2017年中考備考專題復習：銳角三角函數(shù)
一、單選題（共15題；共30分）
1、（2016·巴中）一個公共房門前的臺階高出地面1.2米，臺階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數(shù)據(jù)如圖所示，則下列關系或說法正確的是（ ）
A、斜坡AB的坡度是10°
B、斜坡AB的坡度是tan10°
C、AC=1.2tan10°米
D、AB= 米
2、（2016·金華）一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為θ．現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=4米，樓梯寬度1米，則地毯的面積至少需要（ ） 
A、
米2
B、
米2
C、（4+ ）米2
D、（4+4tanθ）米2
3、（2016·泰安）如圖，輪船沿正南方向以30海里/時的速度勻速航行，在M處觀測到燈塔P在西偏南68°方向上，航行2小時后到達N處，觀測燈塔P在西偏南46°方向上，若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近位置，則此時輪船離燈塔的距離約為（由科學計算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（ ）
A、22.48
B、41.68
C、43.16
D、55.63
4、（2016·重慶）如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i=1： ，則大樓AB的高度約為（ ）（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）
A、30.6
B、32.1
C、37.9
D、39.4
5、（2016·聊城）聊城“水城之眼”摩天輪是亞洲三大摩天輪之一，也是全球首座建筑與摩天輪相結合的城市地標，如圖，點O是摩天輪的圓心，長為110米的AB是其垂直地面的直徑，小瑩在地面C點處利用測角儀測得摩天輪的最高點A的仰角為33°，測得圓心O的仰角為21°，則小瑩所在C點到直徑AB所在直線的距離約為（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（ ）
A、169米
B、204米
C、240米
D、407米
6、（2016·婁底）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D沿BC自B向C運動（點D與點B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，則BE+CF的值（ ?。?/span>
A、不變
B、增大
C、減小
D、先變大再變小
7、（2016·攀枝花）如圖，點D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一條弦，則sin∠OBD=（ ?。?/span>
A、
B、
C、
D、
8、（2016·安順）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是（ ?。?/span>
A、2
B、
C、
D、
9、（2016·西寧）如圖，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．動點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動．若P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，在運動過程中，△PBQ的最大面積是（ ）
A、18cm2
B、12cm2
C、9cm2
D、3cm2
10、（2016·陜西）如圖，⊙O的半徑為4，△ABC是⊙O的內接三角形，連接OB、OC．若∠BAC與∠BOC互補，則弦BC的長為（ ）
A、3
B、4
C、5
D、6
11、（2016·陜西）已知拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A、B兩點，將這條拋物線的頂點記為C，連接AC、BC，則tan∠CAB的值為（ ）
A、
B、
C、
D、2
12、（2016·義烏）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以點A為圓心，BC長為半徑畫弧交AB于點D，分別以點A、D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點E，連接AE，DE，則∠EAD的余弦值是（ ）
A、
B、
C、
D、
13、（2016·內蒙古）如圖，某日，正在我國南海海域作業(yè)的一艘大型漁船突然發(fā)生險情，相關部門接到求救信號后，立即調遣一架直升飛機和一艘正在南海巡航的漁政船前往救援，當飛機到達海面3000m的高空C處時，測得A處漁政船的俯角為45°，測得B處發(fā)生險情漁船的俯角為30°，此時漁政船和漁船的距離AB是（ ）
A、3000m
B、3000（ +1）m
C、3000（ -1）m
D、1500 m
14、（2016·濟南）濟南大明湖畔的“超然樓”被稱作“江北第一樓”，某校數(shù)學社團的同學對超然樓的高度進行了測量，如圖，他們在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往樓的方向前進60m至B處，測得仰角為60°，若學生的身高忽略不計， ≈1.7，結果精確到1m，則該樓的高度CD為（ ）
A、47m
B、51m
C、53m
D、54m
15、（2016·益陽）小明利用測角儀和旗桿的拉繩測量學校旗桿的高度．如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等．小明將PB拉到PB′的位置，測得∠PB′C=α（B′C為水平線），測角儀B′D的高度為1米，則旗桿PA的高度為（ ?。?/span>
A、
B、
C、
D、
二、填空題（共5題；共6分）
16、（2016·陜西）請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按第一題計分．
A．一個多邊形的一個外角為45°，則這個正多邊形的邊數(shù)是________．
B．運用科學計算器計算：3 sin73°52′≈________．（結果精確到0.1）
17、（2016·濰坊）已知∠AOB=60°，點P是∠AOB的平分線OC上的動點，點M在邊OA上，且OM=4，則點P到點M與到邊OA的距離之和的最小值是________．
18、（2016·舟山）如圖，在直角坐標系中，點A，B分別在x軸，y軸上，點A的坐標為（﹣1，0），∠ABO=30°，線段PQ的端點P從點O出發(fā)，沿△OBA的邊按O→B→A→O運動一周，同時另一端點Q隨之在x軸的非負半軸上運動，如果PQ= ，那么當點P運動一周時，點Q運動的總路程為________．
19、（2016·孝感）如圖示我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周脾算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tan∠ADE的值為________
20、（2016·曲靖）如圖，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD邊上一點，沿AE折疊△ADE，使點D恰好落在BC邊上的F處，M是AF的中點，連接BM，則sin∠ABM=________．
三、計算題（共1題；共5分）
21、（2016·自貢）計算：（ ）﹣1+（sin60°﹣1）0﹣2cos30°+| ﹣1|
四、綜合題（共5題；共61分）
22、（2016·南充）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線交BC于點O，OC=1，以點O為圓心OC為半徑作半圓．
(1)求證：AB為⊙O的切線；
(2)如果tan∠CAO= ，求cosB的值．
23、（2016·寧波）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（5，0），菱形OABC的頂點B，C都在第一象限，tan∠AOC= ，將菱形繞點A按順時針方向旋轉角α（0°＜∠α＜∠AOC）得到菱形FADE（點O的對應點為點F），EF與OC交于點G，連結AG．
(1)求點B的坐標．
(2)當OG=4時，求AG的長．
(3)求證：GA平分∠OGE．
(4)連結BD并延長交x軸于點P，當點P的坐標為（12，0）時，求點G的坐標．
24、（2016·達州）如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點，連接AC，BC，過點O作OD⊥AC于點D，過點A作半圓O的切線交OD的延長線于點E，連接BD并延長交AE于點F．
(1)求證：AE·BC=AD·AB；
(2)若半圓O的直徑為10，sin∠BAC= ，求AF的長．
25、（2016·梅州）如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
26、（2016·徐州）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，﹣ ），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D
(1)求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；
(2)若P為y軸上的一個動點，連接PD，則 PB+PD的最小值為________；
(3)M（x，t）為拋物線對稱軸上一動點
①若平面內存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有 個；
②連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．
答案解析部分
一、單選題
【答案】B
【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題
【解析】【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°= ，故B正確；
故選：B．
【分析】根據(jù)坡度是坡角的正切值，可得答案．本題考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解題關鍵．
【答案】D
【考點】解直角三角形的應用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC·tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面積至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）；
故選：D．
【分析】由三角函數(shù)表示出BC，得出AC+BC的長度，由矩形的面積即可得出結果．本題考查了解直角三角形的應用、矩形面積的計算；由三角函數(shù)表示出BC是解決問題的關鍵．
【答案】B
【考點】解直角三角形的應用-方向角問題
【解析】【解答】解：如圖，過點P作PA⊥MN于點A，
MN=30×2=60（海里），
∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，
∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，
∵∠BMP=68°，
∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，
∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，
∴∠PMN=∠MPN，
∴MN=PN=60（海里），
∵∠CNP=46°，
∴∠PNA=44°，
∴PA=PN·sin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里）
故選：B．
【分析】過點P作PA⊥MN于點A，則若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔距離最近的位置為PA的長度，利用銳角三角函數(shù)關系進行求解即可此題主要考查了方向角問題，熟練應用銳角三角函數(shù)關系是解題關鍵．
【答案】D
【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題
【解析】【解答】解：延長AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如圖所示：
則GH=DE=15米，EG=DH，
∵梯坎坡度i=1： ，
∴BH：CH=1： ，設BH=x米，則CH= x米，
在Rt△BCH中，BC=12米，
由勾股定理得：x2+（ x）2=122 ， 解得：x=6，
∴BH=6米，CH=6 米，
∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6 +20（米），
∵∠α=45°，
∴∠EAG=90°﹣45°=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG=EG=6 +20（米），
∴AB=AG+BG=6 +20+9≈39.4（米）；
故選：D．
【分析】延長AB交DC于H，作EG⊥AB于G，則GH=DE=15米，EG=DH，設BH=x米，則CH= x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的長度，證明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6 +20（米），即可得出大樓AB的高度．本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度、俯角問題；通過作輔助線運用勾股定理求出BH，得出EG是解決問題的關鍵．
【答案】B
【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題
【解析】【解答】解：
過C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，AD=CD·tan∠ACD=CD·tan33°，
在Rt△BCO中，OD=CD·tan∠BCO=CD·tan21°，
∵AB=110m，
∴AO=55m，
∴A0=AD﹣OD=CD·tan33°﹣CD·tan21°=55m，
∴CD= = ≈204m，
答：小瑩所在C點到直徑AB所在直線的距離約為204m．
故選B．
【分析】過C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，求得AD=CD·tan∠ACD=CD·tan33°，在Rt△BCO中，求得OD=CD·tan∠BCO=CD·tan21°，列方程即可得到結論．此題主要考查了仰角與俯角的問題，利用兩個直角三角形擁有公共直角邊，能夠合理的運用這條公共邊是解答此題的關鍵．
【答案】C
【考點】銳角三角函數(shù)的定義，銳角三角函數(shù)的增減性
【解析】【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠DBF，設CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，
∴CF=DC·cosα，BE=DB·cosα，
∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC·cosα，
∵∠ABC=90°，
∴O＜α＜90°，
當點D從B→D運動時，α是逐漸增大的，
∴cosα的值是逐漸減小的，
∴BE+CF=BC·cosα的值是逐漸減小的．
故選C．
【分析】設CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，易知BE+CF=BC·cosα，根據(jù)0＜α＜90°，由此即可作出判斷．本題考查三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的增減性等知識，利用三角函數(shù)的定義，得到BE+CF=BC·cosα，記住三角函數(shù)的增減性是解題的關鍵，屬于中考常考題型．
【答案】D
【考點】勾股定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義
【解析】【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴CD= =5，
連接CD，如圖所示：
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD= ．
故選：D．
【分析】連接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根據(jù)點D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函數(shù)求出sin∠OBD即可．本題考查了圓周角定理，勾股定理、以及銳角三角函數(shù)的定義；熟練掌握圓周角定理是解決問題的關鍵．
【答案】D
【考點】勾股定理，勾股定理的逆定理，銳角三角函數(shù)的定義
【解析】【解答】解：如圖： ，
由勾股定理，得
AC= ，AB=2 ，BC= ，
∴△ABC為直角三角形，
∴tan∠B= = ，
故選：D．
【分析】根據(jù)勾股定理，可得AC、AB的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案．本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先求出AC、AB的長，再求正切函數(shù)．
【答案】C
【考點】二次函數(shù)的最值，解直角三角形
【解析】【解答】解：∵tan∠C= ，AB=6cm，
∴ = =，
∴BC=8，
由題意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
設△PBQ的面積為S，
則S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴當t=3時，S有最大值為9，
即當t=3時，△PBQ的最大面積為9cm2；
故選C．
【分析】先根據(jù)已知求邊長BC，再根據(jù)點P和Q的速度表示BP和BQ的長，設△PBQ的面積為S，利用直角三角形的面積公式列關于S與t的函數(shù)關系式，并求最值即可本題考查了有關于直角三角形的動點型問題，考查了解直角三角形的有關知識和二次函數(shù)的最值問題，解決此類問題的關鍵是正確表示兩動點的路程（路程=時間×速度）；這類動點型問題一般情況都是求三角形面積或四邊形面積的最值問題，轉化為函數(shù)求最值問題，直接利用面積公式或求和、求差表示面積的方法求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)圖象確定最值，要注意時間的取值范圍．
【答案】B
【考點】垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形
【解析】【解答】解：過點O作OD⊥BC于D，
則BC=2BD，
∵△ABC內接于⊙O，∠BAC與∠BOC互補，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= （180°﹣∠BOC）=30°，
∵⊙O的半徑為4，
∴BD=OB·cos∠OBC=4× =2 ，
∴BC=4 ．
故選：B．
【分析】首先過點O作OD⊥BC于D，由垂徑定理可得BC=2BD，又由圓周角定理，可求得∠BOC的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質，求得∠OBC的度數(shù)，利用余弦函數(shù)，即可求得答案．此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質以及三角函數(shù)等知識．注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．
【答案】D
【考點】拋物線與x軸的交點，銳角三角函數(shù)的定義
【解析】【解答】解：令y=0，則﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨設A（﹣3，0），B（1，0），
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴頂點C（﹣1，4），
如圖所示，作CD⊥AB于D．
在RT△ACD中，tan∠CAD= = =2，
故答案為D．
【分析】先求出A、B、C坐標，作CD⊥AB于D，根據(jù)tan∠ACD= 即可計算．本題考查二次函數(shù)與x軸交點坐標，銳角三角函數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練掌握求拋物線與x軸交點坐標的方法，記住銳角三角函數(shù)的定義，屬于中考?？碱}型．
【答案】B
【考點】解直角三角形
【解析】【解答】解：如圖所示：設BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB= BC= x，
根據(jù)題意得：AD=BC=x，AE=DE=AB= x，
作EM⊥AD于M，則AM= AD= x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD= = = ；
故選：B．
【分析】本題考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性質、等腰三角形的性質、三角函數(shù)；通過作輔助線求出AM是解決問題的關鍵．設BC=x，由含30°角的直角三角形的性質得出AC=2BC=2x，求出AB= BC= x，根據(jù)題意得出AD=BC=x，AE=DE=AB= x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性質得出AM= AD= x，在Rt△AEM中，由三角函數(shù)的定義即可得出結果．
【答案】C
【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題
【解析】【解答】解：
如圖，由題意可知CE∥BD，
∴∠CBA=30°，∠CAD=45°，且CD=3000m，
在Rt△ACD中，AD=CD=3000m，
在Rt△BCD中，BD= = =3000m，
∴AB=BD﹣AD=3000 ﹣3000=3000（ ﹣1）（m），
故選C．
【分析】根據(jù)平行線的性質可求得∠CBA=30°，∠CAD=45°，在R△ACD中可求得AD，在Rt△BCD中可求得BD，則可求得AB．本題主要考查解直角三角形，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
【答案】B
【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題
【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，
∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°，
∴∠ADB=∠A=30°，
∴BD=AB=60m，
∴CD=BD·sin60°=60× =30 ≈51（m）．
故選B．
【分析】由題意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可證得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函數(shù)，求得答案．此題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．注意證得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求解是關鍵．
【答案】A
【考點】解直角三角形的應用
【解析】【解答】解：設PA=PB=PB′=x， 在RT△PCB′中，sinα=，
∴ =sinα，
∴x= ．
故選A．
【分析】設PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根據(jù)sinα= ，列出方程即可解決問題．本題考查解直角三角形、三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是設未知數(shù)列方程，屬于中考常考題型．
二、填空題
【答案】8；11.9
【考點】計算器—數(shù)的開方，多邊形內角與外角，計算器—三角函數(shù)
【解析】【解答】解：（1）∵正多邊形的外角和為360°
∴這個正多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°=8
2）3 in73°52′≈12.369×0.961≈11.9
故答案為：8，11.9
【分析】（1）根據(jù)多邊形內角和為360°進行計算即可；（2）先分別求得3和sin73°52′的近似值，再相乘求得計算結果．本題主要考查了多邊形的外角和以及近似數(shù)，解決問題的關鍵是掌握多邊形的外角和定理以及近似數(shù)的概念．在取近似值時，需要需要運用四舍五入法求解．
【答案】
【考點】軸對稱-最短路線問題，解直角三角形
【解析】【解答】解：過M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，
則MN′的長度等于PM+PN的最小值，
即MN′的長度等于點P到點M與到邊OA的距離之和的最小值，
∵∠ON′M=90°，OM=4，
∴MN′=OM·sin60°=2 ，∴點P到點M與到邊OA的距離之和的最小值為2 ．
【分析】過M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，即MN′的長度等于點P到點M與到邊OA的距離之和的最小值，解直角三角形即可得到結論．本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，解直角三角形，正確的作出圖形是解題的關鍵．
【答案】4
【考點】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO= = ，①當點P從O→B時，如圖1、圖2所示，點Q運動的路程為 ，
②當點P從B→C時，如圖3所示，這時QC⊥AB，則∠ACQ=90°
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴cos30°= ∴AQ= =2
∴OQ=2﹣1=1
則點Q運動的路程為QO=1，
③當點P從C→A時，如圖3所示，點Q運動的路程為QQ′=2﹣，
④當點P從A→O時，點Q運動的路程為AO=1，
∴點Q運動的總路程為： +1+2﹣ +1=4
故答案為：4
【分析】本題主要是應用三角函數(shù)定義來解直角三角形，此題的解題關鍵是理解題意，正確畫出圖形；線段的兩個端點看成是兩個動點，將線段移動問題轉化為點移動問題．
【答案】
【考點】全等三角形的判定，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義
【解析】【解答】解：設小正方形EFGH面積是a2 ， 則大正方形ABCD的面積是13a2 ， ∴小正方形EFGH邊長是a，則大正方形ABCD的面積是 a，
∵圖中的四個直角三角形是全等的，
∴AE=DH，
設AE=DH=x，
在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2 ，
即13a2=x2+（x+a）2
解得：x1=2a，x2=﹣3a（舍去），
∴AE=2a，DE=3a，
∴tan∠ADE= ，故答案為： ．
【分析】小正方形EFGH面積是a2 ， 則大正方形ABCD的面積是13a2 ， 則小正方形EFGH邊長是a，則大正方形ABCD的面積是 a，設AE=DH=x，利用勾股定理求出x，最后利用熟記函數(shù)即可解答．此題中根據(jù)正方形以及直角三角形的面積公式求得直角三角形的三邊，進一步運用銳角三角函數(shù)的定義求解．
【答案】
【考點】矩形的性質，翻折變換（折疊問題），解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，沿AE折疊△ADE，使點D恰好落在BC邊上的F處，
∴AD=AF=10，
∴BF= =8，
則sin∠ABM= == ．
故答案為： ．
【分析】直接利用翻折變換的性質得出AF的長，再利用勾股定理得出BF的長，再利用銳角三角函數(shù)關系得出答案．此題主要考查了矩形的性質以及勾股定理和翻折變換的性質，得出BF的長是解題關鍵．
三、計算題
【答案】解：原式=2+1﹣ + ﹣1
=2
【考點】實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值
【解析】【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的定義化簡即可．本題考查負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值等知識，熟練掌握這些知識是解決問題的關鍵，記住a﹣p= （a≠0），a0=1（a≠0），|a|= ，屬于中考常考題型．
四、綜合題
【答案】
（1）解：如圖作OM⊥AB于M，
∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC=OM，
∴AB是⊙O的切線，
（2）解：設BM=x，OB=y，則y2﹣x2=1 ①，
∵cosB= ，
∴ ，
∴x2+3x=y2+y ②，
由①②可以得到：y=3x﹣1，
∴（3x﹣1）2﹣x2=1，
∴x= ，y= ，
∴cosB= = ．
【考點】切線的判定，銳角三角函數(shù)的定義
【解析】【分析】（1）如圖作OM⊥AB于M，根據(jù)角平分線性質定理，可以證明OM=OC，由此即可證明．（2）設BM=x，OB=y，列方程組即可解決問題．本題考查切線的判定、勾股定理、三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是記住圓心到直線的距離等于半徑，這條直線就是圓的切線，學會設未知數(shù)列方程組解決問題，屬于中考?？碱}型．
【答案】
（1）解：如圖1，過點B作BH⊥x軸于點H，
∵四邊形OABC為菱形，
∴OC∥AB，
∴∠BAH=∠COA．
∵tan∠AOC= ，
∴tan∠BAH= ．
又∵在直角△BAH中，AB=5，
∴BH= AB=4，AH= AB=3，
∴OH=OA+AH=5+3=8，
∴點B的坐標為（8，4）
（2）解：如圖1，
過點A作AM⊥OC于點M，
在直角△AOM中，∵tan∠AOC= ，OA=5，
∴AM= OA=4，OM= OA=3，
∵OG=4，
∴GM=OG﹣OM=4﹣3=1，
∴AG= = =
（3）證明：如圖1，
過點A作AN⊥EF于點N，
∵在△AOM與△AFN中，，
∴△AOM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN，
∴GA平分∠OGE
（4）解：如圖2，
過點G作GQ⊥x軸于點Q，
由旋轉可知：∠OAF=∠BAD=α．
∵AB=AD，
∴∠ABP= ，
∵∠AOT=∠F，∠OTA=∠GTF，
∴∠OGA=∠EGA= ，
∴∠OGA=ABP，
又∵∠GOA=∠BAP，
∴△GOA∽△BAP，
∴ ，
∴GQ= ×4= ．
∵tan∠AOC= ，
∴OQ= × =，
∴G（ ， ）．
【考點】全等三角形的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，解直角三角形
【解析】【分析】（1）如圖1，過點B作BH⊥x軸于點H，構建直角△ABH，所以利用菱形的四條邊相等的性質和解該直角三角形得到AH、BH的長度，則易求點B的坐標；（2）如圖1，過點A作AM⊥OC于點M，構建直角△OAM和直角△AMG，通過解直角△OAM求得直角邊AM的長度，然后結合圖形和勾股定理來求AG的長度；（3）如圖1，過點A作AM⊥OC于點M，構建全等三角形：△AOM≌△AFN（ASA），利用該全等三角形的對應邊相等得到AM=AN，最后結合角平分線的性質證得結論；（4）如圖2，過點G作GQ⊥x軸于點Q，構建相似三角形：△GOA∽△BAP，根據(jù)該相似三角形的對應邊成比例得到求得GQ的長度．結合已知條件tan∠AOC= ，來求邊OQ的長度，即可得到點G的坐標．本題考查了四邊形綜合題．解題過程中，涉及到了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，旋轉的性質，解直角三角形以及勾股定理等知識點，解答該題的難點在于作出輔助線，構建相關的圖形的性質．
【答案】
（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，
∴∠C=90°，
∵OD⊥AC，
∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，
∵AE是切線，
∴OA⊥AE，
∴∠E+∠AOE=90°，
∴∠E=∠CAB，
∴△EAD∽△ABC，
∴AE：AB=AD：BC，
∴AE·BC=AD·AB．
（2）解：
作DM⊥AB于M，
∵半圓O的直徑為10，sin∠BAC= ，
∴BC=AB·sin∠BAC=6，
∴AC= =8，
∵OE⊥AC，
∴AD= AC=4，OD= BC=3，
∵sin∠MAD= = ，
∴DM= ，AM= = =，BM=AB﹣AM= ，
∵DM∥AE，
∴ ，
∴AF= ．
【考點】勾股定理，切線的性質，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)的定義
【解析】【分析】（1）只要證明△EAD∽△ABC即可解決問題．（2）作DM⊥AB于M，利用DM∥AE，得求出DM、BM即可解決問題．本題考查切線的性質、勾股定理、三角函數(shù)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形，學會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．
【答案】
（1）證明：連接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線．
（2）解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S扇形BOC= ．
在Rt△OCD中，
∵ ，
∴CD=2 ．
∴ ．
∴圖中陰影部分的面積為： ．
【考點】等腰三角形的性質，切線的判定，扇形面積的計算，特殊角的三角函數(shù)值
【解析】【分析】此題綜合考查了等腰三角形的性質、切線的判定方法、扇形的面積計算方法．（1）連接OC．只需證明∠OCD=90°．根據(jù)等腰三角形的性質即可證明；（2）陰影部分的面積即為直角三角形OCD的面積減去扇形COB的面積．
【答案】
（1）解：由題意 解得 ，
∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣ ，
∵y= x2﹣ x﹣ = （x﹣）2﹣ ，
∴頂點坐標（ ，﹣ ）
（2）
（3）① 5
②解：如圖，RT△AOB中，∵tan∠ABO= = ，
∴∠ABO=30°，
作AB的中垂線與y軸交于點E，連接EA，則∠AEB=120°，
以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點F、G．
則∠AFB=∠AGB=60°，從而線段FG上的點滿足題意，
∵EB= = ，
∴OE=OB﹣EB= ，
∵F（ ，t），EF2=EB2 ，
∴（ ）2+（t+ ）2=（）2 ，
解得t= 或 ，
故F（ ， ），G（， ），
∴t的取值范圍 ≤t≤
【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，垂線段最短，圓的綜合題，銳角三角函數(shù)的增減性
【解析】【解析】解：（2）如圖1中，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此時 PB+PD最?。?/span>
理由：∵OA=1，OB= ，
∴tan∠ABO= = ，
∴∠ABO=30°，
∴PH= PB，
∴ PB+OD=PH+PD=DH，
∴此時 PB+PD最短（垂線段最短）．
在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD= ，∠HAD=60°，
∴sin60°= ，
∴DH= ，
∴ PB+PD的最小值為 ．
故答案為 ．
（3）①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，
以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸也有兩個交點，
線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，
所以滿足條件的點M有5個，即滿足條件的點N也有5個，
故答案為5．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法轉化為解方程組解決問題．（2）如圖1中，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時PB+PD最?。钚≈稻褪蔷€段DH，求出DH即可．（3）①先在對稱軸上尋找滿足△ABM是等腰三角形的點M，由此即可解決問題．②作AB的中垂線與y軸交于點E，連接EA，則∠AEB=120°，以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點F、G．則∠AFB=∠AGB=60°，從而線段FG上的點滿足題意，求出F、G的坐標即可解決問題．本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、最短問題、圓等知識，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學會利用垂線段最短解決實際問題中的最短問題，學會添加輔助線，構造圓解決角度問題，屬于中考壓軸題．
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