（二）教材結(jié)構(gòu)體系的變革
數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有很強(qiáng)的前后邏輯關(guān)系，數(shù)學(xué)是所有學(xué)科中系統(tǒng)性最強(qiáng)的學(xué)科。眾所周知，加法必須先于減法與乘法，除法與乘方只能在乘法之后，由乘方而導(dǎo)出開(kāi)方從而完成代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)；同樣，整數(shù)而后有理數(shù)再到實(shí)數(shù)，整式、分式、根式，依運(yùn)算的逐級(jí)發(fā)展而順序出現(xiàn)，而后有了指數(shù)與對(duì)數(shù)；相應(yīng)地，方程與不等式、函數(shù)順序而出，并從一次到二次再到高次、由一元到二元再到多元依次發(fā)展，數(shù)和式的運(yùn)算、方程、函數(shù)相互交錯(cuò)，成了中小學(xué)代數(shù)的一個(gè)體系。幾何也一樣，它是人類完成的第一個(gè)公理體系，從圖形的一些“原始概念”出發(fā)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，依次研究點(diǎn)、直線、角、三角形、四邊形和圓等的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、大小度量以及相互之間的位置關(guān)系等，形成了一個(gè)平面幾何的概念、原理的體系。從公理體系的要求，一個(gè)科學(xué)的體系必須達(dá)到概念不能循環(huán)定義、命題不能循環(huán)論證。也就是說(shuō)，不能用后面的概念來(lái)定義前面的概念，前面的命題不能用后面的命題來(lái)證明，這就是系統(tǒng)的邏輯性。因?yàn)橹挥羞@樣的邏輯嚴(yán)格性，才有結(jié)論的確定性和真理性。中小學(xué)數(shù)學(xué)不可能采用嚴(yán)格的公理體系，但邏輯性是必須遵守的，否則要犯科學(xué)性錯(cuò)誤。而且這種邏輯性也是數(shù)學(xué)的教育價(jià)值之所在，構(gòu)建科學(xué)的教材結(jié)構(gòu)體系的目的就是要訓(xùn)練學(xué)生思維的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性。因此，構(gòu)建符合數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展邏輯，并與學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)的教材結(jié)構(gòu)體系，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)理解至關(guān)重要，而且關(guān)系到數(shù)學(xué)學(xué)科的教育價(jià)值是否能得到充分發(fā)揮。所以，中國(guó)的教材編者十分重視教材結(jié)構(gòu)體系問(wèn)題。
50年來(lái)，在數(shù)學(xué)教材結(jié)構(gòu)體系方面一直存在不同觀點(diǎn)，主要涉及兩個(gè)問(wèn)題：一是分科直線式好，還是混合遞進(jìn)式好；二是以怎樣的思想貫穿始終？
1．結(jié)構(gòu)體系的構(gòu)建原則
關(guān)于教材的結(jié)構(gòu)體系，在1963年的教學(xué)大綱中規(guī)定了如下幾條原則[1，435-436]：
（1）注重?cái)?shù)與數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系、形與形的內(nèi)在聯(lián)系，以及數(shù)與形的聯(lián)系與區(qū)別；
（2）注意學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程和接受能力；
（3）小學(xué)、初中和高中分段、各有重點(diǎn)；
（4）與理化等相鄰學(xué)科的配合。
上述原則比較全面地考慮了數(shù)學(xué)各科內(nèi)容的關(guān)系、學(xué)生認(rèn)知規(guī)律以及與相鄰學(xué)科的關(guān)系等，因此成為構(gòu)建教材結(jié)構(gòu)體系的基本指導(dǎo)思想。
2．分科與混編
小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容以整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則計(jì)算為主，也有簡(jiǎn)單幾何形體的認(rèn)識(shí)，但它們的周長(zhǎng)、面積和體積的計(jì)算也與計(jì)算相關(guān)，因此小學(xué)不分科。中學(xué)數(shù)學(xué)是分科還是混編，一直存在不同意見(jiàn)。普遍的共識(shí)是：各種數(shù)量關(guān)系、各種空間形式，都有各自的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)量關(guān)系和空間形式之間又有相互聯(lián)系。中學(xué)數(shù)學(xué)的設(shè)科，究竟以哪一種聯(lián)系為主，應(yīng)該看怎樣才便于學(xué)生掌握數(shù)量關(guān)系和空間形式的一系列的規(guī)律。分歧在于“哪一種聯(lián)系有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)規(guī)律”。
主張混編的認(rèn)為，把代數(shù)和幾何整合成一個(gè)教學(xué)系統(tǒng)，可以使數(shù)形結(jié)合便于用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)思想貫穿教材；可以加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性，有利于學(xué)生從整體上把握所學(xué)內(nèi)容；便于內(nèi)容的整合，有利于減少知識(shí)內(nèi)容的頭緒，有利于數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用；便于教材編寫(xiě)者靈活安排內(nèi)容；等[4，419]。
主張分科的認(rèn)為，“因?yàn)榇鷶?shù)和幾何各自的內(nèi)在聯(lián)系，比代數(shù)和幾何之間的相互聯(lián)系更為密切，并且研究代數(shù)和幾何的方法也有所不同，所以代數(shù)和幾何分科講授，更便于學(xué)生循序前進(jìn)地、牢固地掌握代數(shù)和幾何的一系列的規(guī)律。但是在安排教學(xué)內(nèi)容時(shí)，必須注意代數(shù)和幾何兩科的相互配合，注意數(shù)和形的適當(dāng)結(jié)合，避免各科孤立，互不聯(lián)系”[1，436]。
總之，兩種方式都有各自的優(yōu)點(diǎn)，但也有各自的缺點(diǎn)。例如，分科安排雖然使各科自身系統(tǒng)、完整了，但帶來(lái)的問(wèn)題是繁瑣、費(fèi)時(shí)、缺乏數(shù)與形結(jié)合所帶來(lái)的高觀點(diǎn)等。
上述兩種觀點(diǎn)，后一種占上風(fēng)，因此“按分科編排”成為中學(xué)數(shù)學(xué)教材的“習(xí)慣”。不過(guò)在實(shí)際教學(xué)中，并不是“學(xué)完代數(shù)再學(xué)幾何”，而是代數(shù)、幾何并行。例如，初一設(shè)代數(shù)，初二、初三代數(shù)、幾何并行，每周代數(shù)、幾何各3課時(shí)；高一代數(shù)、立體幾何并行，高二代數(shù)、解析幾何并行等。從實(shí)踐的效果看，這樣安排“對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對(duì)整個(gè)初中課程安排都是有利的” [10，196]。
3．各科內(nèi)容的安排
各科內(nèi)容如何安排的問(wèn)題，始終是教材編寫(xiě)的核心問(wèn)題之一。50年來(lái)，教材編寫(xiě)者對(duì)這一問(wèn)題的研究沒(méi)有間斷過(guò)。比較典型的思想體現(xiàn)在1963年開(kāi)始使用的那套教材中，其內(nèi)容安排和思想主線如下[4，294；1，436-438]：
（1）代數(shù)教材，初中先講有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式、一次方程、二次方程、代數(shù)式的恒等變形和列方程解方程的基礎(chǔ)，然后講函數(shù)的初步知識(shí)。這樣，由常量到變量，既符合數(shù)的發(fā)展過(guò)程，也符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程。到高中，先在初中代數(shù)的基礎(chǔ)上，把數(shù)的范圍擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，把代數(shù)式、方程、不等式的知識(shí)拓廣加深；然后再講數(shù)列極限、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，把函數(shù)知識(shí)加以概括和提高，使學(xué)生全面地掌握初等函數(shù)的知識(shí)；最后講數(shù)學(xué)歸納法、排列、組合、二項(xiàng)式定理、概率、行列式。
（2）幾何教材，根據(jù)圖形性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從平面到立體進(jìn)行安排。內(nèi)容安排突出圖形的最主要的性質(zhì)，以便學(xué)生以簡(jiǎn)馭繁地掌握幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)注意和代數(shù)的配合。平面幾何先安排直線、三角形、四邊形等直線圖形的位置關(guān)系和相等、不等關(guān)系，再安排圓，然后安排相似形以及需要以相似三角形為基礎(chǔ)的三角初步知識(shí)，最后安排正多邊形、圓的周長(zhǎng)和面積。在安排直線圖形時(shí)，為使有關(guān)三角形相等、不等的知識(shí)集中在一起，以便于學(xué)生掌握，所以先安排平行線，再安排三角形。立體幾何先安排空間的直線和平面，然后安排多面體、旋轉(zhuǎn)體。在講空間的直線和平面的位置關(guān)系時(shí)，為了便于學(xué)生掌握，按照線線、線面、面面的位置關(guān)系編排。
（3）平面解析幾何，為了使學(xué)生對(duì)已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，把數(shù)和形的研究緊密地結(jié)合起來(lái)，提高他們綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，同時(shí)更有利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，為以后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，因此將它安排在高中階段的最后。內(nèi)容安排先講直角坐標(biāo)，再講極坐標(biāo)；先講直線，再講圓錐曲線；先講標(biāo)準(zhǔn)方程，再講一般方程。在講圓錐曲線時(shí)，為了便于學(xué)生掌握，按照?qǐng)A、橢圓、雙曲線、拋物線的順序編排。
4．局部成塊安排與局部穿插安排
由于教材編寫(xiě)者對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系方式的看法不同，因此在代數(shù)、幾何各科內(nèi)容的體系構(gòu)建上還有不同的做法。
例如，中學(xué)代數(shù)內(nèi)容，在1959年之前，在整體上按照“數(shù)──式──方程──函數(shù)”作整塊安排，其結(jié)構(gòu)體系是：
初中：算術(shù)──代數(shù)式、方程（一般概念）──正負(fù)數(shù)（即有理數(shù)）──整式──多項(xiàng)式的因式分解──代數(shù)分式──一元一次方程──聯(lián)立一次方程（即二元一次方程組）──開(kāi)平方；
高中：冪與方根──二次方程──函數(shù)及其圖像（正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)）──二元二次聯(lián)立方程──數(shù)列──指數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)──排列、組合和二項(xiàng)式定理──復(fù)數(shù)──不等式──高次方程。
1963年，代數(shù)的結(jié)構(gòu)體系變?yōu)椋?/span>
初中：有理數(shù)──整式──一元一次方程──一元一次不等式──因式分解──分式──可化為一元一次方程的分式方程──比和比例──一次方程組──數(shù)的開(kāi)方──近似計(jì)算──根式──指數(shù)──一元二次方程──可化為一元二次方程的方程──二元二次方程組──常用對(duì)數(shù)──函數(shù)和它的圖像（正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)）；
高中：數(shù)（數(shù)的概念的發(fā)展、復(fù)數(shù)）──代數(shù)式（多項(xiàng)式理論）──方程（方程理論，多項(xiàng)式方程）──不等式──數(shù)列和極限──冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)──數(shù)學(xué)歸納法──排列、組合、二項(xiàng)式定理──概率──行列式。
說(shuō)明：這一教材體系特別講究數(shù)學(xué)理論的完整性；另外，它把“概率”放在代數(shù)中學(xué)習(xí)。
1978年的代數(shù)教材結(jié)構(gòu)體系是：
初中：有理數(shù)──整式的加減法──一元一次方程──一元一次不等式──二元一次方程組──整式的乘除法──因式分解──分式──數(shù)的開(kāi)方和二次根式──一元二次方程──指數(shù)和常用對(duì)數(shù)──函數(shù)及其圖像（正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)）──統(tǒng)計(jì)初步；
高中：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)（含集合、函數(shù)的一般概念）──三角函數(shù)──線性方程組──復(fù)數(shù)──排列、組合、二項(xiàng)式定理（含數(shù)學(xué)歸納法）──概率──邏輯代數(shù)簡(jiǎn)介──數(shù)列和極限──導(dǎo)數(shù)──積分。
1992年的初中代數(shù)教材結(jié)構(gòu)體系：
有理數(shù)──整式的加減──一元一次方程──一元一次不等式──二元一次方程組──整式的乘除──因式分解──分式──數(shù)的開(kāi)方──二次根式──一元二次方程──指數(shù)──常用對(duì)數(shù)──函數(shù)及其圖像（正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)）──解三角形──統(tǒng)計(jì)初步。
1997年高中代數(shù)教材結(jié)構(gòu)體系：
集合與簡(jiǎn)易邏輯──函數(shù)──指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)──三角函數(shù)──平面向量──數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法──不等式──排列、組合、二項(xiàng)式定理──復(fù)數(shù)──極限──導(dǎo)數(shù)與微分──積分。
從上述變化過(guò)程可以看到，在教材的局部知識(shí)體系的構(gòu)建上，也有不同的處理方式。例如，初中的“整式”，在20世紀(jì)60年代以前一般是整體處理；1978年以后則分成了兩段，在整式加減之后，即安排一次方程、一次不等式；然后再安排整式的乘除，接著安排因式分解?！皩?shí)踐證明，這樣安排效果較好”。分式原先分成分式的概念和性質(zhì)、分式的運(yùn)算兩段，后來(lái)改為約分后就講分式的乘除，通分后就講分式的加減，效果也較原先為好?！斑@些例子，反映了局部知識(shí)系統(tǒng)完整，并不一定就比局部中各項(xiàng)知識(shí)之間或與外部知識(shí)之間的聯(lián)系更緊密”。這也是作為教材的數(shù)學(xué)知識(shí)體系與作為數(shù)學(xué)科學(xué)的知識(shí)體系之間差異的表現(xiàn)之一。在構(gòu)建教材的結(jié)構(gòu)體系時(shí)，這樣的問(wèn)題總是需要認(rèn)真研究和實(shí)踐檢驗(yàn)的。例如，按“數(shù)──式──方程──不等式──函數(shù)”的順序，還可以再根據(jù)“次數(shù)”作兩個(gè)循環(huán)：“數(shù)──式──一次方程──一次不等式──一次函數(shù)”和“二次方程──二次函數(shù)──二次不等式”；再如，在立體幾何的教材體系構(gòu)建中，可以按照“直線與直線的位置關(guān)系”、“直線與平面的位置關(guān)系”和“平面與平面的位置關(guān)系”安排，也可以按照“空間中的平行關(guān)系”、“空間中的垂直關(guān)系”來(lái)安排。
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