本文描述Fluent中宏觀(guān)顆粒模型（Macroscopic Particle Model，MPM）所涉及的一些基礎(chǔ)理論。

注：

注：本文內(nèi)容取自Fluent Theory Guide。

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傳統(tǒng)DPM模型適用于顆粒尺寸小到足矣被視為網(wǎng)格單元內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)，且在流體與內(nèi)顆?？傮w積較少（一般少于10%）的情況下。在這些問(wèn)題中，顆粒-顆粒以及顆粒-流體之間的相互作用是通過(guò)動(dòng)量、質(zhì)量以及熱量傳遞進(jìn)行考慮。然而，當(dāng)顆粒尺寸大于流體單元時(shí)，必須考慮顆粒的體積對(duì)流場(chǎng)的影響。Fluent宏觀(guān)顆粒模型（Macroscopic Particles Model，MPM）能夠考慮大(宏觀(guān))顆粒的行為以及顆粒與流體、壁面和其他顆粒之間的相互作用。

1 模型概述及局限性

宏觀(guān)顆粒模型（Macroscopic Particle Model，MPM）是一種基于UDF的跟蹤宏觀(guān)粒子的準(zhǔn)直接數(shù)值方法^[1]，該模型可以考慮大顆粒在流體中的運(yùn)動(dòng)，以及顆粒與顆粒、顆粒與壁面之間的相互作用。MPM模型適用于傳統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)顆粒模型無(wú)法求解的拉格朗日顆粒流，常用于顆粒尺寸至少為20~30倍網(wǎng)格尺寸場(chǎng)合下。

MPM并非通用模型。該模型在顆粒雷諾數(shù)且流體與顆粒的密度比接近1時(shí)能夠獲得比較好的計(jì)算結(jié)果。對(duì)于其他的及的場(chǎng)合，阻力計(jì)算可能會(huì)不精確，不過(guò)當(dāng)阻力計(jì)算不甚重要時(shí)也可以使用MPM模型 。

MPM模型提供了一些特殊的處理方式，可以處理如下的問(wèn)題：

• 流動(dòng)阻塞與動(dòng)量交換
• 計(jì)算顆粒的阻力和粒徑
• 顆粒-顆粒和顆粒-壁面的碰撞與摩擦
• 顆粒的沉積和堆積
• 顆粒-顆粒及顆粒-壁面的吸引力

MPM模型在使用時(shí)存在一些局限：

• 無(wú)法考慮質(zhì)量傳遞及輻射
• MPM與運(yùn)動(dòng)/變形網(wǎng)格不兼容
• 由于在每個(gè)顆粒時(shí)間步內(nèi)只處理一個(gè)碰撞事件，因此不支持對(duì)密實(shí)度大的粒子進(jìn)行模擬
• 與DPM粒子沒(méi)有直接的相互作用(碰撞)
• 可以與多相模型耦合使用，但是需要手動(dòng)設(shè)置源項(xiàng)(質(zhì)量、動(dòng)量和熱量)
• MPM模型與網(wǎng)格分界面不兼容

2 動(dòng)量傳遞

在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)，與顆粒相接觸的流體單元內(nèi)的速度通過(guò)顆粒速度（平移與旋轉(zhuǎn)）與主流流速之間通過(guò)體積分?jǐn)?shù)加權(quán)進(jìn)行計(jì)算。另外，所有被顆粒接觸的網(wǎng)格單元內(nèi)的流動(dòng)速度被強(qiáng)制使用源項(xiàng)從顆粒速度外插到網(wǎng)格中心。因此，與顆粒接觸的流體單元中的流速主要由顆粒的速度決定。

3 作用在顆粒上的力與力矩

作用在顆粒上的阻力和力矩通過(guò)包含速度、壓力以及剪切應(yīng)力分布的顯式表達(dá)式來(lái)計(jì)算。作用在宏觀(guān)顆粒上的力與力矩在方向上的分量包含虛質(zhì)量力、壓力以及粘性力的分量：

虛質(zhì)量力分量可表示成：

式中，為單元內(nèi)流體質(zhì)量；及為流體及顆粒在方向上的速度；為流動(dòng)時(shí)間步長(zhǎng)。

作用在顆粒上方向的壓力分量可表示為：

式中，為壓力；為與顆粒接觸的流體單元的表面積；為從流體網(wǎng)格中心到顆粒中心的向量；為向量沿方向的笛卡爾分量。

粘性力在方向的分量為：

式中，為垂直于平面沿著正方向的剪切應(yīng)力；為向量在方向的笛卡爾分量。

基于流體作用在顆粒上的力和力矩，在每個(gè)流動(dòng)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)計(jì)算新的顆粒位置、速度和加速度。

4 顆粒碰撞

Fluent提供了一種硬球碰撞算法來(lái)計(jì)算顆粒-顆粒及顆粒-壁面之間的碰撞。所有的碰撞假定是二元的和準(zhǔn)瞬態(tài)的，并且單點(diǎn)接觸。該算法考慮了顆粒在碰撞過(guò)程中的沖力和動(dòng)量，并考慮了能量耗散。

注：

MPM模型使用的是硬球模型。

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兩個(gè)粒子在碰撞時(shí)的運(yùn)動(dòng)可以表示為：

式中，下標(biāo)1與2表示碰撞的顆粒；為顆粒質(zhì)量；為顆粒的慣性矩；及分別為顆粒的線(xiàn)性速度與角速度；上標(biāo)0表示顆粒的在碰撞前的速度；為顆粒半徑；為沖力；為法向單位向量。

法向沖力可表示為：

粘滯碰撞的切向沖力表示為：

滑動(dòng)碰撞的切向沖力表示為：

在上面的方程中，及分別為法向與切向恢復(fù)系數(shù)；為摩擦系數(shù)；為切向單位向量；；為兩個(gè)顆粒的相對(duì)速度（旋轉(zhuǎn)或平移速度）。

5 場(chǎng)力

Fluent MPM模型自動(dòng)考慮顆粒所受到的重力與福利。

其他顆粒-顆粒的場(chǎng)力，如電磁力、靜電力或內(nèi)聚力等可通過(guò)下式進(jìn)行表示：

式中，為顆粒的質(zhì)量；為顆粒與之間的距離；為用戶(hù)指定的顆粒常數(shù)。

顆粒與壁面場(chǎng)力定義為：

式中，為顆粒與壁面的最近距離；為自定義顆粒常數(shù)。

常數(shù)及的正負(fù)決定顆粒與顆粒及顆粒與壁面場(chǎng)力是引力還是斥力。

6 顆粒沉積和堆積

對(duì)于過(guò)濾/分離類(lèi)型的應(yīng)用，利用基于臨界碰撞速度算法實(shí)現(xiàn)粒子沉積和在指定表面堆積的現(xiàn)象的模擬。如果粒子速度低于用戶(hù)指定的臨界沖擊速度，則粒子將粘附到壁上， 如果粒子速度高于臨界沖擊速度，則粒子將從壁面反彈。沉積的粒子被指定零速度和零加速度。

參考資料