按照下圖的算法，似乎可以算出圓周率 等于4：
這個(gè)結(jié)論肯定是錯(cuò)誤的，這篇文章就來仔細(xì)解釋下。
確實(shí)，隨著不斷彎折，圓外多邊形看上去越來越接近圓：
那為什么文章開頭的結(jié)論是錯(cuò)誤的呢？我們需要明白，在這個(gè)彎折過程中，圓外多邊形的周長和面積發(fā)生了不同的改變：
圓外多邊形的周長始終保持不變，并沒有逼近圓的周長
圓外多邊形的面積不斷逼近圓的面積，所以看上去圓外的多邊形看上去越來越接近圓
1.1 周長不變
將圓的右上角放大，可見外接正方形的邊無論折成多少個(gè)階梯，只要恰當(dāng)?shù)仄揭七@些階梯，就可以還原出之前的正方形（動(dòng)圖出處）：
也就是說，在彎折過程中，圓外多邊形的周長始終為4：
更代數(shù)一點(diǎn)，可用數(shù)列 來表示彎折過程中外面多邊形的周長，很明顯該數(shù)列的極限為：
這是一個(gè)常數(shù)數(shù)列，該數(shù)列的極限為4，這說明彎折過程中圓外多邊形的周長是沒有發(fā)生變化的。
1.2 面積逼近
一開始，外接正方形和圓形的面積大概相差4個(gè)直角三角形，也就是下圖中藍(lán)色的四個(gè)直角三角形。因?yàn)閳A的直徑為1，所以容易推出這四個(gè)直角三角形的面積之和為 ，也就是說外接正方形和圓形的面積大概相差 ：
不斷地彎折圓外多邊形，可以算出這些直角三角形的和是在不斷減小的，也就是圓外多邊形和圓形的面積差在不斷減小：
這說明圓外多邊形的面積在不斷逼近圓形的面積。
1.3 科赫雪花
綜上，之所以得到錯(cuò)誤的結(jié)論，是我們直覺上認(rèn)為面積逼近的同時(shí)周長也會(huì)逼近。這個(gè)直覺是錯(cuò)誤的，周長和面積并沒有絕對的對應(yīng)關(guān)系。來看一個(gè)更極端的例子，像下面動(dòng)圖一樣，從邊長為 的等邊三角形開始，可以生成類似于雪花的圖像，也稱為科赫雪花：
可以證明，科赫雪花的面積始終為 ，但周長的極限為無窮大，具體細(xì)節(jié)可以參考這里。
下面來看一個(gè)類似的問題，這個(gè)問題可以幫助我們思考得更深一些。同樣是直徑為1的圓，在它的圓周上畫滿相切的圓：
如果交替地取這些圓在圓周內(nèi)的部分和圓周外的部分，就構(gòu)成了一條纏繞著圓周的連續(xù)曲線：
上圖中的曲線是由8個(gè)圓組成的，當(dāng)然可以用更多的相切圓來構(gòu)造該曲線。隨著相切圓的增加，該曲線的周長會(huì)持續(xù)縮小，但是到一定程度后周長就不再縮小了：
實(shí)際上，該曲線的周長會(huì)停留在該數(shù)值附近，并不會(huì)逼近圓的周長。背后到底是什么原因，使得曲線周長沒有逼近圓的周長？
在微積分中學(xué)習(xí)過，在一定的條件下，
3.1 曲線的長度
假如要計(jì)算曲線在 之間的長度，可以將把 切成 份，對應(yīng)的曲線也被分成了 份：
因?yàn)榍芯€是對曲線的近似，所以可用每個(gè)部分的切線段長度來近似每個(gè)部分的曲線段：
進(jìn)一步細(xì)分 ，也就是讓 變得更大，可以看到近似的效果會(huì)越來越好：
當(dāng) 時(shí)，這些切線段的長度加起來就是曲線的長度。
3.2 錯(cuò)誤的逼近
回頭來看一下，之前的例子是用折線或者曲線去逼近圓形的周長：
而不是用圓形的切線去逼近圓形的周長，這就是得出錯(cuò)誤結(jié)論的原因。
3.3 為什么是切線
那為什么圓形的切線才能去逼近圓形的周長呢？這個(gè)問題可能需要用整個(gè)《單變量微積分》課程來回答。這里就簡單說一下重點(diǎn)，可以證明，曲線的切線和曲線之間相差一個(gè) 高階 無窮小，也就是下圖標(biāo)注的 ：
上述說法反過來也是成立的：
在計(jì)算圓形周長的例子中，用來近似圓形周長的折線、曲線，它們只和圓形相差了一個(gè)無窮小。這里不去深究具體的代數(shù)表達(dá)式，只需要知道， 高階 無窮小的意思就是比無窮小還要小。也就是說，圓形的切線是最接近圓形的，因?yàn)樗鼈冎g相差最?。ǜ唠A無窮?。?。所以，必須用切線才能成功逼近。
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