【09年江蘇省初中數(shù)學論文競賽一等獎】共30篇 - 初中數(shù)學論壇 - 中學數(shù)學教育論壇 -...
淺談初中數(shù)學教學中數(shù)學思想方法的滲透
淮安市第一中學 包士祥
內(nèi)容提要
數(shù)學思想方法是數(shù)學學科的精髓，是數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一，學生只有領會了數(shù)學思想方法，才能有效地應用知識，形成能力，從而為解決數(shù)學問題、進行數(shù)學思維起到很好的促進作用。
關鍵詞：數(shù)學思想 新課程標準 滲透
正文
《數(shù)學課程標準》在對第三學段（七—九年級）的教學建議中要求“對于重要的數(shù)學思想方法應體現(xiàn)螺旋上升的、不斷深化的過程，不宜集中體現(xiàn)”。這就要求我們教師能在實際的教學過程中不斷地發(fā)現(xiàn)、總結、滲透數(shù)學思想方法。
一、滲透化歸思想，提高學生解決問題的能力
所謂“化歸”是指把待解決或未解決的問題，通過轉化，歸結到已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去，最終使問題得到解決的一種思想方法。這體現(xiàn)了研究科學的一種基本思路，即把“不熟悉”遷移到“熟悉”的路子上去。我們也常把它稱之為“轉化思想”?？梢哉f化歸思想在本教材的數(shù)學教學中是貫穿始終的。
例如：在教材《有理數(shù)的減法》、《有理數(shù)的除法》這兩節(jié)內(nèi)容中，實際上教材是通過“議一議”形式使學生在自主探究和合作交流的過程中，讓學生經(jīng)歷把有理數(shù)的減法、除法轉化為加法、乘法的過程，體驗、學會并熟悉“轉化一求解”的思想方法。我們可以注意到教材在出示了一組例題后，特別用卡通人語言的形式表明“減法可以轉化為加法”、“除法可以轉化為乘法”、“除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”。這在主觀上幫助了學生在探索時進行轉化的過程，而在學生體會到成功后客觀上就滲透了學生化歸的思想。值得注意的是這個地方雖然很簡單，但我們教師不能因為簡單而忽視它，實踐告訴我們往往是越簡單淺顯的例子越能引來人們的認同，所以我們不能錯過這一絕佳的提高學生的思維品質的機會。再如教材《走進圖形世界》，它實際上是“空間與圖形”的最基本部分。教材在編排設計上是圍繞認識基本幾何體、發(fā)展學生空間觀念展開的，在過程上是讓學生經(jīng)歷圖形的變化、展開與折疊等數(shù)學活動過程的，在活動中引導學生認識常見的幾何體以及點、線、面和一些簡單的平面圖形；通過對某些幾何體的主視圖、俯視圖、左視圖的認識，在平面圖形與立體圖形的轉化中發(fā)展學生的空間觀念。在《七（上）教師教學參考資料用書》中，教材在設計思路上明確提出本章內(nèi)容的處理方法是“先空間、后平圖，再通過展開與折疊、從三個方向看數(shù)學活動進行平面圖形與立體圖形的轉化。”這就要求我們必須在授課過程中注意圖形的化歸思想滲透。我個人認為在實際操作中，因為大部分學生在小學時就積累一定的感性處理方法，我們要注意的就是將其上升為理論高度，甚至于作出一般性的總結，如“在初中階段絕大部分立體圖形的問題都可以轉化為平面圖形的問題。”又如解無理方程轉化為解有理方程，解分式方程轉化為解整式方程，解“二元”方程轉化為解“一元”方程，解多邊形問題轉化為解三角形問題等等。
二、滲透數(shù)形結合的思想方法，提高學生的數(shù)形轉化能力和遷移思維的能力
數(shù)形結合思想是指將數(shù)與圖形結合起來解決問題的一種思維方式。著名的數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。”這就是在強調把數(shù)和形結合起來考慮的重要性。把問題的數(shù)量關系轉化為圖形的性質，或者把圖形的性質轉化為數(shù)量關系，可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化。
在教材《有理數(shù)》里面用數(shù)軸上的點來表示有理數(shù)，就是最簡單的數(shù)形結合思想的體現(xiàn)，結合數(shù)軸表示有理數(shù)，能幫助學生較好地理解有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)等概念，以及進行兩個有理數(shù)的大小比較。
例1如上圖，在數(shù)軸上的兩點A、B表示的數(shù)分別為a、b，則表示下列結論正確的是（ ）
（A） （B）a-b＞0（C）2a+b＞0（D）a+b＞0
分析：本題首先引導學生根據(jù)a、b在數(shù)軸上的位置，得到a＜－1、0＜b＜1。值得注意的是這一步所得就是由形到數(shù)的過程，應引起學生思想上的關注。然后可以利用取特殊值的方法（如： ）,一一帶入求解，從而獲得答案。這就是完全將圖形遷移到數(shù)量上來。我們也可以繼續(xù)利用圖形，在數(shù)軸上作出諸如 b，2a的長度，再利用線段的長短大小、加減和差來比較（A）（B）（C）（D）四個數(shù)量關系的正確與否。
容易發(fā)現(xiàn)，不管是用哪一種方法，都是把圖形和數(shù)量結合起來的解題，這種巧妙的結合可以使一些紛繁無緒，難以上手的問題獲得簡解。
數(shù)形結合思想的滲透不能簡單的通過解題來實現(xiàn)和灌輸，應該落實在課堂教學的學習探索過程中，如在《相反數(shù)》這節(jié)課，先從互為相反數(shù)的兩數(shù)在數(shù)軸上的特征，即它們分別位于原點的兩旁，且與原點距離相等的實例出發(fā)，揭示這兩數(shù)的幾何形象。充分利用數(shù)軸幫助思考，把一個抽象的數(shù)的概念，化為直觀的幾何形象。在這種情況下給出互為相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)稱互為相反數(shù)。特別地規(guī)定：零的相反數(shù)是零。顯得自然親切，水到渠成。同時也讓學生在數(shù)形結合的思想方法的引領下感受到了成功，初步領略和嘗試了它的功用，是一個非常好的滲透背景。
又如，在教材《平面圖形的認識（一）》里我們會遇見這樣的問題：已知線段AB，在BA的延長線上取一點C使CA=3AB。（1）線段CB是線段AB的幾倍？（2）線段AC是線段CB的幾分之幾？
這個題目的呈現(xiàn)方式是圖形式，而設問內(nèi)容卻是一個數(shù)量問題。若學生不畫圖，則不易得到其數(shù)量關系，但學生只要把圖畫出，其數(shù)量關系就一目了然。此題的出題意圖即為數(shù)形結合的體現(xiàn)。
再看例2：完成下列計算：1+3=？
1+3+5=？
1+3+5+7=？
1+3+5+7+9=？
根據(jù)計算結果，探索規(guī)律。
在這題的教學中，首先應讓學生思考：從上面這些算式中你能發(fā)現(xiàn)什么？讓學生經(jīng)歷觀察（每個算式和結果的特點）、比較（不同算式之間的異同），歸納（可能具有的規(guī)律）、提出猜想的過程。在探索過程中可以鼓勵學生進行相互合作交流，也可以提供如下的幫助：
列出一個點陣，用圖形的直觀來幫助學生進行猜想。這就是典型的把數(shù)量問題轉化到圖形中來完成的題型。再如，在學習“函數(shù)”知識的時候，更是借助于函數(shù)的圖象來探討函數(shù)的知識，這是數(shù)形結合思想的最生動的應用。
所以，我們一定要通過課堂的教學、習題的講解使學生充分地理解數(shù)中有形、形中有數(shù)、數(shù)形是緊密聯(lián)系的，從而得到數(shù)形之間的對應關系，并引導學生應用數(shù)形結合的思想方法學習數(shù)學知識、解決數(shù)學問題。
三、滲透分類討論的思想方法，培養(yǎng)學生全面觀察事物、靈活處理問題的能力。
當被研究的問題包含多種可能的情況不能一概而論時，就要按照可能出現(xiàn)的各種情況進行分類討論，從而得出各種情況下的結論，這種處理問題的思維方法就是分類討論思想。
在滲透分類討論思想的過程中，我認為首要的是分類。要能培養(yǎng)學生分類的意識，然后才能在其基礎上進行討論。我們仔細分析教材的話應該不難發(fā)現(xiàn)，教材對于分類的滲透是一直堅持而又明顯的。比如在《有理數(shù)》研究相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)的乘法運算的符號法則等都是按有理數(shù)分成正數(shù)、負數(shù)、零三類分別研究的：在研究加、減、乘、除四種運算法則也是按照同號、異號、與零運算這三類分別研究的；而在《平面圖形的認識（一）》一章中，用分類討論思想進行了角的分類、點和直線的位置關系的分類、兩條直線位置關系的分類，在《函數(shù)》知識里將函數(shù)圖象分為開口方向向上、向下，單調遞增、遞減來進行研究。在《圓》中按圓心距與兩圓半徑之間的大小關系將兩圓的位置關系分成了六類。在功用上這種思想方法主要可以避免漏解、錯解，而在學生的思維品質上則有利于培養(yǎng)學生的思維嚴謹性與邏輯性。
我認為在滲透分類討論思想的時候，我們還可以從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，緊密聯(lián)系學生的生活實際、學習實際。比如在講解“同類項”這個概念時，可出示導入題為：
把下面這些實際進行分類：
蛋筒、菠蘿、棒冰、蘿卜、菜椒、香蕉、白菜。
在分類的時候鼓勵學生按多種類別進行分類，可以進行討論交流。學生在嘗試按種類、顏色等多種方法進行分類后，就可以非常自然的引出同類項這個概念了。學生嘗試按種類、顏色等多種方法進行分類，一方面可提供學生主動參與的機會，把學生的注意力和思維活動調節(jié)到積極狀態(tài)，另一方面可培養(yǎng)學生思維的靈活性，加速體現(xiàn)了分類的思想方法。
在《平面圖形的認識（一）》這一章中有這樣一道題：已知平面上三個點A、B、C，過其中每兩點畫直線共可以畫幾條？若平面上A、B、C、D四點呢？試分別畫圖說明。
分析：過平面上三點畫直線有兩種情況：（1）三點共線時，只能畫一條直線；（2）三點不共線時，可畫三條直線；過平面上四點畫直線有三種情況：（1）四點共線時，只能畫一條直線；（2）四點中有三點共線時，可畫四條直線；（3）四點中任意三點都不共線時，可畫六條直線。
再如例3：已知 =3， =2，求a+b的值。
解∵ =3， =2，
∴a=3或a=-3，b=2或b=-2。
因此，對于a、b的取值，應分四種情況討論。當a=3，b=2或a=3，b=-2或a=-3，b=2或a=-3，b=-2時，分別求出a+b的值為5；1；-1；-5。
這些題目都能很好的體現(xiàn)分類思想，在平時的訓練中，我們要多通過這類題的解答，滲透著分類討論的思想。通過分類討論，既能使問題得到解決，又能使學生學會多角度、多方面去分析、解決問題，從而培養(yǎng)學生思維的嚴密性、全面性。
四、滲透方程思想，培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力。
方程思想指借助解方程來求出未知量的一種解題策略。運用方程思想求解的題目在中考試題中隨處可見。同時，方程思想也是我們求解有關圖形中的線段、角的大小的重要方法。
如例4：已知線段AC：AB：BC=3：5：7，且AC+AB=16cm，求線段BC的長。
解：設AC=3x，則AB=5x，BC=7x，
因為AC+AB=16cm，
所以3x+5x=16cm，解得x=2
因此BC=7x=14cm
我們知道方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型。所以方程思想實際上就是由實際問題抽象為方程過程的數(shù)學建模思想。我們在以前老教材中經(jīng)常會提到三種模型，即方程模型、不等式模型、函數(shù)模型。實際上就是今天所說的建模的思想。那么這樣看來，方程就是第一個出現(xiàn)的數(shù)學基本模型。所以方程思想的領會與否直接關系到數(shù)學建模能力的大小。因此說我們對學生進行方程思想的滲透，就是對學生進行數(shù)學建模能力的培養(yǎng)，這對我們學生以后的學習都有著深遠的影響。
蘇科版七（上）教材在用方程解決問題的教學中，已經(jīng)提出不再以題型進行分類，而著重強調對實際問題的數(shù)量關系的分析，突出解決問題的策略。我想這樣的設計與安排正好就應和了我們對方程思想方法的滲透。我們在授課中可以引導學生借助圖表、示意圖、線段圖來分析題意，尋找已知量和未知量的關系。而它們之間的那個相等關系實際上就是方程模型，只要能把各個量帶入方程模型，問題就能得到解決了；另外我認為，方程的思想方法作為一種建模能力，應該體現(xiàn)在學生能自覺的去運用這種方法、手段（模型），這就要求我們能引導學生從身邊的實際問題出發(fā)自行創(chuàng)設、研究、運用方程。其實教材中也給了我們這方面的材料，比如教材《一元一次方程》章首的天平稱鹽活動、數(shù)學實際室月歷上的游戲等，都可以成為我們利用的情境。
五、滲透從特殊到一般的數(shù)學思想方法，加強學生創(chuàng)造性思維的形成和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)
從特殊到一般的數(shù)學思想方法，即先觀察一些特殊的事例，然后分析它們共同具有的特征，作出一般的結論。
新《數(shù)學課程標準》指出要發(fā)展學生的符號感，其中符號感的一個主要表現(xiàn)是要求學生能從具體情境中抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律，并用符號來表示，而列代數(shù)式是實現(xiàn)這一目標的具體途徑。
如用字母表示數(shù)，這是中學生學好代數(shù)的關鍵一步，要跨越這一步是有一定的困難的。從算術到代數(shù)，思維方式上要產(chǎn)生一個飛躍，有一個從量變到質變的發(fā)展過程，學生始終認為“－a是負數(shù)”，“兩個數(shù)的和大于其中任何一個加數(shù)”等，這樣就要求我們在教學中不斷滲透從特殊到一般的數(shù)學思想方法，不斷強化，逐步完成學生從數(shù)到式，由普通語言到符號語言，由特殊到一般，由具體到抽象的飛躍。
例5：1、填表：
若按照上圖的擺法擺放餐桌和椅子，完成下表：
桌子張數(shù) 1 2 3 …… n
可坐人數(shù)
若按照上圖的擺法擺放餐桌和椅子，完成下表：
桌子張數(shù) 1 2 3 …… n
可坐人數(shù)
2、變式問題：在桌數(shù)相同時哪一種擺法可坐人更多？
3、探索問題：
若你是一家餐廳的大堂經(jīng)理，由你負責在一個寬敞明亮的大廳里組織一次規(guī)模盛大的冷餐會，你會選擇哪種餐桌的擺法呢？
本題的設計是從學生熟悉的生活經(jīng)歷出發(fā)，選擇學生身邊的感興趣的問題大膽探索，使學生對生活的數(shù)學化有較好的體驗。在教學中我們先用特殊的具體數(shù)字總結出規(guī)律，再用一般的字母來表示。在這個過程中，并沒有直接把結果“拋”給學生，而是讓學生去探索、交流、歸納，經(jīng)歷從特殊到一般的知識形成過程，既促進了學生創(chuàng)造性思維的形成，也培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力。
新《數(shù)學課程標準》中說“有效的數(shù)學學習過程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應引導學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動”，所以無論是從特殊到一般的數(shù)學知識的歸納形成過程，還是從一般到特殊的數(shù)學知識的驗證應用過程，教師作為合作者、引導者，都應該提供足夠時間和空間，讓學生主動去從事各種數(shù)學活動，只有這樣才能突出學生的主體地位，獲得明顯的教學效果。
在七年級教材中還蘊涵著其它的一些常用的數(shù)學思想方法。比如：整體思想、數(shù)式通性的思想、“元”的思想等等。這些都要求我們在教學中要適時恰當?shù)貙?shù)學方法給予提煉和概括，讓學生有明確的印象；同時還要有意識地培養(yǎng)學生自我提煉、揣摩概括數(shù)學思想方法的能力，這們才能把數(shù)學思想、方法的教學落在實處。
數(shù)學思想方法是數(shù)學思想和數(shù)學方法的總稱。數(shù)學思想是對數(shù)學知識與方法形成的規(guī)律性的理性認識，是解決數(shù)學問題的根本策略。數(shù)學方法是解決問題的手段和工具。數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，只有掌握了數(shù)學思想方法，才算真正掌握了數(shù)學。因而，數(shù)學思想方法也應是學生必須具備的基本素質之一。我們在教學時，應充分挖掘由數(shù)學基礎知識所反映出來的數(shù)學思想和方法，設計數(shù)學思想方法的教學目標，結合教學內(nèi)容適時滲透、反復強化、及時總結，用數(shù)學思想方法武裝學生，使學生真正成為數(shù)學的主人。對于究竟應如何滲透，我認為沒有固定的方法可言，但是我們可以做到積極的挖掘與引導，適當?shù)挠柧毰c概括，合理的設計與運用，只要這樣長期堅持下去，一定能夠使學生較好的掌握數(shù)學思想方法，提高解題能力。
所以說從某種意義上講，數(shù)學思想方法的教學甚至比傳授知識更重要。因為思維的鍛煉不僅對學生在某一學科上有益，更使其終生受益。站在“以學生發(fā)展為本”的角度上看，在教學中適時適度滲透數(shù)學思想方法將對培養(yǎng)學生可持續(xù)發(fā)展的能力有極大的好處，正適合現(xiàn)在方興未艾的“素質教育”，其教學潛在價值更是不可估量的。
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