分享 | 史寧中，東北師范大學原校長，現(xiàn)任榮譽教授、博導，教育部義務(wù)教育數(shù)學課程標準研制組組長
整理 | 《中小學老師參考》
本文約6800字，閱讀需18分鐘
今天我想分享的題目是《初中數(shù)學課標的變化——對教學的啟示》，主要從從以下四個方面進行分享：2014年，教育部為了落實國家“立德樹人”教育方針，要求把立德樹人、核心素養(yǎng)貫穿到義務(wù)教育階段高中課程標準修訂中。針對數(shù)學課程，在高中階段我們達成了一個共識，即數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的關(guān)鍵能力、思維品質(zhì)以及情感、態(tài)度價值觀。也逐漸認識到數(shù)學核心素養(yǎng)與教育有關(guān)，與人的行為有關(guān)，總體布局主要是指人的行為、思維和做事的習慣。這次在修訂義務(wù)教育階段小學、初中課程標準中，對數(shù)學核心素養(yǎng)做了進一步延伸：數(shù)學核心素養(yǎng)具有一致性、階段性、發(fā)展性。
所謂一致性，是指數(shù)學核心素養(yǎng)要貫穿到小學、初中、高中、大學階段的整個教育教學過程中。所謂發(fā)展性，是指核心素養(yǎng)是逐漸發(fā)展起來的。越是低學段，要更加側(cè)重意識；越是高學段，更側(cè)重能力。舉個例子，初中階段的數(shù)學眼光，有一個關(guān)鍵詞是“空間觀念”，但到小學階段強調(diào)的是“空間意識”。意識和觀念本質(zhì)上都是對事物的一種認識，意識更側(cè)重直觀，觀念更基于明確的概念。核心素養(yǎng)的表現(xiàn)，在高中我們定了6個，初中定了7個，小學定了9個。
| 高中
| 初中
| 小學 |
數(shù)學眼光
| ·數(shù)學抽象 ·直觀想象 | ·抽象意識 ·空間觀念、 幾何直觀 | ·符號意識、數(shù)感、量感 ·空間意識、幾何直觀 |
| 數(shù)學思維 | ·邏輯推理 ·數(shù)學計算 | ·推理能力 ·運算能力 | ·推理意識 ·運算能力 |
| 數(shù)學語言 | ·數(shù)學建模 ·數(shù)據(jù)分析 | ·建模思想 ·數(shù)據(jù)觀念 | ·模型意識 ·數(shù)據(jù)意識
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數(shù)學核心素養(yǎng)可以歸納為三句話：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。·數(shù)學的眼光：本質(zhì)上是抽象，數(shù)學研究不是某個特例和個案，而是研究一般的方法、符號表達。
數(shù)學為人們提供了一種認識與探究現(xiàn)實世界的觀察方式；通過對現(xiàn)實世界中基本數(shù)量關(guān)系與空間形式的觀察，學生能夠解釋所學的數(shù)學事實，表述概念的現(xiàn)實背景；能夠在生活實踐和其他學科中發(fā)現(xiàn)基本的數(shù)學元素，及這些元素所表述的事物之間簡單的聯(lián)系與規(guī)律；能夠在實際情境中發(fā)現(xiàn)與提出有意義的問題，進行有意義的數(shù)學探究；逐步養(yǎng)成從數(shù)學角度觀察現(xiàn)實世界的意識與習慣，發(fā)展數(shù)學的好奇心與想象力。·數(shù)學的思維：主要是邏輯推理，這使得數(shù)學具有了嚴謹性，這是數(shù)學的基本特征之一。數(shù)學為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實世界的思考方式。經(jīng)歷獨立的數(shù)學思維過程，學生能夠理解數(shù)學基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展，數(shù)學基本概念之間、數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系；能夠合乎邏輯地解釋或者論證數(shù)學的基本方法與結(jié)論，分析與解決簡單的數(shù)學問題與實際問題；能夠運用數(shù)學的思想方法探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情境所蘊涵的數(shù)學規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學“再”發(fā)現(xiàn)的過程；逐步養(yǎng)成講道理、有條理的思維習慣，形成實事求是的科學態(tài)度。·數(shù)學的語言：主要是數(shù)學的模型。在現(xiàn)代社會，不僅是數(shù)學、物理等理科，很多文科都開始使用數(shù)據(jù)模型。因此，使得數(shù)學具有應(yīng)用的廣泛性。數(shù)學不僅要教會人們?nèi)绾稳タ?，教會人們?nèi)绾稳ハ?，還要教會人們會不會去表達，因此數(shù)學可以看作是一種特殊的自然語言表示自然界的現(xiàn)象。即數(shù)學為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實世界的表達方式。經(jīng)歷利用數(shù)據(jù)和數(shù)學模型對現(xiàn)實世界事物的表達過程，學生初步感悟數(shù)學與現(xiàn)實世界的交流方式，理解數(shù)學概念、關(guān)系和法則是對現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的客觀反映；
能夠有意識運用數(shù)學的表達形式描述、解釋與探究現(xiàn)實世界中事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。
能夠理解數(shù)據(jù)的意義與價值，有意識使用真實數(shù)據(jù)表達、解釋與分析現(xiàn)實世界中不確定現(xiàn)象的數(shù)量特征；欣賞數(shù)學語言的簡潔與優(yōu)美，逐步養(yǎng)成用數(shù)學語言表達與交流有關(guān)事物的習慣。
新修訂的初中數(shù)學與小學數(shù)學一樣，包括四個領(lǐng)域：數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何，統(tǒng)計與概率，綜合與實踐。基本理念是——更加適應(yīng)核心素養(yǎng)的教學。因此，在課程內(nèi)容的選擇上，特別是在提出了評價建議與教學建議的時候，教學要求強調(diào)讓學生理解內(nèi)容本質(zhì)，知道學生的認知。這兩條是老師教學最起碼的出發(fā)點。基本原則是——在幾何層強調(diào)直觀、代數(shù)強調(diào)證明、教學要求上強調(diào)設(shè)合適情境，提出合適問題。新內(nèi)容變化是——把小學負數(shù)、方程、反比例內(nèi)容移到初中。這次新修訂的初中數(shù)學課標有以下幾個原則：老師在未來的初中教學中要注意，我們不是為了教書而教書，教書的目的是為了解決問題，為了學生能夠更好地認識、思考、表達、解釋現(xiàn)實世界的問題。經(jīng)常有教材這么教，如果a b=0,稱b為a的相反數(shù)，把b寫成-a。這是形式上的，但不是本質(zhì)，負數(shù)本質(zhì)上的產(chǎn)生，也是通過抽象得到的。負數(shù)的概念最早出現(xiàn)在中國古代《九章算術(shù)》方程篇，里面講了一個故事，有人到集市上賣牛賣馬，得到的錢為正，買豬付出的錢為負。也就是負數(shù)和正數(shù)一樣，都是對數(shù)量的抽象意識。不同之處在于意義相反，比如賣牛與買豬，單價都為5塊錢，數(shù)量上相等，收到的錢為正，交出的錢是負。這就是負數(shù)的真正含義。老師一定要讓學生理解，負數(shù)的產(chǎn)生和正數(shù)一樣，也是源于對數(shù)量的抽象。因此，教概念的時候，如果不談性質(zhì)，單純教概念，會讓學生很難理解，也不利于核心素養(yǎng)的形成。過去小學數(shù)學，雖然也教方程，但是是簡單方程，類似5-X=2，主要是強調(diào)解方程的方法，不強調(diào)建立方程的背景?，F(xiàn)在小學數(shù)學加強了字母表示數(shù)背后的性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律。5-x=2很簡單，比如，樹上有5只鳥，飛走了幾只還剩2只？在本質(zhì)上，是減法問題，而不是方程，能用減法算的問題，為什么要用方程？特別是字母表示數(shù)，主要不是表示未知數(shù)，它是表示方程的系數(shù)，這樣才從算術(shù)走向代數(shù)。講方程，必須是在用傳統(tǒng)的算術(shù)方法解答比較困難的情況下，再來引入方程，如“雞兔同籠”的問題，引入方程，會讓孩子們感受到用方程解答問題的重要性。現(xiàn)在的小學數(shù)學讓學生感悟由正比例到正比例函數(shù)，即正比例y/x=a到函數(shù)y=ax的變化，為初中講函數(shù)做鋪墊。而在初中階數(shù)學階段，直接講反比例函數(shù)（y=k/x，k是不為0的常數(shù)）。過去小學講百分數(shù)，只是說一瓶飲料中果汁的含量占百分之多少，多是指確定性的東西，其實在大數(shù)據(jù)時代，百分數(shù)越來越多地來描述現(xiàn)實世界中的隨機現(xiàn)象。因此，初中階段也要在此意義上講百分數(shù)，并增加了分布式計算，這完全是大數(shù)據(jù)時代的要求。比如針對一個輿情，測量大家的關(guān)注度，網(wǎng)站A的數(shù)據(jù)是60%，網(wǎng)站B的數(shù)據(jù)是70%，如何做總的統(tǒng)計？這時候用分布式計算能很高效地算出最終結(jié)果。也是在順應(yīng)時代發(fā)展的趨勢下，分布式計算被納入了初中教學中，此外，近似計算也被納入到初中課堂。未來的數(shù)學教學變化很大，教師要把握以下幾點：前提是，老師教學知識的本質(zhì)，這些知識中蘊含的數(shù)學核心素養(yǎng)（相輔相成）。在方法上，要設(shè)計合適的情境，提出合適的問題，引發(fā)學生思考（幾何作圖）。在目標上，學生能夠掌握知識、理解本質(zhì)、發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。此外，數(shù)學綜合與實踐強調(diào)與其他學科的融合、與生活、傳統(tǒng)文化的聯(lián)系，10%的小學以主題活動的形式、初中以項目探究的形式，新課標頒布后，會有項目名稱和案例。一定要知道，基于核心素養(yǎng)的數(shù)學眼光，是具有抽象意識、空間觀念、幾何直觀。小學是相對具體的。針對抽象意識，小學是符號意識、數(shù)感、量感。針對空間觀念，小學是空間意識。過程是，有兩匹馬，兩粒米，兩個方塊表達，抽象出符號2。在形式上去掉數(shù)量的名詞，用符號表示數(shù)。實質(zhì)上舍去事物的背景，使得數(shù)具有了一般性。從而感悟數(shù)學是一種符號表達，是對數(shù)量的抽象。對應(yīng)符號意識。層次：兩粒米→□□，從感性具體到感性一般，這是簡約階段。記得我在一次講課時候，有一位老師提過一個讓我印象很深刻的問題，我問“你是不是講3的時候，是3個蘋果。講4的時候，是4個梨呢？”數(shù)學一定要抽象，要舍去背景，抽象成沒有名詞的符號，比如兩個□□。用語言表達舍棄背景，還沒有進入數(shù)學。要進入數(shù)學，還要把感性一般上升到理性具體，用符號表達。因此在初中階段，強調(diào)字母表示數(shù)，從理性具體上升到理性一般（普適階段）。老師在教學過程中，要知道教學背后的理念是什么，這樣的話，就可以用理念有意識的指導教學，也會讓基于核心素養(yǎng)的教學成為可能。不僅學習是一種經(jīng)驗積累，老師的教學也是經(jīng)驗積累，但積累經(jīng)驗的過程中，必須要學會反思。過程：回顧自然數(shù)的形成過程，《九章算術(shù)》的故事內(nèi)涵：負數(shù)也是對數(shù)量的抽象，數(shù)量相等、意義相反感悟：數(shù)學的研究對象是抽象的，因此具有一般性內(nèi)涵：運算的封閉性（進入教學：整數(shù)對減法封閉）感悟：教學研究對象拓展（數(shù)域擴充）的過程與邏輯理解：實數(shù)與數(shù)軸上的點——對應(yīng)的本質(zhì)是實數(shù)的絕對值與線段長度初中階段一開始，要講代數(shù)式的運算，在這個過程中，讓孩子們進一步理解符合的意義，通過符合進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。過程：從字母表示性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律到代數(shù)式內(nèi)涵：理解符號的意義，從算術(shù)進入代數(shù)感悟：符號與數(shù)的共性，運算、論證；符號與數(shù)的差異，結(jié)論具有一般性。內(nèi)涵：等號表示量相等，等號兩邊講兩個故事伏筆：方程與函數(shù)零解、圖形的關(guān)系小學側(cè)重知覺，強調(diào)空間意識、幾何直觀。概念沒有定義：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、長方形與正方形的包含關(guān)系增加動手操作：折裝紙盒，立體到平面（三年級），平面到立體尺規(guī)作圖，作等長線段（三年級）、三角形周長感悟圖形的存在，知道數(shù)學研究的對象是抽象的存在，形成空間意識、幾何直觀。定義概念：垂直、平行、切線、平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱關(guān)系：長方形與正方形的包含關(guān)系，全等，相似形成：空間觀念、幾何直觀；抽象意識、數(shù)學語言名義定義，對某一類數(shù)學研究對象標明符號或者指明稱謂。用A表示點（希爾伯特）；定義不能似是而非，比如角的定義。實質(zhì)定義，用揭示內(nèi)涵的方法對數(shù)學的研究對象賦予稱謂，“A是B”的形式，充分必要，比如方程的定義，并不是充分必要的，含有未知數(shù)的等式叫做方程，按照充分必要的話，方程就是含有未知數(shù)的等式，但事實并不是這樣。只有含有未知數(shù)，表示等量關(guān)系的等式，才是方程。小學是推理意識、運算能力；初中是推理能力、運算能力小學階段，增加了說理，通過兩點間直線段最短說明（說理的前提）；三角形兩邊之和大于第三邊（說理的結(jié)論）初中是理解命題，知道基本事實是證明的出發(fā)點。知道什么是數(shù)學命題、兩種表達形式。證明命題：知道數(shù)學推理至少需要三個命題；知道什么是演繹推理、論理的基本路徑性質(zhì)命題：具有“A是B”的形式，三角形內(nèi)角和是180度，三角形兩邊之和大于第三邊。過直線外一點能且只能作一條平行線。關(guān)系命題：具有“如果P，那么Q”的形式，兩條直線被第三條直接所截，如果同位角相等，那么兩條直線平行。如果兩條直線平行，那么同位角相等。小學：增加說理，通過兩點間直線段最短說明（說理的前提）初中：理解命題，知道基本事實是證明的出發(fā)點；知道什么是數(shù)學命題、證明命題，知道數(shù)學推理至少需要三個命題，知道什么是演繹推理、論理的基本路徑。證明：因為兩點之間直線段最短，三角形的兩邊是折線，所以兩邊之和大于第三邊。數(shù)學推理至少要有三個性質(zhì)命題：前提命題、論證命題，結(jié)論命題。數(shù)學推理形式，P是性質(zhì)，A是集合，X是元素。X→P。（結(jié)論命題：兩邊之和大于第三邊）這里的評價并非指考試，而是指教學評價，老師在教學中可以通過評價來促進教學。變化一，要從概念記憶轉(zhuǎn)變到概念理解，要關(guān)注性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律。比如原來考題可能是三角形的內(nèi)角和是_____（填空180度），這是考概念。以后會變成：四邊形的內(nèi)角和是______（填空360度）——關(guān)系多邊形的外角和是_______(填空180度)——規(guī)律這些變化，即從概念拓展到性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律中，從而進行評價。變化二，從幾何證明到幾何證明 代數(shù)證明。對應(yīng)的素養(yǎng)是推理能力，計算能力。推理的依據(jù)是，幾何基本事實 代數(shù)基本事實兩個代數(shù)基本事實，從小學開始就有，強調(diào)1．傳遞性：a≥b,b≥c→a≥c,曹沖稱象的故事。代數(shù)證明：加一個正數(shù)比原來的數(shù)大，加一個負數(shù)比原來的數(shù)小。代數(shù)證明：如果一個數(shù)的個位、十位、百位的數(shù)之和能夠被3整除，那么這個數(shù)可以被3整除。從數(shù)學的眼光來講曹沖稱象的故事，一定要講數(shù)學的內(nèi)涵，讓學生感悟數(shù)學的思想。曹沖稱象為什么是可行的呢？它最起碼有兩個：一個是等量的等量相等。就是說無論是象把船讓它沉了多少、還是石頭把船沉到相同，只要沉到相同的地方，那么重量就是相等，就是等量的等量相等。還有知道一件事情，總量等于分量的和,就是說象太大撐不了，那么要用一些石頭放在一起得到跟象同樣的重量，然后再分別計算這些石頭的重量，得到重力重量。這是總量等于分量和，就是曹沖稱象中所蘊含的這個數(shù)學（道理）。
因此我們數(shù)學講這個傳統(tǒng)的故事、傳統(tǒng)文化其實要講出是如何用數(shù)學的眼光來看這個問題。變化三，從幾何證明到幾何直觀，對應(yīng)素養(yǎng)：空間觀念、幾何直觀。過去是給了條件，給了結(jié)果，讓你用演繹推理的方法去證明，現(xiàn)在可能要讓孩子們做這樣的題：如圖所示，判斷＜D與＜A的大小關(guān)系，并說明理由；判斷BA AC與BD DC的大小關(guān)系，并說明理由。說明垂直平分線尺規(guī)作圖的理由，通過透明紙對折，通過等腰三角形中線，說明角平分線尺規(guī)作圖的理由，如何用十進進度量角的大小。孩子在做這道題的過程中，會聯(lián)系到生活中的常識，比較難。變化四，從證明結(jié)論到猜想結(jié)論，對應(yīng)素養(yǎng)：模型思想，數(shù)據(jù)觀念問題一、以矩形的邊為軸旋轉(zhuǎn)矩形得到什么圖形？圍繞長邊得到圖形的體積大，還是短邊？證明你的猜想。變化五，從證明結(jié)論到推斷結(jié)論，對應(yīng)素養(yǎng)：模型思想，數(shù)據(jù)觀念中國現(xiàn)在經(jīng)常會碰到很多卡脖子的問題，一個很重要的原因，是因為標準是別人制定的，我們在拼命去達到這些標準，因此應(yīng)該學會自己制定標準。在面對這樣的問題，我們現(xiàn)在在小學開始學習自己制定標準。有這樣一道題，也是屬于國家義務(wù)教育監(jiān)測的題目。問題：有五名同學參加學校三項運動的測試，成績?nèi)缦拢?/span>- 你認為，綜合三項運動的第一名應(yīng)當是誰？為什么？
——這就比較難，學生需要判斷60米跑差一秒，和立定跳遠差一厘米、一分米，鉛球差一厘米、一分米哪個難？哪個簡單？然后用加權(quán)平均來決定綜合成績，背后也是標準的問題。怎么來判斷學生答對和答錯，我們起了個名字叫滿意原則。也就是學生只要說出他思考的東西和結(jié)論是一致的，那就是對的。還有一個加分原則，如果學生思考合理或思考深入。如果這道題是10分的話，那么他就可以得到12分。學生在得到這道題答案的過程中，要制定原則，按照這個原則，來推斷。變化六，從回答問題到提出問題，對應(yīng)素養(yǎng)：模型思想，數(shù)據(jù)觀念。問題：以矩形的邊為軸旋轉(zhuǎn)矩形得到什么圖形？圍繞長邊得到圖形的體積大，還是短邊。證明你的猜想。進一步提出問題：如果把矩形換成三角形呢？其他多邊形的情況呢？通過拓展問題的方式，培養(yǎng)學生思考問題的能力，想辦法讓學生思考，感悟到數(shù)學教學的本質(zhì)。
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