“哥 德 巴 赫 猜 想” 的 擱 淺 與 創(chuàng) 新 數(shù) 學(xué) 的 研 究薛 海 明
一 關(guān)于“哥德巴赫猜想”
關(guān)于“哥德巴赫猜想”的提出或研究，從 17 4 2 年開始，世界 許多知名數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛好者，都對它進(jìn)行了不同程度地探討，同時(shí)還創(chuàng)造了多種形式的研究方法，雖經(jīng)過將近 270 年的歷史，但直到現(xiàn)在仍然未取得實(shí)質(zhì)性的證明結(jié)果 。
當(dāng)時(shí)德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫發(fā)現(xiàn)并寫信向瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉提出如下問題· 1：在自然數(shù)中，凡大于 6 的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和； 2：任何一個(gè)大于 9 的奇數(shù)都可表示為 3 個(gè)素?cái)?shù)之和。容易證明‘2’是‘1’的推論，所以最重要的是證明‘1’。即一般簡稱為（1＋1 ），例如：8 = 3+5 10 = 3+7 12 = 5+7 14 =3+11 ... 。他在信中說：“我這個(gè)論斷是不是永遠(yuǎn)正確？如果是正確的，希望你替我證明它，如果不對，希望你舉出一個(gè)例子來”。歐拉在復(fù)信中說:“雖然我還不能證明它，但我確信無疑地認(rèn)為這是完全正確的定理”。該問題看似非常簡單，并且有人曾驗(yàn)算到三千三百萬以內(nèi)的所 有偶數(shù)都是對的，但由于自然數(shù)列中的素?cái)?shù)與偶數(shù)都是無窮無盡的，我們并不可能對其一 一去進(jìn)行驗(yàn)算，又不能對其作出證明或給出圓滿的解釋，因此只好稱之為“哥德巴赫猜想”。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ψ匀粩?shù)的研究中，由于人們發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)（也稱質(zhì)數(shù)）是組成自然數(shù)的基本材料，這些數(shù)在自然數(shù)列中分布又無一定規(guī)律，因此要研究自然數(shù)的性質(zhì)，必須對素?cái)?shù)的性質(zhì)進(jìn)行全面的了解，而哥德巴赫猜想則是“素?cái)?shù)這種材料”性質(zhì)的一種具體表現(xiàn)形式。眾所周知，如果在任何生產(chǎn)工作或科研話動(dòng)中，當(dāng)我們對自己所用材料的性質(zhì)不了解時(shí)將會(huì)得到什么樣的后果。正是因?yàn)檫@種原因，在哥德巴赫提出這一問題后，一直受到數(shù)學(xué)家們對它的重視。如：1900 年德國大數(shù)學(xué)家衛(wèi)·希爾伯特、1912 年德國數(shù)學(xué)家 E·郎道、1921年數(shù)論泰斗英國數(shù)論學(xué)家羅德·哈代則宣稱“解決猜想的困難程度，是可以與數(shù)學(xué)中任何未解決的問題相比擬的”。世界上這些知名的數(shù)學(xué)家不但都為此做出了研究，而且為了證明這一問題，在1918年，英國數(shù)學(xué)家哈代、李特伍德和印度數(shù)學(xué)家拉馬努金并發(fā)展了第一個(gè)“園法”，1918年，挪威數(shù)學(xué)家布郎又改進(jìn)了具有2000多年歷史的埃拉多染尼氏（生活在公元前三百年左右）提出的篩法（ 一般也 簡稱為“埃氏篩法”或“古典篩法”），同時(shí)還有一些數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了其他不同的篩法和研究方法。最初，數(shù)學(xué)家們想用 n 個(gè)素?cái)?shù)之積加 n 個(gè)素?cái)?shù)之積等于一個(gè)偶數(shù)的方法，來逐步逐步地用縮小它的范圍進(jìn)行證明，如是有了所謂的（9+9 ），（8+8）... , 等證明方法，直到 195 6 年，才由我國數(shù)學(xué)家王元在以上基礎(chǔ)接著證明了（3+4），1957年他又進(jìn)一步證明了（2+3）的結(jié)果為止。
為了簡捷，數(shù)學(xué)家們又接著改用一個(gè)素?cái)?shù)加 n 個(gè)素?cái)?shù)之積的方法進(jìn)行證明。因?yàn)檫@樣只需考慮 后一種 n 個(gè)素?cái)?shù)之積的情況，即證明到當(dāng) n 表為 1 個(gè)素?cái)?shù)時(shí)即可。這樣就又有了后來的(1+9)、(1+8) ... (1+3) 這些證明結(jié)果，在我國以華羅庚為首的一些數(shù)學(xué)家們同樣對該問題進(jìn)行了大量的研究工作。從 1742 年該問題提出開始，直到 1973 年，才由我國數(shù)學(xué)家陳景潤在以上證明基礎(chǔ)上做出現(xiàn)在最好的結(jié)果：每一個(gè)充分大的偶數(shù)都是一個(gè)素?cái)?shù)加上一個(gè)素?cái)?shù)或者不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和，這個(gè)定理可以表示為 (1 + 2 ) ?？此齐m離 (1+1) 僅一步之遙，而這最困難的一步卻一直得不到證明。數(shù)學(xué)家們通過近幾十年長期對這類問題研究后看出，用這種方法進(jìn)行證明幾乎已經(jīng)走到盡頭，不可能再得到進(jìn)一步的結(jié)果。除一些數(shù)學(xué)家能夠指出在“哥德巴赫猜想”這一問題研究中，其真正意義上在于它是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，可以給數(shù)學(xué)帶來新的方法、新的概念和新的理論，但又不能說明所謂的這些數(shù)學(xué)模型、新的方法、新的概念及新的理論具體是些什么，這僅是數(shù)學(xué)家們的一種猜測而已。更沒有一個(gè)數(shù)學(xué)家能夠指出今后正確的研究方向或方法。在數(shù)論研究中，由于素?cái)?shù)的特殊性，很多問題都與其有關(guān)，所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們，普遍認(rèn)為我們還達(dá)不到研究這類問題的時(shí)候。如果沒有新的思想或方法，不會(huì)再有多大的進(jìn)展。從1973 年陳景潤做出 (1+2) 的最好證明結(jié)果而被擱淺后，近幾年在我國數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)對于哥德巴赫猜想的研究也已處于停止階段。
時(shí)至今日，當(dāng)人們?nèi)晕纯吹揭唤z研究曙光而感到束手無策時(shí)，不得不使人們產(chǎn)生各種不同的看法。這時(shí)甚至有人懷疑對“哥德巴赫猜想”的證明，這只是一種數(shù)學(xué)游戲，并無多大的實(shí)用價(jià)值。這也就難怪有人開始說，數(shù)論屬于所謂純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，而純數(shù)學(xué)是不考慮是否有實(shí)際用途的，只是純粹的智力游戲。因此，哥德巴赫猜想曾被認(rèn)為是數(shù)學(xué)皇冠上的明珠這一世界著名的數(shù)學(xué)難題，現(xiàn)在一下子則被一些人說成像是忽悠人們的一種無稽之談的數(shù)學(xué)游戲。該問題不僅從我國知名數(shù)學(xué)家的研究課題中消失，同時(shí)數(shù)學(xué)家們還多次語重心長地告誡數(shù)學(xué)愛好者們，不要再為此問題去付出不必要的時(shí)間或精力，而應(yīng)首先是把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)打好，這才是最重要的。不論是數(shù)學(xué)家還是數(shù)學(xué)愛好者，現(xiàn)在像是被忽悠了的一些受騙者一樣，當(dāng)提及該問題時(shí)，唯恐避而不及地不再理睬。因?yàn)樵诿總€(gè)研究者中，都為此付出了無法挽回的時(shí)間與心血。可想而知，作為一個(gè)知名的數(shù)學(xué)家或是一般數(shù)學(xué)愛好者來說，當(dāng)經(jīng)過數(shù)年或數(shù)十年時(shí)間得不到任何研究結(jié)果，并為此付出大量時(shí)間和心血時(shí)，心理等各方面所承受的壓力是多么沉重的。數(shù)學(xué)家們在對此問題的研究中，認(rèn)為已用盡了各種方法未能取得研究結(jié)果而失去了信心；數(shù)學(xué)愛好者不但得不到來至社會(huì)任何力量的支持和幫助，反而遭到更多的是白眼與譏諷。在對于哥德巴赫猜想研究中，當(dāng)數(shù)學(xué)家們得不到最終證明結(jié)果時(shí)，顯然，對于這些數(shù)學(xué)愛好者的證明結(jié)果就更不屑一顧。由于受這些原因的影響，甚至在社會(huì)上，把與數(shù)學(xué)毫無關(guān)系而未能解決的一些現(xiàn)實(shí)問題，也用“哥德巴赫猜想”作為一種“時(shí)尚”的代稱，把“哥德巴赫猜想”幾乎變成了一種表述未解之謎的“成語”。
在信息技術(shù)快速發(fā)展的時(shí)代, 從網(wǎng)絡(luò)中很容易了解到，不論從所有失敗者的教訓(xùn)中還是大量的數(shù)學(xué)資料中不難發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)研究中，數(shù)學(xué)家們不是對近幾十年研究中所應(yīng)用的那些方法、工具及出現(xiàn)的困難進(jìn)行認(rèn)真分析總結(jié)或反思，并堅(jiān)持認(rèn)為只能通過這些高級數(shù)學(xué)中的篩法、圓法 、三角和這些方法相結(jié)合的解析數(shù)論等方法來探討，才有可能取得最終研究結(jié)果。由于受這種思想的束縛，并自以為對初級數(shù)學(xué)知識已十分精通的數(shù)學(xué)家們，反而對自然數(shù)本身所表現(xiàn)出的某些最基本性質(zhì)與規(guī)律，再去進(jìn)行更深入地研究則認(rèn)為沒有必要了。一般數(shù)學(xué)愛好者又由于對高深的解析數(shù)論知識不太精通，總是想在現(xiàn)有的一些數(shù)學(xué)知識中找到突破口加以證明。甚至還有一些數(shù)學(xué)愛好者，則想通過哲學(xué)方法以及其它一些方法進(jìn)行探討，然而在以上所有研究者中，他們所取得的研究結(jié)果不論正確與否，總是得不到數(shù)學(xué)家們的審查或認(rèn)可。在哥德巴赫猜想問題研究中，通過這樣多種形式的思維探討仍無結(jié)果時(shí)，對該問題的研究也不得不停滯下來 。
不論是數(shù)學(xué)家還是數(shù)學(xué)愛好者，只是囿于對現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識的了解，在所有研究方法和討論過程中，把力量直接集中于哥德巴赫猜想問題本身，其研究結(jié)果總是經(jīng)不起數(shù)學(xué)上的檢驗(yàn)或推論而被放棄。但對自然數(shù)列中為什么會(huì)有這種性質(zhì)或規(guī)律存在的原因，卻避而不談，從不進(jìn)行追根問底地探討。從陳景潤所取得的（1 +2）這一最好證明結(jié)果中可以設(shè)想，就連陳景潤本人恐怕也難以回答自然數(shù)中，為什么會(huì)存在（1+2）這種性質(zhì)或規(guī)律的具體原因。因?yàn)檫@種證明結(jié)果中，僅是應(yīng)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行的一種推理形式。作為人們探索自然數(shù)性質(zhì)與規(guī)律的研究，我們還是管中窺豹，很難認(rèn)清自然數(shù)的本質(zhì)。要不然，為什么總會(huì)有人提出證明哥德巴赫猜想有什么用的質(zhì)疑呢。
當(dāng)時(shí)哥德巴赫向大數(shù)學(xué)家歐拉所以提出這一問題的實(shí)質(zhì)，是要求回答在自然數(shù)列中，是否大于6 的任意一個(gè)偶數(shù)都可以用兩個(gè)素?cái)?shù)之和來表示？從信中可以看出，哥德巴赫需要回答的是他在自然數(shù)列中所發(fā)現(xiàn)的這種現(xiàn)象，即：素?cái)?shù)與偶數(shù)之間存在著的這種關(guān)系的具體性質(zhì) 、規(guī)律是否有其必然性或其形成原因？因?yàn)檫@一問題直接涉及到“素?cái)?shù)這種基本材料”與組成自然數(shù)列之間的具體關(guān)系或性質(zhì)。因此，對這一問題研究的意義和重要性，不是解決數(shù)學(xué)中的一個(gè)難題，它將成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中，人們對組成整數(shù)的“基本材料”和它的性質(zhì)、規(guī)律，進(jìn)一步認(rèn)識起著十分重要的作用。這是今天數(shù)字化技術(shù)快速發(fā)展的一種需要，是時(shí)代進(jìn)步對數(shù)學(xué)發(fā)展的需要。
二 “哥德巴赫猜想”證明中的困惑
由于人們對自然數(shù)列中的素?cái)?shù)與偶數(shù)之間的關(guān)系并不十分了解，當(dāng)數(shù)學(xué)家們用“大偶數(shù)”這種不確定范圍，采用逐漸縮小這種證明范圍作為研究方法時(shí)，這種證明方法本身從一開始就存在著一定的錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)家們一直認(rèn)為，雖然素?cái)?shù)在自然數(shù)列內(nèi)的分布個(gè)數(shù)沒有一定的規(guī)律，但從總體的分布趨勢上看，素?cái)?shù)與合數(shù)分布的個(gè)數(shù)之比呈如下形式進(jìn)行的：素?cái)?shù)分布的個(gè)數(shù)將逐漸趨向于零。即當(dāng)自然數(shù)列越來越大時(shí)，在最大自然數(shù)列段內(nèi)，幾乎都將成為合數(shù)的分布形式，素?cái)?shù)的分布個(gè)數(shù)可忽略不計(jì)。但數(shù)學(xué)畢竟是數(shù)學(xué)，應(yīng)用“幾乎”、“忽略不計(jì)”等這些不確定因素，用于主要證明范圍的一種指標(biāo)，作為 探討自然數(shù)的性質(zhì)，顯然這并不是科學(xué)的研究方法。因此在證明該問題的過程中，當(dāng)數(shù)學(xué)家們在自然數(shù)列這一集合內(nèi)，很難找到一種作為證明范圍的參照依據(jù)時(shí)，不得不采用以“大偶數(shù)”這樣一個(gè)不具體的數(shù)界作為一種證明范圍 ，然而卻一直得不到正確的結(jié)果。
對于“大偶數(shù)”這樣一個(gè)不確定的范圍來說，在自然數(shù)列中又怎能去證明它呢？陳景潤證明的充分大偶數(shù)有多大？數(shù)學(xué)家們只知道存在這樣一個(gè)界，但卻不能具體給出來，因?yàn)槲覀冎溃匀粩?shù)列本身是無限大的，而在自然數(shù)列中同樣也包含有無窮多個(gè)素?cái)?shù), 例如在1979年，美國兩位計(jì)算機(jī)專家使用兩臺運(yùn)算速度達(dá)8千萬次／秒的巨型計(jì)算機(jī)所得到的最大素?cái)?shù)是 244497 －1，這個(gè)數(shù)共有13395位。人們估計(jì)宇宙中存在的原子微?？偤痛蠹s是一個(gè)八十位左右的數(shù)。即是在浩瀚的宇宙中，星體多的無法計(jì)算，但也只是一個(gè)二十位左右的數(shù)字，可想而知，這個(gè)素?cái)?shù)將大到怎樣的程度。1983 年人們又曾發(fā)現(xiàn)一個(gè)素?cái)?shù)為 2 86243－1，但這也不是最后的素?cái)?shù)。由于在自然數(shù)中，素?cái)?shù)是無限多的，可見人們在研究素?cái)?shù)的工作中，做出了多少大量的繁重工作，但卻不可能找到自然數(shù)列中最大素?cái)?shù)的界，更找不到大偶數(shù)的界有多大。現(xiàn)在假如有一個(gè)偶數(shù)正好是可以用以上這樣大的兩個(gè)素?cái)?shù)之和所表示，或者一個(gè)合數(shù)可以由以上兩個(gè)大素?cái)?shù)之積組成，又能怎樣去證明它呢？在自然數(shù)這一無限多的數(shù)列中，它們能夠組成的規(guī)律又是在怎么樣情況下進(jìn)行的？當(dāng)這樣兩個(gè)大的素?cái)?shù)結(jié)合在一起時(shí)，其性質(zhì)又說明了什么呢？從計(jì)算技術(shù)上講，如果我們用人為的方法，使用計(jì)算機(jī)能夠把這樣兩個(gè)大的素?cái)?shù)，直接通過加或乘的計(jì)算方法把它們結(jié)合在一起，雖然看似計(jì)算方法十分簡單，卻主觀上違背了自然數(shù)列的有序規(guī)律，不能從根本上認(rèn)識自然數(shù)列本質(zhì)上的 規(guī)律，像以上這樣的素?cái)?shù)結(jié)合在一起的積或者和，是否就是所謂的大偶數(shù)呢？以及這樣兩個(gè)大素?cái)?shù)能夠結(jié)合在一起的整體規(guī)律表明什么呢？同樣可以設(shè)想，當(dāng)超出這樣大的偶數(shù)是否也適合其證明結(jié)果呢？當(dāng)用以上n 個(gè)這樣大的素?cái)?shù)因子結(jié)合在一起時(shí)，我們又該怎樣去理解呢？
顯然，在對于哥德巴赫猜想這類問題的研究中，關(guān)于大偶數(shù)可表示為 1 + n 個(gè)素?cái)?shù)乘積之和，其研究范圍本身就存在著明顯錯(cuò)誤，它代表不了自然數(shù)列這一范疇的基本性質(zhì)。這是因?yàn)?/span>在自然數(shù)列內(nèi)，對于“大偶數(shù)” 這個(gè)不確定的范圍很難界定。例如前面提到那兩個(gè)大的素?cái)?shù)，我們既可以得到它們的積，也可以得到它們的和，但這也不能就是組成的所謂的大偶數(shù)，因?yàn)檫€存在著比它們更大的素?cái)?shù)。我們無法了解多大的素?cái)?shù)是大素?cái)?shù)，同時(shí)也無法了解多大的偶數(shù)為大偶數(shù)。所以當(dāng)數(shù)學(xué)家們應(yīng)用大偶數(shù)作為證明范圍時(shí)，已經(jīng)脫離了對自然數(shù)列這一集合整體性的研究。即便證明到（1＋1) , 也不會(huì)認(rèn)為符合哥德巴赫提出問題的本意，這可能是數(shù)學(xué)家們放棄對此問題繼續(xù)研究、告誡數(shù)學(xué)愛好者不必為此問題付出時(shí)間與精力、對與此問題有關(guān)的任何研究結(jié)果不予審查和不再理睬的原因。
在自然數(shù)列內(nèi)，作為研究素?cái)?shù)的性質(zhì)或規(guī)律，應(yīng)該首先是了解素?cái)?shù)在自然數(shù)列中的分布規(guī)律以及素?cái)?shù)因子的形成原因，素?cái)?shù)與偶數(shù)的關(guān)系。而對這種規(guī)律的認(rèn)識，又必須是自然數(shù)列內(nèi)存在的一種基本規(guī)律，這才是破解哥德巴赫猜想等難題在理論上的真正證明結(jié)果。這不是數(shù)論研究中，依靠某些定理本身，就存在類似于估計(jì)或幾乎、逼近等這些不確定因素的工具，通過所謂高深的數(shù)學(xué)言語所能證明的?？梢哉f，“1 + 1”是自然數(shù)列這一集合中存在的一種普遍規(guī)律與性質(zhì)，它適用于任意一個(gè)偶數(shù)，也適用于任意一個(gè)大偶數(shù)的分布范圍。對解決哥德巴赫猜想的重要性，也正在這里。我們不能夠?qū)ψ匀粩?shù)列以上這些性質(zhì)進(jìn)行了解，說明我們對自然數(shù)的性質(zhì)認(rèn)識不僅是不完善的，同時(shí)也由于這種原因，又造成數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)所存在的許多性質(zhì)，我們根本無法了解，更談不到對這些性質(zhì)的充分應(yīng)用和發(fā)揮。
雖然從表面上看，哥德巴赫猜想本身似乎并沒有多大的研究價(jià)值，但在它的背后卻存在著更多的性質(zhì)與規(guī)律需要我們?nèi)パ芯俊⑷グl(fā)現(xiàn)、去認(rèn)識、去開發(fā)或應(yīng)用。可以說，對哥德巴赫猜想的證明，不是單純的一道數(shù)學(xué)難題，而是將使我們對自然數(shù)列或某些自然規(guī)律的一種重新認(rèn)識或研究過程，也是對分布在自然數(shù)列中的“素?cái)?shù)”這種材料性質(zhì)與規(guī)律進(jìn)行具體地探討過程。如果沒有一種新的思想或一種創(chuàng)新的數(shù)學(xué)理論，對于以上的諸多問題是很難解決的。哥德巴赫猜想所以引起數(shù)學(xué)家們的重視，這是對自然數(shù)的具體性質(zhì)與規(guī)律的一種探討，我們不僅僅是要知其然，而更需要回答的是知其所以然。如果有人單純用數(shù)學(xué)語言作為證明方法，即便是得到最終結(jié)果，充其量也只是一種推測而已。大數(shù)學(xué)家歐拉當(dāng)時(shí)認(rèn)為哥德巴赫提出這一問題的重要性，并在回信中告知自己不能加以證明，以致近 270 年未能取得實(shí)質(zhì)性結(jié)果，可能其中也許是由于這樣的種種原因在內(nèi)吧。
假設(shè)以前數(shù)學(xué)家們的所有證明結(jié)果，如：（n + n )、( 1＋n ） 等，（‘n’表 n 個(gè)素?cái)?shù)的乘積）對于一個(gè)“大偶數(shù)”來說，即便這些推測結(jié)果都是正確的，但他們也沒有一個(gè)人能夠對各自做出的證明結(jié)果及表示式，回答出自然數(shù)列中為什么會(huì)存在這些性質(zhì)與規(guī)律的具體原因。所謂高深的解析數(shù)論不可能回答這一問題，其它任何證明方法也同樣不能夠回答這一問題。自然數(shù)列本身表現(xiàn)出的這些性質(zhì)、規(guī)律，并不只是單純地對于充分大的偶數(shù)這種情況而言的，而是對自然數(shù)列這種集合內(nèi)的性質(zhì)、規(guī)律，進(jìn)行整體上的認(rèn)識。由于我們現(xiàn)在還無法了解素?cái)?shù)與合數(shù)在自然數(shù)列內(nèi)，兩者之間不同的分布規(guī)律、性質(zhì)時(shí)，數(shù)學(xué)家們不得不放棄對哥德巴赫猜想的證明。這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，經(jīng)過將近270年研究歷史，在世界范圍內(nèi)涉及研究人員最廣，知名數(shù)學(xué)家參與人數(shù)最多，引起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)熱情最高，受到中外媒體最為關(guān)注報(bào)道的數(shù)學(xué)問題 。但卻是研究結(jié)果毫無進(jìn)展的一次失敗，也是數(shù)學(xué)研究史上是絕無僅有的社會(huì)現(xiàn)象。
哥德巴赫所提出的問題，是對組成自然數(shù)列中的素?cái)?shù)這種基本材料，有關(guān)它的性質(zhì)與規(guī)律的全面認(rèn)識和了解。同時(shí)也是我們對自然數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行更深入地一種研究過程。但有些人們對研究結(jié)果的失敗原因不進(jìn)行反思，仍然堅(jiān)持認(rèn)為必須通過應(yīng)用高深的數(shù)學(xué)語言與方法，才能取得證明結(jié)果。總是迷信于歷史上那些大數(shù)學(xué)家們的證明結(jié)果與方法，使自己思想卻變的保守與僵化。作為對數(shù)學(xué)研究中久攻不克的難題，我們必須總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，尋找失敗原因，創(chuàng)新研究方法，這是解決數(shù)論研究中那些難題的唯一出路。
將近 2 7 0 年來，哥德巴赫猜想沒有能夠得到證明，其另一主要原因是現(xiàn)在的數(shù)論研究中，仍然在用“古典篩法”作為基礎(chǔ)。在著名數(shù)學(xué)家埃拉多斯染尼提出這一方法時(shí)，雖然看似是簡單實(shí)用的一種形式，但是僅僅局限于篩選素?cái)?shù)的方法而已，他對素?cái)?shù)的具體性質(zhì)和分布規(guī)律并沒有任何性質(zhì)的研究。在這種篩選素?cái)?shù)過程中，我們很難了解素?cái)?shù)與合數(shù)的性質(zhì)及分布規(guī)律。同時(shí)他在提出這種篩選素?cái)?shù)方法時(shí)，并不是建立在自然數(shù)最基本性質(zhì)上的一種篩選素?cái)?shù)方法，而是建立在第二級算術(shù)運(yùn)算方法上的一種篩法，即根據(jù)乘法或者除法的性質(zhì)進(jìn)行篩選素?cái)?shù)。對自然數(shù)列內(nèi)為什么會(huì)存在這些不同性質(zhì)的素?cái)?shù)、合數(shù)，卻找不到任何答案?？梢哉f這是一種間接的篩選素?cái)?shù)方法，在這樣的篩法中，對研究自然數(shù)列內(nèi)具有不同性質(zhì)的數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，起不到任何作用。
在數(shù)學(xué)研究中，篩法作為篩選素?cái)?shù)的一種最基本方法，但是從古至今，并沒有引起數(shù)學(xué)家們對“埃氏篩法”的本質(zhì)引起注意。雖然近代數(shù)學(xué)家們在對哥德巴赫猜想的研究中，又提出數(shù)種不同的篩法，但也都是大同小異的一些方法。篩法作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的一種最基本研究工具，而對素?cái)?shù)的性質(zhì)與分布規(guī)律卻得不到了解。在這種篩法的基礎(chǔ)上，作為研究類似哥德巴赫猜想這樣與素?cái)?shù)有關(guān)的問題，只會(huì)遇到難以克服的困難。在這種情況下，數(shù)學(xué)家們又只能夠在根據(jù)歷代數(shù)學(xué)家們的方法和基礎(chǔ)上進(jìn)行研究。因此在研究過程中，其中所推測的定理，也大部分都是先由經(jīng)驗(yàn)得來的。就連自然數(shù)列某一范圍內(nèi)的素?cái)?shù)分布個(gè)數(shù)，也多是在古人對此問題所猜測的結(jié)果基礎(chǔ)上，作為進(jìn)行計(jì)算并用于證明的主要依據(jù)或方法，數(shù)學(xué)作為一種最精確的學(xué)科，顯然憑借推測、甚至猜測這種理論或經(jīng)驗(yàn)結(jié)果為根據(jù)，用于證明哥德巴赫猜想這樣與素?cái)?shù)的性質(zhì)、規(guī)律直接相關(guān)的問題，如同在沙灘上建筑大廈一樣不堪一擊。因?yàn)楫?dāng)對各種不同的證明結(jié)果在進(jìn)行追根問底地提出為什么時(shí)，每種方式都不可能自圓其說。因此，不論是數(shù)學(xué)家還是數(shù)學(xué)愛好者，其研究工作都同樣以不了了之而被停止。
三 關(guān)于創(chuàng)新數(shù)學(xué)的研究
在哥德巴赫猜想的研究過程中，對于另類數(shù)學(xué)愛好者來說，由于發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)一些特殊規(guī)律后，不僅從未停止其研究腳步，而且更加堅(jiān)定了對自然數(shù)所表現(xiàn)出這種性質(zhì)的探討信心。在研究中，它不是針對哥德巴赫猜想問題本身，而是完全跳出了原有思維的束縛，從新的思維角度來探索自然數(shù)列內(nèi)部的各種規(guī)律，并作為對“創(chuàng)新數(shù)學(xué)領(lǐng)域”的一種深入認(rèn)識，不斷地進(jìn)行著研究工作。
在這種創(chuàng)新的研究方法中，對自然數(shù)表現(xiàn)出的這些性質(zhì)或規(guī)律的認(rèn)識，雖是我們?nèi)祟愓J(rèn)識或應(yīng)用自然數(shù)以來，一直都把它作為最基本的計(jì)數(shù)形式或方法，但在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中卻是從未對其進(jìn)行過深入研究的“處女地”。因此，在對這一空白領(lǐng)域的整個(gè)研究過程中將會(huì)發(fā)現(xiàn)，它涉及到存在于自然數(shù)列內(nèi)許多以前從所未有認(rèn)識的性質(zhì)與規(guī)律。作者經(jīng)過數(shù)十年不斷地探索，并取得了初步的研究結(jié)果。
作為“創(chuàng)新數(shù)學(xué)”的研究宗旨或方向，這里則是對自然數(shù)的 性質(zhì)、規(guī)律重新認(rèn)識或探討過程。這是一個(gè)組織系統(tǒng)非常嚴(yán)密的數(shù)學(xué)模型，通過對不同性質(zhì)的自然數(shù)在這一模型中的實(shí)際分布情況，以及各數(shù)之間存在的具有普遍意義上的互相關(guān)系及表現(xiàn)形式，從本質(zhì)上認(rèn)識自然數(shù)性質(zhì)的一種新的數(shù)學(xué)理論。因此在這種對具體關(guān)系的研究方法中，是靠對自然數(shù)列本身經(jīng)過長時(shí)間的觀察，并對發(fā)現(xiàn)的每個(gè)規(guī)律不斷地提出為什么存在，又不斷地進(jìn)行分析或探討，從本質(zhì)上認(rèn)識這些規(guī)律與性質(zhì)存在的真正原因后，一步步逐漸被揭示出來的。在創(chuàng)新數(shù)學(xué)中，對于每種規(guī)律的認(rèn)識與計(jì)算公式的創(chuàng)建，都能夠找到它們形成的根源。對于每個(gè)規(guī)律與性質(zhì)的了解，不僅知其然也會(huì)讓我們能夠知其所以然。
處于現(xiàn)代信息化和高科技快速發(fā)展的今天，當(dāng)我們坐在電腦桌前辦公時(shí)，當(dāng)面對各種數(shù)碼產(chǎn)品時(shí) …，不能不想到數(shù)學(xué)在我們生活中所起的作用以及科學(xué)研究中的重要性。雖然計(jì)算機(jī)的普及與多媒體的廣泛應(yīng)用，使我們進(jìn)入到一個(gè)高科技快速發(fā)展的數(shù)字化時(shí)代，顯然更不能排除對數(shù)學(xué)性質(zhì)進(jìn)行深入地討論。對于數(shù)論的研究，它也不像有些人說的那樣：“數(shù)論屬于純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，純數(shù)學(xué)是沒有實(shí)際用途的”。也不是有些人認(rèn)為現(xiàn)在已進(jìn)入高科技時(shí)代，對于一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，完全可以由計(jì)算機(jī)來完成，關(guān)于對“數(shù)論”這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行研究已無關(guān)緊要。從我們?nèi)祟悓?shù)學(xué)應(yīng)用的幾千年歷史中可以看出，科學(xué)技術(shù)越是發(fā)展，越迫切需要數(shù)學(xué)工具的不斷地更新; 反之亦然，越是對數(shù)學(xué)知識有更深入的了解，科學(xué)技術(shù)才越會(huì)得到更進(jìn)一步的提高。所有科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步，都是在對其不斷深入的研究過程中取得的。所以人們把數(shù)學(xué)這門科學(xué)，看做是一切科學(xué)技術(shù)發(fā)展的支柱，沒有數(shù)學(xué)參與的任何事與物，都不會(huì)認(rèn)為是一種科學(xué)上的研究成果，所以人們才會(huì)把數(shù)學(xué)這門科學(xué)，冠以“數(shù)學(xué)是科學(xué)之母”這一真理般的稱號 。而“數(shù)論” 則是研究存在于整數(shù)中的性質(zhì)的一門學(xué)科。
作為一種創(chuàng)新數(shù)學(xué)的研究，這里不能不從自然數(shù)的產(chǎn)生談起。所謂創(chuàng)新數(shù)學(xué)，也正是在這種最原始的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)的源頭。所以只有這樣，才有可能發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在“困惑”的根本原因。這像用顯微鏡發(fā)現(xiàn)細(xì)菌與疾病的關(guān)系一樣，才會(huì)找到真正癥結(jié)的根源。因此，也可把這種“創(chuàng)新數(shù)學(xué)”看做是對數(shù)學(xué)研究中存在的難題，從“微觀數(shù)學(xué)”角度上去認(rèn)識它的研究方法。
盡管我們在幼兒時(shí)期，父母或老師就已教我們扳著手指學(xué)習(xí)“數(shù)數(shù)”并開始認(rèn)識數(shù)學(xué)了，（因在 創(chuàng)新數(shù)學(xué)《數(shù)數(shù)論》的研究中，關(guān)于‘數(shù)數(shù)’一詞應(yīng)用非常之多，有時(shí)名詞‘數(shù)’與動(dòng)詞‘數(shù)數(shù)’兩詞 常會(huì)在單個(gè)字的應(yīng)用時(shí)更易顯得混擾，為了區(qū)別它們之間的真實(shí)涵義或簡化其注音形式，則分別用繁體‘數(shù)’字作為動(dòng)詞應(yīng)用；用簡體‘數(shù)’字作為名詞應(yīng)用，在閱讀時(shí)請注意‘數(shù)數(shù)’兩字的區(qū)別。 ）而“數(shù)數(shù)”這種方法則將伴隨我們走過一生。但是，人們卻從來未對日常生活中，應(yīng)用十分廣泛的“數(shù)數(shù)”這一最基礎(chǔ)的計(jì)數(shù)形式做任何實(shí)質(zhì)性地研究工作。從我們最初認(rèn)識數(shù)學(xué)時(shí)，“數(shù)數(shù)”僅僅作為在兒童時(shí)期的一種啟蒙教育形式后，接著就從小學(xué)生時(shí)期起，便開始通過學(xué)習(xí)加法、減法這種最初級算術(shù)運(yùn)算方法，逐漸進(jìn)入到對高級數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)或研究領(lǐng)域。然而在對自然數(shù)的產(chǎn)生與“數(shù)數(shù)”計(jì)數(shù)之間究竟存在著怎樣一種規(guī)律或性質(zhì)？由簡單的“數(shù)數(shù)”計(jì)數(shù)形式所產(chǎn)生出來的自然數(shù)本身，為什么會(huì)存在著許多奇妙的性質(zhì)？它們之間是否存在著某種因果關(guān)系？數(shù)學(xué)中存在的某些性質(zhì)為什么我們現(xiàn)在都難以解決？在科學(xué)技術(shù)發(fā)達(dá)的現(xiàn)代化社會(huì)，最原始的“數(shù)數(shù)”這種計(jì)數(shù)形式，為什么總是在日常生活中應(yīng)用著而不能摒棄？難道說“數(shù)數(shù)”計(jì)數(shù)這一形式是由于幾千上萬年來人類對它的應(yīng)用已成為一種習(xí)慣嗎？在以上這些問題中，有些問題似乎顯得幼稚，然而對于以上這些貌似人們從不曾提及過的不是問題的問題，我們每個(gè)人卻無法做出正確回答，更談不上對“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種方法的探討或有更深的了解。我們除了在一些介紹初級“數(shù)論”書籍中，僅僅能夠了解到通過“數(shù)數(shù)”這一方法產(chǎn)生了自然數(shù)外，關(guān)于“數(shù)數(shù)”與自然數(shù)之間究竟發(fā)生了怎樣一種關(guān)系，基本找不到任何有關(guān)內(nèi)容的介紹。當(dāng)我們在一般《數(shù)學(xué)小詞典》這樣的數(shù)學(xué)工具書中，如果逐項(xiàng)仔細(xì)查找，甚至連“數(shù)數(shù)”這一概念的具體表述都不會(huì)發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)家華羅庚先生所著的《數(shù)論導(dǎo)引》這一數(shù)論著作，作為引導(dǎo)研究整數(shù)性質(zhì)的一部專題著作，然而從第一章第一節(jié)一開始就進(jìn)入到關(guān)于整數(shù)的整除性的討論。在華先生的另一著作《數(shù)學(xué)的用場與發(fā)展》中，作為介紹數(shù)學(xué)的發(fā)展史也只是說：“...數(shù)起源于數(shù)...所以‘數(shù)’是各種各樣不同量的共性，必須通過它才能比較量的多寡，才能說明量的變化”，僅此而已。而對“數(shù)起源于數(shù)”時(shí)，在“自然數(shù)列”中的一些整數(shù)，是否就必然會(huì)存在“素?cái)?shù)”、“合數(shù)”等這些不同性質(zhì)呢？不再去進(jìn)行深入地研究。即是從一些國外有關(guān)數(shù)論方面的參考資料中也可以看到，各國最初的原始數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)符號形成或形式雖然各不相同，但這些數(shù)學(xué)符號卻都是不約而同地通過“數(shù)數(shù)”這種方法產(chǎn)生的，而對“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”的研究，各國也都同樣處于一個(gè)盲區(qū)之中，找不到任何有關(guān)“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這方面深入的研究資料。對于“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”的研究，古今中外處于同一種“盲區(qū)”的認(rèn)識水平。如果這時(shí)我們反問一句：“數(shù)起源于數(shù)，那么是否數(shù)就顯得更加重要，因?yàn)樵谶@里顯然看出，數(shù)才是數(shù)的真正本質(zhì)”。
從以上介紹中可以了解到，人們在研究自然數(shù)的過程中，基本對“數(shù)數(shù)”這一最簡單的計(jì)數(shù)方法，僅僅看做是一種習(xí)以為常的生活行為（單純作為一種“動(dòng)詞”應(yīng)用），在數(shù)學(xué)研究中存在著明顯的漠視態(tài)度而不加以認(rèn)可。不論作為一個(gè)從事研究數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家還是一個(gè)普通人，把“數(shù)數(shù)”這種原始的計(jì)數(shù)形式，好像都看做是對兒童進(jìn)行啟蒙教育階段的一種方法，或認(rèn)為是“小兒科”的一種輔助教育形式，沒有必要存在于數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中一樣，人們不僅沒有引起對“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這一本質(zhì)進(jìn)行深入地研究 ，而且在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，就基本不包括“數(shù)數(shù)”這一計(jì)數(shù)形式的討論。不知是這種方法特別簡單還是其它原因，古今中外，所有的數(shù)學(xué)家們在對數(shù)學(xué)研究時(shí)，都幾乎忘卻“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種方法曾是數(shù)學(xué)發(fā)展史上最基本最直接的一種數(shù)學(xué)形式，也是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的根基。更不了解“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”形式的背后，隱藏著更多至今人們未知的數(shù)學(xué)規(guī)律與性質(zhì)。在探討“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這一創(chuàng)新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)家和我們每個(gè)普通人一樣，將站在同樣的起跑線上，作為探索自然數(shù)這一王國的研究者。把“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這一形式第一次作為創(chuàng)新數(shù)學(xué)的研究理論，也將會(huì)成為今后我們在研究數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一種重要工具。
人類在探索自然科學(xué)世界時(shí)，總是先從物質(zhì)表現(xiàn)出的本質(zhì)現(xiàn)象開始，然后逐漸去進(jìn)行深入地研究。不論是化學(xué)的元素學(xué)說，物理學(xué)的量子理論，還是天文學(xué)中對星系的觀察、生命的進(jìn)化演變及遺傳 基因等諸多自然科學(xué)所取得的研究成果，無一不是從最基礎(chǔ)的本質(zhì)開始，經(jīng)過不斷地深入探索或研究后所取得的。當(dāng)我們想想元素周期表的發(fā)現(xiàn)、顯微鏡的發(fā)明、蘋果從樹上掉到地上引發(fā)萬有引力的的故事 … ，有那一項(xiàng)偉大的科學(xué)技術(shù)不是從微觀現(xiàn)象上產(chǎn)生的。因此，自然科學(xué)的研究或發(fā)展史 ，是貫穿于對未知事物或其本質(zhì)進(jìn)行研究的一種整個(gè)過程。但在數(shù)學(xué)研究中，正好缺少的就是對產(chǎn)生自然數(shù)時(shí)的唯一途徑“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這一最本質(zhì)的研究工作。數(shù)學(xué)家們一再苦口婆心地告誡數(shù)學(xué)愛好者，在研究類似哥德巴赫猜想這樣的問題時(shí)，首先要把基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)好。然而，作為專業(yè)研究數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家們，卻對“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種最原始最基本的數(shù)學(xué)形式，與自然數(shù)之間存在著有那些內(nèi)在關(guān)系，則一無所知。這種現(xiàn)象，甚至越是自以為對數(shù)學(xué)十分精通的那些人們，越對“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種方法存在著不屑一顧的心理。由于精通數(shù)學(xué)知識的人們，如果對兒童時(shí)期就已學(xué)到的方法再去進(jìn)行研究，可以說這是一種滑稽到令人可笑的地步。因?yàn)槲覀兛偸且詾?#8220;數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”本身就是一種最基本方法，它沒有什么“背后”，更不存在背后會(huì)有什么性質(zhì)，對于“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種方法來說，沒有任何研究價(jià)值。
這里把“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”作為創(chuàng)新數(shù)學(xué)的研究，也可以比作是在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，一種對 “微觀數(shù)學(xué)理論”的討論方法。在這種方法中，涉及到算術(shù)中所有不同性質(zhì)自然數(shù)的規(guī)律與性質(zhì)，并讓我們從本質(zhì)上真正了解它們之間存在的互相關(guān)系。這在整個(gè)討論過程中，不存在任何人為因素在內(nèi)，只是通過對自然數(shù)從產(chǎn)生過程中，本身就已存在的性質(zhì)、規(guī)律的一種自身揭示或深入地開拓。因此創(chuàng)新數(shù)學(xué)的研究，這是對自然數(shù)自身固有性質(zhì)的一種本質(zhì)上的重新認(rèn)識或探索。自然數(shù)表現(xiàn)出的這些性質(zhì)與規(guī)律，在任何時(shí)候都不可能通過數(shù)學(xué)上的任何證明方法所能得到的。如果在對自然數(shù)這些性質(zhì)與規(guī)律不了解的情況下，想通過所謂高深的數(shù)學(xué)語言來證明哥德巴赫猜想這樣的難題，這將永遠(yuǎn)成為數(shù)學(xué)研究之謎，猶如用數(shù)學(xué)語言去證明‘什么是數(shù)字’一樣無知。
“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)形式或做法，是我們每個(gè)人每天都必須面對的事實(shí)，如購買商品清點(diǎn)錢幣或貨物的數(shù)量時(shí)，不論你的學(xué)位高低還是運(yùn)用點(diǎn)鈔機(jī)這樣的高級的計(jì)數(shù)工具，“數(shù)數(shù)”總是成為首選的計(jì)數(shù)方法。然而，對于“數(shù)數(shù)” 這種計(jì)數(shù)方法來說，不論從對它的規(guī)律還是性質(zhì)的認(rèn)識上，可以說處于一片空白。在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，這一未被開墾的“處女地”既顯得荒蕪而又顯得多彩多姿般地迷人。
當(dāng)自然數(shù)從“數(shù)數(shù)”過程中形成后，把“數(shù)數(shù)”只是看做生活中一種最簡單的計(jì)數(shù)方法，這在人們心目中已經(jīng)成為一種不可爭辯的認(rèn)識。由于從兒童時(shí)期起，就對“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”方法有了普遍的了解，這種現(xiàn)象對于我們大多數(shù)人而言，顯得并不十分重要是無可非議的，但在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域內(nèi)，作為人們對數(shù)學(xué)進(jìn)行深層次地認(rèn)識或探討，卻只是囿于注重對高級數(shù)學(xué)的研究，并完全放棄對原始的“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這一最基礎(chǔ)知識的進(jìn)一步討論，這不能不讓我們進(jìn)行反思。尤其在“數(shù)論”這一有關(guān)對整數(shù)性質(zhì)的某些問題研究中，人們犯了一次南轅北轍的研究方法，造成高級數(shù)學(xué)中的一些難題難以解決，對最基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)研究成為空白的兩種對立存在形式 。
當(dāng)人類進(jìn)入文明初期時(shí)，從結(jié)繩記事或擺放石子多少，通過與空間事物一 一進(jìn)行對應(yīng)的比較關(guān)系，成為對空間事物多少識別的最初方法。在逐步進(jìn)入到應(yīng)用“數(shù)數(shù)”作為對空間事物的數(shù)目進(jìn)行“清點(diǎn)”，并用“計(jì)數(shù)”形式了解這些事物“量”的多少，這時(shí)“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”方法已經(jīng)成為算術(shù)的基本雛形。當(dāng)發(fā)展為加法、減法這種初級算術(shù)方法表現(xiàn)出來時(shí)，則成為算術(shù)中的第一級運(yùn)算方法。這是“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)” 過程的一種必然結(jié)果，也是“數(shù)學(xué)”產(chǎn)生的基本形式。在人類生產(chǎn)活動(dòng)中，對空間事物需要進(jìn)行計(jì)“量”結(jié)果時(shí)，這是我們所采用的最基本實(shí)用的方法。在數(shù)學(xué)研究中，其它所有計(jì)算方法的產(chǎn)生，都是在這種第一級算術(shù)運(yùn)算方法上產(chǎn)生的。
“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”作為最基本的數(shù)學(xué)方法，實(shí)質(zhì)上這一概念本身包含著兩種數(shù)學(xué)的基本要素。“數(shù)”作為一種動(dòng)詞時(shí)，是指數(shù)學(xué)中采用的方法；“數(shù)”作為一種名詞時(shí)，是指數(shù)學(xué)中“量”或者與其運(yùn)算結(jié)果。但在數(shù)學(xué)研究中，對“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這一數(shù)學(xué)方法一直沒有引起人們的注意。由于我們僅僅把它看為一種方法，完全忽略了“計(jì)數(shù)”這種最基本功能，使之成為數(shù)學(xué)研究中的空白課題。人們在缺乏對微觀世界意識時(shí)，這種小小的一次疏忽與失誤，卻成為人類研究數(shù)學(xué)發(fā)展史上最大困惑產(chǎn)生的根源。
當(dāng)人們憑借對這種“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)"形式建立起來的加法和減法后， 根據(jù)初級計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的長期積累，又在此基礎(chǔ)上為了簡化計(jì)算過程，再次轉(zhuǎn)換為乘法、除法這種第二級算術(shù)的運(yùn)算形式后, 不論從對空間事物進(jìn)行基本計(jì)數(shù)的形式上，還是從自然數(shù)的產(chǎn)生角度上看，對于這種第二級算術(shù)運(yùn)算方法來說，這時(shí)其實(shí)質(zhì)上已經(jīng)成為一種間接的計(jì)數(shù)行為。同時(shí)在這種間接的計(jì)數(shù)行為中，自然數(shù)列本身的許多具有不同性質(zhì)的數(shù)也伴隨著表現(xiàn)出來，諸如：乘數(shù)、被乘數(shù)、積數(shù)、除數(shù)、被除數(shù)、整除、因子、余數(shù)、商數(shù)、素?cái)?shù)、合數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)等許多新的概念。對于這些概念的產(chǎn)生原因，人們僅僅認(rèn)為是由于計(jì)算方法的改變和計(jì)算過程需要的結(jié)果。而對這些不同性質(zhì)的自然數(shù)，它們在自然數(shù)列中互相之間存在的整體規(guī)律或性質(zhì)，卻未有做更深入地研究或了解。實(shí)際上這些具有不同性質(zhì)的自然數(shù)，通過“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”產(chǎn)生自然數(shù)時(shí)就已經(jīng)存在。因在“數(shù)論”中，我們是直接從第二級算術(shù)運(yùn)算時(shí)的乘除法開始，分別對具有不同性質(zhì)的自然數(shù)進(jìn)行研究，來了解數(shù)與數(shù)之間存在的不同關(guān)系，這無形中使我們脫離了對自然數(shù)本質(zhì)上的認(rèn)識。對“素?cái)?shù)”這種組成自然數(shù)的“基本材料”的了解，也只好“越級興嘆”了。這是數(shù)學(xué)研究中，造成許多困惑的根源。當(dāng)我們在“數(shù)論”研究中，從數(shù)的‘整除性’開始進(jìn)行討論時(shí)，對素?cái)?shù)的某些性質(zhì)認(rèn)識，猶如霧里看花一樣，很難認(rèn)清它的本質(zhì)。因?yàn)槲覀冊谶@種間接的研究方法中，如同瞭望空中的飛機(jī)，很難了解它的起飛基地一樣。
四 創(chuàng)新數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)研究的影響
在自然數(shù)列內(nèi)，數(shù)與數(shù)之間不僅有著特殊的性質(zhì)和規(guī)律，更重要的是“數(shù)”與“數(shù)”對某些空間事物中存在的規(guī)律，都有著極強(qiáng)的數(shù)學(xué)表現(xiàn)體系，這是其它任何方法都無法做到的。由于自然數(shù)的產(chǎn)生，是通過“數(shù)”與空間事物的一一 對應(yīng)關(guān)系，在“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”方法中形成的，而對其兩者之間性質(zhì)的認(rèn)識，則是我們?nèi)祟悘奈瓷婕暗摹?/span>
創(chuàng)新數(shù)學(xué)《數(shù)數(shù)論》的研究，雖然看似“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這一方法，是從兒童時(shí)期就已學(xué)習(xí)的最簡單最基本的數(shù)學(xué)知識，但是，在《數(shù)數(shù)論》的研究中，“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種形式，卻是對數(shù)學(xué)研究向縱深范圍進(jìn)行擴(kuò)張的理論。因?yàn)檫@種理論本身就是建立在對空間事物進(jìn)行一一對應(yīng)基礎(chǔ)上的，其中一些規(guī)律與性質(zhì)，同樣也對應(yīng)于空間事物的規(guī)律與性質(zhì)。在自然科學(xué)研究中，這對空間事物中的物質(zhì)世界認(rèn)識有著極其深遠(yuǎn)的意義?！稊?shù)數(shù)論》所討論的問題，基本上全部是對整數(shù)中存在的各種規(guī)律、性質(zhì)，進(jìn)行“追根問底”地探討過程，而這些規(guī)律與性質(zhì)又是現(xiàn)在我們不曾認(rèn)識或了解的。
在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，人類對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，習(xí)慣于是對空間事物進(jìn)行“量”化的一種重要手段。對于自然數(shù)列內(nèi)，不同性質(zhì)的自然數(shù)，它們在這一集合中的分布關(guān)系、數(shù)與數(shù)之間的結(jié)合關(guān)系、數(shù)與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、數(shù)與數(shù)的對稱關(guān)系等許多性質(zhì)，這些都是我們很少或從未了解的。對自然數(shù)列這一集合的整體性質(zhì)，只是部分認(rèn)識。每個(gè)數(shù)在這一結(jié)合整體結(jié)構(gòu)中，有些規(guī)律甚至可以在空間事物中，直接找到與之相對應(yīng)的表現(xiàn)形式。數(shù)與空間事物這種“形”的對應(yīng)關(guān)系，有可能引發(fā)數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的再次擴(kuò)張。
在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，不論我們是在討論其規(guī)律還是性質(zhì)，一般最終達(dá)到的目的就是對空間事物的各種“量化”運(yùn)算結(jié)果。在自然數(shù)這一系統(tǒng)中，當(dāng)我們從頭再來對“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種方法進(jìn)行研究或討論時(shí)，將會(huì)使我們驚奇地發(fā)現(xiàn)，“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”與自然數(shù)之間，竟存在著人們從來未有認(rèn)識到的許多非常有趣的性質(zhì)與規(guī)律，甚至可以讓我們達(dá)到拍案叫絕的瘋狂程度！（這也是作者幾十年來未能放棄研究的主要原因）而“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”所表現(xiàn)出的這些重要性，不僅是維系自然數(shù)整體性質(zhì)與規(guī)律的一種系統(tǒng)模型和基本方式，也將激發(fā)我們產(chǎn)生更多的聯(lián)想思維和靈感。所以，對“數(shù)數(shù)”這一簡單的計(jì)數(shù)方法進(jìn)行探討，是對自然數(shù)這些性質(zhì)進(jìn)行追根問底的研究方法。一旦這些性質(zhì)與規(guī)律被我們掌握， 對于數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍或一些自然科學(xué)的發(fā)展將是一個(gè)劃時(shí)代的突破。因?yàn)橥ㄟ^對“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”探討時(shí)可以使我們了解到，其所表現(xiàn)出的規(guī)律與性質(zhì)在很大程度上表明，在這種創(chuàng)新的數(shù)學(xué)模型中，則表現(xiàn)出存在著如下的情況：自然數(shù)的應(yīng)用，將不再是一種單純而抽象的運(yùn)算形式，在“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這一系統(tǒng)模型中，它本身就在很大程度上存在著具有可能成為研究自然界某些事物或現(xiàn)象變化規(guī)律與性質(zhì)的重要方法。以前如果對整數(shù)性質(zhì)的探討，是一種研究自然數(shù)中的計(jì)算、計(jì)序、計(jì)數(shù)、排列、組合、性質(zhì)等不同方法；創(chuàng)新數(shù)學(xué)則是一種通過“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”與自然數(shù)之間的關(guān)系，討論自然數(shù)本身包含的數(shù)與數(shù)之間的結(jié)合、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系、規(guī)律、性質(zhì)、不同對應(yīng)關(guān)系的形成、不同分布周期、不同分布形式、因子的各種表現(xiàn)形式、倒數(shù)規(guī)律、互數(shù)規(guī)律、不同模數(shù)的創(chuàng)建與性質(zhì)等各種內(nèi)在因素。這兩種不同的數(shù)學(xué)研究方法，雖然都是在探討自然數(shù)這種抽象的數(shù)學(xué)知識，但對自然數(shù)所表現(xiàn)出來的后一種具體內(nèi)容我們卻了解甚少。因自然數(shù)的產(chǎn)生源于對空間事物的認(rèn)識，因此，對自然數(shù)后一種性質(zhì)的研究，其表現(xiàn)出的某些性質(zhì)、規(guī)律，也同樣可直接對應(yīng)于空間事物，通過“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種對自然數(shù)列內(nèi)的微觀性質(zhì)進(jìn)行研究，在對新發(fā)現(xiàn)的這些性質(zhì)得到充分認(rèn)識后，“數(shù)”的一些性質(zhì)、規(guī)律與某些空間事物之間將建立起更為科學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)關(guān)系。
在科學(xué)研究中，總是脫離不了數(shù)學(xué)的參與，或把數(shù)學(xué)稱為是“科學(xué)研究之母”，或把數(shù)學(xué)作為我們學(xué)習(xí)知識時(shí)的基本學(xué)科，無一不與數(shù)的這種基本性質(zhì)有關(guān)。 作為伴隨人類應(yīng)用了幾千上萬年的自然數(shù)這種抽象的數(shù)學(xué)形式，我們對其本身的內(nèi)部規(guī)律、性質(zhì)卻研究甚少，更談不上在科學(xué)研領(lǐng)域中，對“數(shù)”本身就存在的這些性質(zhì)的應(yīng)用。在創(chuàng)新數(shù)學(xué)研究中，根據(jù)自然數(shù)表現(xiàn)出的這些性質(zhì)，將會(huì)成為科學(xué)研究中，一種新的有力工具。
“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”作為人類從蒙昧?xí)r期進(jìn)入文明社會(huì)的一種文化現(xiàn)象，并在此基礎(chǔ)上逐步發(fā)展為現(xiàn)代化高科技時(shí)代，從計(jì)算機(jī)的普及與數(shù)碼產(chǎn)品和多媒體的廣泛應(yīng)用，然而對“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這一最原始最基本的數(shù)學(xué)形式則沒有深入地研究。在從兒童時(shí)代就已認(rèn)識的“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這一數(shù)學(xué)方法，當(dāng)我們成長為某某 “大家”時(shí)，卻不了解這種基本知識的性質(zhì)， 這不能不讓我們?yōu)榇朔N現(xiàn)象感到汗顏。在人類現(xiàn)在認(rèn)識的所有自然科學(xué)研究領(lǐng)域中，作為最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)形式，經(jīng)過幾千年這樣漫長悠久的歷史而沒有得到充分的認(rèn)識或研究，在其它科研領(lǐng)域內(nèi)，這種現(xiàn)象是很少存在的。
“自然數(shù)”，作為人類認(rèn)識自然了解自然的一種特殊抽象的數(shù)學(xué)形式，在使用“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”方法形成的過程中，當(dāng)對“數(shù)”與”數(shù)“兩者之間的關(guān)系進(jìn)行過認(rèn)真地研究后，對于自然數(shù)列本身存在的某些性質(zhì)與規(guī)律，將會(huì)得到全面的認(rèn)識，同時(shí)也將知其性質(zhì)、規(guī)律形成的必然關(guān)系。 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究中，對于像“哥德巴赫猜想”等有關(guān)素?cái)?shù)問題的研究，自然數(shù)列中為什么會(huì)產(chǎn)生諸如“猜想”等這樣的問題，我們不是去多問幾個(gè)為什么，而是一味地想方設(shè)法地去做出證明，這不能不讓我們對數(shù)學(xué)中存在的某些問題產(chǎn)生一種神秘感。單純用數(shù)學(xué)語言作為研究數(shù)學(xué)工具，這種方法即便做出證明結(jié)果，我們也很難了解形成這種性質(zhì)的真正原因。如果在不了解自然數(shù)中產(chǎn)生這種規(guī)律的原因前提下，而只是應(yīng)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法和工具去進(jìn)行證明，形成難以克服的困惑也就成為一種必然結(jié)果。
在數(shù)論研究中，人們?nèi)绻皇青笥趯Ω呒墧?shù)學(xué)的研究，而是對數(shù)學(xué)中表現(xiàn)出的不同性質(zhì) 不斷地提出為什么，那么，我們這時(shí)就會(huì)很容易發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)研究中存在著一些奇怪的現(xiàn)象。如在關(guān)于素?cái)?shù)的某些問題討論時(shí)，既是在研究與討論偶數(shù)中，有關(guān)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)相加之和時(shí)的多少問題，或者是一個(gè)合數(shù)所含素因子個(gè)數(shù)多少的問題，我們同樣在前面提到的所有數(shù)學(xué)資料中，找不到關(guān)于偶合數(shù)或者奇合數(shù)中，它們所含素?cái)?shù)因子個(gè)數(shù)多少的原因是什么？因子與積數(shù)之間所存在的關(guān)系說明了自然數(shù)中的什么樣的性質(zhì)？被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、因子、余數(shù)之間存在的關(guān)系，它們有著什么樣的性質(zhì)與規(guī)律？素?cái)?shù)或素?cái)?shù)因子是怎樣形成的？素?cái)?shù)在自然數(shù)列中的分布是怎樣一種規(guī)律？素?cái)?shù)為什么只能被‘ 1 ’或其本身這兩個(gè)因子所整除?合數(shù)中所包含的不同個(gè)數(shù)的那些因子又是怎樣形成的？一個(gè)素?cái)?shù)平方數(shù)中的三個(gè)因子之間是否也 存在著特殊不同的關(guān)系？（如：25 = 1×5×5 49 = 1×7×7 … ，在“數(shù)數(shù)論”表現(xiàn)出的性質(zhì)，并不像我們一般想象的那樣簡單） 當(dāng)一個(gè)合數(shù)中含有兩個(gè)以上的素?cái)?shù)因子時(shí)，這些因子是以什么樣的規(guī)律結(jié)合在一起的？對自然數(shù)這些明顯的基本性質(zhì)都未能夠做出圓滿的解釋，而卻利用所謂高深的解析數(shù)論方法去證明哥德巴赫猜想存在的可能性，這很難認(rèn)為是一種科學(xué)的研究方法。例如素?cái)?shù)：13＝1×13 偶合數(shù)：18 =2×3×3 奇合數(shù)：21 = 3×7 含多個(gè)因子的合數(shù)：364=2×2×7×13 2618 = 2×7×11×17 可見，不同合數(shù)中所含素因子個(gè)數(shù)的多少，與這個(gè)合數(shù)大小無關(guān)，而直接去證明哥德巴赫所提出的凡大于 6 的每個(gè)偶數(shù)是否都能夠用兩個(gè)素?cái)?shù)之和來表示，或證明大偶數(shù)中所含素因子個(gè)數(shù)乘積之和的多少問題，在對自然數(shù)以上這些性質(zhì)或基本規(guī)律都不了解的情況下，其盲目性是不言而喻的。 正是這種盲目性， 導(dǎo)致數(shù)學(xué)家們難以指出今后“哥德巴赫猜想”正確的研究方向是什幺。
作為創(chuàng)新數(shù)學(xué)自然數(shù)原本《數(shù)數(shù)論》的研究中，它所表現(xiàn)出的性質(zhì)與規(guī)律，就是這樣一種特殊的數(shù)學(xué)模型。在對以上所提到的問題，基本上都可以從中找到相對應(yīng)的規(guī)律與性質(zhì)。在本書中有關(guān)素?cái)?shù)與偶數(shù)之間所形成的規(guī)律也是顯而易見的。從這些規(guī)律中，我們不僅知其然也會(huì)知其所以然，在《數(shù)數(shù)論》中所討論的規(guī)律和性質(zhì)，它不是指證明大偶數(shù)可用兩個(gè)素?cái)?shù)之和來表示，而是從客觀上揭示出在自然數(shù)列中的所有偶數(shù)，都能夠用兩個(gè)素?cái)?shù)之和進(jìn)行表示的這種普遍規(guī)律或其性質(zhì)存在的本質(zhì)。因此，對于哥德巴赫猜想來說，揭示出關(guān)于素?cái)?shù)與偶數(shù)之間在自然數(shù)列中存在的這些性質(zhì)與規(guī)律，這將不證自明，有充分理由說明哥德巴赫當(dāng)時(shí)所提問題的正確性。這是自然數(shù)本身從產(chǎn)生時(shí)所形成的一種必然性質(zhì)與規(guī)律。對創(chuàng)新數(shù)學(xué)《數(shù)數(shù)論》的研究，將綜合提升數(shù)學(xué)研究理論的水平。
《數(shù)數(shù)論》里，在對自然數(shù)的討論中，它不但涉及到素?cái)?shù)、合數(shù)、因子這些數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也涉及到除數(shù)、被除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)、乘數(shù)、被乘數(shù)、積數(shù)等貫通于整個(gè)算術(shù)中的基本性質(zhì)與具體規(guī)律。當(dāng)漫步在《數(shù)數(shù)論》這一數(shù)學(xué)處女地時(shí)，將使我們感到自然數(shù)與“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”兩者之間所存在的性質(zhì)與規(guī)律，具有不可分割的緊密關(guān)系。這不僅使我們對自然數(shù)有了一個(gè)全新的認(rèn)識或全面的了解，同時(shí)也將使我們對數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域，會(huì)擴(kuò)大到一些新的科學(xué)研究范圍。在對這種創(chuàng)新數(shù)學(xué)探討的整個(gè)過程，所發(fā)現(xiàn)的一些新的性質(zhì)與規(guī)律已有跡象表明，對自然數(shù)這些規(guī)律與性質(zhì)的研究、開發(fā)與運(yùn)用，已不僅僅限于對算術(shù)領(lǐng)域范圍內(nèi)的討論，它也將對自然界中所存在的某些現(xiàn)像與表現(xiàn)形式，形成一種新的研究工具或引起更多創(chuàng)新理論的誕生。
《數(shù)數(shù)論》這一數(shù)學(xué)模型，還在于也是一種創(chuàng)新“篩法 ”。在該篩法中，不但可以了解到素?cái)?shù)分布的一些具體情況，同時(shí)在這一篩法中進(jìn)行篩選素?cái)?shù)時(shí)，最重要的它不是建立在乘法或除法的性質(zhì)上篩選素?cái)?shù)，而是直接用簡單的加法形式進(jìn)行篩選的。這是根據(jù)自然數(shù)本身存在的基本性質(zhì)，通過其客觀規(guī)律所決定的。顯然這種篩法與其它任何篩法比較，有著本質(zhì)上的不同，在這種創(chuàng)新篩法中，當(dāng)作為對自然數(shù)進(jìn)行判別素?cái)?shù)時(shí)的一種方法時(shí)，并可根據(jù)篩選范圍大小而改變運(yùn)算程序，相對地會(huì)使運(yùn)算程序范圍大量縮小。根據(jù)這種的篩法性質(zhì)，我們對不同數(shù)學(xué)研究范圍的需要，隨時(shí)都可以從中找到篩選素?cái)?shù)時(shí)的最佳計(jì)算規(guī)律或計(jì)算方案及計(jì)算公式。它的靈活性，這同樣是其它任何篩法所不能辦到的。
在《數(shù)數(shù)論》中，同時(shí)也有跡象表明，自然數(shù)列中的一些組成規(guī)律或其分布方式本身中，還具備不同螺旋形式的分布規(guī)律，這充分表現(xiàn)出自然界中某些螺旋規(guī)律存在的必然性。因此，這種新的數(shù)學(xué)模型很可能對具有這樣螺旋結(jié)構(gòu)的自然現(xiàn)象，將成為一種定量化的研究 方法。因?yàn)橛脭?shù)學(xué)模型解釋某些自然現(xiàn)象時(shí)，其表現(xiàn)形式更具有科學(xué)性或研究價(jià)值。如生命遺傳密碼那樣各種不同類型的螺旋結(jié)構(gòu)形式 ，當(dāng)用數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)時(shí)，很可能作為用數(shù)學(xué)研究生命時(shí)代的到來； 再例如從上世紀(jì) 60 年代起，就有科學(xué)家在進(jìn)入天體物理的研究領(lǐng)域后，創(chuàng)立了星系螺旋結(jié)構(gòu)的密度波理論并克服了困擾天文界數(shù)十年的“纏卷疑難”，進(jìn)而發(fā)展了星系旋臂長期維持的動(dòng)力理論，因此，《數(shù)數(shù)論》中表現(xiàn)出某些數(shù)的螺旋分布形式，也很可能對星系這種螺旋結(jié)構(gòu)形式會(huì)產(chǎn)生某些影響；航天科學(xué)創(chuàng)始人科學(xué)家錢學(xué)森的最大興趣是完成《系統(tǒng)學(xué)》的新的理論思想。當(dāng)在《數(shù)數(shù)論》中看到具有不同性質(zhì)的自然數(shù)之間，它們所表現(xiàn)出的嚴(yán)謹(jǐn)系統(tǒng)關(guān)系時(shí)，不能不為《系統(tǒng)學(xué)》這種新的理論思想所折服。
在《數(shù)數(shù)論》這一模型中還可以找到其它一些具有不同性質(zhì)或規(guī)律模型的多種表現(xiàn)形式，從表面上看，這一模型中的規(guī)律雖然十分復(fù)雜，但每種規(guī)律、形式都是唯一的，即這種模型內(nèi)根本就不存在估計(jì)、逼近、近似、假設(shè)等這些不確定因素。對自然數(shù)列中這一無限多的數(shù)，不論取任意 n 值內(nèi)的自然數(shù)為研究范圍，即使是其中任何一個(gè)素?cái)?shù)或合數(shù)的因子在篩選過程中出現(xiàn)問題，都會(huì)很容易地被發(fā)現(xiàn)出來。因《數(shù)數(shù)論》作為一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南到y(tǒng)模型，當(dāng)用于計(jì)算機(jī)的程序設(shè)計(jì)時(shí)，也將會(huì)產(chǎn)生某種新的設(shè)計(jì)程序與方法。同時(shí)根據(jù)其不同規(guī)律與性質(zhì)，也很容易產(chǎn)生新的密碼技術(shù)。不論從以上那方面來看，在對《數(shù)數(shù)論》這一創(chuàng)新的數(shù)學(xué)體系研究中，它不同于現(xiàn)代任何數(shù)學(xué)的研究方法，對這一創(chuàng)新數(shù)學(xué)的研究，將會(huì)成為現(xiàn)代創(chuàng)新科學(xué)研究中的一種助推工具。
在對這一“數(shù)學(xué)中的處女地”的研究中，因第一次認(rèn)識這種系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型或工具，作者雖經(jīng)過幾十年的深入探討，作為研究數(shù)與數(shù)之間，數(shù)與數(shù)之間的復(fù)雜關(guān)系或規(guī)律的一種創(chuàng)新方法，雖取得一定研究成果，但對各種不同性質(zhì)的自然數(shù)之間所存在的復(fù)雜關(guān)系或規(guī)律，也并不可能會(huì)得到全面地了解。作者在幾十年研究的實(shí)踐中深深地體會(huì)到，在對這種數(shù)學(xué)模型的研究中，它像一座永遠(yuǎn)開采不盡的金礦一樣，每發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律后，又會(huì)接著發(fā)現(xiàn)另一個(gè)規(guī)律。在《數(shù)數(shù)論》里的所有規(guī)律都是通過這樣一個(gè)接著一個(gè)被逐漸發(fā)現(xiàn)的，它不具有任何人為因素的參與，也不是人們不曾了解的性質(zhì)或規(guī)律。相信今后還會(huì)根據(jù)《數(shù)數(shù)論》中的方法，逐漸不斷地發(fā)現(xiàn)自然數(shù)中更多的性質(zhì)與規(guī)律。在這種具有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與研究方法中，也必將會(huì)應(yīng)用到其它不同的科學(xué)研究領(lǐng)域。對《數(shù)數(shù)論 》這一創(chuàng)新數(shù)學(xué)的研究，在某些數(shù)學(xué)或自然科學(xué)研究中，也將會(huì)成為數(shù)學(xué)研究中具有深遠(yuǎn)意義的有力工具，成為數(shù)學(xué)研究工作或數(shù)學(xué)研究者，開創(chuàng)更為廣闊的創(chuàng)新思維平臺。
