例1在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=1，2cosC+c=2b，則△ABC的周長的取值范圍是______。
原題解答中，對方程c^2-bc+b^2-1=0，以c、b為主元，利用判別式結(jié)合實際意義，分別得到c、b的范圍，利用同向不等式的可加性，結(jié)合三角形“兩邊之和大于第三邊”確定周長的取值范圍。
學(xué)生不應(yīng)只對判別式法（知識、技能）有困惑，還應(yīng)質(zhì)疑：
（1）同向不等式能夠直接相加嗎？（此性質(zhì)學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)）
（2）由b+c>a就能說明b+c可以取到大于a的所有實數(shù)嗎？
（3）最大值能取到嗎？
當(dāng)然這些問題的解決并不難，但學(xué)生的漠視體現(xiàn)了學(xué)生的感性認(rèn)識有余，理性認(rèn)識不足。
漠視問題（1）說明學(xué)生學(xué)習(xí)沒有推證的嚴(yán)謹(jǐn)習(xí)慣，多是只看書不動筆；
漠視問題（2）說明學(xué)生沒有注意到b與c的聯(lián)系（相互關(guān)聯(lián)制約是解答出錯的原因），沒有有界性和極限思想意識；
漠視問題（3）說明學(xué)生對函數(shù)最值概念理解不到位，沒有形成正確的技能與意識，與“掐頭去尾燒中間”的教與學(xué)的方式相關(guān)。
學(xué)生學(xué)習(xí)時，往往沿著別人的思路走，“弄懂”教材的解讀、習(xí)題的解答思路等就以為對知識深入理解了，缺乏自己的想法、思維、理解。有如認(rèn)知能力較低，思維水平不高等自身（成長過程）方面的原因；更與教師的教學(xué)方式息息相關(guān)，如教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不高，只能在知識方法的淺層打轉(zhuǎn)，對學(xué)生不夠信任（未能真正理解學(xué)生），始終在學(xué)生思維的低端徘徊，缺乏對學(xué)生學(xué)法的有效指導(dǎo)，教師迫于（考試進度、學(xué)校評比、社會輿論）壓力，課堂教學(xué)往往大容量、快節(jié)奏，壓縮了學(xué)生的思維空間，催生了學(xué)生的學(xué)習(xí)惰性等。
函數(shù)的最值是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念。從最大值定義知道，最大值包括兩個要素：其一，最大值是函數(shù)值；其二，最大值是所有函數(shù)值中的最大者。凡求函數(shù)最值都要確保符合函數(shù)最值定義。因此，求最大值的基本途徑有：利用函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性等）直接尋求函數(shù)的最大值；先找出函數(shù)的某個值，再證明該值是所有函數(shù)值中的最大者，以上體現(xiàn)了最值與函數(shù)值之間的特殊與一般的關(guān)系。
數(shù)形結(jié)合思想充分利用數(shù)與形的特點，揚長補短，充分發(fā)揮形的直觀和數(shù)的精準(zhǔn)。從圖1中能確定b+c的下（確）界，可以猜出其最大值（上確界），無論如何，圖形反映出來的信息不能代替推理證明，我們只需將其用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)符號語言來表征即可。因為b、c相互聯(lián)系、制約，如何避免它們各自為政產(chǎn)生的干擾、沖突，實現(xiàn)變化中的統(tǒng)一呢？通過減元策略，將二者之間的區(qū)別與聯(lián)系用一個未知數(shù)來表示，從而實現(xiàn)解題目標(biāo)，換元時要注意新元的取值范圍（被消去的元的范圍要在保留的元中體現(xiàn)）。
片斷1
教師：這個等式能看成方程嗎？比如：將c看成未知數(shù)，b看成已知量可以嗎？
教師對轉(zhuǎn)換視角看問題習(xí)以為常，但思維能力較弱的學(xué)生會覺得很不習(xí)慣甚至難以理解。學(xué)生的停頓表明學(xué)生可能并未真正悟透，教師不應(yīng)一滑而過。因此教師應(yīng)在此駐足長留，作實鋪墊，給學(xué)生以充分的緩沖和積累，通過回憶所學(xué)，心理過程的激蕩，促進觀念的改變和思維能力的提升?？勺魅缦骂A(yù)設(shè)：
教師：在等式c^2-bc+b^2-1=0中，b、c地位如何？方便我們求解嗎？如何調(diào)整？
教師：很好。我們把這種處理方法叫做主元法，它是解決多元對稱問題的重要方法。解題時確認(rèn)其對稱性是關(guān)鍵，等式中b、c位置互換，式子不變，不妨設(shè)b≥c進行排序。
學(xué)生：解法2是將b+c轉(zhuǎn)化為角C的三角函數(shù)，再求出其最大值，不會出問題。解法3用不等式關(guān)系求得b+c的最大值，也不會出問題。
“突出學(xué)生的主體地位”“注重對基本活動過程中經(jīng)驗積累”等課改理念被廣大一線教師所接受。學(xué)生在課堂上的探究交流活動日益泛濫，甚至成為評定高效課堂的唯一標(biāo)準(zhǔn)，于是學(xué)生成了教師擺弄的機器、操控的演員，學(xué)生辛苦，教師心累。在數(shù)學(xué)教師的知識結(jié)構(gòu)中，第一要素是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，其主要內(nèi)涵是：了解數(shù)學(xué)知識的背景，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念、定理、法則、公式等的邏輯意義，深刻領(lǐng)悟內(nèi)容所反映的思想方法、具有挖掘知識所蘊含的科學(xué)方法、理性思維過程和價值觀資源的能力和技術(shù)，善于區(qū)分核心知識和非核心知識等。教學(xué)首先要解決“教得對不對”的問題，再解決“教得好不好”的問題。以其昏昏，豈能使人昭昭。數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)理解水平，直接決定了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平，影響到學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。離開了專業(yè)的思考，任何一種教學(xué)方法或教學(xué)模式的應(yīng)用都不可能真正獲得成功。
教育的根本目標(biāo)是育人。從數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的角度，就是要發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知力。只有充分地挖掘數(shù)學(xué)知識蘊含的價值觀資源，并在教學(xué)中將知識教學(xué)與價值觀影響融為一體，才能真正體現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”。目前一些課堂在兼顧高考的同時注重課堂教學(xué)的品味提升，如滲透數(shù)學(xué)文化等，提高了課堂教學(xué)的思想性。目前存在著看輕學(xué)生能力的傾向，無法激起學(xué)生的求知欲，對于少數(shù)基礎(chǔ)不同的學(xué)生，可采用單獨的補償教學(xué)。
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