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【題目呈現(xiàn)】

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，AC=6，BC=8，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，求CD的長.

【分析】這是學(xué)生問的一道題，感覺非常經(jīng)典，能夠運(yùn)用很多知識，對于擴(kuò)散同學(xué)們的思維，提高解題能力大有幫助！

首先分析背景知識，看到AB是直徑，想到∠ACB=90°，想到勾股定理，∵AC=6，BC=8，∴AB=10，又CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，由'等弧對等角，對等弦”，得∠DAB=∠DBA=45°，AD=BD，∴△ADB為等腰直角三角形，∴AD=BD=5√2.如圖

方法一，△ABC三邊確定，角平分線確定，所以各邊定能算出，遇到特殊角，我們應(yīng)想到'解三角形”模型.

過A點(diǎn)作AE⊥CD于E，如圖

則AE=CE=3√2，而∠ADE=∠ABC，∴tan∠ADE=tan∠ABC=3/4，∴DE=AE/tan∠ADE=3√2÷(3/4)=4√2，∴CD=CE+DE=7√2.

當(dāng)然DE也可用勾腰定理算出(AD=BD=5√2).當(dāng)然從B點(diǎn)作CD的垂線同樣也能算出CD的長.

方法二，利用相似求CD的長.

過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，連接OD則OD⊥AB，設(shè)CD與AB交于F點(diǎn)，如圖

∴△CEF∽△DOF，用時(shí)出現(xiàn)了'射影型'相似，AE，CE，OE，OD均可算出，由射影型相似，算出AE=18/5，OE=OA一AE=7/5，由面積法算出CE=24/5，由△CEF∽△DOF，得CE/OD=24/25，則EF/OF=CF/DF=24/25，∴EF=OE×24/49=24/35，從而CE/EF=7，∴EF/CF=1/5√2，因而CF=5√2EF=24√2/7，∴CD=CF×49/24=7√2.

方法三，我們學(xué)過'一線三垂直模型'，但同學(xué)們是否真正會(huì)用呢？依托等腰直角三角形ADB構(gòu)造'一線三垂直'模型.

①過A作AE⊥CD于E，過B作BF⊥CD于F，則△AED≌△DFB，有AE=DF，DE=BF，而AE=CE=3√2，BF=CF=4√2，∴CD=7√2.也可稱為用全等法證明.

②依托等腰直角三角形，過D作DE⊥AC交CA延長線于E，過B作BF⊥DE，交ED延長線于F，如圖

易得△AEF≌△DFB，∴AE=DF，邊時(shí)四邊形CEFB為矩形，設(shè)AE=DF=x，則ED=8一x，BF=6十x，∴8一x=6十x，x=1，∴CE=ED=7，則CD=7√2.(此法也可稱為矩形構(gòu)造法)

方法四，角分線，垂兩邊.

利用角平分線的性質(zhì)，是見角平分線時(shí)常見的輔助線，如圖

過D作DF⊥BC于F，作力E垂直CA交CA的延長線于E，易證△DEA≌△DFB，則AE=BF，DE=DF，同時(shí)四邊形CEDF為矩形，設(shè)AE=BF=x，則CE=DF=6十x，CF=DE=8一x，則6十x=8一x，x=1，∴CE=DE=7，CD=7√2.(此方看上去與上邊相類似，但他是從另一角度出發(fā)找到的方法，所看問題的角度完全不同).

方法五，旋轉(zhuǎn)法.

依托等腰直角三角形ADB，共頂點(diǎn)，等兩邊的條件，為利用旋轉(zhuǎn)法提供了天然依據(jù)，如圖，以D為定點(diǎn)，將△ACD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BED.

由于∠DAC+∠DBC=180°，∴C、B、E三點(diǎn)共線，這時(shí)BE=AC=6，則CE=CB十BE=14，在等腰直角三角形CDE中，CD=7√2，需要說明的是也可將△BDC繞定點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，同樣達(dá)到目的.

方法六，角分垂，等腰歸

當(dāng)角平分線與其垂線相遇時(shí)，就出等腰三角形，這種輔助線前邊多次提到，如圖過D點(diǎn)作CD的垂線EF，交CA的延長線于F，交CB的延長線于E，

易證CF=CE，易證△ADF≌△BDC，△EDB≌CAD，則CF=CE=14，在等腰直角三角形ECF中，CD是三線合一中的那一條線，CD=7√2.這個(gè)圖似曾相識，'老朋友”幾天未見有點(diǎn)遺忘，你一定見過，做過.

方法七，解析法(數(shù)形結(jié)合法)

通過前面的分析想到，既然圖形規(guī)整，能否用搬到坐標(biāo)系上呢？于是以⊙O為原點(diǎn)，直徑所在直線為x軸，建立如圖的坐標(biāo)系，

則A點(diǎn)坐標(biāo)為(一5，0)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，一5)，只要求出C點(diǎn)坐標(biāo)，CD長則可求，作CE⊥AB于E，由面積法得CE=24/5，AC=6，在Rt△AEC中求出AE=18/5，則OE=7/5，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(一7/5，24/5)，利用兩點(diǎn)距離公式求出CD=7√2.

【總結(jié)反思】看見特殊角，想三角函數(shù)法，想相似，同時(shí)把自己記的各種模型進(jìn)行對比，分析，看什么情況下用哪種模型.總之'多思”要成為習(xí)慣，他是提高解題能力的有效有段.人們說，信息創(chuàng)造價(jià)值，我說，多思考，善于思考，決定一切。

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