來他又找了一個(gè)伴侶（無法確定妻子還是情人），她為他生了一個(gè)兒子。
亞里士多德在阿蘇斯待了三年以后，來到一水之隔的萊斯沃斯島，那是希臘第一個(gè)女詩人薩福的故鄉(xiāng)，后者如今已成為女同性戀的代名詞。亞里士多德在首府米蒂利尼與一位朋友合辦了一所學(xué)校，在那里他的興趣轉(zhuǎn)向生物學(xué)，并進(jìn)行了開拓性的研究。他強(qiáng)調(diào)觀察對(duì)于生物學(xué)的重要性，“理論必須被觀察到的事物所確認(rèn)，才能享受到真正的榮譽(yù)”。柏拉圖認(rèn)為，靈魂是一種獨(dú)立存在的實(shí)體，暫時(shí)寓居于肉體之中；而亞里士多德則認(rèn)為，靈魂是一種生命力，本質(zhì)上與肉體一道構(gòu)成個(gè)人。
公元前343年和前342年之交，42歲的亞里士多德應(yīng)腓力二世之邀，到馬其頓首都培拉，擔(dān)任13歲的亞歷山大的家庭教師。他試圖依照荷馬史詩中的英雄形象來培養(yǎng)王子，而后者后來也的確成為人類歷史上最偉大的君王和軍事家之一，但據(jù)說兩人的關(guān)系并不融洽。亞里士多德認(rèn)為希臘人高于一切，教導(dǎo)弟子應(yīng)禁止臣民與外邦人通婚，但他卻娶一位波斯貴族女子為妻，甚至以叛國罪處死了亞里士多德的侄子。不過亞歷山大后來也送給老師一個(gè)禮物，重建了他那被父王摧毀的故鄉(xiāng)斯塔基拉。
公元前335年，年近半百的亞里士多德從斯塔基拉回到雅典，其時(shí)柏拉圖學(xué)園在色諾克拉提的掌管下正處盛期，他在郊外的森林里創(chuàng)辦了自己的學(xué)校——呂園，以神話中的殺狼者呂刻俄斯（Lyceum）命名。亞里士多德不拘禮節(jié)，常與弟子們一邊散步，一邊教學(xué)，因此被稱為逍遙派，呂園也成為一所集教學(xué)與研究為一體的學(xué)校。12年以后，亞歷山大大帝死于征戰(zhàn)途中，雅典出現(xiàn)了短暫而激烈的反馬其頓浪潮，亞里士多德深感自己處于危險(xiǎn)之中，便離開了雅典，去到母親的故鄉(xiāng)、雅典北面的埃維亞島首府哈爾基斯。第二年，亞里士多德因?yàn)槲覆?，在島上去世。
與阿卡德米一樣，呂園也是通過爭論和討論來教育學(xué)生，并不要求他們盲目接受老師的觀點(diǎn)。亞里士多德的文風(fēng)簡潔明快，富有個(gè)性，他的思想可以概括為：經(jīng)驗(yàn)是知識(shí)的來源，邏輯是其結(jié)構(gòu)。公元前1世紀(jì)的羅馬作家西塞羅在《學(xué)園派》里寫道，“亞里士多德溫和的風(fēng)格宛如一條金色的河流”。他的著作甚豐，古代后期尚有數(shù)百卷留存，而古代書目所列他的獨(dú)立著作多達(dá)170種。即便在今天，仍幸存30多部，約2000多張印刷頁。亞里士多德在《論哲學(xué)》里提到文明發(fā)展的五個(gè)階段，分別是：生產(chǎn)生活必需品，創(chuàng)造藝術(shù)，政治的藝術(shù)，美化生活，從自然到神的哲學(xué)。
一般來說，亞里士多德的著作分為兩類。一類是生前發(fā)表，有些后來佚失的；另一類是未經(jīng)本人發(fā)表，或者根本不打算發(fā)表的，而經(jīng)過他人搜集并保存下來的?！对妼W(xué)》可能屬于后者，成書于他游學(xué)結(jié)束返回雅典之后，可謂是他成熟期的著作?，F(xiàn)存的文本是他在呂園的講義或其門生的筆記，論證嚴(yán)密但較為晦澀，可能未經(jīng)整理加工，容易引發(fā)不同的解釋。《詩學(xué)》共分兩卷，可惜第二卷失傳了。第一卷中曾說到后面還要討論喜劇，可能就在第二卷。無論如何，《詩學(xué)》則是亞里士多德美學(xué)思想的結(jié)晶，是西方美學(xué)的開山之作。
10世紀(jì)《詩學(xué)》的阿拉伯文譯稿
據(jù)說《詩學(xué)》與亞里士多德的其他著作曾在地窖里沉睡了一百多年，后來經(jīng)過逍遙派哲學(xué)家安德羅尼卡（Andronicus of Rhodios，活動(dòng)時(shí)期公元前1世紀(jì)）的整理、校訂之后，才得以流傳。6世紀(jì)時(shí)《詩學(xué)》被譯成敘利亞語，10世紀(jì)時(shí)被譯成阿拉伯語，現(xiàn)存最早的版本是11世紀(jì)拜占庭人的手抄本。文藝復(fù)興之初，《詩學(xué)》從阿拉伯語轉(zhuǎn)譯成拉丁語。從15世紀(jì)后期以來，《詩學(xué)》對(duì)歐洲文學(xué)和美學(xué)思想的影響越來越盛，古典主義文學(xué)和美學(xué)將其奉為圭皋。即便是現(xiàn)當(dāng)代藝術(shù)和美學(xué)理論的構(gòu)建，也離不開對(duì)《詩學(xué)》的研究，人們從不同角度和方式從中汲取思想養(yǎng)料。
現(xiàn)存《詩學(xué)》共二十六章，內(nèi)容大體可分三部分：一至五章，論述藝術(shù)的本性是摹仿，依次區(qū)分不同的藝術(shù)形式，追溯藝術(shù)的起源和歷史發(fā)展；六至二十四章及二十六章，論述悲劇的特征及構(gòu)成要素，同時(shí)比較了史詩和悲?。欢逭?，批評(píng)與反駁的原則、方法。全書主要論述了三個(gè)藝術(shù)哲學(xué)問題，即藝術(shù)的本性、悲劇的意義和藝術(shù)的作用，其美學(xué)思想也可依此歸結(jié)為三點(diǎn)：摹仿說、悲劇論和凈化說。這其中，作者認(rèn)為最本質(zhì)的是摹仿說。
亞里士多德開宗明義指出，藝術(shù)的本性就是摹仿。他認(rèn)為：史詩、悲劇、喜劇、酒神頌以及其它各種藝術(shù)，“均為摹仿……摹仿人的性格、情感和活動(dòng)”。但亞里士多德所說的“摹仿”，并不等同于我們通常理解的臨摹、仿效，它還有技藝摹仿自然的寬泛含義。《詩學(xué)》中的“詩”是指創(chuàng)制技藝（藝術(shù)創(chuàng)作），它表現(xiàn)的是人和人的生活。事實(shí)上，希臘藝術(shù)原本就是以和諧、莊重、恬靜等為特征，藝術(shù)地再現(xiàn)生活。
在亞里士多德之前，希臘的哲人們已有論及“摹仿”，但賦予不同的意義。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為美是對(duì)數(shù)的摹仿；赫拉克利特主張藝術(shù)摹仿自然的和諧；蘇格拉底說繪畫、雕像之類的藝術(shù)不僅摹仿美的形象，且可以借形象摹仿人的情感、個(gè)性。柏拉圖在《國家篇》中，詳細(xì)論述了詩是摹仿。他認(rèn)為，木匠摹仿床的“形式”制作木床，畫家畫的床又只是摹仿木床的影象，不是真實(shí)的存在。藝術(shù)遠(yuǎn)離理念與理性，不僅無補(bǔ)于城邦治理和公民道德，且會(huì)悖逆真與善，造成理性和情欲的沖突。也正因?yàn)槿绱?，柏拉圖主張把詩人逐出理想國。
亞里士多德的哲學(xué)思想不同于他的老師，他對(duì)藝術(shù)的“摹仿”本性也有迥然相異的理解。在他看來，現(xiàn)實(shí)事物包括人的活動(dòng)，就是真實(shí)存在，具有多樣意義；詩摹仿人的活動(dòng)，在作品中創(chuàng)制出藝術(shù)真實(shí)的存在；“摹仿”不只是表現(xiàn)外在形象，更是表現(xiàn)人的本性和活動(dòng)，顯示人的這種“存在”意義。而且，“摹仿”是求知活動(dòng)，以形象方式獲取真理，形成關(guān)于人的創(chuàng)制知識(shí)；藝術(shù)的“摹仿”并非只受感覺和欲望驅(qū)使，它憑借“實(shí)踐智慧”洞察人生，把握生活的真諦。因此，摹仿的藝術(shù)是高尚的知識(shí)活動(dòng)。
亞里士多德的摹仿說可以概括為以下三個(gè)方面。其一，一切藝術(shù)產(chǎn)生于摹仿。其二，摹仿是人的本性，藝術(shù)在實(shí)現(xiàn)人的本性中進(jìn)化和完善。他認(rèn)為，人天生有摹仿的稟賦；人有對(duì)美的事物天生的美感能力。在他看來，從孩提時(shí)候起我們就有摹仿的本能；人是最富有摹仿能力的動(dòng)物，人類通過摹仿獲取最初的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)；摹仿實(shí)質(zhì)上是一種求知能力，正是由于這一點(diǎn)，把人與其他動(dòng)物區(qū)別開來。
其三，摹仿應(yīng)表現(xiàn)必然性、或然性和類型。亞里士多德認(rèn)為，詩人的職責(zé)不是記錄已發(fā)生的事，而是描述出于必然性、或然性而可能發(fā)生的事，某種特殊的人和事。歷史和詩的區(qū)別不只在于是否用韻文寫作，希羅多德的《歷史》若改寫為韻文，依然是歷史著作。他分析詩與歷史的區(qū)別：歷史敘述已經(jīng)發(fā)生的事實(shí)，詩則描述出于必然、或然，在過去、現(xiàn)在、將來都有可能發(fā)生的事；歷史只記錄個(gè)別事件和人，詩則在可能的事件和人中顯示“普遍的本性”，因而比歷史“更富哲理，更為嚴(yán)肅”。
人民文學(xué)出版社出版的《詩學(xué)》和《詩藝》。
《詩學(xué)》是歐洲美學(xué)史上第一篇也是最重要的文獻(xiàn)，亞里士多德率先用科學(xué)的觀點(diǎn)和方法闡明美學(xué)概念、研究文藝問題。遺憾的是，在現(xiàn)存的26章《詩學(xué)》中，亞里士多德主要討論的是史詩和悲劇，并沒有涉及造型藝術(shù)，甚至也沒有談到抒情詩。大概因?yàn)槭闱樵姏]有布局，古希臘人認(rèn)為它屬于音樂?？墒?，古希臘人在雕刻和建筑方面，留下了為數(shù)不多但卻精美絕倫的作品，盡管有些只是殘存或摹制品。
米隆（Myron，活動(dòng)時(shí)期約公元前480-前440）是古希臘雕塑家，他的青銅作品《擲鐵餅者》（約公元前450）原件已遺失，現(xiàn)在我們看到的羅馬時(shí)期的大理石摹制品。與米隆同時(shí)代的菲狄亞斯（Phidias，活動(dòng)時(shí)期約前490-前430）是大雕塑家，只可惜雅典巴特農(nóng)神廟里他的杰作《命運(yùn)三女神》殘肢斷軀，連腦袋都沒有了。巴黎羅浮宮里的《維納斯》只缺了雙臂，是約公元前150年的大理石作品，但那時(shí)已是希臘藝術(shù)衰落期，故而有藝術(shù)史家認(rèn)為它是公元前4世紀(jì)的作品的仿制?！毒S納斯》是1820年在愛琴海的米洛斯島由一位農(nóng)夫發(fā)現(xiàn)的，人體動(dòng)態(tài)與舒卷自然的衣褶相宜，有著絕代的風(fēng)韻，幾經(jīng)周折才被法國人收購占有。
最接近完整的雕刻是《拉奧孔》，那是公元前1世紀(jì)羅德島雕塑家阿格桑德羅斯（Agesandros）父子的作品，取材于荷馬史詩中特洛伊戰(zhàn)爭的故事。拉奧孔是特洛伊祭司，他看出了木馬計(jì)，告誡同胞別把木馬拖進(jìn)城（里面藏著雅典士兵）。雅典保護(hù)神雅典娜為懲罰拉奧孔“泄露天機(jī)”，放出兩條巨蟒纏死了他和一對(duì)孿生兒子。雕塑表現(xiàn)的就是這一觸目驚心的場面，反映了神對(duì)大眾的威懾力，包含“說真話的人沒有好下場”這樣一種對(duì)社會(huì)的憤懣情緒。1506年，該群雕在羅馬提圖斯浴場遺址被發(fā)現(xiàn)，被教皇尤里烏斯二世收購，現(xiàn)藏梵蒂岡博物館。由于發(fā)現(xiàn)得早，對(duì)文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)有巨大的影響。米開朗琪羅稱贊：真是不可思議。德國美學(xué)家萊辛（Gothold Lessing，1729-1781）據(jù)此寫下同名著作，為歐洲最重要的美學(xué)文獻(xiàn)之一。
建筑方面，大約在公元前6世紀(jì)，古希臘的柱子經(jīng)歷了石化（petrification）的過程，由木材、泥磚或黏土改為石柱。因此有部分建筑保存下來，最負(fù)盛名的無疑是雅典衛(wèi)城的巴特農(nóng)神廟。按照公元前1世紀(jì)羅馬建筑師維特魯威《建筑十書》的記載，它是由公元前5世紀(jì)的建筑師伊克蒂諾（Ictinos）和卡利克拉特（Callicarats）設(shè)計(jì)的。與那個(gè)時(shí)代其他建筑一樣，巴特農(nóng)神廟采用了黃金分割比，即側(cè)面寬和高之比為0.618：1。同時(shí)柱式博采各城邦的特長，例如東部小亞細(xì)亞沿海的愛奧尼亞式，富有柔和、活潑的女性之美；南方半島的多利克式，富有強(qiáng)音、堅(jiān)實(shí)的男性之美；柯林斯式則更纖細(xì)、富有裝飾性。保存得最完整的當(dāng)數(shù)稍早的雅典忒休斯神廟，只因?yàn)樗谥惺兰o(jì)時(shí)被改做基督教堂。
最后，我們想談?wù)剚喞锸慷嗟潞桶乩瓐D對(duì)私有財(cái)產(chǎn)的不同看法。歷史上，財(cái)產(chǎn)的概念經(jīng)常變化，早期一般只涉及土地和奴隸，后來擴(kuò)大到專利和版權(quán)等無形資產(chǎn)，以及任何被認(rèn)為是生活和自由所必需的東西。柏拉圖受斯巴達(dá)人的啟發(fā)，反對(duì)各種各樣的私有財(cái)產(chǎn)，他認(rèn)為私有財(cái)產(chǎn)腐蝕人的靈魂，助長貪婪、嫉妒和暴力。亞里士多德的觀點(diǎn)恰好相反，他認(rèn)為共同財(cái)產(chǎn)的擁有者之間更容易爭斗，而私有制對(duì)人類進(jìn)步至關(guān)重要，因?yàn)槿藗儠?huì)受到激勵(lì)努力工作，從而成為有道德的人。波蘭出生的美國歷史學(xué)家派普斯（Richard Pipes，1923-）直言：“人類必須擁有，才能生存?！?/span>
說到私有財(cái)產(chǎn)，它與當(dāng)今炙手可熱的比特幣有關(guān)。在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，人們渴望把個(gè)人財(cái)產(chǎn)數(shù)字化，這需要解決兩個(gè)問題。一是稀缺性，數(shù)字產(chǎn)品謹(jǐn)防被復(fù)制和重新分配。二是可轉(zhuǎn)讓性，只有這樣才能交易資產(chǎn)，否則所有權(quán)會(huì)喪失權(quán)力。這兩點(diǎn)也是金錢的屬性，一旦解決，數(shù)字產(chǎn)品會(huì)成為新的錢幣形式。比特幣剛好滿足這兩點(diǎn)，首先它通過軟件加固共識(shí)規(guī)則并加以保護(hù)，形成數(shù)字稀缺；其次可轉(zhuǎn)讓性可由公鑰密碼學(xué)來保障，也就是不可偽造的數(shù)字簽名。最著名的公鑰密碼是RSA（麻省理工學(xué)院的三位教授姓氏）體系，它是利用數(shù)論中的歐拉定理和南宋數(shù)學(xué)家秦九韶（1202-1261）的大衍求一術(shù)構(gòu)造的，后者是說：若整數(shù)a和m互素，則同余式ax≡1（mod m）存在唯一解。
如果說，亞里士多德的《詩學(xué)》認(rèn)定藝術(shù)的本性是摹仿，是對(duì)人類生活的三維空間的形象仿制。那么，我們完全可以這么說，比他稍晚的歐幾里得的《原本》是對(duì)同一個(gè)三維空間的抽象仿制。有關(guān)數(shù)學(xué)家歐幾里得，無人知道他確切的生卒年，他出生、長大和去世、安葬的地方④，他以一部《原本》揚(yáng)名后世。在19世紀(jì)以前，歐幾里得是幾何學(xué)的代名詞，有一個(gè)流行的說法，《原本》的總印數(shù)僅次于《圣經(jīng)》，歐幾里得也被視為所有純粹數(shù)學(xué)家中對(duì)世界歷史的進(jìn)程最有影響力的一位。
19世紀(jì)的歐幾里得塑像?，F(xiàn)藏于牛津大學(xué)博物館
現(xiàn)在我們知道，大約在公元前300年前后，歐幾里得作為數(shù)學(xué)家，活躍于地中海邊古希臘的文化和科教中心亞歷山大，其時(shí)為托勒密王朝的都城，如今的埃及第二大城市。這表明，歐幾里得生活的年代，比亞里士多德晚，但比另一位大數(shù)學(xué)家阿基米德早。主要依據(jù)是兩部著作，一部是柏拉圖學(xué)園晚期的導(dǎo)師普羅克洛斯的《幾何學(xué)發(fā)展概要》（約450年，簡稱《概要》），這是他為《原本》寫的注釋。另一本是4世紀(jì)數(shù)學(xué)家帕波斯的《數(shù)學(xué)匯編》（簡稱《匯編》）。
《概要》中指出，歐幾里得是托勒密一世（Ptolemy I，約公元前367-前282，前323-前285在位）時(shí)代的人，早年求學(xué)于雅典，深諳柏拉圖的學(xué)說。他的《原本》引用了歐多克索斯等多位柏拉圖學(xué)派人物的成果，他本人也是柏拉圖學(xué)派的成員。書中還有提及，阿基米德的著作也引用過《原本》里的命題?！对尽方⒘斯O(shè)和公理，這一點(diǎn)明顯受到亞里士多德邏輯思想的影響?！秴R編》中則記載，圓錐曲線的集大成者阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，約公元前262～190年）曾長期居住在亞歷山大，與歐幾里得的學(xué)生們相熟。
《概要》記述了一則軼事：國王托勒密問歐幾里得，除了《原本》以外，還有無其他學(xué)習(xí)幾何的捷徑，歐幾里得回答：“幾何學(xué)中沒有王者之路?！边@句話后來被推廣為“求知無坦途”。5世紀(jì)的編者斯托比亞斯也記載了歐幾里得的一則軼事：當(dāng)有一個(gè)新來的學(xué)生問，學(xué)習(xí)幾何學(xué)將來能得到什么時(shí)，歐幾里得沒有正面回答，而是讓奴仆給了他一個(gè)便士，然后說，“因?yàn)樗傁胫鴱膶W(xué)習(xí)中撈到好處”。由此可見，歐幾里得要求學(xué)生循序漸進(jìn)，反對(duì)投機(jī)取巧和功力的實(shí)用主義。
歐幾里得的《原本》是一部劃時(shí)代的著作，從它誕生的年代流傳至今，對(duì)人類文明的進(jìn)步有著持續(xù)的重大影響。《原本》的歷史意義在于它是一部用公理方法建立起來的邏輯演繹的第一個(gè)典范，之前所累積的數(shù)學(xué)知識(shí)是片段零碎的，好比磚瓦和木石，歐幾里得借助邏輯方法，把這些知識(shí)整理組合起來，使之處于一個(gè)嚴(yán)密的系統(tǒng)之中，建成了一座巍峨的大廈?？梢赃@么說，歐幾里得是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最杰出的建筑師。
從泰勒斯到歐幾里得，希臘數(shù)學(xué)經(jīng)歷了三個(gè)世紀(jì)的發(fā)展歷史。從愛奧尼亞學(xué)派開啟幾何論證到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派從具體的事物中提煉出抽象的數(shù)，為《原本》的誕生提供了材料和基石。波希戰(zhàn)爭以后，雅典成為文化中心，那里的智人學(xué)派提出幾何作圖的三大問題、用直尺和圓規(guī)的規(guī)則，成為歐氏幾何的金科玉律。安蒂豐的“窮竭法”，嘗試解決“化圓為方”問題，孕育了近代極限論思想。而德謨克利特用原子法推導(dǎo)出：錐體體積是同底等高柱體的三分之一，則成為《原本》重要的計(jì)算方法。
值得一提的是，在歐幾里得之前約一個(gè)世紀(jì)，希波克拉底（Hippocrates of Chios，活動(dòng)時(shí)期約前460）就曾寫過一部幾何原理的著作，它可能是《原本》的雛形，可惜沒有流傳下來。這個(gè)希波克拉底比同名的“醫(yī)學(xué)之父”略早，出生在小亞細(xì)亞海岸的希俄斯島，該島位于薩摩斯島的西北。傳說他是個(gè)商人，因?yàn)樨浳锉缓１I搶劫，到雅典去控告，沒能收回自己的財(cái)物。結(jié)果他留在雅典，聽數(shù)學(xué)演講，最后竟然能依靠教授幾何為生。而亞里士多德有不同的說法，認(rèn)為他是被拜占庭的稅務(wù)官給騙了。希波克拉底發(fā)現(xiàn)并利用泰勒斯定理和畢達(dá)哥拉斯定理證明了“月牙定理”：半圓上的直角三角形，兩條直角邊形成的弓形（lune AC和lune CB）的面積之和等于三角形面積。⑤
月牙定理的證明
對(duì)《原本》影響最大的，要數(shù)柏拉圖學(xué)派。柏拉圖非常重視數(shù)學(xué)，特別強(qiáng)調(diào)終極實(shí)在的抽象本性和數(shù)學(xué)對(duì)于訓(xùn)練哲學(xué)思維的重要性，他的弟子歐多克索斯用公理法建立比例理論，《原本》第5卷大多取自他的工作。歐多克索斯還把安蒂豐的窮竭法加以改進(jìn)，首次用于數(shù)學(xué)證明，使之成為《原本》的重要論證方法。而亞里士多德創(chuàng)立的形式邏輯，則為歐氏幾何的嚴(yán)密體系創(chuàng)造了必要條件。值得一提的是，我國魏晉時(shí)代的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”也是一種窮竭法，只不過安蒂豐始于正方形，而劉徽則是從正六邊形開始的。
當(dāng)然，《原本》也有著時(shí)代的局限性。例如，早在公元前5世紀(jì)，意大利南部伊利亞學(xué)派的芝諾（Zero of Elea，約前490-約前425，伯利克里是他的學(xué)生）便提出了多個(gè)著名的悖論，其證明用到了歸謬法，迫使那時(shí)和后來的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家開始思考無窮問題。這一點(diǎn)《原本》中有所體現(xiàn)，但多多少少回避了。例如，第一卷公設(shè)三，明明線段可以“無限”延長，卻要說線段可以“任意”延長；又如第四卷命題二十，明明是證明了“素?cái)?shù)有無窮多”，卻要寫成“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)比任意給定的數(shù)目都多”。
《原本》共十五卷。前六卷講幾何，接下來四卷是數(shù)論的內(nèi)容，但用幾何的方式敘述，最后五卷仍然講幾何。第一卷首先給出了23個(gè)定義，開頭兩個(gè)不同凡響：點(diǎn)是沒有部分的（A point is that which has no part）；線只有長度而沒有寬度（A line is breadthless length）。之后，是有關(guān)平面、直角、垂直、銳角、鈍角、平行線等的定義。定義之后是五個(gè)公設(shè)，前四個(gè)分別是：
第五公設(shè)的敘述有些繁瑣和費(fèi)解，但卻最為著名，直到兩千多年以后，18世紀(jì)的蘇格蘭數(shù)學(xué)家普萊費(fèi)爾（Playfair，1748-1819）才給出今天我們熟知的簡潔形式（普萊費(fèi)爾公設(shè)）：
公設(shè)之后是公理，也是五個(gè)，其中前兩個(gè)為：
之后各卷，再也沒有公設(shè)或公理，而只有命題，每卷均有幾十個(gè)。卷一有48個(gè)命題，現(xiàn)在看起來比較初等。比如第5命題說的正是古希臘人老生常談的話題：等腰三角形兩個(gè)底角相等，且它們的外角也相等。那時(shí)歐洲的數(shù)學(xué)水平確實(shí)也很低，第5命題居然被認(rèn)為是“驢橋”，意思是“笨蛋的難關(guān)”。
卷二要深一些，其中命題5是一元二次方程的求解，基本上給出了如今中學(xué)里的公式解，其等價(jià)形式可以導(dǎo)出下列勾股數(shù)組：
其中n可為任意正整數(shù)。依照普羅克洛斯的說法，這一數(shù)組是畢達(dá)哥拉斯給出的。他同時(shí)指出，柏拉圖給出了另一數(shù)組，即
命題13是如今中學(xué)里熟知的余弦定理
不過，歐幾里得是用幾何方法描述余弦定理的，并沒有出現(xiàn)三角函數(shù)。卷七開始講數(shù)論，開頭也給出了22個(gè)定義，最后一個(gè)是完美數(shù)的定義：一個(gè)數(shù)等于它自身的部分（真因子）
之和，這個(gè)數(shù)叫完美數(shù)。等到了卷九，命題36才證明了完美數(shù)的著名結(jié)果：若
是素?cái)?shù)，則
是完美數(shù)。值得一提的是，這個(gè)結(jié)論的逆定理要到兩千多年以后，才由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉給出證明。于是我們有了：一個(gè)偶數(shù)是完美數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它是以下形式
這里n和
均為素?cái)?shù)，其中
如今被稱為梅森素?cái)?shù)，以17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、牧師梅森命名，迄今已發(fā)現(xiàn)51個(gè)梅森素?cái)?shù)和51個(gè)偶完美數(shù)，尚沒有發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇完美數(shù)。是否存在無窮多個(gè)偶完美數(shù)？以及是否存在奇完美數(shù)？是數(shù)學(xué)史上最古老的問題，同時(shí)也是最難的問題之一。
早在8世紀(jì)末，《原本》就由巴格達(dá)阿拔斯王朝第五代哈里發(fā)拉希德時(shí)期的學(xué)者譯成阿拉伯文，它的第一個(gè)完整的拉丁文版本大約在1120年由英國經(jīng)驗(yàn)哲學(xué)家阿德拉德（Adelard of Bath, 約1116～1142）從阿拉伯文譯出，第一個(gè)完整的英譯本是蘇格蘭商人比林斯利爵士（Henry Billingsley， -1606）由希臘文原文在1570年譯出，他做過倫敦市長。
1808年，稱雄歐洲、酷愛數(shù)學(xué)的法國人拿破侖在梵蒂岡圖書館找到一些希臘文數(shù)學(xué)手稿，將它們帶回到巴黎。其中就有歐幾里得兩種著作的手抄本，包括《原本》。幾年以后，《原本》的希臘文、拉丁文和法文版在法國同時(shí)出版了，它們被稱為梵蒂岡本，是公認(rèn)最接近于原著的版本。
利瑪竇與徐光啟
《原本》最早的中文版是在1607年在北京出版的，由意大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci，1552-1610）和明代學(xué)者徐光啟（1562-1633）合作翻譯，卷首并排寫著“泰西利瑪竇口譯”、“吳淞徐光啟筆受”。這也是中國近代翻譯西方數(shù)學(xué)典籍的開始，從此開啟了中西學(xué)術(shù)交流的大門。
他們所依據(jù)的是德國人克拉維烏斯（Christoph Clavius，1537-1612）的拉丁文增訂版，兩人只譯了前六卷，并起名《幾何原本》。出版不久，徐光啟父親去世，他扶柩南歸，丁憂三年。1610年，徐光啟回京復(fù)職，利瑪竇已不幸病逝。直到250年以后，才由英國傳教士偉烈亞力（Alexander Wylie，1815-1887）和清代數(shù)學(xué)家李善蘭（1811-1882）合作譯完《原本》并在上海出版。
在19世紀(jì)非歐幾何學(xué)誕生以前，《原本》一直是幾何的推理、定理和方法的主要源泉。它也是現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生的一個(gè)重要因素，其完整的演繹推理結(jié)構(gòu)甚至給思想家們帶來靈感。可以說，《原本》既是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的仿制，也為這類仿制提供了必要的工具。
從某種意義上講，這類仿制就是亞里士多德在《詩學(xué)》里談到的摹仿說?？梢赃@么說，幾乎是在同一時(shí)期，古希臘以相似的方式誕生了作為數(shù)學(xué)和藝術(shù)最高理論結(jié)晶的《原本》和《詩學(xué)》。而到了文藝復(fù)興時(shí)期，繪畫的方法和實(shí)踐已離不開歐幾里得幾何學(xué)，其中最為突出的是透視原理和沒影點(diǎn)。
吳文俊先生早年為《數(shù)學(xué)與藝術(shù)》一書親筆撰寫的推薦信（局部）。
附注：
①分析法是把復(fù)雜的事物或現(xiàn)象分解成若干簡單的組成部分，分別進(jìn)行研究的方法。分析法是綜合法的對(duì)稱，后者是把各個(gè)組成部分、各個(gè)方面和各種因素聯(lián)系起來，從總體上認(rèn)識(shí)和把握事物或現(xiàn)象的方法。
②歸謬法是反證法的一種形式。用反證法證時(shí)，如果命題只出現(xiàn)一種情況，那只需將它駁倒就可以，這種反證法叫“歸謬法”。如果有多種情況，那必需將它們一一駁倒，才能證明命題成立，這種反證法叫“窮舉法”。
③倍立方體是所謂古希臘三大幾何問題之一，另外兩個(gè)問題是化圓為方、三等分角，都要求只用直尺和圓規(guī)作圖。直到19世紀(jì)，隨著伽羅華理論出現(xiàn)和林德曼證明是超越數(shù)以后，數(shù)學(xué)家們才弄清楚，這三個(gè)問題實(shí)際上是不可解的。
④存在一種混淆，就是比歐幾里得早一個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家歐克萊德斯（Eucleides of Megara）,他是蘇格拉底的學(xué)生、柏拉圖《泰阿泰德篇》的對(duì)話者之一，Megara（麥加拉）是雅典西邊的城市。
⑤首先，由泰勒斯定理，半圓上的圓周角是直角；其次，由畢達(dá)哥拉斯定理；再由圓或半圓的面積計(jì)算公式，以AC和CB為直徑的半圓面積之和等于以AB為直徑的半圓面積；然后分別減去兩個(gè)公共的圓弧面積之和，即證得月牙定理。
作者簡介
蔡天新
浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師、求是特聘學(xué)者，近作有《小回憶》增訂版、《我的大學(xué)》、《26城記》、《數(shù)學(xué)與藝術(shù)》、《經(jīng)典數(shù)論的現(xiàn)代導(dǎo)引》（中、英文版）、《完美數(shù)與契波那契序列》（即出），主編《地鐵之詩》、《高鐵之詩》。
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