1．正確理解“三維目標(biāo)”
在參賽選手提供的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教學(xué)目標(biāo)的表述不盡一致。許多老師采用了“三維目標(biāo)”分別闡述的方式呈現(xiàn)目標(biāo)。
例1 “二元一次不等式表示平面區(qū)域”的教學(xué)目標(biāo)。
知識(shí)與技能：
(1)理解“同側(cè)同號(hào)”并掌握不等式區(qū)域的判定方法；
(2)能做出二元一次不等式表示的平面區(qū)域。
過(guò)程與方法：
(1)增強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想；
(2)理解數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
情感態(tài)度價(jià)值觀：
(1)通過(guò)學(xué)生的主動(dòng)參與、學(xué)生的合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的探索方法與精神；
(2)體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；
(3)體會(huì)由一般到特殊、由特殊到一般的思想。
例2 “基本不等式”的教學(xué)目標(biāo)。
知識(shí)技能：要求學(xué)生探索基本不等式的證明過(guò)程，了解其幾何意義，會(huì)解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題。
過(guò)程與方法：通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法。
情感態(tài)度價(jià)值觀：通過(guò)不同角度探究，培養(yǎng)學(xué)生積極嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和勇于探索的求知精神。
上述兩例，從積極的方面看，老師們已經(jīng)注意到教學(xué)目標(biāo)必須反映內(nèi)容特點(diǎn)，關(guān)注到顯性目標(biāo)與隱性目標(biāo)的不同。但這樣的表述，除了目標(biāo)分類不準(zhǔn)確、表達(dá)不確切（如把“由一般到特殊、由特殊到一般”的邏輯思考方法不恰當(dāng)?shù)貧w入情感領(lǐng)域，把“培養(yǎng)學(xué)生積極嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和勇于探索的求知精神”這樣的“放之四海而皆準(zhǔn)”的目標(biāo)作為一堂課的目標(biāo)。）等“技術(shù)性”問(wèn)題外，最大的問(wèn)題是混淆了課程目標(biāo)與課堂教學(xué)目標(biāo)的關(guān)系。
“三維目標(biāo)”是課程目標(biāo)而不是課堂教學(xué)目標(biāo)。“三個(gè)維度”具有內(nèi)在統(tǒng)一性，都指向人的發(fā)展，它們交融互進(jìn)。“知識(shí)與技能”只有在學(xué)生獨(dú)立思考、大膽批判和實(shí)踐運(yùn)用中，才能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的意義建構(gòu)；“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”只有伴隨著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)技能的反思、批判與運(yùn)用，才能得到升華；“過(guò)程與方法”只有學(xué)生以積極的情感、態(tài)度為動(dòng)力，以知識(shí)和技能目標(biāo)為適用對(duì)象，才能體現(xiàn)它的存在價(jià)值。
“三維目標(biāo)”是中學(xué)課程目標(biāo)的整體設(shè)計(jì)思路，反映了一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中的三個(gè)心理維度，但不是教學(xué)目標(biāo)的維度。在制定教學(xué)目標(biāo)時(shí)簡(jiǎn)單地套用“三個(gè)維度”將使課堂不堪重負(fù)。
教學(xué)目標(biāo)取決于教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，要在“三個(gè)維度”的指導(dǎo)下，綜合考慮高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)目的、內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生情況來(lái)確定。課堂教學(xué)不是為了體現(xiàn)課程目標(biāo)的“三個(gè)維度”而存在的，而是要具體而扎實(shí)地把數(shù)學(xué)課程內(nèi)容傳遞給學(xué)生，要以數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)為載體來(lái)促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，這樣才能真正實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”。
因此，一堂數(shù)學(xué)課的教學(xué)目標(biāo)，應(yīng)當(dāng)是以數(shù)學(xué)知識(shí)、技能為載體，在教學(xué)過(guò)程中開(kāi)展數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)，滲透情感、態(tài)度和價(jià)值觀的教育。只有在正確理解教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，才能制定出恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)。
例3 “基本不等式”的教學(xué)目標(biāo)——正確理解內(nèi)容的基礎(chǔ)上。
在制定教學(xué)目標(biāo)時(shí)我們首先應(yīng)思考：為什么把 ≤ （a,b≥0）叫做“基本不等式”？如何理解“基本”二字？我認(rèn)為，這一不等式反映了實(shí)數(shù)的兩種基本運(yùn)算（即加法和乘法）所引出的大小變化。這一簡(jiǎn)單樸實(shí)、平易近人的本質(zhì)，恰是這一不等式變化多端、妙用無(wú)窮的源頭，體現(xiàn)了運(yùn)算帶給數(shù)的巨大力量。這一本質(zhì)不僅可以從不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)上得到表現(xiàn)，而且也有幾何意義，由此而生發(fā)出的問(wèn)題在訓(xùn)練學(xué)生的代數(shù)推理能力和幾何直觀能力上都發(fā)揮了良好的作用。因此，必須從基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何意義兩方面入手，才能讓學(xué)生深刻理解它的本質(zhì)。
認(rèn)真仔細(xì)地分析教材的編寫(xiě)意圖，也是理解內(nèi)容的一個(gè)方面。“人教A版”通過(guò)趙爽弦圖引入對(duì)基本不等式的研究，并在代數(shù)證明的基礎(chǔ)上，通過(guò)“探究”引導(dǎo)學(xué)生討論基本不等式的幾何意義，從而理解為什么把基本不等式叫做“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系”。教科書(shū)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了如下過(guò)程。
首先，以“探究”引出問(wèn)題，經(jīng)過(guò)抽象得到趙爽弦圖，并且從圖中的面積關(guān)系得到不等式a2+b2≥2ab及其等號(hào)成立的條件，再進(jìn)一步地作變形（在a，b＞0的條件下用， 分別代換a，b）得到基本不等式；
其次，用分析法給出代數(shù)證明[如果用綜合法，要從(－ )2≥0開(kāi)始，思路不自然]，因?yàn)椴浑y，所以讓學(xué)生填空；
第三，以“探究”引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本不等式作幾何解釋，使學(xué)生有機(jī)會(huì)數(shù)形結(jié)合地進(jìn)一步認(rèn)識(shí)基本不等式。
因?yàn)榛静坏仁胶苤匾?，但只給代數(shù)證明非常乏味，所以教科書(shū)構(gòu)建了上述過(guò)程，這是與以往教材有很大區(qū)別的地方。
基于上述內(nèi)容理解，可以確定“基本不等式”的教學(xué)目標(biāo)：
(1)借助弦圖、實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)歷基本不等式模型的猜想過(guò)程，提高觀察能力，數(shù)學(xué)抽象能力；
(2)探索基本不等式的證明方法，掌握基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)及其使用條件；
(3)會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題（注重建模過(guò)程）。
這樣的目標(biāo)對(duì)教學(xué)有真正的定向作用，在課堂教學(xué)中緊緊圍繞目標(biāo)展開(kāi)教學(xué)，就能使課堂做到高效。
2. 圍繞概念的核心展開(kāi)教學(xué)
一段時(shí)間以來(lái)，大家對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性開(kāi)展了大量研究。如果在網(wǎng)上以“有效教學(xué)”為關(guān)鍵詞搜索，那么有效教學(xué)的論文數(shù)以萬(wàn)計(jì)，還有許多理論專著，有效教學(xué)研究可謂一片繁榮。然而，與之形成鮮明對(duì)照的是課堂教學(xué)的低效甚至無(wú)效。看來(lái)，“有效教學(xué)”的研究也有“無(wú)效”之虞。到底怎樣才能實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的有效性？我認(rèn)為，只有圍繞數(shù)學(xué)概念的核心展開(kāi)教學(xué)，在概念的本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法的理解上給予點(diǎn)撥、講解，讓學(xué)生在理解概念及其反應(yīng)的數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)上，對(duì)細(xì)節(jié)問(wèn)題、變化的問(wèn)題進(jìn)行深入思考，這樣才能實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)。因?yàn)楦拍畹暮诵?、思想方法是不容易把握的，這是教師發(fā)揮主導(dǎo)作用的重點(diǎn)所在；具體細(xì)節(jié)正好是鍛煉學(xué)生應(yīng)用概念解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，是促進(jìn)學(xué)生理解概念的平臺(tái)。那種事無(wú)巨細(xì)、包打天下的做法，要把所有細(xì)節(jié)、變化都在課堂上講完練完的企圖，最終只能把關(guān)鍵、重點(diǎn)、核心淹沒(méi)在細(xì)節(jié)的海洋中，不僅教學(xué)效果不佳，而且導(dǎo)致學(xué)生負(fù)擔(dān)沉重。
例4 “三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”的核心。
以往我們從“三角恒等變形”的角度理解三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，把它當(dāng)成是“將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)”的工具。教學(xué)中，因?yàn)檎T導(dǎo)公式太多，學(xué)生記不住，老師們又將之進(jìn)一步概括成為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。實(shí)踐表明，教學(xué)效果總不盡如人意。什么原因呢？
我認(rèn)為，主要原因在于這樣的教學(xué)沒(méi)有抓住“誘導(dǎo)公式”的核心。“其實(shí)，x＝cost和y＝sint是單位圓的自然的動(dòng)態(tài)（解析）描述。由此可以想到，正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對(duì)稱性）的解析表述。”誘導(dǎo)公式本質(zhì)上是圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性和軸對(duì)稱性的解析表述，它是三角函數(shù)的一條性質(zhì)——對(duì)稱性。圍繞“對(duì)稱性”這一核心展開(kāi)教學(xué)，就可以實(shí)現(xiàn)誘導(dǎo)公式教學(xué)的以簡(jiǎn)馭繁。
例如，學(xué)生在問(wèn)題“如果任意角α的引導(dǎo)下，可以容易地得到：β＝2kπ+π+α。由于α的終邊、β的終邊與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此sinβ＝sin(2kπ+π+α)＝sin(π+α)＝－sinα。的終邊與任意角β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么它們有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)又有什么關(guān)系？”
類似的，在問(wèn)題“如果αx軸對(duì)稱，它們有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)又有什么關(guān)系？關(guān)于y軸、或關(guān)于直線y=x、或關(guān)于直線y=－x對(duì)稱呢？”的引導(dǎo)下，可以容易地得到其他誘導(dǎo)公式。的終邊與β的終邊關(guān)于
總之，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教學(xué)的三個(gè)要點(diǎn)是：
依據(jù)——三角函數(shù)的定義；
思想方法——變換（旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱）；
工具——單位圓。
3.把引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題作為重要教學(xué)內(nèi)容
雖然老師們已經(jīng)意識(shí)到，課堂教學(xué)中必須注意教師主導(dǎo)取向的講授式與學(xué)生自主取向的活動(dòng)式的結(jié)合，而且注意使用“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”的教學(xué)，但學(xué)生只有回答老師提問(wèn)的機(jī)會(huì)而沒(méi)有提出問(wèn)題的機(jī)會(huì)的做法仍需要進(jìn)一步改進(jìn)。教師要給學(xué)生以提問(wèn)的示范，目的是使學(xué)生“看過(guò)問(wèn)題三百個(gè)，不會(huì)解題也會(huì)問(wèn)”。要把引導(dǎo)學(xué)生提問(wèn)，使學(xué)生在獨(dú)立思考后提出有質(zhì)量的數(shù)學(xué)問(wèn)題作為學(xué)生活動(dòng)的重要內(nèi)容。那種“構(gòu)建模型我來(lái)干，你要做的就是算”的做法，擠壓了學(xué)生獨(dú)立思考的空間，剝奪了學(xué)生實(shí)質(zhì)性思考的機(jī)會(huì)。
如何實(shí)現(xiàn)“讓學(xué)生提問(wèn)”呢？我認(rèn)為，如果注意“先行組織者”的使用，在研究方法上多加指導(dǎo)，給學(xué)生提供類比的對(duì)象和方法，就能使學(xué)生自己提問(wèn)。
例5 如何判定兩個(gè)平面平行——通過(guò)類比提出問(wèn)題。
指導(dǎo)思想：類比兩條直線平行的判定，提出兩個(gè)平面平行的判定的猜想，再給出證明。
問(wèn)題1 前面我們已經(jīng)得到了一些判定兩個(gè)平面平行的方法，請(qǐng)你回顧已有的兩個(gè)平面平行的判定定理，你能說(shuō)說(shuō)得到這些判定定理的思想方法嗎？
——定義法（由于兩個(gè)平面上的點(diǎn)是無(wú)窮的，因此“沒(méi)有公共點(diǎn)”不容易說(shuō)清楚，不好用）；
——化歸為直線與平面平行（由平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β平行得到α∥β，實(shí)際上利用了“兩條相交直線確定一個(gè)平面”，應(yīng)用了化未知為已知的思想，降維的方法）。
先行組織者：從前面學(xué)習(xí)直線、平面位置關(guān)系的判定可知，判定方法不唯一。你有沒(méi)有想過(guò)別的判定方法？在研究問(wèn)題時(shí)，類比、推廣、特殊化等是獲得研究成果的常用方法。
問(wèn)題2 類比兩條直線相互平行的判定，能否得到一些猜想？
學(xué)生可能得到：
類比“同一平面內(nèi)，直線a，b同時(shí)平行于直線c，則a∥b”，猜想“如果平面α，β 同時(shí)平行于平面 γ，則α∥β”。通過(guò)證明可得這一命題是正確的。
類比“同一平面內(nèi)，直線a，b同時(shí)垂直于直線c，則a∥b”，猜想“如果平面α，β 同時(shí)垂直于平面 γ，則α∥β”。通過(guò)舉反例，發(fā)現(xiàn)這一命題是錯(cuò)誤的。教師可進(jìn)一步提示：將其中的若干條直線換為平面再試試？可得“如果平面α，β 同時(shí)垂直于直線c，則α∥β”，這是一個(gè)正確的命題。
另外，還可以通過(guò)類比“兩條直線與第三條直線相交，同位角（內(nèi)錯(cuò)角）相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則兩直線平行”，得出一些判定兩個(gè)平面平行的判定方法。
4.“概念+數(shù)學(xué)思想方法”P(pán)K“題型+技巧”
在我們的數(shù)學(xué)課堂中，解題教學(xué)歷來(lái)是重點(diǎn)、核心。教師常常把注意力集中在“題型”及其技巧上，許多老師分不清技巧與思想方法的界限，錯(cuò)誤地把技巧當(dāng)成思想方法，而且往往把技巧直接告訴學(xué)生，再讓學(xué)生通過(guò)模仿訓(xùn)練記住技巧，而對(duì)技巧的來(lái)龍去脈則語(yǔ)焉不詳特別是對(duì)蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，因其是一種潛移默化、潤(rùn)物無(wú)聲的“慢工”，被有些老師判為“不實(shí)惠”而得不到應(yīng)有的滲透、提煉和概括。結(jié)果是在稍有變化的情境中，因?yàn)闆](méi)有數(shù)學(xué)思想方法的支撐，“特技”失靈，“動(dòng)作”變形，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力成為“泡影”。在“能力立意”的高考中出現(xiàn)“講過(guò)練過(guò)的不一定會(huì)，沒(méi)講沒(méi)練的一定不會(huì)”的結(jié)局就不足為奇了。
實(shí)際上，技巧往往是“可以意會(huì)不可言傳”的，是不可復(fù)制的，而且掌握技巧需要付出大量時(shí)間、精力的代價(jià)，這是得不償失的。大眾數(shù)學(xué)教育是普及性的，目的是培養(yǎng)公民的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就像平時(shí)鍛煉身體不需要專業(yè)運(yùn)動(dòng)技巧一樣，并不需要太多高超的解題技巧，教學(xué)時(shí)也很難用富有啟發(fā)性的語(yǔ)言予以傳授。因此，技巧，雕蟲(chóng)小技也，不足道也！概念及其蘊(yùn)含的思想方法才是根本大法！我們要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)及其蘊(yùn)含的思想方法教學(xué)的重要性，無(wú)知者無(wú)能，在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)沒(méi)有基本理解時(shí)就進(jìn)行解題訓(xùn)練是盲目的，也是注定低效的。解題訓(xùn)練應(yīng)針對(duì)概念的理解和應(yīng)用，要讓學(xué)生養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣。另外，解題的靈活性來(lái)源于概念的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，技巧是不可靠的，因此要加強(qiáng)概念的聯(lián)系性，從概念的聯(lián)系中尋找解決問(wèn)題的新思路。
例6 如何講“比較1.70.3與0.93.1的大小”。
這是教科書(shū)為了鞏固指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)而設(shè)置的一個(gè)練習(xí)。在此之前有兩個(gè)小題為“比較1.72.5和1.73，0.8－0.1和0.8－0.2的大小。”由于這兩個(gè)小題可以通過(guò)直接構(gòu)造一個(gè)指數(shù)函數(shù)，并利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性做出判斷，因此比較簡(jiǎn)單。但本小題的底數(shù)、指數(shù)都不同，無(wú)法構(gòu)造一個(gè)指數(shù)函數(shù)而直接得解，于是有的老師就說(shuō)：“這類題目就是要找一個(gè)中間量來(lái)比大小，這個(gè)量一般是1……”這樣的講解，離開(kāi)了指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，使這個(gè)“中間量 1”成為一個(gè)“從天而降”的神秘物，變得無(wú)依無(wú)靠、不可琢磨。
實(shí)際上，我們完全可以從指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)中找到思路，形成解題的突破口：對(duì)于任意指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1），它們都有一個(gè)共性a0=1，這就是“中間量1”的來(lái)源。因此，引導(dǎo)學(xué)生回到概念去，回到基本原理去，不僅能找到解題思路，而且能使思考過(guò)程更合理、更高效。
5. 怎樣進(jìn)行“思維的教學(xué)”
眾所周知，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)是思維的體操。數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)之一是要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)感知、觀察、歸納、類比、想象、抽象、概括、推理、證明和反思等邏輯思考的基本方法。從課堂教學(xué)現(xiàn)狀看，許多老師還沒(méi)有掌握“思維的教學(xué)”的基本方法，不能有效地抓住“思維的教學(xué)”的時(shí)機(jī)。
思維發(fā)展心理學(xué)的研究表明，概括是人們掌握概念的直接前提；概括是思維的速度、靈活遷移程度、廣度和深度、創(chuàng)造程度等思維品質(zhì)的基礎(chǔ)；概括是科學(xué)研究的關(guān)鍵機(jī)制；學(xué)習(xí)和應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程也是概括的過(guò)程；數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的基礎(chǔ)，概括能力的訓(xùn)練是數(shù)學(xué)思維能力訓(xùn)練的基礎(chǔ)；概括與歸納、類比等直接相關(guān)，是培養(yǎng)創(chuàng)造力的基礎(chǔ)。因此，“思維的教學(xué)”的基本方法是以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體，為學(xué)生的概括活動(dòng)搭建平臺(tái)，千方百計(jì)地給學(xué)生提供概括的機(jī)會(huì)，鍛煉學(xué)生的概括能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)概括。特別要注意在概括的關(guān)鍵環(huán)節(jié)上放手讓學(xué)生自主活動(dòng)。
例7 “二元一次不等式表示平面區(qū)域”的概括活動(dòng)。
本課有兩個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：一是獲得“同側(cè)同號(hào)”的猜想；二是獲得證明猜想的方法[過(guò)點(diǎn)P(x0 ，y0 )作x軸的垂線，交直線Ax+By+C=0于Q(x1 ，y1 )，通過(guò)比較y0 ，y1 的大小而得]。
引導(dǎo)學(xué)生猜想“同側(cè)同號(hào)”時(shí)，許多老師先讓學(xué)生在平面上任意找?guī)讉€(gè)點(diǎn)，將坐標(biāo)代入Ax+By+C，觀察取值符號(hào)與點(diǎn)的位置的關(guān)系，然后再用信息技術(shù)演示。這是一個(gè)很好的設(shè)計(jì)，但老師在實(shí)施過(guò)程中，不是用“在取值符號(hào)與點(diǎn)的位置的關(guān)系上，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？”引導(dǎo)學(xué)生自己得出結(jié)論，而是說(shuō)：“同學(xué)們發(fā)現(xiàn)沒(méi)有，在直線Ax+By+C=0同側(cè)的點(diǎn)，坐標(biāo)代入Ax+By+C后取值的符號(hào)相同？這就是‘同側(cè)同號(hào)’。”貌似“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)”，實(shí)則“包辦代替”，剝奪了學(xué)生獨(dú)立思考、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的機(jī)會(huì)。
在證明“同側(cè)同號(hào)”時(shí)，老師讓學(xué)生先自己獨(dú)立證明，再全班交流。這樣安排也是好的。問(wèn)題是：許多學(xué)生不是自己獨(dú)立想出證明方法，而是通過(guò)看書(shū)，看“懂了”說(shuō)出來(lái)的。這時(shí)該怎樣進(jìn)行“思維的教學(xué)”呢？該如何引導(dǎo)學(xué)生的思維呢？許多老師的做法是：（面向全體學(xué)生）他說(shuō)的對(duì)不對(duì)？大家聽(tīng)懂了嗎？在學(xué)生回答“對(duì)”“懂了”以后，結(jié)束證明，進(jìn)入解題訓(xùn)練。顯然，這樣做達(dá)不到“思維的教學(xué)”的目的。
我認(rèn)為，在學(xué)生說(shuō)出“過(guò)點(diǎn)P(x0 ，y0 )作垂直于x軸的垂線，交直線Ax+By+C=0于Q(x1 ，y1 )……”以后，必須追問(wèn)一下：你是怎么想到的？這樣才能把學(xué)生的“似懂非懂”暴露出來(lái)，從而把學(xué)生的思維引向深入，產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性思考。
實(shí)際上，這一方法的正確性容易理解，但思想比較深刻，因?yàn)樗褍蓚€(gè)看上去沒(méi)有關(guān)聯(lián)的對(duì)象聯(lián)系起來(lái)，要有較強(qiáng)的“坐標(biāo)法”思想和化歸能力。這是一個(gè)“不是做不到，而是想不到”的方法。從思維過(guò)程看，要思考：如何建立點(diǎn)P(x0 ，y0 )與直線Ax+By+C=0的聯(lián)系？如何用代數(shù)語(yǔ)言（不等式）把點(diǎn)P(x0 ,y0 )在直線Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”、“左下方”、“右上方”等圖形語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)？引導(dǎo)學(xué)生思維的深入也正是在這幾個(gè)點(diǎn)上：
如圖，“點(diǎn)P(x0 ，y0 )在直線l：Ax+By+C=0的左上方”，如何用坐標(biāo)將這種位置關(guān)系表示出來(lái)？
如果學(xué)生想不出來(lái)，可以進(jìn)一步提問(wèn)：點(diǎn)P在直線l的左邊（上方），圖形上如何表示？這時(shí)學(xué)生就可能想到“過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交直線l于Q(x1 ，y1 )，則有x0＜x1 。”
順便提及，要搞好“思維的教學(xué)”，關(guān)鍵是教師自己先要理解好數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，教師自己要成為善于思考者。
6. 如何進(jìn)行課堂小結(jié)
從本次活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，課堂小結(jié)問(wèn)題還有進(jìn)一步研究的必要。許多老師在小結(jié)時(shí)的第一個(gè)問(wèn)題是“通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？”這樣的問(wèn)題過(guò)于寬泛，學(xué)生的回答往往是“使我知道了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活是緊密聯(lián)系的”，“數(shù)學(xué)是有趣的”，“數(shù)學(xué)奇妙無(wú)窮的”，“我學(xué)會(huì)了數(shù)形結(jié)合思想”……大話、空話、套話甚至是假話滿天飛，這種沒(méi)有以本課內(nèi)容為載體的“收獲”是虛無(wú)飄渺的。
我們認(rèn)為，小結(jié)的主要任務(wù)是歸納本課內(nèi)容，提煉思想方法，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。要提高小結(jié)環(huán)節(jié)的教學(xué)立意，應(yīng)當(dāng)圍繞本課的內(nèi)容及其反應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，以知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程為線索展開(kāi)，通過(guò)小結(jié)使學(xué)生頭腦中形成關(guān)于本課內(nèi)容的一個(gè)清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)（包括相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系）。特別是，要把認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的“基本套路”、解決問(wèn)題的“基本思路”等納入其中。另外，在總結(jié)“學(xué)到了什么”的同時(shí)，還要總結(jié)“哪些地方?jīng)]有學(xué)好、沒(méi)學(xué)會(huì)”。
例8 “直線的傾斜角與斜率”的小結(jié)。
解析幾何是方法論。本課內(nèi)容是解析幾何的起始課，具有“統(tǒng)領(lǐng)全局”的作用．因此，本課的小結(jié)應(yīng)體現(xiàn)出這一地位，讓學(xué)生能從“方法論”的高度體驗(yàn)坐標(biāo)法的真諦。具體有如下幾個(gè)方面：
(1)以傾斜角（形）與斜率（數(shù)）的相互關(guān)聯(lián)為載體，概括用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的基本思想，讓學(xué)生體會(huì)在直角坐標(biāo)系下“以數(shù)論形”的基本過(guò)程和方法；
(2)總結(jié)以直角坐標(biāo)系為“參照系”確定一條直線的幾何要素與平面幾何中確定直線的條件的差異，讓學(xué)生體會(huì)借助坐標(biāo)系討論幾何問(wèn)題的基本方法（坐標(biāo)系給出了一個(gè)“基準(zhǔn)”）；
(3)歸納“傾斜角—斜率—斜率公式的坐標(biāo)表示”的研究過(guò)程，使學(xué)生掌握用代數(shù)方法刻畫(huà)直線斜率的方法，特別是讓學(xué)生說(shuō)明分四種情況討論的必要性以及將它們歸結(jié)為一個(gè)公式的過(guò)程；
(4)借助過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式，明確斜率存在的條件。
從更深層次考慮，上述做法更本質(zhì)的是“數(shù)學(xué)育人”．?dāng)?shù)學(xué)課堂應(yīng)始終把育人目標(biāo)放在首位，當(dāng)然要將它融入知識(shí)的教學(xué)中．本課承擔(dān)著讓學(xué)生初步體會(huì)坐標(biāo)法思想的重任，直線是最簡(jiǎn)單的幾何圖形，傾斜角與斜率是簡(jiǎn)單但能很好地反映解析幾何“用代數(shù)的方法刻畫(huà)幾何對(duì)象”的載體，因此，本課的教學(xué)必須要有“交代問(wèn)題背景、引入研究方法、構(gòu)建研究藍(lán)圖”的大氣．要讓學(xué)生感受到坐標(biāo)法的基本特點(diǎn)，體會(huì)到用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的基本套路，進(jìn)而提高提出問(wèn)題、研究問(wèn)題的能力，這樣才算充分挖掘了本課內(nèi)容的育人資源，才算體現(xiàn)了傾斜角與斜率概念的教學(xué)價(jià)值．
7. 充分認(rèn)識(shí)教材在教學(xué)中的地位
當(dāng)前，教師誤解“用教材教”“創(chuàng)造性地使用教材”的課改理念，不下功夫深入研讀教材，在沒(méi)有準(zhǔn)確理解教材編寫(xiě)意圖的情況下就隨意地刪減、補(bǔ)充或更改教材內(nèi)容，有的甚至輕率地脫離教材進(jìn)行教學(xué)，以那些粗制濫造的教輔資料為依據(jù)進(jìn)行教學(xué)。這樣做的結(jié)果是使教學(xué)失去基本依據(jù)，數(shù)學(xué)課堂變得沒(méi)有章法。這種做法，只考慮“應(yīng)試”而不顧學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，不重視教材，不要求學(xué)生精心閱讀課本，把大部分時(shí)間花費(fèi)在做教輔資料的題目上，已經(jīng)導(dǎo)致學(xué)生會(huì)解題但不會(huì)提問(wèn)，會(huì)模仿解題技巧而不會(huì)讀書(shū)、不會(huì)獨(dú)立思考。因此，這種局面必須引起我們的高度警覺(jué)，并下大力氣扭轉(zhuǎn)。作為優(yōu)秀教師，應(yīng)當(dāng)注意到：
第一，一定要正確理解“用教材教”“創(chuàng)造性地使用教材”的內(nèi)涵。這是針對(duì)“照本宣科”而言的，絕對(duì)不是提倡“脫離教材”搞教學(xué)。
第二，教材的“基礎(chǔ)性”與高考的“選拔性”確有一定的目標(biāo)差異，但學(xué)好教材一定是高考取得好成績(jī)的前提，教師的主要精力應(yīng)放在幫助學(xué)生熟練掌握教材內(nèi)容上。
第三，理解教材是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的前提，而“理解教材”的第一要義是“理解數(shù)學(xué)”。了解數(shù)學(xué)概念的背景，把握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法，挖掘知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維過(guò)程和價(jià)值觀資源，區(qū)分核心知識(shí)和非核心知識(shí)等都是教師的基本功。
第四，要仔細(xì)分析教材編寫(xiě)意圖。教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序是反復(fù)考量的，語(yǔ)言是字斟句酌的，例題是反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細(xì)選的。因此，在處理教材時(shí)，內(nèi)容順序的調(diào)整要十分小心（否則容易導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)的偏離），例子可以根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)和當(dāng)?shù)亟虒W(xué)環(huán)境替換，但所換的例子要反映教科書(shū)的意圖，要能承載書(shū)上例子的教學(xué)任務(wù)。
三、結(jié)束語(yǔ)：把教研作為一種生活方式
本項(xiàng)活動(dòng)在我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育界具有很大影響力，已成為研究課堂教學(xué)問(wèn)題，探討課堂教學(xué)規(guī)律，提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效益，促進(jìn)教師專業(yè)化發(fā)展的重要平臺(tái)。“重在參與，重在過(guò)程，重在交流，重在研究”的活動(dòng)宗旨深入人心。我們欣喜地看到，本項(xiàng)活動(dòng)模式上不斷創(chuàng)新，質(zhì)量不斷提高。所有這些都得益于大家的共同智慧和創(chuàng)造，得益于各會(huì)員單位在準(zhǔn)備過(guò)程中不斷加強(qiáng)和完善過(guò)程性、研究性，將本項(xiàng)活動(dòng)宗旨具體化。在這幾天的展示與觀摩活動(dòng)期間，做到了錦上添花，把各地的研究成果充分展示出來(lái)，通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)互動(dòng)交流，進(jìn)一步發(fā)揮了這些成果的引領(lǐng)、示范作用。
教師專業(yè)化發(fā)展是一個(gè)沒(méi)有止境的過(guò)程，要求廣大教師把教學(xué)研究作為自己的生活常態(tài)甚至是一種生活方式，這是為人師表需要的一種態(tài)度，也是教師應(yīng)具備的一種職業(yè)精神。做教研要有“默而識(shí)之，學(xué)而不厭，誨人不倦”的態(tài)度和精神：教研不是為了表演、作秀，要靜下心來(lái)，心無(wú)旁騖，要默默然領(lǐng)會(huì)在心，也就是要“默而識(shí)之”；教研還要有“學(xué)而不厭”的精神，因?yàn)樗荒茏屇闵侔l(fā)財(cái)，更多的是“枯燥乏味”，甚至費(fèi)九牛二虎之力而難入其門，很多老師也因此而放棄，但這正是進(jìn)步的開(kāi)端，因此做教研要有“面壁十年”的準(zhǔn)備；當(dāng)教師必須有“誨人不倦”的態(tài)度，當(dāng)今的教育，受功利化社會(huì)環(huán)境的污染，已經(jīng)忘記了自己“教書(shū)育人”的根本職責(zé)，家長(zhǎng)、社會(huì)、行政部門以“教育GDP”（升學(xué)率）論英雄，這種社會(huì)氛圍十分令人生厭。數(shù)學(xué)教學(xué)也不能置身事外，教師為了分?jǐn)?shù)而不得不讓學(xué)生進(jìn)行大運(yùn)動(dòng)量機(jī)械重復(fù)訓(xùn)練，而數(shù)學(xué)的育人本分（培養(yǎng)思維能力、發(fā)展理性精神）則被拋到九霄云外，這種沒(méi)有思想、沒(méi)有靈魂的教育已經(jīng)“造就”了大批只會(huì)解題不會(huì)讀書(shū)的學(xué)生。在這樣的環(huán)境下，一個(gè)真正的數(shù)學(xué)教師，必須懷有一種菩薩心腸，無(wú)私地?zé)釔?ài)學(xué)生；還要有普度眾生的學(xué)識(shí)、精神、耐心、耐力，不厭其煩地把自己掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和領(lǐng)悟到的思想、精神傳遞給學(xué)生。惟有堅(jiān)持“誨人不倦”的精神，我們才能在盡教書(shū)育人職責(zé)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)自己的人生價(jià)值，找到人生樂(lè)趣。
愿廣大數(shù)學(xué)教師真心誠(chéng)意地?zé)釔?ài)教研，專心致志地研究教學(xué)，在教學(xué)過(guò)程中，隨時(shí)隨地思考，隨時(shí)隨地發(fā)現(xiàn)，隨時(shí)隨地實(shí)踐，隨時(shí)隨地體驗(yàn)，隨時(shí)隨地領(lǐng)悟，隨時(shí)隨地反省。這是教研的真諦，也是教好書(shū)、做好人的真諦。
