一、測(cè)量旗桿的高度

【問題】如何測(cè)量旗桿的高度？

圖1

 

有一個(gè)笑話是這樣的：一群數(shù)學(xué)家在丈量一根旗桿的高度，他們只有一根皮尺，不好固定在旗桿上，因?yàn)槠こ呖偸锹湎聛?。一位物理學(xué)家路過，拔出旗桿，很容易就量出了數(shù)據(jù)。 他離開后，一位數(shù)學(xué)家對(duì)另一位說："物理學(xué)家總是這樣，我們要的是高度，他卻給我們長(zhǎng)度！"其實(shí)，不拔出旗桿，數(shù)學(xué)家還是有很多辦法來測(cè)量旗桿高度的。試舉一例：

如圖2，利用陽(yáng)光下的影子來測(cè)量旗桿的高度.

圖2

 

操作方法：一名學(xué)生在直立于旗桿影子的頂端處測(cè)出該同學(xué)的影長(zhǎng)和此時(shí)旗桿的影長(zhǎng)．

點(diǎn)撥：把太陽(yáng)的光線看成是平行的．

圖3

 

∵太陽(yáng)的光線是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD，

∵人與旗桿

是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB=90°，

∴△ABE∽△CBD 

∴

即CD=

因此，只要測(cè)量出人的影長(zhǎng)BE，旗桿的影長(zhǎng)DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗桿CD的高度了．

【練習(xí)】運(yùn)用三角形相似的知識(shí)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案測(cè)量一條河流的寬度AB（畫出示意圖，并簡(jiǎn)要說明理由）

【分析】先在岸上選取一點(diǎn)E，再選取一點(diǎn)C，使在點(diǎn)C處能夠通過E看到點(diǎn)A，過C作CD⊥BE，垂足為D，測(cè)量出BE、DE、CD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式即可求出河流的寬度AB．

圖4

 

【解答】解：如圖4，測(cè)量出BE、DE、CD的長(zhǎng)度分別為a、b、c，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例

即

所以

．

二、銳角的正切值

較真君來了，如果在河邊沒有空地，怎么辦？

答案是，在紙上做一個(gè)和Rt△ABE相似的三角形Rt△CDE（條件：∠CED＝∠AEB）.

圖5

 

∵∠AEB＝∠CED，∠ABE＝∠CDB=90°（已做），

∴△ABE∽△CDE

∴

即CD=

實(shí)際上，我們?cè)诩埳现攸c(diǎn)研究Rt△CDE 中邊CD與DE的比值，知道

，就知道

。那么測(cè)出BE，就求出AB了。

【問題】無論直角三角形的銳角為何值，它的對(duì)邊與鄰邊的比值總是固定不變的嗎？

圖6

 

在直角三角形中，一個(gè)的銳角的對(duì)邊與鄰邊的比值總是固定不變的。

在Rt△ABC中，我們觀察到銳角A越大，銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比值也越大。銳角A的大小、銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比值，兩者有什么關(guān)系呢？如果∠A=30°，銳角A的對(duì)邊BC與鄰邊AC的比值是多少呢？∠A=45°呢？∠A=60°呢？

圖7

 

【定義】在Rt△ABC中，∠C為直角，我們把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA．若把∠A的對(duì)邊BC記作a，鄰邊AC記作b，斜邊AB記作c，則

圖8

 

∠A取不同的角度時(shí)，∠A不同的正切值（tanA的值）：

tan1°=0.017455064928217585     tan2°=0.03492076949174773

tan3°=0.052407779283041196     tan4°=0.06992681194351041

tan5°=0.08748866352592401       tan6°=0.10510423526567646

tan7°=0.1227845609029046        tan8°=0.14054083470239145

tan9°=0.15838444032453627      tan10°=0.17632698070846497

tan11°=0.19438030913771848      tan12°=0.2125565616700221

tan13°=0.2308681911255631       tan14°=0.24932800284318068

tan15°=0.2679491924311227      tan16°=0.2867453857588079

tan17°=0.30573068145866033      tan18°=0.3249196962329063 

tan19°=0.34432761328966527      tan20°=0.36397023426620234

tan21°=0.3838640350354158      tan22°=0.4040262258351568

tan23°=0.4244748162096047       tan24°=0.4452286853085361 

tan25°=0.4663076581549986      tan26°=0.4877325885658614

tan27°=0.5095254494944288      tan28°=0.5317094316614788

tan29°=0.554309051452769       tan30°=0.5773502691896257

tan31°=0.6008606190275604      tan32°=0.6248693519093275

tan33°=0.6494075931975104     tan34°=0.6745085168424265

tan35°=0.7002075382097097      tan36°=0.7265425280053609 

tan37°=0.7535540501027942      tan38°=0.7812856265067174

tan39°=0.8097840331950072     tan40°=0.8390996311772799

tan41°=0.8692867378162267      tan42°=0.9004040442978399

tan43°=0.9325150861376618      tan44°=0.9656887748070739

tan45°=1                       tan46°=1.0355303137905693

tan47°=1.0723687100246826      tan48°=1.1106125148291927

tan49°=1.1503684072210092      tan50°=1.19175359259421

tan51°=1.234897156535051       tan52°=1.2799416321930785

tan53°=1.3270448216204098      tan54°=1.3763819204711733 

tan55°=1.4281480067421144     tan56°=1.4825609685127403

tan57°=1.5398649638145827     tan58°=1.6003345290410506

tan59°=1.6642794823505173      tan60°=1.7320508075688767 

tan61°=1.8040477552714235      tan62°=1.8807264653463318

tan63°=1.9626105055051503     tan64°=2.050303841579296

tan65°=2.1445069205095586      tan66°=2.246036773904215 

tan67°=2.355852365823753       tan68°=2.4750868534162946

tan69°=2.6050890646938023     tan70°=2.7474774194546216

tan71°=2.904210877675822       tan72°=3.0776835371752526 

tan73°=3.2708526184841404      tan74°=3.4874144438409087

tan75°=3.7320508075688776      tan76°=4.0107809335358455

tan77°=4.331475874284153       tan78°=4.704630109478456

tan79°=5.144554015970307       tan80°=5.671281819617707

tan81°=6.313751514675041       tan82°=7.115369722384207

tan83°=8.144346427974593       tan84°=9.514364454222587

tan85°=11.43005230276132       tan86°=14.300666256711942

tan87°=19.08113668772816      tan88°=28.636253282915515

tan89°=57.289961630759144       tan90°=(無限大)

如何求tan53°49′的值呢？上面的表中查不到呀！古代的數(shù)學(xué)家把一個(gè)銳角的三角函數(shù)值（包括正切值）做成了不同的三角函數(shù)值表。知道一個(gè)銳角的的角度，可以根據(jù)《銳角的正切表》查出對(duì)應(yīng)的正切值。

下面是我在中學(xué)就讀時(shí)用過的數(shù)學(xué)用表：

現(xiàn)在已經(jīng)用計(jì)算器或手機(jī)電腦中的計(jì)算器來計(jì)算三角函數(shù)值了?！吨袑W(xué)數(shù)學(xué)用表》已經(jīng)很少見到了，具體查法就不講了。不同的計(jì)算器的用法不同，自己用時(shí)請(qǐng)閱讀使用說明書，正確使用。

【例1】如圖9所示，（1）求出Rt△ABC中的tanA的值．（2）求出∠A的度數(shù)。

圖8

 

我使用的是一個(gè)網(wǎng)頁(yè)上的計(jì)算器：

圖9

 

在（1）中，計(jì)算tanA時(shí)按鍵依次為：

三、銳角的六個(gè)三角函數(shù)值

我們所學(xué)的基本的銳角三角函數(shù)包含六種基本函數(shù)：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。

　　

圖10

 

可以看出：tanA ·cotA＝1，sinA·cscA＝1，cosA ·secA＝1.在中學(xué)時(shí)代我們重點(diǎn)研究sinA(正弦)、cosA(余弦)、tanA(余弦)這三類三角函數(shù)。

Rt△ABC中，若把∠A的對(duì)邊BC記作a，鄰邊AC記作b，斜邊AB記作c，則：

【例2】如圖8，求出Rt△ABC中的sinA、sinB、和cosA、cosB的值．

圖8

 

理解一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切值的唯一性，是理解三角函數(shù)的核心.

銳角的正弦、余弦、正切值是這樣規(guī)定的：當(dāng)一個(gè)銳角確定了，那么這個(gè)銳角所在的直角三角形雖然有無窮多個(gè)，但它們都是彼此相似的.如上圖，當(dāng)

 確定時(shí)，包含

 的直角三角形有無窮多個(gè)，但它們彼此相似：

 ∽

 ∽

 ∽

 ……因此，由于相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，所以這些三角形的對(duì)應(yīng)邊的比都是相等的.

　

這就是說，每當(dāng)一個(gè)銳角確定了，包含這個(gè)角的直角三角形的上述3種比值也就唯一確定了，它們有確定不變的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

四、特殊角的正弦、余弦、正切值

特殊角的正弦、余弦值、正切值既容易導(dǎo)出，也便于記憶，應(yīng)當(dāng)熟悉掌握它們.

五、高手進(jìn)階

【思考1】當(dāng)∠A為銳角時(shí)，sinA、cosA、tanA的值會(huì)在什么范圍內(nèi)？

【結(jié)論】若∠A為銳角，則0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA ＞0.

【思考2】請(qǐng)大家觀察特殊角的正弦和余弦值，猜測(cè)一下，sin20°大概在什么范圍內(nèi)，cos50°呢？

【結(jié)論】銳角的正弦值隨角度增大而增大，余弦值隨角度增大而減小．

當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大而增大，隨著角度的減小而減??；當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，余弦值隨著角度的增大而減小，隨著角度的減小而增大．

【思考3】Rt△ABC的兩銳角∠A、∠B，sinA與cosB的值相等嗎？cosA與sinB的值相等嗎？為什么？

【結(jié)論】Rt△ABC的兩銳角∠A、∠B，sinA＝cosB，cosA＝sinB．

【思考4】在高中，我們將學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。

圖11

 

記得完成課本中的練習(xí)和復(fù)習(xí)題。

六、綜合訓(xùn)練

1.在

 中，

 ，求

 的值。

分析：利用余弦函數(shù)的定義求解。

解：如圖，在

 中，

 ∴不妨設(shè)

 ，由勾股定理可求，

    

 

 為所求。

說明：已知銳角

 的一個(gè)三角函數(shù)值，求角

 的其余三角函數(shù)值，這類題目應(yīng)熟練掌握。

2.在Rt

 中，

 ，如果

 ，則

 等于（ ）

?。?span lang="EN-US">A）

 　　（B）

 　?。?span lang="EN-US">C）

 　?。?span lang="EN-US">D）

解：如圖，在Rt

 中，設(shè)

 ，則

 。

　　

3.在

 中，若

 ，

 ，

 都是銳角，則

 的度數(shù)是（ ）

（A）

 ?。?span lang="EN-US">B）

 ?。?span lang="EN-US">C）

 ?。?span lang="EN-US">D）

分析：此例是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合正、余弦函數(shù)知識(shí)應(yīng)用的問題。在

 中，要求

 的度數(shù)，應(yīng)先確定

 、

 的度數(shù)。

解：

 

     

 ，

即

 ，

 。

又

 

 ，

 ，

 

 ，

 ，

 

 ，

 

 ，故應(yīng)選（C）。

說明：已知銳角α的三角函數(shù)值，求角α 的值，這類題目也應(yīng)熟練掌握，此類題目能很好的訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，同時(shí)也是以后高中學(xué)習(xí)解三角方程的基礎(chǔ)。

4. 在Rt

 中，

 ，垂足為

 ，求AB的長(zhǎng)和

 的值。

解：如圖，

 ∽

 ，

 或

 （舍去）。

由勾股定理，得

 。

 。

說明：利用三角形相似找出本題的解題思想，因此，對(duì)學(xué)過知識(shí)要靈活運(yùn)用。

5.在

 ，

 ，斜邊

 ，兩直角邊的長(zhǎng)

 是關(guān)于

 的一元二次方程

 的兩個(gè)根，求

 較小銳角的正弦值。

解：

 是方程

 的兩個(gè)根，

 ，

在

 ，由勾股定理得

而

 ，

 ，

 

即 

解關(guān)于

 的方程，得

 ，

 是

 的兩條直角邊的長(zhǎng)，

因此

 不合題意，舍去。

當(dāng)

 時(shí)，原方程為

解這個(gè)方程，得

 ，

 。

不妨設(shè)

 ，則

 

 較小銳角的正弦值為

 。

七、人教版教材及教學(xué)中的情況

人教版教材中，通過修建揚(yáng)水站時(shí)，要沿斜坡鋪設(shè)水管而提出求水管最頂端離地面高度的問題。第一步把這問題歸結(jié)于直角三角形中，第二步，再把這個(gè)問題歸于直角三角形中，已知一個(gè)銳角和斜邊的長(zhǎng)，求這個(gè)銳角所對(duì)直角邊的一個(gè)幾何問題．同時(shí)指出在這種情況下，用已學(xué)過的勾股定理是解決不了的．這樣為引進(jìn)本章的重要內(nèi)容——銳角三角函數(shù)作了十分必要的準(zhǔn)備．

人教版教材教學(xué)中，一般由教師給出定義以含30°的三角板為例讓學(xué)生對(duì)大小不同的三角板進(jìn)行度量，并引導(dǎo)學(xué)生得出規(guī)律：

 ，再進(jìn)一步對(duì)含45°的三角板進(jìn)行度量，在探索同樣的內(nèi)容時(shí)，要用到勾股定理，又類似地得到，所有的這種等腰直角三角形中，都會(huì)得到

 

 ,這時(shí)，應(yīng)當(dāng)即給出

 的正弦的定義及符號(hào)，即

 ，再對(duì)照?qǐng)D形，分別用a、b、c表示

 、

 、

 的對(duì)邊，得出

 及

 ，

 就這樣非常簡(jiǎn)潔地得到銳角三角函數(shù)的第一個(gè)定義sinA（正弦），使學(xué)生建立起銳角三角函數(shù)的概念.

而本案例中，從測(cè)旗桿的高度這一問題引入，學(xué)生便于體會(huì)三角函數(shù)值與邊的比值有關(guān)，而與三角形的大小無關(guān)。這樣做，有助于高中三角函數(shù)的概念的形成。