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對(duì)稱性和守恒律
作者|胡竭末
編輯|Trader Joe's

簡(jiǎn)介

對(duì)稱性在現(xiàn)代物理理論中非常重要,一般來(lái)說(shuō)一個(gè)理論對(duì)稱性越多,就越方便我們處理。
更進(jìn)一步, 諾特定理(Noether's theorem)給出了(連續(xù))對(duì)稱性守恒量之間的關(guān)系。
這是一個(gè)非常非常強(qiáng)大的定理。
本文的主要目的就是簡(jiǎn)要的介紹對(duì)稱性和守恒律之間的關(guān)系。
埃米·諾特(圖片來(lái)自維基百科)

整體對(duì)稱性和諾特定理

我們首先來(lái)看最清晰也最簡(jiǎn)單的情形–––整體對(duì)稱性
設(shè)一個(gè)經(jīng)典體系有拉式量,則作用量為
運(yùn)動(dòng)方程為
如果有一個(gè)整體變換 

滿足
那么我們就說(shuō)這是一個(gè)整體對(duì)稱變換。
對(duì)于連續(xù)的整體對(duì)稱變換,我們可以取一個(gè)無(wú)窮小變換
滿足
那么很顯然我們有
假如有這么一個(gè)函數(shù)(微分形式),滿足在邊界上為0的邊界條件。
那么我們由斯托克斯定理(Stokes' theorem)可知
這告訴我們,可以寫為 

可以看到以上的推導(dǎo)要求的是對(duì)稱變換,但并沒有要求滿足運(yùn)動(dòng)方程。
現(xiàn)在如果我們要求一個(gè)無(wú)窮小變換保持運(yùn)動(dòng)方程,但并不要求保持作用量不變,這會(huì)發(fā)生什么呢?如下
因?yàn)槲覀円呀?jīng)要求滿足運(yùn)動(dòng)方程了,所以上式第二行的第一項(xiàng)就為0,所以得
現(xiàn)在如果我們要求既滿足對(duì)稱變換,又滿足運(yùn)動(dòng)方程,那么根據(jù)前式的對(duì)比可知
其中
所以就是一個(gè)守恒量,這就是諾特定理(有時(shí)候也叫做諾特第一定理)。
對(duì)于場(chǎng)論中的諾特定理推導(dǎo)是十分類似的,設(shè)
其中
為拉式密度,則
其中
總結(jié)一下,諾特定理告訴我們?nèi)魏我粋€(gè)連續(xù)對(duì)稱性有相應(yīng)的守恒量。
圖片來(lái)源 https://insidetheperimeter.ca/noethers-theorem-kindergarten-phd/
特別指出的是,這里的對(duì)稱性是針對(duì)有動(dòng)力效應(yīng)(dynamical)的變量而言的,對(duì)于屬于背景(background)的量則沒有以上的結(jié)果。

規(guī)范對(duì)稱性

規(guī)范對(duì)稱性(gauge symmetry)在現(xiàn)代物理理論中非常重要。
然而雖然我們把它叫做'對(duì)稱性',但比較現(xiàn)代的觀點(diǎn)是把它看成一種'冗余',它告訴我們描述不同物理的是一族數(shù)學(xué)上的等價(jià)類。
一個(gè)具體的例子為:在麥克斯韋理論中,如果電磁4-勢(shì)為某個(gè)物理解,那么對(duì)于任何,描述的是與代表的同一個(gè)物理解。
我們首先來(lái)看一個(gè)玩具模型,考慮一個(gè)作用量
對(duì)于這個(gè)理論,存在這樣一個(gè)對(duì)稱性保持作用量不變
這個(gè)對(duì)稱性對(duì)于完全沒有任何要求,這和我們上一節(jié)提到的整體對(duì)稱性有區(qū)別。
對(duì)于整體對(duì)稱性而言,函數(shù)是被確定的,并沒有這種任意性。
正因?yàn)閷?duì)沒有要求,所以每點(diǎn)處的可以不同,因此區(qū)別于整體對(duì)稱性,我們把這種對(duì)稱叫做規(guī)范對(duì)稱。
運(yùn)用運(yùn)動(dòng)方程,我們可得
我們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程不是獨(dú)立的,運(yùn)動(dòng)方程不能完全確定解的形式!
接下來(lái)如果我們直接利用諾特定理,你會(huì)發(fā)現(xiàn)
也就是說(shuō)
規(guī)范對(duì)稱性的守恒荷等于0!
這個(gè)結(jié)論不僅適用于我們這個(gè)玩具模型,而且是普遍結(jié)論。
我們不在這兒證明,但給出一點(diǎn)論述。
如果規(guī)范對(duì)稱性帶有可觀測(cè)的荷,那么規(guī)范對(duì)稱性就不再是一種冗余,而是代表了實(shí)際物理,因此守恒荷恒為0是很自然的結(jié)論。
為了能更好的看清規(guī)范對(duì)稱性,我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)到哈密頓形式中去。
做勒讓德變換(Legendre transformation),得
哈密頓量為
作用量則為
運(yùn)用運(yùn)動(dòng)方程,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)
這是個(gè)很不平凡的結(jié)論,它告訴我們(在滿足運(yùn)動(dòng)方程的情況下)恒為0。
該怎么理解這種情況呢?
我們發(fā)現(xiàn)如果變量在拉式量中沒有導(dǎo)數(shù)項(xiàng),那么就不存在它的共軛動(dòng)量,絕大多數(shù)我們熟知規(guī)范理論的哈密頓形式可以寫成
的形式,從而可得
回憶一下高數(shù)中的拉格朗日乘子法(Lagrange multiplier),你會(huì)發(fā)現(xiàn)這跟我們這里的情形完全一樣。
因此,我們把看成是一個(gè)乘子,而把看成是一個(gè)約束(在這個(gè)玩具模型中,約束即為)!因此我們可以說(shuō)沒有共軛動(dòng)量的量通常是一個(gè)乘子。
本文并不打算繼續(xù)敘述規(guī)范對(duì)稱性和約束的關(guān)系,感興趣的讀者可以參考文獻(xiàn)。
我們繼續(xù)導(dǎo)出其他兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程
再一次,我們發(fā)現(xiàn)這三個(gè)運(yùn)動(dòng)方程并不獨(dú)立,因此不能完全確定解的形式。
對(duì)于具有規(guī)范對(duì)稱性的理論,通常運(yùn)動(dòng)方程無(wú)法完全確定解的結(jié)果是規(guī)范冗余帶來(lái)的。
因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)方程描述的是物理的結(jié)果,而如今我們引入了冗余的'非物理'的信息,自然這部分多余的信息無(wú)法被運(yùn)動(dòng)方程確定,一般來(lái)說(shuō)我們還需要額外的規(guī)范固定條件來(lái)確定最終的解。

小結(jié)

我們已經(jīng)知道了整體對(duì)稱性和規(guī)范對(duì)稱性的不同。
作為一個(gè)例子,我們簡(jiǎn)單的對(duì)狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論中的能量做個(gè)小論。
狹義相對(duì)論中,時(shí)空具有時(shí)間平移不變性,這是一個(gè)整體對(duì)稱性,因此我們可以借助這個(gè)對(duì)稱性定義能量。
但在廣義相對(duì)論中通常我們沒有時(shí)間平移不變性,所以不能像狹義相對(duì)論那樣定義能量。
由于等效原理,廣義相對(duì)論有一個(gè)局域的微分同胚不變性,自然就可以有一個(gè)局域的時(shí)間平移不變性,這種不變性可以對(duì)應(yīng)一個(gè)規(guī)范對(duì)稱性,規(guī)范對(duì)稱性對(duì)應(yīng)的諾特荷恒為0,似乎是沒有物理意義的。
但根據(jù)我們第二節(jié)的描述,我們應(yīng)該把這種情況看成是一種約束條件,由此廣相中的'能量'會(huì)有更復(fù)雜和豐富的內(nèi)涵。
本文簡(jiǎn)單的介紹了經(jīng)典理論中的對(duì)稱性和諾特定理,我們得到結(jié)論
  • 連續(xù)的整體對(duì)稱性可導(dǎo)出守恒律。

  • 規(guī)范對(duì)稱性表達(dá)了一種冗余,通常會(huì)伴隨某種約束。

對(duì)于量子化后的情況,本文按下不表。


參考文獻(xiàn)
[1] M. Ba?ados and I. Reyes, A short review on noether’s theorems, gauge symmetries and boundary terms, International Journal of Modern Physics D 25 (2016) 1630021.
[2] A. Deriglazov, Classical mechanics. Hamiltonian and Lagrangian formalism, Classical mechanics. Hamiltonian and Lagrangian formalism (2010).
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為了她的才華,大數(shù)學(xué)家希爾伯特在會(huì)上直言:這里不是洗澡堂!
陳童 | 對(duì)稱性第一部分:對(duì)稱性與守恒定律
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