首先聲明，我不是搞數(shù)學的，但作為一個科研從業(yè)者和科普愛好者，我確實意識到數(shù)學非凡的意義。因此，不要指望我會說學習數(shù)學對你高考有什么幫助哦，我是不碰應試教育的：）
引子：我們人類雖然分白人、黃種人、黑人各種膚色，長相也差別巨大，但是當你去看他們各自的骨骼，會發(fā)現(xiàn)都差不多，都是那206塊骨頭拼成的。其實，數(shù)學就像是所有自然科學的骨架：自然科學雖然琳瑯滿目，每一個學科都顯得與其他截然不同，但是當你把專業(yè)知識的外殼剝掉，會發(fā)現(xiàn)核心的都是一堆數(shù)學方程，數(shù)學描述了自然界中各種元素相互作用的關系，也是你理解這紛繁世界的一把鑰匙。
下面列舉兩個科學中的例子，可以體會一下數(shù)學的用處：
A）廣義相對論：愛因斯坦在完成了狹義相對論之后，就總結了“時空”和“質能”之間的關系，他指出，物質-能量的存在確定了圍繞著它的空間-時間的曲率。即空間的彎曲是直接與空間內包含的能量和物質的總量相關。
愛因斯坦發(fā)現(xiàn)了正確的物理原理，但他卻苦于沒有嚴謹?shù)臄?shù)學公式來表述這個原理。換句話說，愛因斯坦發(fā)現(xiàn)了物理原理，卻缺乏數(shù)學工具使其成為一門科學理論。
而實際上，早在幾十年前，德國數(shù)學家、物理學家波恩哈德·黎曼在他開創(chuàng)的“黎曼幾何”中就已用數(shù)學工具和數(shù)學技巧明確表述：“力”并不存在，它只是由空間的幾何形變引起的表現(xiàn)效果，是空間的彎曲引起“力”的出現(xiàn)。
于是愛因斯坦花費了好幾年苦苦尋找能夠表達他的物理原理的數(shù)學形式，在絕望中他求助于他最親近的朋友，數(shù)學家馬塞爾·克羅斯曼，而克羅斯曼沒有讓愛因斯坦失望，他在黎曼的著作中發(fā)現(xiàn)了被物理學家們忽略了60年的“黎曼度規(guī)張量”，并向愛因斯坦講解了黎曼的著作以及“黎曼度規(guī)張量”的原理。接下來，讓愛因斯坦震驚的是，他發(fā)現(xiàn)黎曼在1854年的著名公開演講——《論幾何基礎的假說》，是解決他面臨的問題的關鍵，他發(fā)現(xiàn)可以用黎曼的工作重寫他的物理原理。隨后，幾乎是一行一行地，黎曼的偉大思想在愛因斯坦的物理原理中找到了它真正的家。這是愛因斯坦最驕傲的一項工作，成就甚至超過了他的著名方程E=MC^2。[1]
B) 分形
我們先按照以下順序構造一個圖形。首先畫一個線段，然后把它平分成三段，去掉中間那一段并用兩條等長的線段代替。這樣，原來的一條線段就變成了四條小的線段。用相同的方法把每一條小的線段的中間三分之一替換為等邊三角形的兩邊，得到了16條更小的線段…… 如此這般我們經(jīng)過5次操作，會得到下面的圖形，注意圖中順序，你發(fā)現(xiàn)什么了？從第二步開始基本形狀就固定了，但是它的邊緣在不停的細化又細化，最后一步變得都有些毛茸茸了。其實這個邊緣能夠按照這個規(guī)則無線細分下去。
你想像一下，會得到什么圖形呢？
答案是它還是這樣一個形狀，只不過它的邊緣會無限的精細，每個突出的小三角形都和它所生長的那個大三角形的形狀完全相同，只是大小會有差異罷了。這個東西有個名字叫做“科赫曲線” ，那么下面我們把三個科赫曲線分別錯開120°排列起來：
是不是很熟悉？對了，你仔細觀察一片雪花，也會是這樣的。其實不只是雪花，一片樹葉、俯瞰地球上的海岸線邊緣，其實都是類似的“自相似”特性的。
那這種看著很神奇的自相似圖形到底有什么特點或者規(guī)律呢？這就要數(shù)學出場了！還是以科赫曲線為例子，它的長度變化用數(shù)學表達的話：
第一步：最開始的一段直線，分成了3份，接著把中間那一份替換成了兩份，因此總長變成了 4/3
第二步：上面這四段中每一段直線又變成了之前的4/3 也就是最初的 (4/3)^2 = 16/9
第三步：重復上述操作，這16段的每一段又變成了之前的4/3，因此是最初長度的(4/3)^3
... ...
下面就很明白了把，隨著這種分解無限進行下去，最終長度會變?yōu)闊o限長，也就說明明這段科赫曲線的長寬都擺在那里就是這么大，但是從數(shù)學上說這段線段的長度隨著不斷的細分，最終是無限的，因為它的總長是(4/3)^n
如果類似的方法你來算一下剛才那朵“雪花”的面積，你會發(fā)現(xiàn)它等于Σ4^n/9^n，隨著n增大，這個面積卻是有限的。這簡直太不符合常理了，一般來說一個無限長的曲線應該圍住的面積也是有限的啊？
但是分形（Fractal）就是這么有意思，如果沒有數(shù)學工具的幫助，恐怕這種自相似也就在我們腦海中一閃而過吧，肯定是無法發(fā)現(xiàn)這么神奇的規(guī)律，乃至創(chuàng)建一個分形學的學科了吧。
其實還有很多科學，本來文科屬性很重呢，數(shù)學這么一摻和，馬上深刻了很多，比如生物學，達爾文那個時代還叫做“博物學”，還是拼誰記憶力好誰就成就高呢，結果孟德爾提出了遺傳定律，把概率論給摻和進去了，然后生物學后面的發(fā)展就和數(shù)學結下了不解之緣，至于什么進化論的現(xiàn)代綜合，當代進化、遺傳學等等都隨著數(shù)學工具的加入跟著誕生和快速發(fā)展起來了，生物學也早就不是文科的東西了。因此這個“鍋“數(shù)學還真得背！以至于現(xiàn)在，差不多成了這樣一個套路：一種科學思想，只有和邏輯與數(shù)學結合后，才能稱得上科學理論！這也許就是數(shù)學的用處吧
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