試論幾何直觀思維在“數(shù)與代數(shù)”課堂教學(xué)中的培養(yǎng)方法
巴東縣野三關(guān)鎮(zhèn)紅軍小學(xué) 向秀青 444324
【內(nèi)容摘要】教師運(yùn)用幾何直觀教學(xué)，充分發(fā)揮圖形具備的優(yōu)勢(shì)，有助于探索解決問題的思路，幫助學(xué)生直觀的理解數(shù)學(xué)，使得抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容變得更加直觀，能夠確保課堂教學(xué)質(zhì)量，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。本文通過在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀的實(shí)踐與探索,闡述運(yùn)用幾何直觀對(duì)研究計(jì)算方法、分析數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律四方面的作用,提出運(yùn)用幾何直觀教學(xué)是新教材新課標(biāo)的要求,也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求。
【關(guān)鍵詞】幾何直觀；小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)與代數(shù)
一、幾何直觀的具體含義
新課標(biāo)的論述是“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！边@句話清晰的表明了我們可以利用幾何直觀描述分析問題，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，借助幾何直觀探索解決問題的思路。所以，幾何直觀可以幫助我們有效的理解計(jì)算的算理。教師借助圖形幫助學(xué)生進(jìn)行理解，逐步減少問題的難度，以直觀性特點(diǎn)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行觀察，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)高效的教學(xué)質(zhì)量。
二、幾何直觀在“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中的運(yùn)用
（一）借助幾何直觀，研究計(jì)算方法
怎樣優(yōu)化學(xué)生的計(jì)算過程，保證結(jié)果的正確性是教師比較關(guān)心的話題。教師可利用幾何直觀研究計(jì)算方法，幫助學(xué)生通過畫圖的形式與算式進(jìn)行連接，增加學(xué)生的幾何直觀能力，推動(dòng)學(xué)生的計(jì)算能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想。例如在教學(xué)《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算》時(shí)，教學(xué)重點(diǎn)是用十位上的數(shù)去乘時(shí),所得的積的末位數(shù)要和十位上的數(shù)對(duì)齊。為了幫助學(xué)生突破這個(gè)重難點(diǎn)，老師采用畫點(diǎn)子圖的形式讓學(xué)生理解算理。
在計(jì)算教學(xué)中，看似與幾何直觀無關(guān)，然而學(xué)生對(duì)算理的理解、對(duì)算法的提煉等都離不開幾何直觀。點(diǎn)子圖是一種計(jì)算模型，它形式簡(jiǎn)單，具有概括性和抽象性，方便學(xué)生動(dòng)手操作（圈一圈、畫一畫）是一個(gè)有價(jià)值的模型。
探究算法時(shí)用好課本上的14×12的點(diǎn)子圖，讓學(xué)生在圖上圈一圈，把先算什么、再算什么在圖上呈現(xiàn)出來，并在點(diǎn)子圖的基礎(chǔ)上完成豎式計(jì)算，幫助學(xué)生很好地理解筆算過程中每一步的意義,培養(yǎng)幾何直觀。學(xué)生通過畫圖和豎式的算法展示，充分經(jīng)歷豎式的形成過程,從而理解第二層積為什么要錯(cuò)位書寫的道理：整十?dāng)?shù)與整十?dāng)?shù)直接相加,所以在豎式計(jì)算中出現(xiàn)第二層積錯(cuò)位現(xiàn)象。
在學(xué)生對(duì)豎式運(yùn)算的每個(gè)環(huán)節(jié)沒有真正理解的情況下就開始追求計(jì)算方法,很可能造成學(xué)生在沒有真正理解道理的情況下,只能靠記憶法則來習(xí)得方法和技能，這顯然對(duì)學(xué)生的發(fā)展是不利的。因此,教師要給學(xué)生提供可以操作、圈畫的素材,促使學(xué)生有意識(shí)地審視自己的操作過程,自覺地把操作過程中所獲得的認(rèn)識(shí)進(jìn)行整理和提升, 在點(diǎn)子圖中尋覓豎式計(jì)算的足跡,幫助學(xué)生還原最簡(jiǎn)單、最直觀的道理和方法,使算理與算法融為一體。使抽象的算理變得直觀形象,使學(xué)生在明理中順利自然地掌握算法,促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展,提高運(yùn)算能力。
讓學(xué)生在完整口述筆算過程中，規(guī)范筆算的書寫格式，幫助學(xué)生理解豎式的結(jié)構(gòu)和原理，尤其是第二部分積的書寫，再次理解算理。然后引導(dǎo)學(xué)生用自己的話說說兩位數(shù)乘兩位數(shù)我們是怎么進(jìn)行筆算，從而提煉算法：1.先用第二個(gè)乘數(shù)的個(gè)位去乘第一個(gè)乘數(shù)的每一位，積的末尾和個(gè)位對(duì)齊；2.再用第二個(gè)乘數(shù)的十位去乘第一個(gè)乘數(shù)的每一位，積的末尾和十位對(duì)齊；3.然后把兩次相乘對(duì)積加起來。
巧用幾何直觀，在學(xué)生充分理解算理的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行乘法筆算趣味練習(xí)，讓算理與算法“無縫對(duì)接”，學(xué)生真正明白算理，掌握算法，從而學(xué)會(huì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法，打下良好的計(jì)算學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。
（二）借助幾何直觀，分析數(shù)量關(guān)系
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系、空間形式及其關(guān)系的學(xué)科，通過數(shù)形結(jié)合的方法研究問題，可以讓數(shù)量關(guān)系與圖形的性質(zhì)問題很好地轉(zhuǎn)化。教師在教學(xué)過程中根據(jù)問題的形式，指導(dǎo)學(xué)生借助直觀的圖形，來把抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，形象的表示出題目中的數(shù)量關(guān)系，發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新思維，理解從多角度思考問題的解答技巧。
片段：“原來這題還可以這樣解”
在“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”的教學(xué)中，有這樣的題目：小華錄入一份稿件，錄入了后還剩600字，小華錄入了多少字？
生1：設(shè)這份文件稿件共有x個(gè)字，x-x=600，x=3000，3000-600=2400字生2：600÷（1-）×=2400字。
生3：我還有一種解法，只要600×4就可以了。
生4：亂湊出來的吧。
師：那你把線段圖畫到黑板上吧。
生3：整條線段表示一份稿件的總字?jǐn)?shù)，錄入了就是把線段平均分
成5份，其中4份表示已錄入的，剩下1份沒錄入，是600字，求小華錄入了多少字，就是求4份的字?jǐn)?shù)，所以600×4就可以了。
師：同學(xué)們覺得他說的有道理嗎？
在分析和解決問題時(shí)，采用畫圖的方法，把文字轉(zhuǎn)化成幾何直觀圖，使問題解決起來更簡(jiǎn)潔，開拓了學(xué)生的解題思路，體現(xiàn)了學(xué)生的創(chuàng)造性。
（三）借助幾何直觀，建立數(shù)學(xué)模型
數(shù)學(xué)知識(shí)就像是一張縱橫交錯(cuò)的網(wǎng)，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是一個(gè)節(jié)點(diǎn)，一條條知識(shí)鏈連接起了一個(gè)個(gè)的節(jié)點(diǎn)，從而形成了一張密密的“知識(shí)網(wǎng)”。通過幾何直觀，可以讓這些“知識(shí)網(wǎng)”形成一個(gè)固定的數(shù)學(xué)模型，從而幫助學(xué)生掌握計(jì)算方法。
片段：向國(guó)平老師執(zhí)教《合理運(yùn)算》
向老師帶領(lǐng)學(xué)生通過觀察比較和推理分析，讓學(xué)生理解合理運(yùn)算是運(yùn)用各種運(yùn)算定律、性質(zhì)以及湊整思想，在不改變意義的前提下，正確地解決各類計(jì)算問題的教學(xué)環(huán)節(jié)。而乘法分配律無論從形式，還是內(nèi)涵理解上，都比較難，是比較抽象的概念教學(xué)，就乘法分配律意義的理解，設(shè)計(jì)了幾個(gè)長(zhǎng)方形組合的一個(gè)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算，學(xué)生用不同的方法計(jì)算面積，結(jié)合圖形，通過觀察推理，數(shù)形結(jié)合，自主地理解乘法分配律的意義。
利用幾何直觀、建立模型，以教材為依據(jù)，通過創(chuàng)造性地使用教材，為學(xué)生提供了乘法分配律的多樣化模型，有利于學(xué)生借助幾何直觀和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)新知識(shí)理解內(nèi)化，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的感知變得更加豐富、充分。讓學(xué)生理解合理運(yùn)算時(shí)，意義不變是關(guān)鍵，不管怎樣改變，都不能改變四則運(yùn)算的意義。在教學(xué)過程中有同學(xué)計(jì)算（8×4）×2.5時(shí)，錯(cuò)誤做成8×2.5+4×2.5，借助圖形，讓學(xué)生說說這兩個(gè)算式的意義？讓學(xué)生理解（8×4）×2.5表示32個(gè)2.5，而8×2.5+4×2.5表示12個(gè)2.5，兩個(gè)算式意義不同，所以計(jì)算結(jié)果不同。引導(dǎo)學(xué)生通過推理分析、借助長(zhǎng)方形的面積計(jì)算進(jìn)一步理解乘法分配律。
（四）借助幾何直觀，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律
幾何直觀以自身的創(chuàng)造性思維將抽象數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可幫助學(xué)生快速理解知識(shí)點(diǎn)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。為此，教師需明確數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)目標(biāo)，帶領(lǐng)學(xué)生借助幾何直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主驗(yàn)證，樹立學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。教師要引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行觀察，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，使學(xué)生深入挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容，轉(zhuǎn)變抽象思維，提升學(xué)習(xí)能力。
片斷：《怎樣求幾個(gè)數(shù)（后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的）的和》
我先出示：+ + ，+ + + ，+ + + 。讓學(xué)生觀察：上述三個(gè)算式有什么共同的特點(diǎn)？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的。
計(jì)算：+ + ？引導(dǎo)學(xué)生在一個(gè)正方形里表示出這個(gè)算式的意思？
展示：選擇典型的圖進(jìn)行展示，如右圖。
觀察：結(jié)合圖觀察算式與計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
通過觀察有人會(huì)說“求幾個(gè)數(shù)（后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的）的和＝1－最后一個(gè)數(shù)”。但馬上有學(xué)生提出異議， + + + ，按照剛才的方法計(jì)算結(jié)果是，用通分的方法計(jì)算結(jié)果是即。+ + + ，按照剛才的方法計(jì)算結(jié)果是，用通分的方法計(jì)算結(jié)果是。
引導(dǎo)學(xué)生畫圖，結(jié)合圖形認(rèn)真思考，剛才的說法應(yīng)該怎樣進(jìn)行修改？得出“求幾個(gè)數(shù)（后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的）的和＝第一個(gè)數(shù)×2－最后一個(gè)數(shù)”。請(qǐng)每個(gè)人先寫一個(gè)類似的算式，再按照第二種方法進(jìn)行計(jì)算，然后用通分和畫圖的方法進(jìn)行驗(yàn)證……
利用變化對(duì)比的方法，學(xué)生很快探索出了“怎樣求幾個(gè)數(shù)（后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的）的和”的規(guī)律。
幾何直觀能夠啟迪思路，抓住“形”與“理”之間的聯(lián)系，以“形”的直觀表達(dá)“理”，有效實(shí)現(xiàn)算理直觀，促進(jìn)學(xué)生“清方法，明算理”，在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容具有重要的影響。因此，借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方向。教師在教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮幾何直觀的作用，提高學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用能力，提升學(xué)生的理性思維。（本文系湖北省教育科學(xué)規(guī)劃2020年度一般課題研究成果。課題名稱：《幾何直觀思維在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透方法研究》。課題批準(zhǔn)號(hào)：2020JB352）
參考書目：
[1]張英珍.淺談小學(xué)數(shù)學(xué)游戲教學(xué)中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域課程資源的開發(fā)和應(yīng)用研究[J].科教導(dǎo)刊-電子版（下旬）,2019,(8).168-169.
[2]胡建山.基于核心素養(yǎng)下小學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域教學(xué)策略探究[J].考試周刊,2019,(46).90.
[3] 楊穎．?dāng)?shù)形結(jié)合自然建構(gòu)突破難點(diǎn)——“乘法分配率”教學(xué)片斷與思考．小學(xué)教學(xué).2012.3.
[4]汪國(guó)祥．“充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的支架作用”．小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）．2012，03
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